某些线性微分方程的算子解法

第23卷第5期 唐山师范学院学报 2001年9月 Vol. 23 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2001

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收稿日期：2001-06-20

作者简介：崔万臣（1953-），男，河北丰南人，唐山师范学院数学系讲师。 - 41 -

某些线性微分方程的算子解法

崔万臣

(唐山师范学院 数学系，河北 唐山 063000)

摘 要：给出了某些基本类型的线性微分方程的算子解法。

关键词：算子；逆算子；线性方程；特征根

中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2001）05-0041-02

在常微分方程中，方程求解问题是很重要的内容。一般常微分方程的求解不是容易的，但常系数线性方程的求解已经有了较多的方法。本文给出某些基本类型的常系数线性微分方程的算子解法。

1 算子的概念和性质

定义1 记d D dx

=;222d D dx =… …n n n d D dx =。称2n D,D ......D 极其多项式n n 11n 1n L(D)D a D a D a --=++++ 为微分算子，简称算子。于是方程n n 11n 1n n n 1d d d y a y ......a y a y f (x)dx dx dx

---++++=可记为L(D)y f (x)= 定义2 设L(D)为一算子，若存在算子H(D)使L(D)(H(D)f (x))f (x)=，则称H(D)为L(D)的逆算子，记为1H(D)L(D)=于是方程L(D)y=f(x)等价于1y f (x)L(D)

=可以证明，算子具有以下性质(证明略) 1．11221122L(D)(a y a y )a L(D)y a L(D)y +=+

2．()()()()1212L (D)L D y L D L D y =

3．

x x 11e e (L()0)L(D)L()λλ=λ≠λ 4.()x x 11e f (x)e f x L(D)L(D )

λλ=+λ 2 某些基本类型微分方程的算子解法

类型Ⅰ k L(D)y f (x)=，其中k f (x)为x 的k 次多项式。分两种情况讨论

1°若L(0)≠0，由逆算子定义直接可求得特解k k 1y f (x)Q(D)f (x)L(D)

== 2°若L(0)=0,此时，()()()s 11L(D)D L D L 00,s 0=≠>

由性质2，方程的特解k k s 111y f (x)f (x)L(D)D L(D)

== 例1 求方程22(D 1)y x 5+=+特解

第23卷第5期 唐山师范学院学报 2001年第5期

- 42 - 解 L(D)=D 2+1，L(0)≠0，方程的特解为222221y (x 5)(1D )(x 5)x 3D 1

=+=-+=++ 类型Ⅱ：L(D)x k y e f (x)(1)λ=，其中f k (x)为x 的k 次多项式，λ为复常数

由性质4°，方程的特解为()x x k k 11y e f (x)e f x L(D)L(D )

λλ==+λ特殊地，当f k (x)≡1时，方程为L(D)y=x e λ (2) 1°若L(λ)≠0，即λ不是方程(2)的特征根，由性质3得方程(2)的特解为x x 11y e e L(D)L()λλ=

=λ 2°若L(λ)=0，即λ是方程(2)的s 重特征根，则()()()s 1L D D L D =-λ。其中()1L 0λ≠，于是方程(2)

的特解为()()()

()()()()s

x x x x s 11111111x y e e e e s 0L D L D D L D S!L D λλλλ====>-λλ-λ 例2 求方程()2x D 2D 1y 5xe -+=的特解

解 方程的特解为()()x x x 3x 2221115y 5xe 5e x 5e x x e D 2D 1D 6D 12D 11

====-++-++ 例3 求()2D 3D 2y cos 2x -+=的特解

解 考察辅助方程22ix (D 3D 2)y e -+=其特解为

()()2ix 2ix 2ix 22

111y e e e D 3D 226i 2i 32i 2===-+---+1331cos 2x sin 2x i cos 2x sin 2x 20202020⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭于是，其实部113y cos 2x sin 2x 2020

=--为原方程的特解 由上我们可以看出利用算子求某些类型的常系数线性方程特解的方便和简捷之处。

参考文献：

[1]中山大学.常微分方程[M].北京:人民教育出版社,1998.

[2]Grammatikopoulos M K, Ladas G ,Meimaridou A. Oscillations of order neutral delay differential equations[J]. Rad. Mat., 1985.

[3]Waltman p.A note on an oscillation criterion for an equation with a functional argument[J].Canad. Math. Bull., 1968.

Operator Solutions to Some Linear Differential Equations

CUI Wan-chen

(Mathematics Department, Tangshan Teachers College, Hebei Tangshan 063000)

Abstract: The article discusses the solutions to some basic linear differential equations.

Key Words: arithmetic operator; inverse operator; linear differential equation; latent root

责任编辑、校对：陈景林