近世代数教案 (2)
近世代数(2)
辅导课程二
主讲教师： 主讲教师：张广祥
2.运算律 2.运算律
•
上的代数运算（ 结合律 A上的代数运算（通常表为乘法） 上的代数运算 通常表为乘法） 若对每a,b,c ∈ A有a(bc)=(ab)c,称A满足结合律 满足结合律. 若对每 有 称 满足结合律 若代数系统A满足结合律 满足结合律,则对任意的 定理 若代数系统 满足结合律 则对任意的 n≥3,A的任意 个元不论如何结合 它们的乘积 的任意n个元不论如何结合 ≥ 的任意 个元不论如何结合,它们的乘积 不变,因此可简单记为 因此可简单记为a ‥‥‥a 不变 因此可简单记为 1a2‥‥‥ n. • 交换律 若 A上代数运算，对每 ∈A,ab=ba, 上代数运算， 上代数运算 对每a,b 则称A满足交换律 满足交换律. 则称 满足交换律 • 分配律 若A上有两个代数运算 加法与乘法 上有两个代数运算,加法与乘法 上有两个代数运算 加法与乘法, 且对a,b,c ∈ A有a(b+c)=ab+ac,则称 满足配律 则称A满足配律 且对 有 则称 满足配律. 同样有右分配律(a+b)c=ac+bc. 同样有右分配律
5.等价关系与等价类 5.等价关系与等价类
•
定义1. 集合A上二元关系 称为等价关系,若对每 上二元关系∼ 定义 集合 上二元关系∼称为等价关系 若对每 a,b,c∈A,有 ∈ 有 (1) a ∼ a(反身性) (2) a ∼ b⇒ b ∼a(对称性) ⇒ (3) a ∼ b, a ∼ c ⇒ a ∼c(传递性)
• 定义 设∼是集合 上的等价关系 a∈A, 将A的 定义2. 是集合A上的等价关系 ∈ 上的等价关系, 的 所在的等价类 记为 称为 所在的等价类, 记为[a].
近世代数 教案
近世代数教案教案标题：近世代数教学目标：1. 了解近世代数的概念和发展历程。
2. 掌握近世代数的基本概念和运算规则。
3. 能够应用近世代数解决实际问题。
教学内容：1. 近世代数的概念介绍a. 代数的发展历程b. 近世代数的定义和特点2. 近世代数的基本概念a. 群的定义和性质b. 环的定义和性质c. 域的定义和性质3. 近世代数的运算规则a. 群的运算规则b. 环的运算规则c. 域的运算规则4. 近世代数的应用a. 代数方程的解法b. 密码学中的应用c. 数论中的应用第一课时：1. 引入近世代数的概念和发展历程，激发学生对代数的兴趣。
2. 介绍近世代数的定义和特点，帮助学生理解其重要性和应用领域。
第二课时：1. 讲解群的定义和性质，引导学生理解群的基本概念。
2. 通过例题和练习，巩固学生对群的运算规则的理解。
第三课时：1. 介绍环的定义和性质，与学生讨论环的实际应用。
2. 给学生提供环的运算规则的例题和练习，帮助他们掌握环的运算规则。
第四课时：1. 讲解域的定义和性质，与学生分享域在密码学和数论中的应用。
2. 引导学生应用域的运算规则解决实际问题。
第五课时：1. 综合运用近世代数的概念和运算规则，讲解代数方程的解法。
2. 给学生提供代数方程的例题和练习，帮助他们熟练运用近世代数解决方程问题。
教学评估：1. 课堂练习：在每节课结束时进行小组或个人练习，检查学生对概念和运算规则的理解程度。
2. 作业：布置与课堂内容相关的作业，检验学生对近世代数的掌握情况。
3. 期末考试：设计综合性的考试题目，考察学生对近世代数的理解和应用能力。
1. 教科书：提供近世代数的相关知识和例题。
2. 计算工具：使用计算器或电脑软件辅助计算和验证结果。
3. 网络资源：引导学生查找近世代数的实际应用案例和相关研究资料。
教学延伸：1. 鼓励学生参与数学竞赛和研究项目，拓宽对近世代数的应用领域的认识。
2. 鼓励学生自主学习和探索，深入了解近世代数的发展和前沿研究。
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。
它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。
《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。
设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。
学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。
2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。
教学的初始阶段，宜慢不宜快。
3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。
4、时刻把握学生的接受能力。
5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。
主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。
二、课程内容§1．1 集合§1．2 运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。
近世代数前三章课程设计
近世代数前三章课程设计一、课程简介本课程主要介绍了近世代数的基本概念、常见结构与性质，着重探索了群、环、域等代数结构的性质。
本课程为近代代数学的基础课程，是学习现代代数学的必备基础。
二、课程教学目标1.掌握群、环、域等数学结构的概念和性质，理解它们在数学中的基本作用；2.了解群、环、域之间的相互关系，了解这些结构的基本构造方法；3.掌握熟练使用基本结论和方法，能够利用这些工具解决基本的数学问题；4.培养学生在逻辑思维和抽象思维方面的能力，提高学生的数学素养。
三、课程安排本课程按章节进行设计，主要包括以下三章：1. 第一章：群1.1 群的定义和基本性质1.群的定义；2.群的基本性质，包括封闭性、结合律、单位元、逆元等；3.子群、左、右陪集、拉格朗日定理。
1.2 群的同构1.同构的定义和基本性质；2.例子，如对称群、置换群等；3.群的分类，及其应用。
2. 第二章：环2.1 环的定义和基本性质1.环的定义；2.环的基本性质，包括封闭性、结合律、分配律等；3.子环、整环、域、代数系统的概念。
2.2 环的同构1.环的同构的定义和基本性质；2.例子，如数域、整环等；3.环的分类，及其应用。
3. 第三章：域3.1 域的定义和基本性质1.域的定义；2.域的基本性质，包括封闭性、结合律、分配律、单位元、逆元等；3.子域、代数闭域、代数数域的定义。
3.2 域的扩张1.域的扩张的定义和基本性质；2.域的扩张构造法；3.代数扩张、超越扩张、代数数域、超越数的含义。
四、课程教学方法和考核方式本课程采用理论授课、例题分析、作业讲解等多种教学方法，重点培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
考核方式包括平时成绩和期末考试成绩，其中平时成绩占总成绩的40%和期末考试成绩占总成绩的60%。
平时成绩主要包括作业、课堂表现等。
期末考试形式为闭卷，考察学生对本课程内容的掌握程度。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：近世代数课程类别：数学专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：数学专业本科生二、课程教学目标1、使学生掌握近世代数的基本概念、理论和方法，包括群、环、域等代数结构。
2、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
3、引导学生运用近世代数的方法解决实际问题，培养学生的创新能力和应用能力。
三、课程教学内容与要求（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括群的运算满足的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。
掌握群的例子，如整数加法群、对称群等。
熟悉群的基本性质，如消去律、元素的阶等。
2、子群、陪集和拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
理解陪集的概念和性质。
掌握拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态和同构群同态和同构的定义及性质。
了解同态基本定理。
4、循环群和置换群循环群的结构和性质。
掌握置换群的表示和运算。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括环的运算满足的条件。
熟悉环的基本性质，如零因子、单位元等。
2、子环、理想和商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
掌握商环的构造和性质。
3、环的同态和同构环同态和同构的定义及性质。
4、整环、域和分式域整环和域的定义和性质。
了解分式域的构造。
（三）域论1、域的扩张理解域扩张的概念。
掌握域扩张的次数。
2、有限域有限域的结构和性质。
四、课程教学方法1、课堂讲授：通过讲解基本概念、定理和例题，使学生掌握近世代数的核心内容。
2、课堂讨论：组织学生对一些疑难问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
3、课后作业：布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
4、课外辅导：对学生在学习过程中遇到的问题进行个别辅导。
五、课程考核方式1、平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现等）：占总成绩的_____。
2、期中考试：占总成绩的_____。
3、期末考试：占总成绩的_____。
六、教材及参考资料1、教材：《近世代数》，＿____著，＿____出版社。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
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设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
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M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
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GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
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有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
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在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
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南阳师院《近世代数》教案
批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
大学近世代数映射数学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解映射的概念，掌握映射的基本性质；2. 能够运用映射解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学重点：1. 映射的概念；2. 映射的基本性质；3. 映射的应用。
教学难点：1. 映射概念的深入理解；2. 映射性质的应用。
教学准备：1. 教材；2. 多媒体课件；3. 实例题库。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习集合的概念，引出映射的定义；2. 提问：什么是映射？映射有哪些基本性质？二、新课讲解1. 映射的概念：给定两个非空集合A和B，如果对于A中的每一个元素a，在B中存在唯一确定的元素b与之对应，那么就称这个对应关系为从A到B的映射，记作f：A→B；2. 映射的基本性质：（1）单射：如果对于A中的任意两个元素a1和a2，当a1≠a2时，有f(a1)≠f(a2)，则称映射f是单射；（2）满射：如果对于B中的任意一个元素b，存在A中的至少一个元素a，使得f(a)=b，则称映射f是满射；（3）双射：如果映射f既是单射又是满射，则称映射f是双射；3. 映射的应用：举例说明映射在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题；2. 练习运用映射解决实际问题。
第二课时一、复习导入1. 回顾映射的概念和基本性质；2. 提问：如何判断一个映射是单射、满射或双射？二、新课讲解1. 映射的判断方法：（1）判断单射：通过比较映射前后的元素，如果映射前两个元素相等，映射后两个元素也相等，则该映射是单射；（2）判断满射：通过比较映射前后的元素，如果映射后每个元素都有对应的映射前元素，则该映射是满射；（3）判断双射：如果映射既是单射又是满射，则该映射是双射；2. 映射的性质应用：举例说明映射性质在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题；2. 练习运用映射性质解决实际问题。
四、总结与作业1. 总结本节课所学内容，强调映射的概念、基本性质和应用；2. 布置作业，要求学生完成教材中的习题，巩固所学知识。
《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《近世代数》是数学与信息科学学院数学与应用数学（教师教育）本科专业的专业选修课之一，修学时间为一学期。
本课程较全面地介绍了近代抽象代数学的基础知识、基本理论、基本方法及其应用，为进一步学习各专业课打下基础。
（二）课程教学目的和要求通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容，并在一定程度上能利用近世代数的思想、方法解决一些简单的数学问题。
掌握：群、正规子群、商群，环、理想、商环，域、扩域等基本概念，并能应用举例。
理解：等价关系与分类、群的同态与同构、环的同态与同构、整环里的因式分解定理、域扩张定理等。
了解：变换群、置换群结构、多项式环理论、代数扩域理论等。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以讲授和辅导课相结合的方式。
总课时为54，其中讲授课时为42，约占总课时的78%，习题课时为12，约占总课时22%。
主要内容采用课堂讲授，适当配合习题课和辅导课，定期疑问，适当采用多媒体教学。
（四）课程与其它课程的联系近世代数的内容涉及到高等代数和初等数论的部分知识，它在密码学、信息安全理论、有限域、代数数论等课程中有很重要作用。
（五）教材与参考书教材：裴定一编，《近世代数》，广东科技出版社，2005年教学参考书：张禾瑞编，《近世代数》，高等教育出版社，1980年二、课程的教学内容、重点和难点第一章整数与集合的一些性质（4学时）本章介绍整数的整除，欧氏除法、算术基本定理、同余、同等式、中国剩余定理、等价关系与集合的分类。
要求：①了解整数整除、同余、中国剩余定理；②掌握等价关系与集合的划分，并能运用。
重点：整数的性质、集合与映射、等价关系与集合的分类。
难点：等价关系与集合的分类。
第二章群论（22学时）本章介绍群、子群及其性质、正规子群、商群、同构定理等内容。
要求：①了解群的背景及其群的具体例子；②掌握群的概念、性质、商群、同构定理；③能够运用群的性质解决一些数学问题。
大学课程辅导近世代数学教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 培养学生运用近世代数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学内容：1. 近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 应用近世代数学知识解决实际问题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾上一节课的内容，让学生回忆近世代数学的基本概念。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 介绍近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 讲解近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 结合实例，讲解如何运用近世代数学知识解决实际问题。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 强调运用近世代数学知识解决实际问题的方法。
第二课时：一、复习1. 复习上一节课所学内容，检查学生对近世代数学基本概念和基本定理的掌握程度。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 讲解近世代数学在密码学中的应用。
2. 讲解近世代数学在计算机科学中的应用。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学应用相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学在密码学和计算机科学中的应用。
2. 强调近世代数学在实际问题中的应用价值。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对近世代数学知识的掌握程度。
2. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估学生的综合能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
近世代数讲义电子教案
《近世代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。
教学措施：网络远程。
教学时数：8学时。
教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。
若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。
表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。
2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数第二版教学设计
近世代数第二版教学设计一、引言近世代数是现代数学的一个重要分支，是研究抽象代数系统的代数学。
它在数学、物理、计算机科学、信息科学等领域都有重要应用。
作为一门高级数学课程，近世代数需要学生有一定的数学基础和抽象思维能力。
本教学设计旨在通过更加生动活泼的课堂教学方式，帮助学生更好地掌握近世代数这门课程。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法和评估方式等方面进行详细说明。
二、教学目标近世代数的教学目标主要是使学生掌握近世代数的基本概念、知识和技能。
在课程结束时，学生需要实现以下目标：1.掌握基本群、指数定理、同态、同构等基本概念；2.熟练掌握置换群和有限群的构造方法、性质和应用；3.熟悉陪集和陪集分解及其应用；4.掌握群作用的基本概念和定理，并熟练应用。
通过达成上述目标，能够有效提高学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 基本概念及理论基本群、指数定理、同态、同构、子群等概念；群的基本定理、群的分类；群论在数论中的应用。
2. 置换群和有限群的构造置换群的定义和基本性质；置换群的构造方法；对称群、交错群和循环群的定义、构造和基本性质。
3. 陪集和陪集分解陪集及其性质，陪集分解和应用。
4. 群作用群作用的概念和基本定理，轨道、稳定子群；群作用在计算机科学、物理和数学中的应用。
四、教学方法为了使学生更好地掌握近世代数的内容，本教学设计采用了多种教学方法，包括：1. 讲授教师讲解近世代数的基本概念、定理和例题，帮助学生建立正确的数学思维模式。
2. 互动式课堂通过组织讨论、提问、答疑等方式，促发学生积极参与课堂活动，帮助学生理解课程内容。
3. 课程项目通过分组实现大型课程项目，将学生带入到实际场景中去体验，提高其近世代数的应用技能。
4. 实验和讲解通过实验和讲解，让学生更深入地了解近世代数的原理和应用。
五、评估方式评估方式是实现教学目标的重要手段，本教学设计将采用以下方式进行评估：1. 平时表现和作业学生的平时表现和作业完成情况将被认真评估，并在学期末一次性得到总分。
05006《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲课程编号：05006课程英文名称：Modern Algebra学时数：72学分数：3.5适应层次和专业：数学与应用数学本科专业一、课程的性质和目的《近世代数》又名《抽象代数》（Abstract Algebra），是数学与应用数学专业本科的一门重要专业基础课，也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
《近世代数》的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。
理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，培养抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养都具有重要意义。
课程设置的目的主要为：使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识，提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生获得一定的抽象代数的基础知识，受到代数方法的初步训练，为进一步学习代数后继课程打下基础；使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题，培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力。
二、课程教学内容及各章节学时分配第一章、基本概念（14学时）第一节集合主要知识点：集合的基本概念，集合的运算第二节映射与变换主要知识点：映射、单射、满射、一一映射、映射的合成、变换、一一变换、恒等变换、n次置换第三节代数运算主要知识点：代数运算、二元运算第四节运算律主要知识点：结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质第五节同态与同构主要知识点：同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构第六节等价关系与集合的分类主要知识点：关系、等价关系、集合分类、同余关系、模n的剩余类、等价关系与集合分类的关系第二章、群（20学时）第一节群的定义和初步性质主要知识点：群、群的阶、交换群、有限群、无限群、幺半群、加群、群的简单性质、几种常见的具体的群（非零有理数乘群、正有理数乘群、一般线性群、n次单位根群、四元数群、整数加群等）第二节群中元素的阶主要知识点：元素阶的定义及性质、周期群、无扭群、混合群、交换群中元素阶的性质第三节子群主要知识点：子群、平凡子群、非平凡子群、子群的判定方法、特殊线性群、中心元素、无中心群、中心第四节循环群主要知识点：生成系、生成元、循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点第五节变换群主要知识点：变换群、双射变换群、非双射变换群、对称群、n次对称群、抽象群与变换群之间的关系第六节置换群主要知识点：置换与置换群的定义及性质、Klein四元群、置换阶的判别第七节陪集、指数和Lagrange定理主要知识点：左（右）陪集的定义及性质、群关于子群的左（右）陪集分解、左右陪集之间的关系、子群与陪集之间的映射关系、指数及相关性质、Lagrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（16学时）第一节群同态与同构的简单性质主要知识点：群同态、同构的定义及简单性质第二节正规子群和商群主要知识点：正规子群的定义及简单性质、商群及商群的一个应用、与正规子群密切相关的哈密顿群和单群第三节群同态基本定理主要知识点：正规子群、商群以及同态与同构映射之间的联系（含同态基本定理）、循环群的同态象、同态映射下两个群的子群之间的关系第四节群的同构定理主要知识点：第一同构定理、第二同构定理、第三同构定理第五节群的自同构群主要知识点：集合的自同构群、群的自同构群及性质第六节共轭关系与正规化子主要知识点：共轭元素、类等式、正规化子、共轭子集、共轭子群、共轭元素类与共轭子群类之间的关系第四章环与域（22学时）第一节环的定义主要知识点：环的定义及简单性质、交换环、非交换环、有限环、无限环、左（右）单位元、环中元素的运算规则、子环、循环环第二节环的零因子和特征主要知识点：零因子、无零因子环及其性质、整环、特征及其性质第三节除环和域主要知识点：除环、域的定义及性质、子域、域中元素的运算法则第四节环的同态与同构主要知识点：环同态、同构的定义及简单性质、环的自同构第五节模n剩余类环主要知识点：模n剩余类环的定义及性质、循环环的性质第六节理想主要知识点：理想的定义及简单性质、平凡理想、非平凡理想、单环、由元素生成的理想及性质第七节商环与环同态基本定理主要知识点：陪集的乘法、环同态基本定理（环第一同构定理）、环第二同构定理、环第三同构定理第八节素理想和极大理想主要知识点：素理想定义及性质、极大理想定义及性质第九节环与域上的多项式环主要知识点：环上未定元的多项式环及简单判定三、课程教学基本要求近世代数课程的基本要求是：掌握运算律描写代数运算并从它出发推导其它性质的能力：学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统；深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系；由此来统率中学数学教材中的代数部分。
近世代数讲义教学设计
近世代数讲义教学设计一、教学目标本课程的主要目标是让学生熟悉经典近世代数理论和运用现代数学工具解决代数问题的方法和技巧。
具体目标如下：•熟悉近世代数理论的核心概念和基本性质•掌握群、环、域等代数结构的定义、性质以及常见例子•能够运用现代数学工具解决矩阵方程、线性代数问题等•能够阅读和理解相关学术文献，掌握学术写作的基本规范二、教学内容与安排1. 群论•群的定义及基本性质•群的例子（如循环群、对称群等）•子群和正规子群•拓扑群2. 环论•环的定义及基本性质•环的例子（如整数环、多项式环等）•Z n环的结构•环的同态和理想3. 域论•域的定义及基本性质•域的例子（如有理数域、实数域、复数域等）•代数元和超越元•域的扩张4. 线性代数•线性空间与线性变换•矩阵的运算与初等矩阵•矩阵的特征值和特征向量•线性方程组、矩阵方程和行列式5. 近世代数理论的应用•量子力学中的代数结构•编码理论中的有限域•密码学中的应用三、教学方法1. 理论讲授本课程的主要教学方法是理论讲授。
教师将通过板书演示、PPT讲解等方式，向学生讲授代数概念、定理等理论知识。
在讲授时，教师将注重几何意义、应用背景等方面的介绍，以便帮助学生更好地理解、消化所学内容。
2. 讨论与互动在课程的某些环节中，教师还将与学生进行讨论、互动，以便深入探讨一些概念、结论在实际中的应用。
讨论的资料包括理论应用文献、学术会议论文等。
3. 上机实践在课程的结尾阶段，教师还将安排一些上机实践环节，让学生通过举例、练习等方式深度理解所学的代数概念、定理。
在上机实践过程中，教师将根据实际情况进行答疑解惑、引导讨论等活动。
四、教学评估本课程的教学评估主要是通过考试、作业等方式进行。
教师将根据学生的学习情况进行定期的考试和作业，以检验学生对所学知识的掌握程度。
同时，教师还将对学生参与讨论、上机实践等方面进行评估，以检验学生的综合素质。
在评估过程中，教师应注重引导学生主动参与、探索、思考，鼓励他们发挥自己的创意和创造性。
近世代数教学设计
近世代数教学设计近世代数是数学中的一个重要分支，也是数学中的一门基础课程。
在近世代数的教学设计中，我们需要遵循一定的原则和方法，使学生能够深入理解代数的概念和方法，掌握代数技术，提高解题能力和应用能力。
首先，教学设计中应注重培养学生的代数思维能力。
代数思维是代数学习的核心，也是近世代数的重要特点之一。
因此，在教学中注重培养学生的代数思维能力是必不可少的。
可以通过提供大量的问题和练习，鼓励学生运用代数思维来解决实际问题，培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
其次，教学设计中应注重理论与实践相结合。
近世代数是一门理论与实践相结合的学科，需要学生掌握一定的理论知识，同时还需要进行大量的实际运算和实际应用。
因此，在教学设计中应设置一定的理论讲解环节，使学生能够理解代数的基本概念和原理；同时，还应设置一定的实际运算和应用题目，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
再次，教学设计中应注重培养学生的创新意识和实践能力。
近世代数是一个不断发展的学科，需要学生具备一定的创新意识和实践能力。
可以通过选题、课堂活动和实践项目等方式来培养学生的创新意识和实践能力。
比如，可以组织学生进行小组合作，自主设计代数问题，并结合实际情境进行求解，从而培养学生独立思考和解决问题的能力。
最后，教学设计中应注重实际应用和跨学科融合。
近世代数不仅仅是一个独立的学科，还具有广泛的实际应用价值。
因此，在教学设计中应注重让学生了解代数在实际生活和其他学科中的应用，激发学生的学习兴趣和学习动力。
比如，可以通过数学建模、实例分析等方式来展示代数在经济、物理、生物等领域的应用，增强学生对代数学习的兴趣和理解。
总之，近世代数的教学设计应注重培养学生的代数思维能力，注重理论与实践相结合，注重培养学生的创新意识和实践能力，注重实际应用和跨学科融合。
通过科学合理的教学设计，使学生能够真正理解代数的概念和方法，掌握代数技术，提高解题能力和应用能力。
同时，也能够激发学生的学习兴趣和学习动力，培养学生的数学思维和创新能力，为学生未来的学习和工作打下良好的数学基础。
近世代数教学设计
近世代数教学设计前言近世代数作为数学学科中的一个分支，在现代科学技术中有着广泛的应用。
随着数学科学的发展，近世代数也不断地发展和完善。
因此，让学生掌握这一数学分支的基本概念和方法对于今后的科学学习和实际生活都具有重要的意义。
然而，由于近世代数概念抽象，难度较大，教学难度也相应加大。
因此，在进行近世代数教学设计时，需要有针对性地制定教学方案，以有效地提高学生学习的学习效果。
教学目标1.掌握基本数学符号和定义，如群、环、域等的基本概念及其特性。
2.借助具体问题学习掌握代数知识和运用方法。
3.培养学生分析和解决实际问题的思维能力。
4.提高学生抽象思维、逻辑推理、数学表达和计算能力。
教学内容和教学方法教学内容1.群论基础概念：群、子群、生成子群、置换群、正规子群、同态、同构等。
2.群的基本定理：拉格朗日定理、卡氏定理、费马小定理、威尔逊定理等。
3.环论基础概念：环、子环、理想、极大理想、素理想、同态、同构等。
4.域论基础概念：域、子域、代数数、超越数、代数扩张、域同构等。
5.应用题解析和训练。
教学方法1.以具体例子熟悉基本概念和定理。
2.以问答交流帮助学生理解每个概念所代表的含义。
3.设计相关问题和练习，让学生通过实际的运用掌握相关知识和方法。
4.给学生充分时间思考，鼓励独立思考和探究的能力。
教学评估方法期中和期末考试期中和期末考试分别占总成绩的30%和40%，考试内容涵盖基本概念、定理，以及应用题分析和解答。
平时表现平时表现包括课堂参与、作业完成情况、上机实验成绩、小组讨论和展示及其他周边活动等，占总成绩的30%。
结尾通过本教学设计，我们可以将近世代数这个抽象的领域变得简单易懂，并引导学生深入理解数学概念，以及运用代数知识思考解决实际问题的过程。
同时也可以帮助学生培养抽象思维、逻辑推理等数学求解能力，为今后的科学学习和实际生活打下坚实的基础。
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近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。
如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
教学时数：共6节，8学时2.1 整数剩余类环复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点：1.整数剩余类环的定义及基本性质。
2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。
3.整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容：整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。
整除性问题常常是数论中的困难问题。
法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如22n+1的数都是素数，直到大约100年之后522+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×6700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。
对于两个整数a，b（b>0）存在整数q，r使a=qb+r 且0≢r ＜b。
式中q称为商，r称为余数。
在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。
因此有下面的同余概念。
定义1 假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a ≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Z m，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。
定义Z m上的加法与乘法运算：[a]+[b]=[ a+b][a]·[b]=[ab]容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[ b]=[b1]时[a]+[b]=[ a1] + [b1]，[a]·[b]=[ a1]·[b1]。
定理2.1.1 Z m成为一个环。
该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。
证明留给读者作为练习。
Z m称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。
我们也可以把它看成一个有限数系。
借助环Z m 常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。
例Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。
如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶奇·奇=奇，奇·偶=偶，偶·偶=偶定义2 设R与S是两个环，映射ƒ：R→S若满足条件：对每a，b∈R有ƒ(a+b)=ƒ(a)+ƒ(b)，ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b)，则ƒ称为环同态。
若ƒ是满映射，则ƒ称为满同态；若ƒ是单映射，则ƒ称为单同态；若ƒ是既单又满的环同态，则称ƒ为环同构。
满同态记为ƒ：R ~ S环同构记为ƒ：R ≅ S定义3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。
定理2.1.2 定义映射ƒ：Z→Z m使ƒ(a)=[a]，则ƒ是环同态。
证证明十分简单，略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。
定理2.1.3 两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
证如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±1。
反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。
对a+b作归纳。
由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r 且0≢r＜b。
如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。
如果r≠0，则b，r互素。
由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r =1，于是t1a=t1qb＋t1r =t1qb＋1－s1b。
因此t1a＋(s1－t1q)b=1，定理得证。
定理2.1.4 若p是素数，则Zp是域。
证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。
设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注：Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。
为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。
定义4 设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：对每r∈R 有rA，Ar ⊆ A，其中rA={ ra | a∈A }，Ar={ ar | a∈A }，则称A是R的理想。
如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系a~b 当且仅当a-b∈A。
容易检验~是R上的一个等价关系，商集合记为R= R/A。
R的元记为[r]=r+A，定义R上的运算[a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。
这样R成为一个环，称之为模A剩余类环。
我们有下面的同态基本定理定理2.1.5 （1）假定R与R是两个环，并有环同态ϕ：R~R，则A={ r∈R | r=o}是R的理想，且有环同构R≅R/A。
上面的ϕ称为自然同态，记A=kerϕ，称之为同态ϕ的核。
（2）反之，若A是R的理想，则有环同态R~R/A=R。
证（1）对每a、b∈A，ϕ（a-b）=a-b=0，故a-b∈A，说明A是一个加群。
进一步若r∈R，a∈A，则ϕ（ra）=ra=0，ra∈A，同样ar∈A。
因此A是R的理想。
容易验证ψ：r→r+A是环同构R≅R/A。
（2）容易知道映射ϕ：R→R/A使ϕ（r）=r是环同态。
思考问题4问定理2.1.2中环同态ƒ：Z→Z m的同态核A=？解答：同态核A=(m)={am | a∈Z}，因此由定理2.1.5 Z m≌Z/(m)。
练习作业1. 设m是一个正整数，证明同余的性质(1)若a ≡b(m)，c=d(m)，则a±c ≡b±d(m) (2)若a ≡b(m)，c=d(m)，则ac ≡bd(m) (3)若a ≡b(m)，则ad ≡bd(m)(4)若ad ≡bd(m)，且(d ，m)=1，则a ≡b(m)2. Z 是整数环，2Z=｛2a ︱a ∈Z ｝在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶数环，ƒ：a →2a 是Z →2Z 的一个映射，问ƒ是不是环同构？3. 设R 是一个有单位元的环，a ，b ∈R ，证明1-ab 可逆当且仅当1-ba 可逆。
4. 假定R 是一个交换环，证明A={a ∈R| 存在某个正整数n 使a n =0}是R 的一个理想。
这个理想称为幂零元理想。
2.2 整环的分式域复习引入：上节我们从整数环出发，构造整数模n 剩余类环Z n ，由同态基本定理，剩余类环Z n ≌Z/(n)。
这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。
有限数系Z n 在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。
本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
内容要点：1. 证明整环嵌入分式域定理。
2. 整环的分式域是包含这个整环的最小域。
3. 了解一些常见整环分式域的实例。
讲解内容：在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus 建立的，并被收入欧几里德(Eudid)《几何原本》的第五卷。
两个可公度的量a 与b 可以通过下面的方法来比较。
选定一个(足够小的)公共单位量，使量a 是单位量的整数倍，b 也是单位量的整数倍。
在这一观点之下，量a 与b 实际都可认为与一个整数对应。
现在量a 与b 的比就是两个整数的比a/b 。
Eudoxus 发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是(1) babn an = (2) bd bc ad d c b a ±=± (3)bdac d c b a =⋅上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。
Eudoxus 的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。
由此我们有下面的整环的定义。
定义1 设R 是一个环，对R 的每两个非零元a 、b ，如果ab=0则a 称为R 的左零因子，b 称为R 的右零因子。
当R 是交换环时零因子没有左、右的区别。
一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。
例 整数环当然是整环；域上的多项式环也是整环；Z n 是整环当且仅当n 是素数。
定义2 设R 是一个环，S 是R 的一个非空子集，如果S 在R 的加法与乘法运算之下也成为一个环，则S 称为R 的子环，我们说一个环S 1可以嵌入环R ，是指环S 1与R 的一个子环S 同构。
下面的定理与Eudoxus 的比例论相当。
定理2.2.1 每一个整环都可以嵌入一个域。