抛物线的简单几何性质课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
2024(精品课件)抛物线的简单几何性质
(精品课件)抛物线的简单几何性质contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例目录抛物线基本概念及引入抛物线定义与数学表达式定义抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
数学表达式一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$（开口向左或向右）。
其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。
体育运动工程设计科学研究桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。
弹道学、天文学等领域的研究。
0302 01抛物线在实际生活中应用如篮球、足球、铅球等运动项目的轨迹分析。
当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。
与椭圆关系双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。
与双曲线关系抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。
二次曲线共性抛物线与其他二次曲线关系通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基础。
掌握基本概念通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。
培养几何直觉掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。
解决实际问题引入课程目的和意义抛物线标准方程及性质标准方程形式及推导过程标准方程形式y^2=2px(p>0)或x^2=2py(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点到准线的距离。
推导过程通过抛物线的定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹）和几何性质，可以推导出抛物线的标准方程。
焦点、准线概念及其性质焦点抛物线上的一个固定点，记为F，对于标准方程y^2=2px，焦点坐标为(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为(0,p/2)。
准线抛物线的一条固定直线，记为l，对于标准方程y^2=2px，准线方程为x=-p/2；对于x^2=2py，准线方程为y=-p/2。
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线的几何性质课件
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件
代入方程y 4x, 得( x 1) 4x,
2 2
化简得x 6 x 1 0.
2
x1 x2 6 AB x1 x2 2 8
B’
,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 所以，线段 AB的长是8。 设而不求 计算弦长
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但没有渐进线。
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是 ,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解 , 从而 2 方程组 没有解 .这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
2
5 A. 2
B.2
C.3
11 D. 4
6．抛物线 y 2 2 px( p 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点， ( ) F 是它的焦点，若 AF , BF , CF 成等差数列，则 A． x1 , x2 , x3 成等差数列 C． y1 , y 2 , y3 成等差数列 B． x1 , x3 , x2 成等差数列 D． y1 , y3 , y 2 成等差数列
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y x 1 直线的方程是__________________________.
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
C．等轴双曲线的离心率是 2
x2 y2 D．椭圆 2 2 1m 0, n 0 的焦点坐标是 F1 m 2 n 2 ,0 , F2 m n
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 抛物线中的定值、定点问题 例 3 已知抛物线 x2＝2py(p>0)，其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物 线的两条弦 AB 和 CD(点 A，C 在第一象限)，且 M，N 分别是 AB，CD 的中 点． (1)若 AB⊥CD，求△FMN 面积的最小值； (2)设直线 AC 的斜率为 kAC，直线 BD 的斜率为 kBD，且 kAC＋4kBD＝0，求 证：直线 AC 过定点，并求此定点．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋ x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x＝ －32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 抛物线的简单几何性质 例 1 (1)已知抛物线 y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量 x 的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直 线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
又 F32，0，
所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x， 联立y＝ 3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
y
(x，y)
o F( p ,0) x 2 (x，-y)
建构数学
3．顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线 的顶点． 在 y2 = 2px （p>0）中， 令 y=0，则 x=0．
抛物线 y2 = 2px (p>0) 的顶点为 (0，0)．
y
o F( p ,0) x
2
建构数学
4．通径 过焦点而垂直于对称轴的弦 AB ， 称为抛物线的通径．
顶点 焦半径
（0,0）
p 2
x0
（0,0）
p 2
x0
（0,0）
p 2
y0
（0,0）
p 2
y0
建构数学
归纳: （1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，
但没有渐近线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； （4）抛物线的通径为 2p，2p 越大，抛物线的张口越大．
3.3.2抛物线的几何性质
复习回顾
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
抛
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
物 线 的 标
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
准 方 程
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
建构数学
如何利用方程来研究抛物线 y2 =2px（p>0）的几何性质?
1．范围
y
由抛物线 y2 = 2px（p>0）可得 x≥0，
所以图象在 y 轴的右侧.
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3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大.
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2 ）
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
元二次方程，需计
O
x 算判别式。相交。
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过 定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?
oF ( p ,0) x
2
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸
2、 对称性
y
Q ( x , y ) 关于x轴 ( x , y ) 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， oF ( p ,0) x
•
几何画板演示
解 由 ,设 题 l的 直 意 y 方 线 1 k x 程 2 . 为
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px p x （p>0） F ( 2 ,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫 做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
到一元二次方
x
程，需计算判 别式。相切。
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与 一点。
例：判断直线 y = 6与抛
y
物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
O
x
元一次方程，容易 解出交点坐标
二、判断方法探讨
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交
与两点。
例：判断直线 y = x -1与
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
y2=4x
1限.抛延物伸线,但只它位没于有432 半渐个近坐线标; 平面内,虽然yy它22==可2x1以xy 无
2.抛物线只有一1 条对称轴,没有
y2= 2 x
P(x,y)
-2
2
4
6
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
( 0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py ( 0， p )
(p>0)
2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2pxy2 0
p0
x0
8
10
对称中心;
-1
-2
3.抛物线只有一-3 个顶点、 -4
oF ( p ,0) x
2
一个焦点、一条-5 准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0)
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1 ）
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
2
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
oF ( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
O
x
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
到一元二次方
O
x
程，需计算判 别式。相离。
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
y
O
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
练习一：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 1 6
.
2、已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2px(p0)
的焦点的距离是5，则P= 4 。
四、归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
原点，并且经过点M（２， 2 2），求它的标准方程.
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， 2 2 ），
所以设方程为： y22px(p0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2p2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y 2 4 x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
y
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。
P(x,y)
oF ( p ,0) x
2
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
（二）归纳：抛物线的几何性质
越大.
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2 ）
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
元二次方程，需计
O
x 算判别式。相交。
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过 定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?
oF ( p ,0) x
2
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸
2、 对称性
y
Q ( x , y ) 关于x轴 ( x , y ) 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， oF ( p ,0) x
•
几何画板演示
解 由 ,设 题 l的 直 意 y 方 线 1 k x 程 2 . 为
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px p x （p>0） F ( 2 ,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫 做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
到一元二次方
x
程，需计算判 别式。相切。
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与 一点。
例：判断直线 y = 6与抛
y
物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
O
x
元一次方程，容易 解出交点坐标
二、判断方法探讨
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交
与两点。
例：判断直线 y = x -1与
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
y2=4x
1限.抛延物伸线,但只它位没于有432 半渐个近坐线标; 平面内,虽然yy它22==可2x1以xy 无
2.抛物线只有一1 条对称轴,没有
y2= 2 x
P(x,y)
-2
2
4
6
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
( 0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py ( 0， p )
(p>0)
2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2pxy2 0
p0
x0
8
10
对称中心;
-1
-2
3.抛物线只有一-3 个顶点、 -4
oF ( p ,0) x
2
一个焦点、一条-5 准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0)
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1 ）
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
2
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
oF ( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
O
x
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
到一元二次方
O
x
程，需计算判 别式。相离。
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
y
O
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
练习一：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 1 6
.
2、已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2px(p0)
的焦点的距离是5，则P= 4 。
四、归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
原点，并且经过点M（２， 2 2），求它的标准方程.
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， 2 2 ），
所以设方程为： y22px(p0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2p2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y 2 4 x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
y
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。
P(x,y)
oF ( p ,0) x
2
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
（二）归纳：抛物线的几何性质
