大连理工大学结构优化复习总结

结构优化设计－基于结构分析技术，在给定的设计空间实现满足使用要求且具有最佳性能或最低成本的工程结构设计的技术
优化设计的三要素:设计变量;约束条件;目标函数
凸域:基于n维空间的区域s里，如果取任意两点x1和x2，连接这两点的线段也属于s，该区域称凸域（=αx1+(1-α)x2 ）
凸函数:如果函数f(x)定义在n维空间的凸域s上，而且对s中的任意两点x1和x2和任意常数α,0.0<=α<=1.0,有f[αx1+(1- α)x2]<=αf(x1)+(1- α)f(x2),则f(x)称为s上的凸函数
严格凸函数:上式小于严格成立
凸规划:如果可行域是凸域，目标函数是凸函数，这样构成的数学规划问题为凸规划问题。

准则设计法:依靠工程经验;效率高;缺乏严格数学基础
最优准则法基于库塔克（K-T）条件:需构造迭代求解算法;通用性不强
数学规划方法:有严格的数学基础，有较好的通用性，计算效率要考虑。

结构优化问题的求解布骤
I. 建立优化模型。

给定初始设计方案。

II. 结构分析(有限元）
III.优化（收敛性）检验。

满足则结束程序，否则继续IV
IV. 灵敏度分析
V. 求解优化问题，修改结构模型，返回II。

优化求解的两大类方法：准则法；数学规划法
准则设计方法：用优化准则代替原来的优化问题
同步失效准则设计的评价：
{优点：简单、方便，特别是独立约束个数n=m时；工程实用；适合于构件设计。

缺点：只能处理简单构件设计；缩小了设计空间，不能保证最优解；若n < m ，可能无解；
当n > m时，确定哪些破坏模式应同时发生比较困难。

改进：为了弥补等式约束代替不等式约束的缺陷，引入松弛因子ψi
σi (X ) =ψiσip , 0 ≤ψi ≤1, i =1,2,......n
启发：用准则代替原来的优化问题，准则法的基本思想；如果将桁架的每根杆看作一种可能的破坏模式，桁架看作一个元件。

可以得到满应力准则
满应力方法的缺点：完全无视重量会漏掉最轻设计；中间点一般是不可行设计，对工程实际不利。

希望得到可行的中间设计点。

齿形法：采用射线步进行可行性调整，适用于桁架一类刚度与设计变量成正比的结构。

将所有设计变量同时乘以一个常数ξ：A n i=ξA i o}
线性函数都是凸函数，线性规划是凸规划。

满应力法的评价：
{优点：简单，概念易于接受，收敛快（特别适合大型结构优化）；对于大多数实际工程结
构，满应力解往往很接近于最优解；在有位移、频率等约束时，应力比方法（处理应力约束）也可以与其他方法混合使用；应力比方法也同样适用于膜单元，对于梁、板、柱结构，有推广的近似满应力步和射线步来寻求满应力设计；满应力法的基本思想⎯用一种准则来代替原来的严格的数学规划，在结构优化中得到广泛的应用和推广。

缺点:满应力解可能不是最优解；简单的应力比方法可能产生振荡，不收敛；迭代次数与超
静定情况有关，正常结构迭代少，内力重分布严重的结构迭代次数多；}
射线步结合满应力设计的应力比方法：
K-T条件：几何意义：在极值点，目标函数的负梯度应该为所有约束梯度向量的线性组合。

K-T条件静定问题迭代法（单个位移约束，重量最小，面积有下限）
1. 给定初始设计Ak进行结构分析，求得实荷载与虚荷载的内力分布
2. 划分主被动变量Dn，被动变量一律取下限
3. 计算被动设计变量对重量位移贡献：Wp,u j p
4. 计算“最优”重量W*
5. 计算主动变量断面积分布Ak ，
6. 将Ak和面积下限比较，决定新的主被动变量，将新的主被动变量
划分D’与Dn比较，如果不相同，Dn= D’返回3),否则结束迭代
K-T条件超静定问题迭代法（单个位移约束，重量最小，面积有下限）
1. 给定初始设计，k=0
2. 进行结构分析，求得实荷载与虚荷载内力分布Si,Sjiv，计算：
3. 根据Aik值和的条件，划分主被动变量Dn，被动变量一律取下限
4. 根据迭代公式计算新的主动设计变量值
a) 计算被动设计变量对重量位移贡献：Wp,ujp
b) 计算“最优”重量W*,λk
c) 计算主动变量面积分布Aik+1 ，并和面积下限比较，决定新的主被动变量
d) 将Aik+1的主被动变量划分D’与Dn比较，如果不相同，Dn= D’返回a),否
则进入5）
5. 比较|Aik+1-Aik|<ε,则计算结束，否则以Aik+1作为初始设计返回2）
准则法的优缺点：优点：收敛速度快且与问题规模无关
缺点：迭代算法较难构造
第四章
准则法是从结构力学原理出发，建立一些最优准则，从而寻求用解析形式表达的结构设计参数，或者通过直观的迭代运算决定结构各单元的截面参数
特点：计算量小，通用性差，依赖具体问题
数学规划法是从解极值问题的数学原理出发，运用数学规划中的各种方法，求得一系列设计参数的最优解。

它直接针对如下数学模型
特点：通用性好，不依赖具体问题，计算量大
线性规划：单纯形法二次规划：兰姆克算
无约束非线性规划：无约束最优化算法：
0阶算法：0.618法，单纯形法，Powell法，智能和仿生类算法
一阶算法：最速下降法(梯度法），共轭梯度法，二分法，弦切法
二阶算法：牛顿法及其改进
约束非线性规划算法：1：转化法——罚函数法
2：直接法：（1）与无约束优化算法对应（2）可行方向法（3）最佳矢量法
3：序列近似规划算法（SLP,SQP)
最速下降法的计算步骤：1. 选择初始解x(0)
2. 求出▽f (x(k)), 并取-▽f(x(k))为探索方向
3. 求步长α(k),使函数值有最大下降（一维函数优化）
4. 得到k+1次迭代的变量值
5.判断收敛否？如收敛，停机；否则令k=k+1,返回2
最速下降法的评价：从局部看，最速下降法是目标函数值下降最快的方向，但全局看，相邻两个搜索方向为正交，因此迭代路径出现锯齿现象，收敛速度并不是最快的。

适用范围：前期迭代，或间插步骤，接近最小点时并非有利。

牛顿法的计算步骤：1. 选择初始解x(0)；2. 计算▽f (x(k))；3. 计算H-1k；4. 进行迭代计算；
5.判断收敛否？如收敛，停机；否则令k=k+1,返回2
牛顿法的特点：
1）变量值离最优点接近时，收敛
快，但是较远时，不一定；
2) H-1 不存在，算法无法进行；
3) H-1 存在，但不正定，不能保证下
山方向；
4) 由于步长固定，可能f(x(k+1))>f(x(k))
5) 需要计算H-1 ，计算量大。

改进：
1) 先采用最速下降法，后用牛顿法；
2) 转向最速下降法，用d(k)=-▽f(x(k))
3) 如果(d(k))T▽f(x(k))>0, d(k)= - d(k)，如果(d(k))T ▽f(x(k))=0, 转向最速下
降法；
4) 采用阻尼牛顿法
5）拟牛顿法。

两种罚函数方法的共同特点：
1 方法简单, 易编程
2 对目标函数和约束函数要求不高
3 求一系列无约束优化问题, 计算量大
4 tk不断增大，rk,不断减小, 造成函数病数值求借困难.
外罚函数法：
优点: (1)既能处理不等式，又能处理等式(2)初始点是任意的，不要求可行缺点: (1)中间点不可行(2)导数间断
内罚函数法：
优点: 中间点可行
缺点: （1）初始点要求可行，对复杂问题难以做到
（2）要控制步长，以免走到可行域外
（3）不能处理等式约束
遗传算法：是模拟自然选择及自然遗传过程的一种搜索最优解的方法。

基本遗传算法的组成：（1）编码（产生初始种群）（2）适应度函数
（3）遗传算子（选择、交叉、变异）（4）运行参数
运行参数：（1）M ：种群规模（2）T ：遗传运算的终止进化代数
（3）Pc ：交叉概率（4）Pm ：变异概率。