全国名校高中数学题库--圆
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圆的方程
题型一、圆的方程求法 2 2 2 1． （1）方程 x + y + ax + 2ay + 2a + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围是 2 2 A． a < −2 B． − < a < 0 C． −2 < a < 0 D． −2 < a < 3 3
（ D ）
（2）若方程 a 2 x 2 + (a + 2) y 2 + 2ax + a = 0 表示圆，则 a 的值为_____________． − 1 （3） 方程 y= 1 − x 2 表示的曲线是 A．上半圆 Ｂ．下半圆 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 （ ） ( )
2
得
5d2≥1.
所以5d 有最小值1，从而d有最小值
2
5 5
将其代入②式得2b ±4b+2=0.解得b=±1.
3
将b=±1代入r =2b ,得r =2.由r =a +1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r =2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位 置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方 程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.
x2 + y2 = 9或 x2 + y2 = 1
2．动点在圆 x 2 + y 2 = 1 上移动时，它与定点 B (3,0) 连线的中点轨迹方程是（ C ） A． ( x + 3) 2 + y 2 = 4 C． ( 2 x − 3) 2 + 4 y 2 = 1 B． ( x − 3) 2 + y 2 = 1 D． ( x +
（2）求经过两已知圆 C1 : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0和C2 : x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0 的交点，且 圆周被直线 l : 2 x + 4 y = 1 平分的圆的方程；
（3）圆心在原点且圆周被直线 3 x + 4 y + 15 = 0 分成 1:2 两部分的圆的方程.
（
）
（2）与 x, y 轴均相切且过点 (1,8) 的圆；
（3）求经过 A(5 , 2) ， B (3 , − 2) 两点，圆心在直线 2 x − y = 3 上的圆的方程；
1
4．根据下列条件，求圆的方程： （1）与圆 O : x 2 + y 2 = 4 相外切于点 P ( −1, 3) ，且半径为 4 的圆的方程；
2
2
AB = 2 3 ，求直线 l 的方程； ( 2 ) 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ，设 m 与 y 轴
���� ���� � ���� 的交点为 N ，若向量 OQ = OM + ON ，求动点 Q 的轨迹方程，并说明此方程表示的曲线。
5
1 ⎧ x0 + × 2 ⎪ 2 ⎪x = 1 ⎪ 1+ ⎪ 2 ⎨ 1 ⎪ y0 + × 0 ⎪y = 2 ⎪ 1 1+ ⎪ 2 ⎩
3 ⎧ x0 = x − 1 ⎪ ⎪ 2 ∴⎨ ⎪ y0 = 3 y ⎪ ⎩ 2
2 2 ∵Q 在圆 x 2 + y 2 = 1 上，∴ x 0 ＝１， + y0
∴ ( x − 1) 2 + (
7
11．点 A ( 0, 2 ) 是圆 x 2 + y 2 = 16 内的定点，点 B, C 是这个圆上的两个动点，若 BA ⊥ CA , 求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
12．已知圆 C 方程为： x + y = 4 . (1) 直线 l 过点 P (1,2 ) ，且与圆 C 交于 A 、 B 两点， 若
2
2
2 于是,所求圆的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
| a − 2b | ∴ a − 2b = ± 5d 5 得a 2 = 4b2 ± 4 5bd + 5d 2
d=
将a2=2b2-1代入上式,整理得
2b2 ± 4 5db + 5d 2 + 1 = 0 ②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2-1)≥0,
（4）方程 x( x 2 + y 2 − 4) = 0与x 2 + ( x 2 + y 2 − 4) 2 = 0 表示的曲线是 A．都表示一条直线和一个圆 B．都表示两个点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 D．前者是两个点，后者是一直线和一个圆 （5）方程 x − 1 = 1 − ( y − 1) 2 表示的曲线是_____________．_两个半圆 2．圆 x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 关于直线 2 x + y + 5 = 0 对称的圆的方程是 A． ( x + 7)2 + ( y + 1)2 = 1 B． ( x + 7) 2 + ( y + 2) 2 = 1 C． ( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 1 D． ( x + 6) 2 + ( y − 2) 2 = 1 3．求满足下列各条件圆的方程： （1）以 A( 4 , 9) ， B (6 , 3) 为直径的圆；
2
2
2
2
2
2
8．求经过点 P（－2，4）,且以两圆：x2＋y2－6x=0， x2＋y2=4 公共弦为一条弦的圆的方程． x2＋y2＋6x－8=0
9. 已 知 圆 系 x 2 + y 2 − 2ax + 2 ( a − 2) y + 2 = 0 ， 其 中 a≠1, 且 a∈R, 则 该 圆 系 恒 过 定 点 ________． （1,1）
5 ,所以圆 C 的方程是 ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 5 .
(2)设直线 l 的方程是: y = x + b . 因为 CA ⊥ CB , 所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即
��� �
��� �
| 2 −1+ b | 1 +1
2 2
=
10 2
10 , 2
解得: b = −1 ± 5 .所以直线 l 的方程是: y = x − 1 ± 5 .
（3）已知△ABC 三边所在直线方程分别为 AB：x＋2y＋2=0,BC：2x－y－6=0，CA： 7 125 x－2y＋6=0，求△ABC 的外接圆的方程． （x－1)2＋(y－ )2= 提示：AB⊥BC 2 4
（4）在平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + b( x ∈ R) 的图象与两个坐 标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C 。 ①求实数 b 的取值范围； ②求圆 C 的方程； ③问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 无关） ？请证明你的结论。
3 2 1 ) + y2 = 2 2
3．直线 l1 过 A（a,0)，l2 过 B（－a,0)，它们在 y 轴上的截距分别为 m,n，且 mn=a2，求两直 线交点的轨迹．
x2 + y2 = a2
4．已知点 A(3,0)，P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上任意一点，∠AOP 的平分线交 PA 于 M(O 为原点)， 试求点 M 的轨迹.
⎧x ≥ 0 ⎪ 10． 已知平面区域 ⎨ y ≥ 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 及其内部 ⎪x + 2 y − 4 ≤ 0 ⎩
所覆盖． (Ⅰ)试求圆 C 的方程． (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ⊥ CB ,求直线 l 的方程． 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O (0, 0), P(4, 0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部,且 △ OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
4
题型二、与圆相关的轨迹问题
1． （1） 由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1 引两条切线 PA, PB ， 切点分别为 A, B ， 若 ∠APB = 60° ， 则动点 P 的轨迹方程为______________． x 2 + y 2 = 4 （2） 由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 4 引两条切线 PA, PB ， 切点分别为 A, B ， 若 ∠APB = 90° ， 则动点 P 的轨迹方程为______________． x 2 + y 2 = 8 （3）若半径为 1 的动圆与圆 x 2 + y 2 = 4 相切，则动圆圆心的轨迹方程是______________．
P
M
N
来自百度文库
7． A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知 | BC |= 4 ， A 到 l 的距离为 3，求 ∆ABC 的 外心的轨迹方程。
8．过圆 O：x2＋y2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这个圆的切线 l，M 为 l 上任意一点，过 M 作圆 O 的另一条切线，切点为 Q，当点 M 在直线 l 上移动时，求△MAQ 垂心 H 的轨迹方 程． 【解】设所求轨迹上的任意一点 H（x,y) ，圆上的切点 Q（x0,y0) ∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形 AOQH 为菱形． ∴x0=x,y0=y－2． ∵点 Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4 ∴H 点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)． 9 ． 已 知 OP = ( 2 + 2cos α , 2 + 2sin α ) （ α ∈ R ， O 为 坐 标 原 点 ） ， 向 量 OQ 满 足
（4）一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ，求此圆 的方程.
5． （1）过三点 O（0，0） ，M（1，1） ，N（4，2）的圆的方程是_____________．
（2）过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是_____________．(5，-1)
2 2 2 2
| a − 2b | 5
2 2 2 2 2
所以5d =│a-2b│ =a +4b -4ab≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d =1,从而d取得最小值. 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知 r = 解法二:同解法一得
2
2
2
2
5．如图，已知定点 A(2，0)，点 Q 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点，∠AOQ 的 平分线交 AQ 于 M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程.
【解】 ： 由三角形的内角平分线性质， 得
QM OQ 1 QM 1 = = ，∴ = . MA OA 2 MA 2
设 M、Q 的坐标分别为(x,y)、(x０,y０)，则
2
6．设圆上的点 A(2,3) 关于直线 x + 2 y = 0 的对称点仍在圆上，且与直线 x − y + 1 = 0 相交 的弦长为 2 2 ，求圆的方程．
7．设圆满足：①截 y 轴所得的弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1．在 满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线 l：x－2y=0 的距离最小的圆的方程． 解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│. 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 2 r ，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r =a +1.从而得2b -a =1. 又点P(a,b)到直线x−2y=0的距离为 d =
3 2
3 2 y) = 1 2 2 3 4 . 9
∴动点 M 的轨迹方程为 ( x − ) 2 + y 2 =
6
6．如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 A PM、PN （M、N 分别为切点） ，使得 PM =
2PN 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.
��� �
����
��� � ���� � OP + OQ = 0 ，则动点 Q 的轨迹方程是__________________．
10．设 A ( −c, 0 ) ， B ( c, 0 ) （ c > 0 ）为两定点，动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离的比 为定值 a （ a > 0 ） ，求 P 点的轨迹.
题型一、圆的方程求法 2 2 2 1． （1）方程 x + y + ax + 2ay + 2a + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围是 2 2 A． a < −2 B． − < a < 0 C． −2 < a < 0 D． −2 < a < 3 3
（ D ）
（2）若方程 a 2 x 2 + (a + 2) y 2 + 2ax + a = 0 表示圆，则 a 的值为_____________． − 1 （3） 方程 y= 1 − x 2 表示的曲线是 A．上半圆 Ｂ．下半圆 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 （ ） ( )
2
得
5d2≥1.
所以5d 有最小值1，从而d有最小值
2
5 5
将其代入②式得2b ±4b+2=0.解得b=±1.
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将b=±1代入r =2b ,得r =2.由r =a +1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r =2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位 置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方 程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.
x2 + y2 = 9或 x2 + y2 = 1
2．动点在圆 x 2 + y 2 = 1 上移动时，它与定点 B (3,0) 连线的中点轨迹方程是（ C ） A． ( x + 3) 2 + y 2 = 4 C． ( 2 x − 3) 2 + 4 y 2 = 1 B． ( x − 3) 2 + y 2 = 1 D． ( x +
（2）求经过两已知圆 C1 : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0和C2 : x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0 的交点，且 圆周被直线 l : 2 x + 4 y = 1 平分的圆的方程；
（3）圆心在原点且圆周被直线 3 x + 4 y + 15 = 0 分成 1:2 两部分的圆的方程.
（
）
（2）与 x, y 轴均相切且过点 (1,8) 的圆；
（3）求经过 A(5 , 2) ， B (3 , − 2) 两点，圆心在直线 2 x − y = 3 上的圆的方程；
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4．根据下列条件，求圆的方程： （1）与圆 O : x 2 + y 2 = 4 相外切于点 P ( −1, 3) ，且半径为 4 的圆的方程；
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AB = 2 3 ，求直线 l 的方程； ( 2 ) 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ，设 m 与 y 轴
���� ���� � ���� 的交点为 N ，若向量 OQ = OM + ON ，求动点 Q 的轨迹方程，并说明此方程表示的曲线。
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1 ⎧ x0 + × 2 ⎪ 2 ⎪x = 1 ⎪ 1+ ⎪ 2 ⎨ 1 ⎪ y0 + × 0 ⎪y = 2 ⎪ 1 1+ ⎪ 2 ⎩
3 ⎧ x0 = x − 1 ⎪ ⎪ 2 ∴⎨ ⎪ y0 = 3 y ⎪ ⎩ 2
2 2 ∵Q 在圆 x 2 + y 2 = 1 上，∴ x 0 ＝１， + y0
∴ ( x − 1) 2 + (
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11．点 A ( 0, 2 ) 是圆 x 2 + y 2 = 16 内的定点，点 B, C 是这个圆上的两个动点，若 BA ⊥ CA , 求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
12．已知圆 C 方程为： x + y = 4 . (1) 直线 l 过点 P (1,2 ) ，且与圆 C 交于 A 、 B 两点， 若
2
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2 于是,所求圆的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
| a − 2b | ∴ a − 2b = ± 5d 5 得a 2 = 4b2 ± 4 5bd + 5d 2
d=
将a2=2b2-1代入上式,整理得
2b2 ± 4 5db + 5d 2 + 1 = 0 ②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2-1)≥0,
（4）方程 x( x 2 + y 2 − 4) = 0与x 2 + ( x 2 + y 2 − 4) 2 = 0 表示的曲线是 A．都表示一条直线和一个圆 B．都表示两个点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 D．前者是两个点，后者是一直线和一个圆 （5）方程 x − 1 = 1 − ( y − 1) 2 表示的曲线是_____________．_两个半圆 2．圆 x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 关于直线 2 x + y + 5 = 0 对称的圆的方程是 A． ( x + 7)2 + ( y + 1)2 = 1 B． ( x + 7) 2 + ( y + 2) 2 = 1 C． ( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 1 D． ( x + 6) 2 + ( y − 2) 2 = 1 3．求满足下列各条件圆的方程： （1）以 A( 4 , 9) ， B (6 , 3) 为直径的圆；
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8．求经过点 P（－2，4）,且以两圆：x2＋y2－6x=0， x2＋y2=4 公共弦为一条弦的圆的方程． x2＋y2＋6x－8=0
9. 已 知 圆 系 x 2 + y 2 − 2ax + 2 ( a − 2) y + 2 = 0 ， 其 中 a≠1, 且 a∈R, 则 该 圆 系 恒 过 定 点 ________． （1,1）
5 ,所以圆 C 的方程是 ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 5 .
(2)设直线 l 的方程是: y = x + b . 因为 CA ⊥ CB , 所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即
��� �
��� �
| 2 −1+ b | 1 +1
2 2
=
10 2
10 , 2
解得: b = −1 ± 5 .所以直线 l 的方程是: y = x − 1 ± 5 .
（3）已知△ABC 三边所在直线方程分别为 AB：x＋2y＋2=0,BC：2x－y－6=0，CA： 7 125 x－2y＋6=0，求△ABC 的外接圆的方程． （x－1)2＋(y－ )2= 提示：AB⊥BC 2 4
（4）在平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + b( x ∈ R) 的图象与两个坐 标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C 。 ①求实数 b 的取值范围； ②求圆 C 的方程； ③问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 无关） ？请证明你的结论。
3 2 1 ) + y2 = 2 2
3．直线 l1 过 A（a,0)，l2 过 B（－a,0)，它们在 y 轴上的截距分别为 m,n，且 mn=a2，求两直 线交点的轨迹．
x2 + y2 = a2
4．已知点 A(3,0)，P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上任意一点，∠AOP 的平分线交 PA 于 M(O 为原点)， 试求点 M 的轨迹.
⎧x ≥ 0 ⎪ 10． 已知平面区域 ⎨ y ≥ 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 及其内部 ⎪x + 2 y − 4 ≤ 0 ⎩
所覆盖． (Ⅰ)试求圆 C 的方程． (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ⊥ CB ,求直线 l 的方程． 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O (0, 0), P(4, 0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部,且 △ OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
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题型二、与圆相关的轨迹问题
1． （1） 由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1 引两条切线 PA, PB ， 切点分别为 A, B ， 若 ∠APB = 60° ， 则动点 P 的轨迹方程为______________． x 2 + y 2 = 4 （2） 由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 4 引两条切线 PA, PB ， 切点分别为 A, B ， 若 ∠APB = 90° ， 则动点 P 的轨迹方程为______________． x 2 + y 2 = 8 （3）若半径为 1 的动圆与圆 x 2 + y 2 = 4 相切，则动圆圆心的轨迹方程是______________．
P
M
N
来自百度文库
7． A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知 | BC |= 4 ， A 到 l 的距离为 3，求 ∆ABC 的 外心的轨迹方程。
8．过圆 O：x2＋y2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这个圆的切线 l，M 为 l 上任意一点，过 M 作圆 O 的另一条切线，切点为 Q，当点 M 在直线 l 上移动时，求△MAQ 垂心 H 的轨迹方 程． 【解】设所求轨迹上的任意一点 H（x,y) ，圆上的切点 Q（x0,y0) ∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形 AOQH 为菱形． ∴x0=x,y0=y－2． ∵点 Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4 ∴H 点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)． 9 ． 已 知 OP = ( 2 + 2cos α , 2 + 2sin α ) （ α ∈ R ， O 为 坐 标 原 点 ） ， 向 量 OQ 满 足
（4）一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ，求此圆 的方程.
5． （1）过三点 O（0，0） ，M（1，1） ，N（4，2）的圆的方程是_____________．
（2）过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是_____________．(5，-1)
2 2 2 2
| a − 2b | 5
2 2 2 2 2
所以5d =│a-2b│ =a +4b -4ab≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d =1,从而d取得最小值. 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知 r = 解法二:同解法一得
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5．如图，已知定点 A(2，0)，点 Q 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点，∠AOQ 的 平分线交 AQ 于 M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程.
【解】 ： 由三角形的内角平分线性质， 得
QM OQ 1 QM 1 = = ，∴ = . MA OA 2 MA 2
设 M、Q 的坐标分别为(x,y)、(x０,y０)，则
2
6．设圆上的点 A(2,3) 关于直线 x + 2 y = 0 的对称点仍在圆上，且与直线 x − y + 1 = 0 相交 的弦长为 2 2 ，求圆的方程．
7．设圆满足：①截 y 轴所得的弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1．在 满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线 l：x－2y=0 的距离最小的圆的方程． 解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│. 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 2 r ，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r =a +1.从而得2b -a =1. 又点P(a,b)到直线x−2y=0的距离为 d =
3 2
3 2 y) = 1 2 2 3 4 . 9
∴动点 M 的轨迹方程为 ( x − ) 2 + y 2 =
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6．如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 A PM、PN （M、N 分别为切点） ，使得 PM =
2PN 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.
��� �
����
��� � ���� � OP + OQ = 0 ，则动点 Q 的轨迹方程是__________________．
10．设 A ( −c, 0 ) ， B ( c, 0 ) （ c > 0 ）为两定点，动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离的比 为定值 a （ a > 0 ） ，求 P 点的轨迹.