2018-2019年考研数学一真题及答案
考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)下列函数中,在0x =处不可导的是()(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】(D)【解析】根据导数的定义:(A)sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导;(B)0,x x →→==可导;(C)1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导;(D)000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在,故选D。
(2)过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为()(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】(B)【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个,显然与曲面相切,排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等,排除,故选(3)()()23121!nn n n ∞=+-=+∑()(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】(B)【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.(4)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则()(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】(C)【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰(,K M N >>故应选C 。
2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)
2018年考研数学一试题与答案解析(完整版)1.下列函数中不可导的是()。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导:()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导:()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导:()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导:()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0),故C 、D 排除,22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过,则平面方程为,又因为平面过,故由此,取特殊值;令x=1,则法向量为(2,2,1)-,故B 选项正确。
2019考研数学一考试真题(完整版)
2019考研数学一考试真题(完整版)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 当0x →,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k = A.1. B.2. C.3. D.4.2. 设函数||,0,()ln ,0,x x x f x x x x <⎧=⎨>⎩则x =0是f (x )的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{u n }是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是 A.1.nn u n ∞=∑ B. C.D.2211().n n n uu ∞+=-∑4.设函数2(,)xQ x y y =.如果对上半平面(y >0)内的任意有向光滑封闭曲线C 都有,那么函数P (x ,y )可取为A.23x y y -.B.231.x y y -C.11.x y- 11(1).nn nu ∞=-∑11(1).nn n u u ∞=+-∑D.1.x y-5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若22A A E +=,且|A |=4,则二次型x T Ax 的规范形为 A.222123.y y y ++ B.222123.y y y +- C.222123.y y y -- D.222123.y y y ---6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则 A.()2,() 3.r A r A == B.()2,() 2.r A r A == C.()1,() 2.r A r A == D.7.设A ,B 为随机事件,则()()P A P B 的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B U .B.()()()P AB P A P B .C.()()P AB P BA .D.()()P AB P AB .8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都要从正态分布2(,)N ,则1P XYA.与无关,而与2有关B.与有关,而与2无关C.与,2都有关D.与,2都无关二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9.设函数与()f u 可导,(sin sin )z f y x xy ,则11cos cos z z x x y y.10.微分方程22'20yy y 满足条件(0)1y 的特解y.11.幂级数(1)(2)!n nnx n 在0,内的和函数()S x .()1,() 1.r A r A ==12.设为曲面22244(0)x y z z ≥的上侧,则. 13.设123,,Aa a a 为3阶矩阵,若12,a a 线性无关,且3122a a a ,则线性方程组0Ax的通解为 .14.设随机变量X 的概率密度为,02()()20,.xx f x F X ,其他为X 的分布函数,EX 为X 的数学期望,则()1P F X EX .三、解答题:15~23小题,共94分。
2019考研数学一真题(含答案解析)
2019年考研数学一真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.1.当0→x 时,若x x tan -是与kx 是同阶无穷小,则=k2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A.1nn u n∞=∑ B.11(1)n n n u ∞=-∑ C.11(1n n n uu ∞=+-∑ D.2211()n n n uu ∞+=-∑(B )的反例,取1n u n=-(C )的反例,取1n u n =-,111n n u u n+-=-,对应的级数发散4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰ ,那么函数(,)P x y 可取为()A.23x y y - B.231x y y- C.11x y- D.1x y-【分析与解答】答案:D 为了满足条件,一需要函数在积分区域内没有暇点,此题主要指的是没有使得被积函数分母为0的点,注意到上半平面(0)y >时,x 可以取到0,即y 轴正半轴上的点,这些点会使得(C )选项无意义,为(C )选项的暇点,排除(C )选项。
另外为了使闭环积分为0,需要满足(,)(,)Q x y P x y x y ∂∂=∂∂,容易算出2(,)1Q x y x y∂=∂,只有(D )选项满足2(,)1P x y y y∂=∂5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T规范形为A.232221y y y ++ B.232221y y y -+ C.232221y y y -- D.232221y y y ---【分析与解答】答案:C22221,2λλλ+=⇒+=⇒=-A A E ,说明A 的特征值只能在1,2-中选择(这一点很重要,用化零多项式得到的特征值包含A 的所有特征值,有可能会多了假根,但绝对不会漏根),再由于所有特征值之积等于行列式,由于4=A ,可知矩阵A 的特征值必为1,2,2--,特征值两负一正,根据惯性定理,选(C )。
2018年考研数学一试题与答案解析(完整版)
1 1 1
6.设 A, B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X Y ) 表示分块矩阵,则 A. r ( A AB ) r ( A). C. r ( A B ) max{r ( A),r ( B )}. 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质, r ( E , B ) n r ( A, AB ) r[ A( E , B )] r ( A) ,故 A 正确. 若A B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ,B , 则 BA , 所 以 r ( A BA) r 2, 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
r ( A) 1. 排除 B. 1 2 0 0 若A ,B , 那么r A B 0 0 3 4 所以C排除. 1 2 0 0 r 2, r A 1, r B 1, 0 0 3 4
1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
1 1 0 令 Q 0 1 1 ,特征值为 1,1,1, r E Q 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 选项 A:令 A 0 1 1 , A 的特征值为 1,1,1, r E A r 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B:令 B 0 1 1 , B 的特征值为 1,1,1, r E B r 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 选项 C:令 C 0 1 0 , C 的特征值为 1,1,1, r E C r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1) 下列函数不可导的是:()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====(2)22过点(1,0,0)与(0,1,0)且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=(3)023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++(4)22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰),则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>(5)下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(6).设A ,B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,(X Y ) 表示分块矩阵,则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =(7)设()f x 为某分部的概率密度函数,(1)(1)f x f x +=-,20()d 0.6f x x =⎰,则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 (8)给定总体2(,)XN μσ,2σ已知,给定样本12,,,n X X X ,对总体均值μ进行检验,令0010:,:H H μμμμ=≠,则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ,则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ,则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ,则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ,则0.01α=时也接受0H .二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =(10)()y f x =的图像过(0,0),且与x y a =相切与(1,2),求1'()xf x dx =⎰(11)(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求(12)曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成,求xydS =⎰ (13)二阶矩阵A 有两个不同特征值,12,αα是A 的线性无关的特征向量,21212()(),=A A αααα+=+则(14)A,B 独立,A,C 独立,11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===,则=三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15).求不定积分2x e ⎰(16).一根绳长2m ,截成三段,分别折成圆、三角形、正方形,这三段分别为多长是所得的面积总和最小,并求该最小值。
2018考研数一真题答案及详细解析
0
0
) ,B= (
0
1
0
) ,则 r (A
0
B)=2 #- r (AT
矿),排除 D.
(7) A
解 由 J(l+x) = J(l-x)可知,J(x)关千x = l对称,所以f�J(x)dx =厂J(x)dx = 0. 5.
r。 r 又已知,J:!<x)dx = O. 6,则 J (x)dx = (x)dx = O. 3.
罕
dr
了
(1 +3r 2)rdx
气f rCl+3尸)了37dr.
✓ 设 1 -3r2 =t,则
气。 亨
21rf r0+3尸)二37dr =
3
(2- t2汒dt
14冗
45
JI又
xdy dz
+
(y 3
+2)dzdx+z3 dxdy = 0,所以
I
14 穴 =百·
:El
08) 解 C I)当 f(x)=x 时,方程化为 y '+y =x,其通解为
假设 O<x,.+1 <立,则
e石t-2
工
e
n+I
=
-1
=e�(0
<
r;
<
X n+l),
X n +l
所以 0 < Xn+2 < Xn+l•
故 {xn} 是单调减少的数列,且有下界,从而 {x九 }收敛.
设
limx n-=
n
=a,得
aea =ea
— 1.
易知
a =O为其解
2019年考研数学(一)真题及解析
2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点(C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点 3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A ==7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+U (B ) ()()()P AB P A P B = (C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( ) (A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ .10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .三、解答题 15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(C )【详解】当0x →时,331tan ()3x x x o x =++,所以331tan ()3x x x o x -=-+,所以3k =. 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点 (C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点【答案】(B )【详解】(1)01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===,所以函数在0x =处连续;(2)0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞,所以函数在0x =处不可导;(3)当0x <时,2(),()20f x x f x x '=-=->,函数单调递增;当10x e<<时,()1ln 0f x x '=+<,函数单调减少,所以函数在0x =取得极大值.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】(D )【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列,由单调有界定理知lim n n u →∞存在,记为lim n n u u →∞=;又设n ∀,满足n u M ≤,则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-,且2210n n u u +-≥,则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑,前n 项和:221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛.4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -【答案】(D )【详解】显然,由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂,也就是1(,)()P x y C x y=-+,其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数.只有(D )满足.5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---【答案】(C )【详解】假设λ是矩阵A 的特征值,由条件22A A E +=可得220λλ+-=,也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-.而1234A λλλ==,所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-,根据惯性定理,二次型的规范型为222123y y y --.6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A == 【答案】(A )【详解】(1)显然三个平面没有共同交点,也就是非齐次方程组无解,从而()()r A r A <; (2)从图上可看任何两个平面都不平行,所以()2r A ≥;7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+U (B ) ()()()P AB P A P B =(C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =【答案】(C )【详解】选项(A )是,A B 互不相容;选项(B )是,A B 独立,都不能得到()()P A P B =; 对于选项(C ),显然,由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-,()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( )(A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关【答案】(A )【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,则2~(0,2)X Y N σ-,从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】cos cos y xx y+解:cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=,即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =,所以y =.11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑,从而有:110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =,从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量.由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系,通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩,2204()23x E X dx ==⎰.012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解:22x y Ce -=,其中C 为任意常数;再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解,设22()x y C x e-=为其解,代入方程,得2222(),()1x x C x eeC x --''==,1()1C x dx x C ==+⎰,也就是通解为:221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入,得10C =,从而得到22().x y x xe -=(2)2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===.当x <0x <<时,0y ''<,是曲线的凸区间;当0x <<或x >0y ''>,是曲线的凹区间.曲线的拐点有三个,分别为3322()--.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 【详解】(1)222z ax by =++,则2,2z zax by x y∂∂==∂∂;所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭;gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同,且10gradf ==.也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩(舍).即11a b =-⎧⎨=-⎩.(2)22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.【详解】先求曲线与x 轴的交点:令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时,sin 0xy e x -=>;当2(22)k x k πππ+<<+时,sin 0x y e x -=<.由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰,22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 【详解】(1)证明:1n a x=⎰,110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时,显然有1n nxx +<,1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰,所以数列{}n a 单调减少;先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时,12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈,则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理,2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述,可知对任意的正整数n ,均有212n n a n a n --=+,即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ; (2)由(1)的结论数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞,由夹逼准则,可知1lim1nn n a a →∞-=.19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.【详解】先计算四个三重积分:22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =. 注:其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体,则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰,且由对称性,明显0x =,2y =.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.【详解】(1)由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解方程组,得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时,()123111111,,23301110123012ααα===≠,即123,,ααα线性无关,确实是3R 空间的一组基.(2)()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-,显然23,,ααβ线性无关,当然也为3R 空间的一组基. 设()()23123,,,,a P αβααα=,则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=. 【详解】(1)由矩阵相似的必要条件可知:A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩.(2)解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-;分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,则1P 可逆,且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;同样的方法,可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则2P 可逆,且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;由前面111122P AP P BP --=,可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭,就满足1P AP B -=. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.【详解】(1)显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩.先求Z XY =的分布函数:(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--()再求Z XY =的概率密度:,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩(2)显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-;由于随机变量,X Y 相互独立,所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-;22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-;(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-;要使,X Z 不相关,必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=,也就是0.5p =时,X Z 不相关; (3),X Z 显然不相互独立,理由如下:设事件{1}A X =>,事件{1}B Z =<,则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰;11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-;11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=,当0.5p =时,显然()()()P AB P A P B ≠,也就是,X Z 显然不相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.【详解】(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他, 取对数,得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ,得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑.。
数1--18真题答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)参考答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分. (1)【答案】D.【解答】选项A 和C ,函数sin sin x x x x =,cos cos x x =,可导;B 选项,00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==,可导; 对于D选项,由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−;112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠,所以不可导. 故选D. (2)【答案】B.【解答】设切点的坐标为220000(,,)x y x y +. 由题设可知切平面的法向量为00{2,2,1}x y =−n ,则切平面的方程为220000002()2()[()]0x x x y y y z x y −+−−−+=, 即 22000022()0x x y y z x y +−−+=.将点(1,0,0)与(0,1,0)代入上式22000220002()0,2()0,x x y y x y ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩解得000x y ==或001x y ==,将00,x y 代入方程,得0z =或222x y z +−=. 故选B. (3)【答案】B.【解答】因为,00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n ∞∞∞===++−=−+−+++∑∑∑00(1)(1)2(2)!(21)!n nn n n n ∞∞==−−=++∑∑,而,21200(1)(1)sin ,cos (),(21)!(2)!n n n nn n x x x x x n n +∞∞==−−==−∞<<+∞+∑∑ 所以,23(1)cos12sin1(21)!nn n n ∞=+−=++∑,故选B.(4)【答案】C. 【解答】因为,πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰,11cos x + 所以,K M >. 设()e 1xf x x =−−,则()e 1xf x '=−,所以当0x <时,()0f x '<,()f x 单调递减;当0x 时,()0f x ',()f x 单调递增,故(0)0f =是其最小值,即11exx +. 所以M N >,即N M K <<,故选C. (5)【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M , 所以特征值为1231λλλ===,且()()2r r λ−=−=E M E M ;对于A 选项:记矩阵为A ,解得特征值均为1,且()()2r r λ−=−=E A E A ; 同理对于B 、C 、D 选项:分别记矩阵为,,B C D ,计算可得其特征值均为1,而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似,则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似,故秩相等. 由此可以排除选项B ,C ,D ,故选A. (6)【答案】A.【解答】选项A ,易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法,可知()()=A AB A E B ,因此()min{(),()}r r r A AB A E B ,从而 ()()r r A AB A ,所以 ()()r r =A AB A , 则选项A 正确. B 选项,令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则()1,()2r r ==A A BA ; C 选项,令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则()()1,()2r r r ===A B A B ;D 选项,令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则T T()1,()2r r ==A B A B ;故选A. (7)【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−,所以()f x 的图像关于1x =对称,因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰,所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=,从而{0}0.2P X =,故选A. (8)【答案】D.【解答】如右图所示,/2Z α表示标准正态分布的 上2α分位数,即图中阴影部分的面积为2α.区间/2/2(,)Z Z αα−是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平0.05α=时接受0H ,即表示检验统计量0/X Z nμσ−=的观察值落在接受域0.0250.025(,)Z Z −内. 区间0.0050.005(,)Z Z −包含0.0250.025(,)Z Z −,因此其观察值也落在区间0.0050.005(,)Z Z −内,即落在接受域内,所以选项D 正确,B 错误;0.05α=时拒绝0H ,即Z 的观察值落在拒绝域0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞内;但区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞包含于0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞,因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞内,选项A ,C 无法确定;故选D.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. (9)【答案】2−.【解答】2tan 11tan sin (1tan )sin 2tan 001tan 2tan lim()lim{[1()}1tan 1tan xx kx x kx x x x x x x x−++−→→−−=+++022lim 1=e e x x kx k →−−⋅=, 所以21k−=,解得2k =−. (10)【答案】2ln 22−.【解答】由题意可知,(0)0,(1)2,(1)2ln 2f f f '===,因此111100()d d ()()()d xf x x x f x xf x f x x '''''==−⎰⎰⎰10[()()]2ln 22xf x f x '=−=−.(11)【答案】(1,0,1)−.【解答】旋度(,,)(,,)x y z y z x x y z x y z PQ R xy yz xz∂∂∂∂∂∂===−−∂∂∂∂∂∂−rot ij k i jk F , 所以(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,0,1)y z x =−−=−rot F .(12)【答案】3π−. 【解答】由曲线2221:0x y z l x y z ⎧++=⎨++=⎩的表达式可知,,,x y z 有轮换对称性,所以1d ()d 3llxy s xy yz zx s =++⎰⎰.又222211[()()]22xy yz zx x y z x y z ++=++−++=−,交线l 是半径为1的圆弧, 所以111d ()d 23263ll xy s s π=−=−⋅π=−⎰⎰. (13)【答案】1−.【解答】由21212()()+=+A αααα可知212()()−+=0A E αα.12,αα线性无关,因此方程2()−=0A E x 有非零解,从而20−=A E ,所以特征值λ满足方程210λ−=,即1λ=或1λ=−.又A 有两个不同的特征值,所以1(1)1=⋅−=−A . (14)【答案】14. 【解答】由条件可知,()()(),()()(),()0P AB P A P B P AC P A P C P BC ===. 由条件概率的定义可得,(()())()(())()()()()P AC AB C P ACAB ACC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ==+− 1()()1211()()()4()22P C P AC P A P B P C P C ===+⋅+,解得1()4P C =. 三、解答题:15~23小题,共94分.(15)【解】利用分部积分,2e arctan x x ⎰21arctan 2x =⎰2211e e 22xx x x =−⎰2211e arctan 24x x x =211e 24x x x =11222e 1[(e 1)(e 1)]d(e 1)24x x x x −=−−+−−⎰31222e 12[(e 1)2(e 1)]243x x xC =−−+−+ 31222e 11(e 1)(e 1)262x x xC =−−−−+. (16)【解】设圆的周长为x ,正三角周长为y ,正方形的周长z ,由题设2x y z ++=.则目标函数2222221π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,构造拉格朗日函数222(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−,对参数求导并令导函数为零,则0,20,3620,1620.x yzx L L z L L x y z λλπλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x =y =,z =此时面积和有最小值为2)S =.(17)【解】记33,,P x Q y z R z ==+=;构造平面22331,:0,y z x ∑⎧+'⎨=⎩取后侧,∑'与∑所围区域2{(,,)|013x y z x y Ω=−.由高斯公式可得,+d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑∑''++=++−++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z yz x y z ΩΩ'''=++−=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)dy z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z yz y z +=++⎰⎰220d 3)dr r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(−+−2232)d(13)3r r π=−−−31222223)2(13)]d(13)3r r rπ=−−−−51222224[(13)(13)353r rπ=−−−1445π=.(18)(Ⅰ)【解】由题可知方程为一阶线性微分方程.当()f x x=时,由公式可得通解为,1d1d()e(e d)x xy x x x C−⎰⎰=+⎰=e(e d)x xx x C−+⎰=e[(1)e]x xx C−−+=(1)e xx C−−+,(C为任意常数).(Ⅱ)【证】由条件课得通解为,1d1d()e[()e d]x xy x f x x C−⎰⎰=+⎰()e()e dx xf x x C−=+⎰,(C为任意常数).因为()f x为周期函数,不妨设周期为T,则()()f x T f x+=.而()()()e()e d ex T x T x Ty x T f x T x C−++−++=++⎰()e e()e e dT x x Tf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e e e()e dT x T xf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e()e dx xf x x C−=+⎰.欲使()y x为周期函数,即()()y x y x T=+,只需1e TC C−=⋅,再由e0T−>,故0C=.从而()e()e dx xy x f x x−=⎰为方程对应的解,且为周期函数.(19)【证】设()e1,0xf x x x=−−>,则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>,从而1221e1e1,0xx xx−=>>.猜想0n x >,现用数学归纳法证明:1n =时,10x >,成立;假设(1,2,)n k k ==时,有0k x >,则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>;因此0n x >,有下界. 再证单调性,1e 1e 1ln ln e lne n n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−,0x >时,()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<,所以()g x 单调递减,()(0)0g x g <=,即有e 1e xxx −<,因此1e 1ln ln10e n nx n n x n x x x +−−=<=,即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=,则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =,所以0A =,即lim 0n n x →∞=.(20)【解】(Ⅰ)由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ,所以,当2a ≠时,()3r =A ,方程组有唯一解,1230x x x ===.当2a =时,()2r =A ,方程组有无穷解,21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. (Ⅱ)当2a ≠时,令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换,此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时,2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+, 此时规范形为2212y y +.(21)【解】(Ⅰ)由题设条件可知矩阵A 与B 等价,则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ,所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ,因此 2a =.(Ⅱ)设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,对增广矩阵作初等变换可得, 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ,解得,11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆,因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P , 即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ,其中123,,k k k 为任意常数,且23k k ≠.(22)【解】(Ⅰ)因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=, 所以,2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为,Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===,所以,()E Y λ=.因为,2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−,且X 与Y 相互独立, 所以,(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. (Ⅱ)利用全概率公式有,{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−,再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时,{0}{0}e P Z P Y λ−====;当k 为正整数时,1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅;当k 为负整数时,1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述,有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩(23)【解】(Ⅰ)似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏, 取对数: 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑,求导: 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑,解得 1nii xnσ==∑,所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.(Ⅱ) 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰;2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。
2018年考研数学一真题及解析
1 1
tan tan
x x
1
elim x0
1 kx
1tan x1tan 1tan x
x
lim 1 2 tan x
2
ex0 kx 1tan x e k e
所以 k 2 因此填写 2
10、设 曲 线 y f (x) 的 图 像 过 点 (0, 0) , 且 与 曲 线 y 2x 相 切 于 (1, 2) , 则
(A)
0 0
1 0
1 1
1 0 1
(B)
0 0
1 0
1 1
1 1 1
(C)
0 0
1 0
0 1
1 0 1
(D)
0 0
1 0
0 1
【答案】:(A)
1 1 0
【分析】对于
0
1
1
,
(E
A)3
0
0 0 1
对于(A): (E A)3 0 ;对于(B): (E A)2 0
对于(C): (E A)2 0 ;对于(D): (E A)2 0
因此选择(A)
8、给定总体 X ~ N (, 2) , 2 已知,给定样本 X1, X 2 , , X n ,对总体均值 进行检验,
3
长理资料群:五,八,6 8,8,六,7,7,五
令 H0 : 0 , H1 : 0 ,则( )
(A)若显著性水平 0.05 时拒绝 H0 ,则 0.01 时也拒绝 H0
2x( X x) 2 y(Y y) (Z z) 0 ,因为平面过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ,故法向量与向量
{1, 1, 0} 垂直,因此有 2x 2 y 0 ,即 y x …………………………………………①
2018年考研数学一真题_最新修正版
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)下列函数中,在0x =处不可导的是( )(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =(2)过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为( )(A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2(C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2(3)()()023121!n n n n ∞=+-=+∑( )(A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+(C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+(4)设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===+⎰⎰⎰则( )(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>(5)下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为( )(A) 111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 111010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(6)()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则() ()()()()(7) 设随机变量X 的概率密度()()()(){}2011,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则( ) (A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 (8)设总体()212,,,,,n X N X X X X μσ服从正态分布是来自总体的简单随机样本,据此样本检测:0010=H H μμμμ≠假设::,:,则( )(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝,那么在检验水平下必拒绝(B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝,那么在检验水平必接受(C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受,那么在检验水平下必拒绝(D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受,那么在检验水平下必接受二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
19考研数一真题和答案
. .2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上 .1.下列函数中在x 0处不可导的是()(A)f ( x) x sin x (B)f (x) x sin x(C) f ( x) cos x (D) f (x) cos x2.过点(1,0,0) ,(0,1,0) ,且与曲面2 2z x y 相切的平面为()(A)z0与x y z 1 (B)z0与2x 2y z 2 (C)x y与x y z 1 (D)x y与2x 2y z 23.nn( 1)2n 3(2n 1)!()A sin1 cos1B 2sin1 cos1C 2sin1 2cos1D 2sin1 3cos14.设2(1 x)M dx221 x21 x, 2N dx, 2K (1 cosx)dx,则()xe2 2(A)M N K (B)M K N(C)K M N (D)K N M1 1 00 1 1 5. 下列矩阵中阵,与矩阵相似的是()0 0 1. .专业资料 . .. .1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 (A)(B)(C)(D)0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5.设A, B是n阶矩阵,记r(X ) 为矩阵X 的秩,( X ,Y)表示分块矩阵,则()(A)r ( A, AB) r (A) (B)r ( A, BA) r (A)T T(C)r ( A, B) max{ r ( A), r ( B)} (D)( , ) ( , )r A B r A B6.设随机变量X 的概率密度 f (x) 满足f (1 x) f (1 x) ,且20 f (x)dx 0.6则P{ X 0} ( )(A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.57.设总体 X 服从正态分布2N(, ) , X1, X2, ,X n 是来自总体X 的简单随机样本,据此样本检测,假设H0 : 0 ,H1 : 0 ,则()(A)如果在检验水平0.05下拒绝H,那么在检验水平0.01下必拒绝0 H ;(B)如果在检验水平0.05下拒绝H,那么在检验水平0.01下必接受0 H ;(C)如果在检验水平0.05下接受H,那么在检验水平0.01下必拒绝H0;(D)如果在检验水平0.05下接受H,那么在检验水平0.01下必接受H0。
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2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A ) 2.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )3.函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为(A )12 (B )6 (C )4 (D )2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂,所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =,所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选(D )4.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻为0t ,则( ) (A )010t = (B )01520t <<(C )025t = (D )025t >【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程.本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在25t =时乙追上甲,应该选(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ). 6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B 是两个随机事件,若0()1P A <<,0()1P B <<,则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是(A )(/)(/)P B A P B A > (B )(/)(/)P B A P B A < (C )(/)(/)P B A P B A > (D )(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式:()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论:()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似,由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择(A ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布 (C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.已知函数21()1f x x=+,则(3)(0)f = .解:由函数的马克劳林级数公式:()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑,知()(0)!n n f n a =,其中n a 为展开式中nx 的系数. 由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+,所以(3)(0)0f =.10.微分方程230y y y '''++=的通解为 .【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-,所以通解为12()x y e C C -=+ 11.若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关,则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-,显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数,由于与路径无关,所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12.幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = .【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+,所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15.(本题满分10分)设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数,(,cos )xy f e x =,求0|x dy dx=,202|x d y dx =.【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-,01|(1,1)x dyf dx='=; 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-.16.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17.(本题满分10分)已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=. 【详解】在方程两边同时对x 求导,得2233330x y y y ''+-+= (1)在(1)两边同时对x 求导,得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=,得1x =±.当11x =时,11y =;当21x =-时,20y = 当11x =时,0y '=,10y ''=-<,函数()y y x =取极大值11y =; 当21x =-时,0y '=,10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =. 18.(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数,且(1)0f >,0()lim 0x f x x-→<,证明: (1)方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;(2)方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件0()lim 0x f x x-→<可知,存在01δ<<,及1(0,)x δ∈,使得1()0f x <,由于()f x 在[]1,1x 上连续,且1()(1)0f x f ⋅<,由零点定理,存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂,使得()0f ξ=,也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;(2)由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =,由(1)可知()0f ξ=,由洛尔定理,存在(0,)ηξ∈,使得()0f η'=;设()()()F x f x f x '=,由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导,且(0)0,()0,()0F F F ξη===,分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理,则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==,也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.19.(本题满分10分)设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分,其上任一点的密度为μ=C .(1)求C 在xOy 布上的投影曲线的方程; (2)求S 的质量.M【详解】(1)交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ,得到222x y x +=.所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩(2)利用第一类曲面积分,得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥. 假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他.(1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X PA.与μ无关,而与2σ有关.B.与μ有关,而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设),,(321αααA =为3阶矩阵.若 21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )( . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.(1)求)(x y ;(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.(1)求b a ,;(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121,n =(0,1,2…)(1)证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a (n =2,3…) (2)求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.(1)求c b a ,,.(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似(1)求y x ,.(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =(1)求z 的概率密度.(2)p 为何值时,X 与Z 不相关. (3)X 与Z 是否相互独立?23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ,T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解:(1))()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xe x y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e,)3,3(23-e .16. 解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,由题设可得,4836-=-ba ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a(2)dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.(2)()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ,,,,则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解:(I )Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()zF z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. (II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.(III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解:(I )由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰,从而A =(II )构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他,当,1,2,,i x i nμ≥=时,取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。