广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 解析几何(教师版)

高二理科数学 汕头统考复习――解析几何
基础过关题
一、直线和圆
1、直线方程的五种形式及相互转化：
(1)、点斜式：设直线l 过定点)(00y x P ，，斜率为k ，则直线l 的方程为__________________； (2)、斜截式：设直线l 斜率为k ，在y 轴截距为b ，则直线l 的方程为___________________； (3)、两点式：(4)、截距式：(5)、一般式：直线l 的一般式方程为_______________________； 2、两直线平行Û两直线的倾斜角相等Û两直线的斜率相等或两直线的斜率均不存在； 两直线垂直Û两直线的斜率互为负倒数或一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0； 3、两点)( )(2211y x y x ，， ，间的距离：___________________；
点)(00y x P ，到直线l ：0=++C By Ax 的距离：_______________________；
4、圆的定义：平面上到定点距离等于定长的动点的轨迹；
圆的标准方程：___________________，圆的一般方程：_____________________________________； 练习题
1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ A ）
A ．072=+-y x
B ．012=-+y x
C ．250x y --=
D ．052=-+y x 2、如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C 。

（1）直线CD 的方程为 240x y --= ；
（2）AB 边上的高CE 所在直线的方程为 220x y +-= 3 、已知点(a,2)（a>0）到直线l ：x-y+3=0的距离为1，则a 等于 (C ) (A).2 (B). 22- (C).12- (D). 1+2
4、 经过圆()()421:2
2
=-+y x C ＋的圆心且斜率为1的直线方程为（ A ）
A 、03=+-y x
B 、03=--y x
C 、01=-+y x
D 、03=++y x 5、过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线032=--y x 上的圆的方程为 （x ＋1)2＋(y ＋2)2=10二、圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+；⑵双曲线：
|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：略
2、标准方程。

3、几何性质（离心率）
4、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x Þ渐近线方程：22220x y a b -=Ûx a
b
y ±=
.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=Û0=±b y a x Þ双曲线可设为l =-22
22b
y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为l =-22
22b
y a x （0>l ，焦点在x 轴上；0<l ，
焦点在y 轴上）.
5、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =或AB =（弦端点
A ),(),,(2211y x
B y x ， 练习题
1. 已知椭圆116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ D ）
A 、2
B 、3
C 、5
D 、 7
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 . 2
3 3.(2008·天津文)设椭圆
2
2m x +
2
2n y =1(m ＞0,n ＞0)的右焦点与抛物线y 2
=8x 的焦点相同，离心率为2
1，则此
椭圆的方程为 .
12
162
2y x +=1 4、已知双曲线1422=-y x ，则其渐近线方程为_________，离心率为_______；x y 21±= 25
5、已知双曲线
142
2=-m
y x 的离心率为2，则实数=m ____12_____； 6.（2008·上海春招）已知P 是双曲线92
22
y a
x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= . 5
7、与双曲线
1692
2y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；则双曲线的标准方程.
4
942
2y x -=1.
8、（08-09汕头高二统考）抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离是（ D ） （A ）4 （B ）2 （C ）
41 （D ）8
1
9.抛物线y 2
=24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 . y 2
=8x
典型例题
例1（09-10汕头高二统考）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3
(1,)2
P ，且椭圆上的任一点到两个焦点的距离之和为4。

（1）求椭圆C 的方程;
（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由。

．解：（1）依题意知：椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的半长轴2a =，……………… 2分
又椭圆经过点P 31 2æ
öç÷è
ø
，， ∴
219
144b
+=, 解得：23b = , ………………5分 ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ………………6分
（2）∵2
4a =，2
3b =，∴1c =
=．
∴椭圆C 的左焦点坐标为()1 0-，
. ………………8分 以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为2
2
4x y +＝，圆心坐标是()0 0，，半径为2.
以PF 为直径的圆的方程为2
2
325416x y æö+-=ç÷èø，圆心坐标是30 4æöç÷èø
，，半径为54.
………………12分
∵两圆心之3
5= 24
4-，
故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. ………………14分
练习题1、设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐进线方程是y=2±
x ，且过点(3,2)，
求：
（1） 双曲线的标准方程
（2） 过点P(2,1)能否作一条直线 l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是
线段AB 的中点？请说明原因。

解：(1) 由题意可设双曲线的标准方程为)0(222¹=-l l x y 则=l 4-2X3=-2
故双曲线的标准方程为12
2
2
=-y x (2)存在
假设存在这样的直线，设其斜率为k （斜率不存在时不满足） 则直线l 的方程为y －1＝k （x －2），即y ＝kx ＋1－2k ． 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），P （x ，y ）． 把y ＝kx ＋1－2k 代入双曲线的方程
x 2－
2
2
y ＝1，得
（2－k 2）x 2－2k （1－2k ）x －（1－2k ）2－2＝0（2－k 2≠0）． ① 所以，x ＝
122x x +＝(12)
2k k k --．
由题意，得
2
(12)
2k k k --＝2． 解得 k ＝4．
当k ＝4时，方程①成为 14x 2－56x ＋51＝0．
根的判别式 △＝562－56×51＝280＞0，方程①有实数解． 所以，直线l 存在，方程为y ＝4x －7．
练习题2、已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ^.
（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上……3分
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是2
8x y =………………6分 （2）,AB x Q 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y ………………8分
22,1.8y kx y x =+ìïí=ïî
由可得28160x kx --=， 128x x k +=，1621-=x x ………11分
抛物线方程为.4
1
,812x y x y =¢=
求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 1114k x =，221
4
k x = 。

………12分
121212111
14416
k k x x x x ×=×=×=- ………13分
所以，AQ BQ ^。