近世代数教案 (2)

近世代数教案

西南大学

数学与统计学院

张广祥

学时数：80（每周4学时）

使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005

教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。

教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加

教学的教师集体研讨备课。

每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。

整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。

教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。

主要参考书：

1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社

2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999

3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002

4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社

5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002

第二章数环与数域

本章教学目标：

1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。

2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。

3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。

4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。

5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。

教学时数：共6节，8学时

2.1 整数剩余类环

复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道

同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。

内容要点：

1.整数剩余类环的定义及基本性质。

2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。

3.整数剩余类环是整数环的同态像。

讲授内容：

整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。整除性问题常常是数论中的困难问

题。法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如22n+1的数都是素数，直到大约100年之后

5

2

2+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×6700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。

研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。对于两个整数a，b（b>0）存在整数q，r使a=qb+r 且0≢r ＜b。式中q称为商，r称为余数。在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。因此有下面的同余概念。

定义1 假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a ≡b(m)。

由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Z m，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。定义Z m上的加法与乘法运算：

[a]+[b]=[ a+b]

[a]·[b]=[ab]

容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[ b]=[b1]时[a]+[b]=[ a1] + [b1]，[a]·[b]=[ a1]·[b1]。

定理2.1.1 Z m成为一个环。

该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。证明留给读者作为练习。

Z m称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。我们也可以把它看成一个有限数系。借助环Z m 常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。

例Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：

奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶

奇·奇=奇，奇·偶=偶，偶·偶=偶

定义2 设R与S是两个环，映射ƒ：R→S若满足条件：对每a，b∈R有ƒ(a+b)=ƒ(a)+ƒ(b)，ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b)，则ƒ称为环同态。若ƒ是满映射，则ƒ称为满同态；若ƒ是单映射，则ƒ称为单同态；若ƒ是既单又满的环同态，则称ƒ为环同构。

满同态记为ƒ：R ~ S

环同构记为ƒ：R ≅ S

定义3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。

定理2.1.2 定义映射ƒ：Z→Z m使ƒ(a)=[a]，则ƒ是环同态。

证证明十分简单，略去。

为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。

定理2.1.3 两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。

证如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±1。

反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。对a+b作归纳。由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r 且0≢r＜b。

如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。如果r≠0，则b，r互素。由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r =1，于是t1a=t1qb＋t1r =t1qb＋1－s1b。因此t1a＋(s1－t1q)b=1，定理得证。

定理2.1.4 若p是素数，则Zp是域。

证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。

注：Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。

像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。

定义4 设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：对每r∈R 有rA，Ar ⊆ A，其中rA={ ra | a∈A }，Ar={ ar | a∈A }，则称A是R的理想。

如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系a~b 当且仅当a-b∈A。容易检验~是R上的一个等价关系，商集合记为R= R/A。R的元记为[r]=r+A，定义R上的运算[a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。这样R成为一个环，称之为模A剩余类环。

我们有下面的同态基本定理

定理2.1.5 （1）假定R与R是两个环，并有环同态ϕ：R~R，则A={ r∈R | r=o}是R的理想，且有环同构R≅R/A。

上面的ϕ称为自然同态，记A=kerϕ，称之为同态ϕ的核。

（2）反之，若A是R的理想，则有环同态R~R/A=R。

证（1）对每a、b∈A，ϕ（a-b）=a-b=0，故a-b∈A，说明A是一个加群。进一步若r∈R，a∈A，则ϕ（ra）=ra=0，ra∈A，同样ar∈A。因此A是R的理想。容易验证ψ：r→r+A是环同构R≅R/A。

（2）容易知道映射ϕ：R→R/A使ϕ（r）=r是环同态。

思考问题4问定理2.1.2中环同态ƒ：Z→Z m的同态核A=？

解答：同态核A=(m)={am | a∈Z}，因此由定理2.1.5 Z m≌Z/(m)。

练习作业

1. 设m是一个正整数，证明同余的性质