以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)知识讲解

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形等）是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下

进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．

2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题

的强有力的方法．

【精选名校模拟】

1. 在四棱锥E ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；

（Ⅱ）求证：BD AE ；

EG （Ⅲ）若AB= 2CE,在线段EO上是否存在点G，使CG 平面BDE ？若存在，求出的值，若不EO

存在，请说明理由．

答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；Ⅲ) EG

EO

1

2 B

2.如图所示，四棱锥P—ABCD 中，AB AD，CD AD，PA 底面ABCD ，PA=AD=CD= 2AB=2，M 为PC 的中点。（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）在侧面PAD 内找一点N，使MN 平面PBD；

（3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【答案】（1）见解析；（2）N 是AE 的中点；（3）．

3

试题解析：（1）M 是PC的中点，取PD的中点E，则

ME 1CD ，又AB 1CD

22

四边形ABME 为平行四边形

BM ∥ EA ，BM 平面PAD

EA 平面PAD

BM ∥ 平面PAD

4 分）

2）以A为原点，以AB、AD 、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B 1,0,0），C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，M 1,1,1 ，E 0,1,1

3. 如图1，在Rt ACB中，C 90°，BC 3，AC 6，D，E分别是AC ，AB上的点，且DE // BC，DE 2，将ADE 沿DE折起到A1 DE的位置，使A1C CD，如图2．

Ⅰ）求证：A1C 平面BCDE ；

Ⅱ）若M 是A1D的中点，求CM 与平面A1BE所成角的大小；

Ⅲ）点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面

BCDE ，求点P 到直线l的距离的最小值．

答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）CM 与平面A1BE 所成角的大小45 ；（Ⅲ）点P到直线l 的距离有最小值12 65 65

试题解析：（Ⅰ）Q 由题CD DE ，A1D DE ，CD A1D D

DE 平面A1CD ，又Q A1C 平面A1CD ，

A1C DE 又Q A1C CD ，

DE CD D A1C 平面BCDE ．

∴不妨取n r 1 ，2 ，3 又∵ M 1，0 ，3

uuu ur CM

1

，

0 ，3

sin|cos CM ,n |uuuu

r

CM

r n 1 3 42，uuuu

r

CM

r n

1 4 3 1 3

2 2 22，

CM与平面A1BE 所成角的大小45 ．

4. 在四棱锥P ABCD中，侧面PCD 底面ABCD ，PD CD ，底面ABCD是直角梯形，ADC

AB // CD ，90o，AB AD PD 1，CD 2.

（Ⅰ）求证：BC 平面PBD ；

uuur uuur o

（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ PC ，试确定的值，使得二面角Q BD P为45o.

答案】解法

uuur

(Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ( 1,1,0) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 uuur uuur

uuur

PC (0,2, 1)， PQ

PC ， (0,1)

所以 Q(0,2 ,1 ) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分 uuur uuur

设平面 QBD 的法向量为 n= (a,b, c) ， DB (1,1,0) ， DQ (0,2 ,1 )， uuur uuur 由 n DB 0 ， n DQ 0 ，得

法二：（Ⅰ）∵面 PCD ⊥底面 ABCD ，面 PCD ∩底面 ABCD =CD ，PD 面 PCD ，且 PD ⊥CD

取 CD 中点 E ，学科网连结 BE ，则 BE ⊥CD ，且 BE=1

∴PD ⊥面 ABCD ，

1分 又 BC 面 ABCD ，∴ BC ⊥ PD ①⋯. .

分

2