纠错编码习题解答汇总

合集下载

信息论与纠错编码课后练习题含答案

信息论与纠错编码课后练习题含答案前言信息论与纠错编码是计算机科学与通信工程中非常重要的领域。

本文档将介绍该领域中一些常见的练习题，并且配有答案供参考。

第一部分：信息论题目一假设在信道中有两个符号a和b，其发生概率分别为P(a)和P(b)。

则符号a和b在信道中的平均传输信息量为多少？答案一符号a和b分别传输的信息量为 $I(a)=-\\log_2P(a)$ 和 $I(b)=-\\log_2P(b)$。

因此，符号a和b在信道中的平均传输信息量为：$$I_{avg}=\\frac{1}{2}(I(a)+I(b))=\\frac{1}{2}(-\\log_2P(a)-\\log_2P(b))=-\\frac{1}{2}\\log_2(P(a)P(b))$$题目二以上一题中的符号为例，若P(a)=0.2，P(b)=0.8，则符号b传输的信息量是符号a的多少倍？答案二符号a和b的信息量为：$$I(a)=-\\log_2P(a)=-\\log_2(0.2)=2.322$$$$I(b)=-\\log_2P(b)=-\\log_2(0.8)=0.321$$因此，符号b传输的信息量为符号a的 $\\frac{0.321}{2.322}=0.138$ 倍。

第二部分：纠错编码题目三对于一个二元码，其生成矩阵为$G=\\begin{bmatrix}1&0&1\\\\0&1&1\\end{bmatrix}$。

请问该码的最小汉明距离是多少？答案三对于二元码，最小汉明距离等于最小权值。

该码的所有码字是：$$\\begin{bmatrix}1&0&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&0\\end{bmatrix}$$因此，该码的最小汉明距离是d min=1。

40道编码题精解

1、供食用的活珍珠鸡（重量大于2千克）归类步骤：①活珍珠鸡属于活动物，应到第一章“活动物”中去查找。

然后按列名归入品目0105“家禽，即鸡、鸭、鹅、火鸡及珍珠鸡”。

②由于重量大于2千克，故归入一级子目“其他”③由于珍珠鸡未在二级子目列名，故应归入二级子目“其他”④由于题目未明确是“改良种用”，故归入三级子目“其他” 最后按列名归入四级子目01059993“珍珠鸡”提示：本题的关键是子目的判断2、冷冻的煮熟甜玉米粒，塑料袋装归类步骤：根据第十章章注二和第七章注二可知，甜玉米属于蔬菜。

由于冷冻的著述甜玉米粒符合品目0710条文“冷冻蔬菜（不论是否曾煮熟）”的规定，所以应归入品目0710。

然后按列名归入一级子目07104000“甜玉米”，所以正确的商品编码是07104000。

提示：本题的关键是不能误认为煮熟的甜玉米就归入第20章。

3、精制的玉米油归类步骤：玉米油属于植物油，故应到第十五章“动、植物油、脂及其分解产品；精制的食用油脂；动植物蜡”中找。

由于玉米油在品目1507～1514没有列名，故应归入1515“其他固定植物油、脂及其分离品，不论是否精制，但未经化学改性的”；然后按列名归入一级子目“玉米油及其分离品”由于题目中的玉米油是“精制的”故归入二级子目15152900“其他” 。

正确的商品编码是：151529004、煮熟的猪肝罐头归类步骤：由于猪肝已煮熟属于深加工，故应到第16章“肉、鱼、甲壳动物及其他水生无脊椎动物的制由于猪肝属于食用的杂碎，故归入1602；在归入一级子目时，肝可归入两个“动物肝的”和“猪的”按“具体列名”的总规则，应归入“动物肝的” 。

所以最后的商品编码是：16022000。

提示：本题关键是子目归类时首先要确定一级子目，而不能直接按“猪的罐头”误归入16024910，其次是确定一级子目时要正确运用归类总规则三（一）的“具体列名优先”的原则。

5、菠萝原汁中加入20%的水组成的混合物归类步骤：菠萝原汁属于品目2009“水果汁”，但是如果加水进行了稀释，则成了人们习惯饮用的饮料（其他果汁也是如此），故应归入第22章“饮料、酒及醋” ；然后按饮料归入品目2202“其他无酒精饮料，但不包括品目2009的水果汁或蔬菜汁” ；由于由果汁配成的饮料不属于一级子目“加味、加糖或其他甜物质的水，包括矿泉水及汽水”的范围，故归入22029000。

信息论与纠错编码课后作业答案6

第6章习题参考答案6.6 解：（1）首先求联合概率矩阵111412611164121111264XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最大后验概率准则即最小错误概率准则，也等同于最大联合概率准则，因此，从联合概率矩阵的每一列中选联合概率最大的发送符号作为译码输出，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为11223313()()()344c p p x y p x y p x y =++=⨯=错误概率为114e c p p =-=（2）当信源等概率分布时，极大似然准则等价于最大后验概率准则，因此从信道矩阵的每一列中取转移概率最大的一个发送符号作为相应接收符号的译码输出，即是最佳译码方案，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为112233111()()()(3)322c p p x y p x y p x y =++=⨯⨯=错误概率为112e c p p =-=6.10 解：（1）(;)()()D R I X Y H Y H Y X ==- 设信源的四个消息等概率出现，则有0114p p ==，12e p =[]01101111111424222201qq ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦111()()log 2[()(1)2]10.50.5224D R H Y H Y X H H =-=-+⨯=-=bit/符号（2）按照译码准则译码时，由于后两位始终译为ee ，与发送代码后两位始终相同，故不存在误码；前两位，由于1000→→，1111→→，也不存在译码错误，因此所有码字的错误概率均为0。

或由联合概率矩阵1041188104XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 正确译码的概率为111(00)(11)()1442c p p x y p x y p ee ===+==+=++=（发送e 时始终可以正确译码），因此所有码字的错误概率为0。

纠错码原理试题及答案

2014级通信专业《纠错码原理》考试题（开卷）姓名：学号：分数：第一题：根据以为根的本原多项式为x6+x+1(1) 构造扩域GF(26)(2) 分解因式x63-1和x21-1(3) 构造可纠2个错误的二进制BCH码(4) 构造可纠2个错误的RS码第二题：采用计算机编程仿真比较相同码率的RS码与卷积码在AWGN下的性能。

其中，RS码为（23，11）格雷码的扩展码（24,12）码，卷积码为参数（2,1,2）的卷积码，其编码电路如图所示第一题根据以α为根的本原多项式为16++x x 1.构造扩域)2(6GF已知，01)(6=++=αααp ，即αα+=16，由这个等式，可构造扩域)2(6GF ：267)1(ααααααα+=+⋅=⋅=32278)(αααααααα+=+⋅=⋅=433289)(αααααααα+=+⋅=⋅= 5443910)(αααααααα+=+⋅=⋅=5655410111)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=22625111211)1(ααααααααααααα+=+++=++=++⋅=⋅= 321213)1(ααααααα+=+⋅=⋅= 4231314)(αααααααα+=+⋅=⋅= 53421415)(αααααααα+=+⋅=⋅=4645315161)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=5241617)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=326325217181)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 432321819)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=54324321920)(αααααααααααα+++=+++⋅=⋅=5436543543220211)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 542654254321221)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=5365354222231)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅=4645323241)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 542425)1(ααααααα+=+⋅=⋅=262525261)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅= 3222627)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=432322728)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5434322829)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5465454329301)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 526525430311)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 3635231321)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 433233)1(ααααααα+=+⋅=⋅= 5243334)(αααααααα+=+⋅=⋅=3635234351)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=4233536)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=532423637)(αααααααααα++=++⋅=⋅=4364353237381)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 542433839)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=532653254239401)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 432643253240411)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅= 5434324142)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=542654254342431)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 532653254243441)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=4364353244451)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅=54434546)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=526525446471)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅=326325247481)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 43324849)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=542434950)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5365354250511)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 426425351521)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 53425253)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=426425353541)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 532425455)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=432643253255561)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 54324325657)1(ααααααααααααα++++=++++⋅=⋅=543265432543257581)(ααααααααααααααααααα+++++=++++=++++⋅=⋅=543265432543258591)1(ααααααααααααααααααα++++=+++++=+++++⋅=⋅=5436543543259601)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=5465454360611)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 5655461621)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 1)1(656263=+=+⋅=⋅=ααααααα得到扩域)2(6GF 的元素表如下：幂表示6维向量表示幂表示6维向量表示α0100100 000000 33α0010011 100000 34α010000 35α110100 2α001000 36α011010 3α000100 37α001101 4α000010 38α110110 5α000001 39α011011 6α110000 40α111101 7α011000 41α101110 8α001100 42α010111 9α000110 43α111011 10α101101 α000011 4411α110001 45α100110 12α010011 α101000 4613α010100 47α111001 14α101100 α001010 4815α010110 α000101 4916α001011 α110010 5017α011001 51α110101 18α101010 α111100 5219α010101 α011110 5320α 001111 54α 111010 21α110111 55α011101 22α 101011 56α 111110 23α 100101 57α 011111 24α 100010 58α 111111 25α 010001 59α 101111 26α 111000 60α 100111 27α011100 61α100011 28α 001110 62α 100001 29α 000111 63α1 30α 110011 31α 101001 32α1001002.分解因式163-x 和121-x由共轭根系概念，将除0、1以上元素划分，同属一个根系的元素为一组：2481632361224334851017203440714283549569183611222537445013192638415215303951576021422329434653582745,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααα54314755596162,,,,,ααααααα分别求取每组共轭根系的最小多项式，化简得：248163261361224334864225101720344065237142834()()()()()()()1()()()()()()()1()()()()()()()1()()()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααααααΦ=++++++=++Φ=++++++=++++Φ=++++++=++++Φ=++++54956639183632511222537445065326131926384152643715308)()()1()()()()1()()()()()()()1()()()()()()()1()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααα++=++Φ=+++=++Φ=++++++=++++Φ=++++++=++++Φ=++39515760654221422923294346535865410274554311314755512)()()()()1()()()1()()()()()()()1()()()()1()()()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααα++++=++++Φ=++=++Φ=++++++=++++Φ=+++=++Φ=++++9616265)()()1x x x x αα++=++所以，因式分解结果为126311()i i x x =-=Φ∏(2.2) 分解因式x 21-1x 21-1中n=21，且找不到一个整数m 使等式n=2m -1成立，因此需要寻找非原元β。

第七章差错控制编码习题解答

8－1 某码字的集合为 00000000 1000111 0101011 0011101 1101100 1011010 0110110 1110001求：（1）该码字集合的最小汉明距离；（2）根据最小汉明距离确定其检错和纠错能力。

解：（1）通过两两比较每个码字，可知该码字集的最小汉明距离为4；（2）因为检错能力与最小码距的关系为：1min +=e d ，所以检错能力为3141min =-=-=d e又因为纠错能力与最小码距的关系为：12min +=t d ，所以纠错能力为5.121421min =-=-=d t取整后可得，纠错能力为1=t 。

8－2 已知二进制对称信道的差错率为210-=P 。

（1）（5，1）重复码通过此信道传输，不可纠正错误的出现概率是多少？（2）（4，3）偶校验码通过此信道传输，不可检出错误的出现概率是多少？解：（1）当（5，1）重复码发生3个或3个以上的错误时不可纠正，此时不可纠正的错误出现的概率为()()()60555144523351085.9111-⨯≈-+-+-=P P C P P C P P C P e （2）当（4，3）偶校验码发生偶数个错误时这些错误不可检出，这些错误出现的概率为()()4044422241088.511-⨯≈-+-=P P C P P C P e8－3 等重码是一种所有码字具有相同汉明重量的码，请分析等重码是否线性码？解：因为该码字集中所有的码字均有相同的码重，因此全零码字不包括在内，而线性码在输入信息位均为零时，输出也全为零，因此一定包含全零码。

因此等重码不是线性码。

8－4 对于一个码长为15，可纠正2个随机错误的线性分组码，需要多少个不同的校正子？至少需要多少位监督码元？解：对于一个码长为15的线性码，1个及2个随机错误的图样数为120215115=+C C所以至少需要121个校正子因为12712120631272151156=-<=+<=-C C所以至少需要7位监督码元。

通信原理（陈启兴版）第9章课后习题答案

G =[I r ,P ]= [I r ,Q T ]或H =[Q ,I r ]= [P T ,I r ] 一般的生成矩阵G 和监督矩阵H 通过初等行变换可以转化为标准的G 阵和H 阵。 (2) 线性分组码的译码线性分组码可以通过计算伴随式（或监督子）S =RH T 进行译码。如果S=0，则接收码字无错码，否则有错。因为H ? A T = 0T 和R =A ⊕E ，所以 S T =HR T =H(A ⊕E)T =HE T (9-5) 将H=(h 1,h 2,…,h n )代人式(9-5)，可以得到 S T =h(9-6) 式(9-6)中，h i 表示监督矩阵H 的第i 列，i =1,2,…,n 。由式(9-6)，可以得到如下结论：
a.监督子仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关； b.若S =0，则判断没有错码出现，它表明接收的码字是一个许用码字，当然如果错码超过了纠错能力，也无法检测出错码。若S≠0,判断有错码出现; c.在纠错能力范围内，不同的错误图样具有不同的监督子，监督子是H 阵中“与错误码元相对应”的各列之和。对于纠一位错码的监督矩阵，监督子就是H 阵中与错误码元位置对应的各列。 (3) 汉明码汉明码是能够纠正单个错误而且编码效率高的线性分组码。关于线性分组码的分析方法全部适用于汉明码。一般说来，如果希望用r 个监督码元构造的(n ,k )线性分组码能够纠正一位错码，则要求 21r n -≥ (9-7) 汉明码满足条件 21r n -= (9-8) 汉明码的监督矩阵H 的列是由所有非零的互不相同的(n-k )重二元序列组成。如果码字中哪一位发生错误，其伴随式就是H 中该列的列矢量。 5. 循环码在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码(cyclic code)。它是在严密的代数学理论基础上建立起来的。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检纠错的能力较强。循环码除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性。循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。 (1) 码多项式在代数编码理论中，为了便于计算，通常用多项式去描述循环码，它把码组中各码元当作是一个多项式(poly-nomial)的系数，即把一个长度为n 的码组表示成 121210()n n n n T x a x a x a x a ----=++++ (9-9) 在循环码中，若T (x )是一个长为n 的许用码组，则x i ﹒T (x )在按模x n +1运算下，也是该编码中的一个许用码组，即若）（模)1()()(+'≡?n i x x T x T x (9-10) 则T '(x )也是该编码中的一个许用码组。 (2) 生成多项式在一个(n , k )循环码中，有一个且仅有一个次数为(n-k )的多项式： 111()11n k n k n k g x x a x a x -----=?+++ (9-11) 称此g (x )为该循环码的生成多项式。g (x )表示该循环码的前(k -1)位皆为“0”的码组。g (x )有如下性质： a. g (x )是一个常数项为1，最高次数为(n -k )次，且是x n +1的一个因式。 b. 所有码多项式T (x )都可被g (x )整除，而且任意一个次数不大于(k -1)的多项式乘g (x )都是码多项式。 (3) 生成矩阵G 在循环码中，一个(n , k )码有2k 个不同的码组。若用g (x )表示其中前(k -1)位皆为“0”的码组，则g (x )，xg (x )，x 2g (x )，?，x k-1g (x )都是码组，而且这k 个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G 。一旦确定了g (x )，则整个(n , k )循环码就被确定了。因此，循环码的生成矩阵G 可以写成 12()()()()()k k x g x x g x x xg x g x --?????? ? ?=???????? G (9-12) 由于上面的生成矩阵不是标准阵，这样编码得到的码字一般不是系统码。 (4) 系统循环码的编码思路 a. 用信息码元的多项式m (x )表示信息码元。 b. 用x n - k 乘m (x ),得到 x n - k m (x )。 c. 用g (x )除x n - k m (x )，得到商Q (x )和余式r (x )，即 ()()()()() n k x m x r x Q x g x g x -=+ (9-13) d. 编出的码组()T x 为 ()()()n k T x x m x r x -=+ (9-14) (5) 循环码的译码接收端可以将接收码组R (x )用原生成多项式g (x )去除。当传输中未发生错误时，接收码组与发送码组相同，即R (x ) = T (x )，故接收码组R (x )必定能被g (x )整除；若码组在传输中发生错误，则R (x ) ≠ T (x )，R (x )被g (x )除时可能除不尽而有余项，从而发现错误。纠正错码相对复杂。因此，原则上纠错可按下述步骤进行： a. 用生成多项式g (x )除接收码组R (x )，得出余式r (x )。 b. 按余式r (x )，用查表的方法或通过某种计算得到错误图样E (x )；例如，通过计算校正子S 和表中的关系，就可以确定错码的位置。 c. 从R(x )中减去E (x )，便得到已经纠正错码的原发送码组T (x )。 6. 卷积码卷积码是指把信源输出的信息序列，以k 个信息码元划分为一组，通过编码器输出长为n (≥k )的码段。与线性分组码不同的是：卷积码的子码中(n -k )个监督码不仅与本组的信息码元有关，而且也与其前 m 组的信息码元有关。一般用(n ,k ,m )表示，其中m 为编码存储器，它表示输入信息在编码器中需存储的单位时间。编码效率R =k /n 。类似于线性分组码，卷积码的输入序列A =[…a k-2 a k-1 a k a k+1…]，输出序列0:10:20:31:11:21:32:12:22:3[,,,,,,,,,]C c c c c c c c c c =，监督矩阵H ∞和生成矩阵G ∞具有下列关系 ,0,0T T T C MG H C G H ∞∞∞∞==?= (9-15) 卷积码可以采用解析表示法，即采用码的生成矩阵、监督矩阵和码的多项式来计算分析。此外，由于卷积码的特点，还可以采用图形表示法来研究，即从树状图、网格图和状态图的观点进行研究。卷积码的译码方法主要有三种：序列译码、大数逻辑解码(门限译码)和概率解码(最大似然译码)。 9.1.2 难点本章的难点主要有汉明码的特点及检验接收码组B 是否出错的方法。

第十二章差错控制编码习题解答

信息“101”的系统码为“110011”
方法2：信息与典型生成矩阵G计算得到系统码（不建议考试时使用，但是在实际中被使用）
1 0 0 1 0 1 [110] 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 00 11
方法3：典型生成矩阵G的某些行进行模2加运算（适合信息位中“1”的个数不多的场合） “110”
(3)写出信息码“110”所对应的系统码方法1：由监督方程
a4 a3 a2 a0 0 a4 a3 a1 0 a5 a3 a0 0 可得 a0 a5 a3 =1 0=1 a1 a4 a3 =1 0=1 a2 a4 a3 a0 =1 0 1=0
由 g ( x) x x x 1 可以直接画出编码器
门2 D0
4
2
⊕
D1
⊕
D2
D3
⊕
输出
门1
⊕
码组
输入信息码元
将非典型监督矩阵转换为典型监督矩阵
非典型
H
0 0 1
1 1 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
① ② ③
利用线性代数的初等变换， ① ⊕ ③
典型
①
1 0 0
H
1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
Prk I r
典型
H
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0 1 0 1 ① ② 典型生成矩阵G 0 1 0 1 1 0 ③ 0 0 1 0 1 0
①
⊕
③
1 1 00 11

信息论与纠错编码编码习题答案

第1章信息论基础1.7 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡36136236336436536636536436336236112111098765432)(X q X 1.8 p (s 0 ) = 0.8p (s 0 ) + 0.5p (s 2 )p (s 1 ) = 0.2p (s 0 ) + 0.5p (s 2 ) p (s 2 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.3p (s 3 ) p (s 3 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.7p (s 3 ) p (s 0 ) + p (s 1 ) + p (s 2 ) + p (s 3 ) = 1 p (s 0 ) =3715， p (s 1 ) = p (s 2 ) = 376，p (s 3 ) = 37101.9 P e = q (0)p + q (1)p = 0.06(1-0.06)﹡1000﹡10 = 9400 < 9500 不能1.10 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222222)1(0)1()1(00)1(0)1()1(000000)1()1(0)1(00000)1()1(0)1(p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P 第2章信息的度量2.4 logk2.5 I (X ; Y Z )= I (X ; Y )+ I (X ; Z ∣Y ) 2.7 010434()()()111111p s p s p s === H = 0.25(Bit/符号)2.8 H = 0.82(Bit/符号) 2.10 （1）1()log225.6()52!i I x Bit =-= （2）1352!()log ()log 413!39!i i I x q x =-=（3）)/(4.713log 234log 52log 521log )(符号－Bit U H ==⨯===（4）)/(7.313log 131log )(符号Bit X H ==- 2.11（1）H (X ) = log6 = 2.58 (Bit/符号) （2）H (X ) =2.36 (Bit/符号)（3）I (A+B=7) = - log1/6 = log6 = 2.585 (Bit) 2.12 （1）I (x i ) = -log1/100 = log100（2）H(X)=log100.2.13 039.0log )(-=Y X I2.14 R t =1000/4 (码字/秒) × H (U ) =250×9＝2250（Bit/秒） 2.15 ―log p = log 55/44。

信息论与纠错编码答案2-5

第二章作业参考答案1. 补充作业解：设{0,1,2}X =，1p p =-（1）转移概率矩阵/2/2/2/2/2/2p p p P p p p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）平稳分布001211022201012()2()2()21p p pp p p p p pp p p p p pp p p p p p ⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪++=⎩解得01213p p p ===（3）信源熵321()()i i i H X p H X s ==∑0(,,)322(,,)22(log log)2p p p H p p pH p p p p p =⨯==-+（4）当做无记忆信源时，信源熵为()log 3H X =bit/符号（5） 2()(,,)22p p H X H p =当12p p p =-=，2/3p =，即信源符号等概率分布时，2()H X 达到极大值2m a x ()l o g 3H X =bit/符号；0p =时，2()(1,0,0)0H X H ==； 1p =时，211()(0,,)log 2122H X H ===bit/符号 2.8 解：将其看作一阶马尔科夫信源转移概率矩阵为223310P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，由P 可画出香农线图。

x 1:2/3x 2:1/31由香农线图列方程组求解平稳分布112211221()()()331()()3()()1p x p x p x p x p x p x p x ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得12()3/4()1/4p x p x =⎧⎨=⎩ 信源熵23211()(,)(1,0)0.6894334H X H H =+=bit/符号 2.11 解：（1）点数集合记为{1,2,3,4,5,6}X =，出现各点数的概率分别记为,1,...,6i p i =信源概率空间为123456111111666666X P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦掷骰子的熵记为信源熵()log 6 2.585H X ==bit/符号（2）由题意可得61111121i p i p ==⇒=∑,1,...,621i i p i ⇒==此时的信源熵为61()log 2.399i i i H X p p ==-=∑bit/符号（3）总点数为7这个事件集合为1212{(,)7}{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}x x x x +==，其中每个组合出现的概率均为1/36，故点数和为7这个事件发生的概率为6/36=1/6，从而这个事件的自信息量为1log log log 6 2.5856i I p =-=-==bit2.16 解:由题意可写出该系统的转移概率矩阵为10000000.500.2500.2500100000.2500.500.2500001000.250.250.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题目的已知条件，每个符号等概率发出，可求得接收每个符号的概率[]01234510000000.500.2500.25001000111111[]00.2500.500.2566666600001000.250.250.5111111[]666666qq q q q q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=11()log 6log 6 2.58566H Y ⎛⎫=-⨯== ⎪⎝⎭bit/符号51111()()()(,,)3(1)30.756244i i i H Y X p x H Y x H H =⎡⎤==⨯+⨯=∑⎢⎥⎣⎦bit/符号 (;)()() 2.5850.75 1.835I X Y H Y H Y X =-=-=bit/符号2.17 解：用“1”表示收到1，“10”表示收到10，“100”表示收到100()q ⋅表示接收符号的概率（1）由4(14)(1;)log(1)p u I u q =，先求(1)q711(1)()(1)[4(1)4]82i i i q p u p u p p ===-+=∑代入上式可得4(14)(1)(1;)logloglog 2(1)(1)1/2p u p I u p q -===-或可由4444(1)(1;)(;1)log()p u I u I u p u ==，先求(1)q ，再求4(14)(4)1(1)(1)4p u p u p p u q -==，代入到定义式中求解（2）由4(104)(10;)log(10)p u I u q =，先求(10)q72211(10)()(10)[4(1)22(1)]84i i i q p u p u p p p p ===-++-=∑代入上式可得24(104)(1)(10;)loglog2log 2(1)(10)1/4p u p I u p q -===-（24(104)(4)(1)(10)(10)2p u p u p p u q -==）（3）由4(1004)(100;)log(100)p u I u q =，先求(100)q771(100)()(100)()(1)(0)(0)8i i i i i i i i q p u p u p u p u p u p u =====∑∑代入上式可得34(1004)(1)(100;)loglog3log 2(1)(10)1/8p u p I u p q -===-（34(1004)(4)(100)(1)(100)p u p u p u p q ==-）2.24 解：（法一）由(;)()()I X Y H Y H Y X =- 设信宿符号接收概率分别为0q 和1q01010.760.240.760.2411[][][][0.540.46]0.320.680.320.6822q q p p ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(0.54,0.46)0.9954H Y H ==bit/符号[]11()()(0.76,0.24)(0.32,0.68)0.84972i i H Y X p H Y i H H ===+=∑bit/符号从而(;)()()I X Y H Y H Y X =-=0.9954-0.8497=0.146bit/符号（法二）直接由平均互信息量的定义式,()(;)()log()X Yp y x I X Y p xy q y =∑由信源分布及信道转移概率矩阵可得XY 的联合分布0.380.120.160.34XY P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，将其代入到定义式中可得 0.760.240.320.68(;)0.38log 0.12log 0.16log 0.34log0.540.460.540.46I X Y =+++=0.146bit/符号2.25 解：由联合概率分布可求得X 和Y 的一维概率分布[]0.10.30.50.1X P =，[]0.30.40.3Y P =及转移概率矩阵100210333205501YXP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()(0.1,0.3,0.5,0.1) 1.685H X H ==bit/符号()(0.3,0.4,0.3) 1.571H Y H ==bit/符号2132()()()0.1(1,0,0)0.3(,,0)0.5(,,0)0.1(0,0,1)3355XH Y X p x H Y x H H H H ==+++∑21320.3(,)0.5(,)0.7613355H H =+=bit/符号 ()()() 1.6850.761 2.446H XY H X H Y X =+=+=bit/2符号(;)()()()() 1.5710.7610.81I X Y H X H X Y H Y H Y X =-=-=-=第三章作业参考答案：3.2 答：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。

(完整版)数字通信原理第五章纠错编码习题解答

第五章纠错编码习题解答1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。

若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？[解]该码的最小码距为d 0=4，所以有：若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码；若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码；若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。

2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为：001011100101010110G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。

[解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。

②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵[]100101010110001011k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于101110110011011101T Q P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，　＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝ ③监督方程为542431530000a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩④所有码字见下表⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表⑥线性码的最小码距为码字的最小重量（全零码除外），所以该码的最小码距为3。

3、已知一种(7,3)循环码的全部码组为：0000000 0101110 1001011 1100101 0010111 0111001 1011100 1110010试求该码的生成多项式g (x )、典型生成矩阵G 和典型监督矩阵H ；[解]由循环码的原理知，生成多项式g (x )对应的码字为前k -1位码元均为“0”的码字，即“0010111”，所以有g (x )=x 4+x 2+x +1则生成矩阵为2643253242()1011100()0101110()10010111x g x x x x x G xg x x x x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 典型化可得典型生成矩阵[]100101101011100010111k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于110101101111101110111101TQ P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，　＝＝，可得典型监督矩阵为 []1101000011010011100101010001r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝4、已知一个(3,1,4)卷积码编码器的输出和输入关系为：11212343134c b c b b b b c b b b ==⊕⊕⊕=⊕⊕试画出该编码器的电路方框图和码树图。

信息论编码与纠错课后作业答案.

3p p p p p p p p p p p -⎧===⎪⎪⎨
⎪======
⎪⎩
1.5解:
(1求平稳后各状态出现的概率转移概率矩阵为
01434121414100P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
由P列方程组
123
21231212312114431
441
p p p p p p p p p pp p ⎧=+⎪⎪
2{00,01,10,11}
X=,2{00,0,01,0,,1,10,1,11}
Y e e ee e e
=
22
22
22
22
(10(1(10000
0(10(1(1000
000(1(10(10
0000(1(10(1
p p p p p p
p p p p p p
P
p p p p p p
p p p p p p
---
⎡⎤
⎢⎥
---
⎢⎥
=
⎢⎥
---
⎢⎥
---
⎣⎦
(;((10.3270.673
I X Y H Y H Y X
=-=-=bit/符号
10秒钟可以传送0.6731000106730
⨯⨯=bit,故无法在10秒内无失真地传送。1.7解:
二元删除信道的信道矩阵为
10
01
p p
P
p p
-
⎡⎤
=⎢⎥
-
⎣⎦
,设输入符号集合为X={0,1},输出符号集合为Y={0,e,1}。
可写出转移概率矩阵
120
00001200000
12120
00
001200000
12121212p p p p p

编码原理习题(含答案或提示)

纠错编码课程习题及解答提示1. 奇校验码码字是011(,,,,)k m m m p −=c "，其中奇校验位p 满足方程，2 mod 1110=++++−p m m m k "证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。

证明提示：奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。

全0向量不是奇校验码码字。

2. 一个)2,6(线性分组码的一致校验矩阵为123410001000110010101110h h h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H（1）求4,3,2,1,=ih i 使该码的最小码距3min ≥d 。

（2）求该码的系统码生成矩阵s G 及其所有4个码字。

解题提示：（1）对H 作行初等变换得1213142310001100101010001000h h h H h h h h h ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥′=⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦要使最小码距等于3，有11213423, , , h h h h h h h h ++++中任意两项为1，其余为零。

当要使最小码距大于3，有11213423,, , h h h h h h h h ++++中三项或四项均为1，其余为零。

有上述关系可以求得一组或多组关于4,3,2,1,=i h i 的解。

（2）对H ′作行初等变换得()4233121101000101001001010001T k r r h h h h h H Q I h h h ×++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎡⎤′′==⎣⎦⎢⎥+⎢⎥⎣⎦3. 一个纠错码的全部消息与码字的对应关系如下：(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001)（1）证明该码是线性分组码；（2）求该码的码长，编码效率和最小码距；（3）求该码的生成矩阵和一致校验矩阵；（4）构造该码在BSC 上的标准阵列；（5）若在转移概率310−=p 的BSC 上消息等概发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。

信息论与纠错编码答案1-2章

1.7一对均匀骰子面朝上点数可能从2到12，共有6×6＝36种情况，每种情况出现相互独立，因此设x 为点数之和，易有：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡36136236336436536636536436336236112111098765432)(x p x 1.8 p (s 0 ) = 0.8p (s 0 ) + 0.5p (s 2 )p (s 1 ) = 0.2p (s 0 ) + 0.5p (s 2 ) p (s 2 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.3p (s 3 ) p (s 3 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.7p (s 3 ) p (s 0 ) + p (s 1 ) + p (s 2 ) + p (s 3 ) = 1 p (s 0 ) = 3715， p (s 1 ) = p (s 2 ) = 376，p (s 3 ) = 3710 1.10⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------)1()1(0)1(00)1()1(0)1(000)1()1(0000)1(00)1()1(0000)1(1110010010111100100022222222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p e ee e e e补充题：（1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1)3()2()1()2(41)1(43)3()2(41)1(41)2()3()2(21)1(s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p 求得 P(s1)=6/13 P(s2)=2/13 P(s3)=5/13 (2)p(s3/s1)*p(s1/s3) + p(s2/s1)p(s1/s2) = 3/4*1 + 1/4*1/2 = 7/8(3)P(s3) *p(s1/s3)* p(s2/s1)* p(s1/s2) * p(s2/s1) = 5/13*1*1/4*1/2*1/4 = 5/416 2.731(0)(0)(2)4412(1)(0)(1)4313(2)(1)(2)34(0)(1)(2)1p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s ⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪++=⎩ 解得 P(S0)=P(S2)=4/11 P(S1)=3/11 状态转移概率矩阵为310442103313044⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信源熵为22413312413()()(/)log (/)[,][,][,]114411331144i j i j i i j H X p s p s s p s s H H H ===-=++∑∑ ＝0.84 （bit/符号）2.8香农线图如下：2(1)(1)(2)3131(2)(1)(1)(2)344(1)(2)1p s p s p s p s p s p s p s p s p s ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得＝＝状态转移概率矩阵为 213310⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦信源熵为2211312()()(/)log (/)[,]433i j i j i i j H X p s p s s p s s H ===-=∑∑＝0.689（bit/符号）2.11 （1）()1loglog 6 2.585/6bit -==符号（2）p(1)=k ，p(2)=2k ............ p(n)=nk ，n=1,2 (6)61()26211n p n k k k k ==+++==∑…… 解得k=1/21熵为 123456()[] 2.4685(/)212121212121H X H bit ==，，，，，符号（3）一对骰子总点数为7的概率为6/36 = 1/6，因此信息量为()1loglog 6 2.5856bit -== 2.13{}{}{12}{12}(;)X x x Y y I X Y ====，健康，患病，y 阳性，阴性需要求的是491(1)(2)5050494911100100(/)()221100505149(1)(2)100100p x p x p y x p xy p y p y ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦==2,1(/)(;)()log()0.50.510.49log0.49log 0.02log 0.0197()0.510.490.51j i i j i j j p y x I X Y p x y p y bit ===++=∑2.16()1/61,2610000000.500.2500.25001000(/)00.2500.500.2500001000.2500.2500.51()(/)()1/61,266i i p x i p y x p xy p y x p y i ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦===……概率转移矩阵为易得且……5,0(/)(;)()log()10.50.2533log 63log36log 1.835()6662j i iji j j p y x I X Y p x y p y bit ===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑2.29（1） 0.380.12()(0)0.54(1)0.460.160.34p xy p y p y ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1,0(/)(;)()log()0.760.240.320.680.38log0.12log 0.16log 0.34log 0.1457()0.540.460.540.46j i i j i j j p y x I X Y p x y p y bit ===+++=∑（2）101962723(/)8172723(/0)(;0)(/0)log()1938816log log 0.1233()27272727i i i i p x y p x I X p x p x bit =⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==+=∑2.300123012()0.10.30.50.1()0.30.40.3100210(/)3300.60.4001()(0.1,0.3,0.5,0.1) 1.6855(/)()(0.3,0.4,0.3) 1.5710(/)x x x x x y y y y p x p y p y x H X H bit H Y H bit ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦====符号符号32003200(/)()log (/)21320.2log 0.1log 0.3log 0.2log 0.7610(/)3355()()log ()0.4log 0.20.3log 0.10.3log 0.3 2.4464(/)(/)(;)()log()i j j i i j i j i j i j j i i j j j H Y X p x y p y x bit H XY p x y p x y bit p y x I X Y p x y p y ======-=----==-=---==∑∑∑∑符号符号320010205340.2log0.2log 0.1log 0.3log 0.2log 0.81()39623i bit ==++++=∑∑由计算结果容易验证下列等式成立：)()()(;)()(/)(;)()(/)()H X H Y H XY I X Y H Y H Y X I X Y H X H Y X H XY +-=-=+=（。

信息论与纠错编码题库

第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。

8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。

答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。

n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。

8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。

设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。

即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中 M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。

这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。

故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。

校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。

8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。

8.5 什么是对偶码？试举例说明之。

第12章纠错码答案

习题1.构造出所有长度为2的二进制编码，找出能检查出单错的编码。

是否存在纠正单错的编码，为什么？对长度为3的二进制编码，找出能纠正单错的编码。

解：长度为2的二进制编码有{00，10，01，11}；{00，10，01}；{00，01，11}；{00，10，11}；{10，01，11}；{00，10}；{00，01}；{00，11}；{10，01}；{10，11}；{01，11}；{00}；{10}；{01}；{11} 能检查出单错的编码是{00，11}；{10，01}，因为根据定理12.3 ：一个码C能查出不超过k个错误当且仅当d min(C)≥k＋1。

只有这两个编码的极小距为2，可查出单个错误，其它编码的极小距都小于2 根据定理12.4 一个码C能纠正k个错误当且仅当d min(C)≥2k＋1。

对长度为2的二进制编码，不存在纠正单错的编码。

同理，在所有长度为3的二进制编码中，能纠正单错的编码的极小距应大于等于3，这样的编码有{000，111}；{001，110}；{010，101}；{100，011}2.一个字长8位的码字在传输过程中要求两位出错的概率不超过10-3，求字母正确传输的概率。

解：设p表示一个字母在信道中正确传送的概率，那么，由于噪声干扰，产生错误传输的概率是q＝1-p。

一个n位的码字出现r个错误的概率是C n r p n-r q r，其中C n r是从n位中任取r位的不同组合数。

由题义知，应使C82p8-2（1－p）2≤10-3解得p即可。

3.给定码C＝{100111，111001，110010，101100}，求出码C中任两个码字的海明距离和码C的极小距d min(C)。

解：码100111，111001的海明距离是4，码100111，110010的海明距离是3，码100111，101100的海明距离是3，码111001，110010的海明距离是3，码111001，101100的海明距离是3，码110010，101100的海明距离是4；码C的极小距d min(C)为34.证明字长不超过2k的码不能纠k个错误，字长不超过k的码不能查k个错。

第9章差错控制编码习题解答

0 1
1 1
0 1
1 0
0 0
0 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥
⎢⎣1 0 1 0 1 1 1 0 1⎥⎦
⎡1 0 1 0 1 1 1 0 1⎤
⎯将初⎯第等⎯变4行换⎯移至⎯第1⎯行→⎢⎢⎢11
0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
1 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎥⎦
⎡1 1 1 0 0 1 0 0 0⎤
接收码字为T (x) = x14 + x5 + x +1
x8 + x7 + x6 + x4 +1 x14 + x5 + x +1
x6 + x5 + x3
x14 + x13 + x12 + x10 + x6
x13 + x12 + x10 + x6 + x5 + x +1
x13 + x12 + x11 + x9 + x5
和 R1 的输出端口串入一个非门。
7级缓存器(延时器)
异或器
译码
T (x) T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
输出
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
除法运算器
R1
余数最低位
R2
余数
R3
K
余数最高位
S 校正信号输出
R1
R2
R3
Q1n
Q2 n
反馈移位寄存器及输出和S校正信号产生器

信息论编码与纠错课后作业答案

信息论第一章作业参考答案1.3 同时掷一对均匀的骰子，要得知面朝上点数之和，描述这一信源的数学模型。

解：设该信源符号集合为X23456789101112123456543213636363636363636363636X P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.4 解：根据符号转移概率状态空间为S={00（S 0），01（S 1），02 （S 2），10（S 3），11（S 4），12（S 5），20（S 6），21（S 7），22（S 8）}可写出转移概率矩阵12000001200000121200000120000012121212p p p p pp ppp p p p P p p p ppp p ppp ppppp -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦状态转移图（略）由状态转移图列方程组，设各状态的转移概率分别为,0~8i p i =00361036231475414762587825881(12)()()()(12)()()(12)()1i i p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p =⎧=-++⎪⎪=++=⎪=++=⎪⎪=-++⎨⎪=++=⎪⎪=-++⎪⎪=∑⎩ 解得0481235671233p p p p p p p p p p p -⎧===⎪⎪⎨⎪======⎪⎩1.5 解：（1）求平稳后各状态出现的概率转移概率矩阵为01434121414100P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由P 列方程组12321231212312114431441p p p p p p p p p p p p ⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪++=⎩ 解得平稳分布为111613213513p p p ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ （2）若在初始时刻0l =时处于状态S 1，求2l =时刻，21x a =的概率S3S 1S 1l l =1l =221011137{}14248p x a S s ⇒===⨯+⨯=或由二步转移概率矩阵(2)111616 337 81616713 844P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得（4）求稳态下字母序列31212a a a a a出现的概率511151416p=⨯⨯⨯⨯=平稳分布P3转移概率1.6 解：信源符号等概率分布，故信源熵为1()12H=bit，9500个符号的信息量为9500bit。