抛物线的简单几何性质课件

图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px p x （p>0） F ( 2 ,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x

p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
O
x
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
到一元二次方
O
x
程，Βιβλιοθήκη Baidu计算判 别式。相离。
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
y
O
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
原点，并且经过点M（２， 2 2），求它的标准方程.
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， 2 2 ），
所以设方程为： y22px(p0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2p2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y 2 4 x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
到一元二次方
x
程，需计算判 别式。相切。
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与 一点。
例：判断直线 y = 6与抛
y
物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
O
x
元一次方程，容易 解出交点坐标
二、判断方法探讨
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交
与两点。
例：判断直线 y = x -1与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一
元二次方程，需计
O
x 算判别式。相交。
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过 定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?
练习一：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 1 6
.
2、已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2px(p0)
的焦点的距离是5，则P= 4 。
四、归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
y
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。
P(x,y)
oF ( p ,0) x
2
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
（二）归纳：抛物线的几何性质
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1 ）
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
2
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
oF ( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
( 0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py ( 0， p )
(p>0)
2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2pxy2 0
p0
x0
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大.
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2 ）
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫 做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
y2=4x
1限.抛延物伸线,但只它位没于有432 半渐个近坐线标; 平面内,虽然yy它22==可2x1以xy 无
2.抛物线只有一1 条对称轴,没有
y2= 2 x
P(x,y)
-2
2
4
6
•
几何画板演示
解 由 ,设 题 l的 直 意 y 方 线 1 k x 程 2 . 为
8
10
对称中心;
-1
-2
3.抛物线只有一-3 个顶点、 -4
oF ( p ,0) x
2
一个焦点、一条-5 准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0)
oF ( p ,0) x
2
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸
2、 对称性
y
Q ( x , y ) 关于x轴 ( x , y ) 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， oF ( p ,0) x