以“形”助“数”：小学数学中几何直观的渗透式教学

以“形”助“数”：小学数学中几何直观的渗透式教学[摘要]在小学数学教学中，让学生依托恰当的形象材料，借助“形”的生动和直观来阐明数学问题，以“形”作为手段将抽象的数学问题转化为几何图形问题，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，有利于促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，充分显化数学问题的本质特征。

本文结合一些实际案例，对小学数学教学中“几何直观”的渗透进行了一些实践性的探索。

[关键词]小学数学几何直观渗透式教学小学生思维是以具体形象思维为主要形式，并逐步向逻辑思维为主要形式过渡阶段。

小学阶段是儿童形象思维发展的活跃阶段,尤其是低年级学生，形象思维更是占据了主导地位。

由于数学问题的抽象性与小学生思维的形象性是一对矛盾，这就使得很多抽象数学问题的教学需要以“形”助“数”，即以“形”的手段来帮助学生进行有效地数学思考和想象，进而促使学生直观地学习和理解数学问题。

而这正是《数学课程标准（2011版）》中强调的核心概念——几何直观。

一、小学数学教学中几何直观的内涵解读蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。

[1]徐利治提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。

[2]希尔伯特在其《直观几何》一书中提出“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。

”[3]《数学课程标准（2011版）》指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”[4]孔凡哲、史宁中认为，在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。

[5]实物直观是指借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际存在物（如小棒），进行简捷、形象的思考和判断。

简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。

例如，线路图、数轴就是简约的、符号化的直观。

图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。

而替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，也可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。

基于以上认识，笔者认为:小学数学教学中的几何直观就是指以“形”的手段帮助学生直观地描述和分析数学问题的一种思维活动。

在教学中借助和依托于这些“形”的手段（包括实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观）可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

二、小学数学教学中渗透几何直观的价值所在几何直观作为一种手段，为学生分析问题、解决数学问题提供了“拐杖”。

对于学生的数学学习而言，用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题等，就是为了形成生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。

几何直观在小学数学教学中有着极其重要的教育价值。

（一）几何直观是学生理解数学的有力工具数学家张广厚说过：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度抽象思维的能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。

抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。

同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。

”几何直观在数学中无处不在，贯穿在整个数学学习过程中，成为了学生学习数学的有力工具。

借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助学生揭示研究对象的性质和关系，推动学生对数学的思考，促进学生理解数学的本质和思想。

（二）几何直观是培养学生创造性思维的重要方式小学数学教学中，大多数情况下教师总是力求把一些数学问题变成几何直观问题，使学生成为数学学习的发现者，让学生在观察和思考的基础上“看”出数学的结果。

学生的思维方式主要是在课堂中形成的。

教师在教学中渗透几何直观教学，能引导学生在耳濡目染中形成创造性的思维方式。

因为在几何直观这种高度简化的思维过程中往往会产生创造性的灵感和顿悟，十分有利于培养学生的创造性思维。

（三）几何直观能够帮助学生感悟数学的美数学美，不仅美在抽象简约，也美在直观多姿，而几何直观能够让学生充分感悟、发现和凸显数学结构美。

例如，利用直观感悟圆的对称美；利用直观了解分形几何的奇异美；利用直观理解直柱体体积公式的统一美。

所以，培养学生几何直观能力，不仅能提高学生学习数学的基本素养，而且可以将几何美的直观、对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中，使学生在美的享受中发现知识、理解知识，在潜移默化中感受数学美。

三、小学数学教学中渗透几何直观的实践性求索那么，如何在小学数学教学中更好地渗透和发挥几何直观的教学价值呢？我认为应主要从以下四个方面入手。

（一）用“形”的直观表征数学概念数学概念的高度抽象性，使其成为小学数学教学中的一大难点。

解决这一难点有效的途径，往往就是用“形”直观来表征数学概念的本质特征。

教学中向学生提供大量感性的、直观的材料，让学生在充分感知的基础上表征数学概念的本质特征，可以使得抽象的数学概念尽可能地具体化、生动化和形象化。

这种用“形”的直观表征的数学概念，有助于学生理解数学概念，可以帮助学生强化对数学概念的记忆。

当然，在利用实物进行教学时，教师除了应提供充分的形象材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上引导学生分析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动建构数学概念的同时强化对相关概念的理解性记忆。

例如教学负数时，可以利用数轴帮助体会理解负数的意义、感受数序。

在新授教学中，先利用学生熟悉的温度计初步了解“0”是正负数的分界点，体会正数与负数分别表示具有相反意义的数量。

再逐渐将温度计演变成纵向的数轴，初步建立数轴的模型。

接着，设计“写出数轴上的点所对应的数”的巩固练习。

一方面通过正负数的写数与读数，尤其是数轴上正数与负数的位置，进一步体会正数与负数表示相反意义的数量，从而更好地理解负数的意义。

另一方面，通过数与数轴上的点一一对应关系，联系已有非负整数在数轴上的位置与大小关系的经验，直观感受和比较负数大小的方法，可以使学生初步体会数的排列顺序。

（二）以“形”的手段明晰算理小学数学教学中，有相当部分的内容是数的运算教学。

掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。

在数的运算教学中，算理探究和算法掌握具有同等重要的地位。

但在很多老师往往只注重算法，强调运算技能的形成，忽略算理的探究。

而学生不明白算理又怎么能更好的掌握运算方法呢？那么，怎样才能帮助学生有效地探究算理呢？我认为，像小棒、计数器、长方形或圆形图、数轴等操作材料和直观材料，就是一些有效的手段。

我们在教学数的运算时，不光可以借助小棒或计数器，向学生直观的演示加减法的算理和算法，还可以借助数轴将运算直观形象化。

因为“加法”就是在数轴上继续向右数；“减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数轴上几个几个地向右数；“除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数。

数轴是理解“有余数除法”的形象化载体。

又比如，在教学“分数加分数”时，创设情境：小明过生日，他吃了这个蛋糕的41,妈妈吃了这个蛋糕的41,他们两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？在引出算式41+41后，让学生思考如何用圆形图来表示出41+41这个算式。

然后，引领学生借助圆形图就可以很直观地理解41+41这个算式所表示的算理。

此外，借助直观图形，将图形与数字巧妙结合，可以很好的突破算理与算法中的一些难点问题。

如：计算21+41+81+161时，引导学生围绕下面的正方形图展开思考，将其转化成用1－161来计算。

像这样，以“形”的手段把算式形象化，学生看到图形能联想到算式，看到算式就联想到图形，可以帮助学生沟通算理和算法之间的联系。

（三）依托“形”的支撑理清数量关系在解决问题的过程中，借助画直观图的方式，将数量关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，依托于“形”的支撑来显化数量之间的内在联系，成为解决问题的有效方法之一。

因为将数量信息反映在图形上，依托图形能直观地表现数量之间存在的联系，达到化抽象为具体、化隐为显的目的，起着提示获取抽象问题的一些简单、快捷的解决思路的作用。

1.用画图的策略显化数量关系实际的教学中，当一些数学问题中的数量比较抽象，关系比较复杂，条件比较隐蔽，直接求解很棘手。

我们就可以引导学生在动笔涂涂画画中，根据问题的具体情形，把数量关系的问题转化为图形的问题，学生思维有了凭借就能使复杂问题简单化，抽象问题具体化、直观化、生动化。

也有助于学生把握数学问题得的本质，迅速找出解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

我们教学用画图的策略解决问题，就是一种几何直观教学。

可以说几何直观是解决数学问题的有力工具。

例如：同分子分数大小比较这个知识相对比较抽象，学生较难理解两个同分子分数的大小关系。

此时，如果能启发学生用画出圆形（或其它图形）来表示这两个分数的方法，然后观察用图形表示的分数，那么就能直观地比较出这两个同分子分数的大小，从而理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。

2.在图形的直观推理中寻求思路要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，还应注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程。

特别是一些可以利用直观来描述和分析的数学问题。

教师不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生用图形说话，引导学生围绕图形展开讨论。

学生借助几何直观进行比较、分析和想象，展开丰富多彩的直观推理，进而理清图形中数量的结构和关系，从而尽可能从中找到解决问题的思路。

如苏教版四年级下册“解决问题的策略”：“小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。

后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了 150平方米。

现在鱼池的面积是多少平方米？”这种纯文字形式呈现的数学问题相对比较抽象，凭空想象很难弄清题意。

这就需要利用图形来描述和分析问题，依托于图形来进行有效地数学思考和想象，寻求解题思路。

教学中，我先放手让学生画出一个长方形来表示原来的鱼池，然后引导学生围绕“如何在示意图上表示鱼池的宽减少了5米”进行讨论，紧接着讲评标注相关信息的方法，让学生自己完善所画的示意图。

当学生完成画图后，让学生比较和交流公路扩建前后的鱼池，使学生感受到看图思考数学问题的方便，进而启发学生将题目中的相关数量与图形对应起来进行直观推理，寻求正确的解题思路。