高精度WENO有限体积格式

sr (i) ={xi−r ,......, xi−r+k } r = 0,1,......, k
WENO格式的构造是建立在 格式的构造是建立在ENO的基础之上，它不是选 的基础之上， 格式的构造是建立在 的基础之上 择最光滑的节点模板构造插值多项式， 择最光滑的节点模板构造插值多项式，而是对所有的多项式 进行一次凸组合。 的选择是关键。 进行一次凸组合。振荡因子ωi的选择是关键。要求在间断 解附近，要无振荡（ 在光滑的区域， 解附近，要无振荡（ENO）； ）； 在光滑的区域，有尽可能高的 精度；权系数之和为 ， 精度；权系数之和为1，即
Jiang对WENO格式进行了改进和提高， Jiang对WENO格式进行了改进和提高，提出了 格式进行了改进和提高 一种新的光滑措施， 一种新的光滑措施，能使这种格式在光滑的
阶精度， ENO格式达到 区域达到 (2r −1) 阶精度，在ENO格式达到 r 阶精度的 情况下) 在间断解区域权设置系数近似于零， 情况下)，在间断解区域权设置系数近似于零，可达到 基本无震荡的效果。 基本无震荡的效果。 上述进行的研究，大多局限于结构网格上。近年来， 上述进行的研究，大多局限于结构网格上。近年来， 在非结构网格上开展这方面的工作也有了一些进展， 在非结构网格上开展这方面的工作也有了一些进展，如 Abgrall，Harten对ENO格式进行了研究,Hu等人对 格式进行了研究,Hu等人对WENO Abgrall，Harten对ENO格式进行了研究,Hu等人对WENO 格式进行了研究。 格式进行了研究。但总起来说开展这方面的研究工作不 还不很成熟，没有形成全面系统的理论体系。 多，还不很成熟，没有形成全面系统的理论体系。 近年来又出现了用点云离散计算区域的无网格算法， 近年来又出现了用点云离散计算区域的无网格算法， 适合处理复杂的气动外形。 适合处理复杂的气动外形。
研究现状
Harten和Osher等人在1987年提出的ENO格式 等人在1987年提出的ENO格式， Harten 和 Osher 等人在 1987 年提出的 ENO 格式 ， 重点论述了一维有限体积的构造，自此， 重点论述了一维有限体积的构造，自此，人们对于 高精度格式的研究进入了一个新的阶段。 ENO格式 高精度格式的研究进入了一个新的阶段 。 ENO 格式 已被成功的用来解决双曲型守恒律问题和其它的对 流扩散问题。后来， Harten把ENO有限体 流扩散问题 。 后来 ， Casper 和 Harten 把 ENO 有限体 积格式的构造推广到二维守恒律方程。 积格式的构造推广到二维守恒律方程。在间断解区 ENO格式能有效的捕捉到激波 格式能有效的捕捉到激波， 域 ， ENO 格式能有效的捕捉到激波 ， 但此格式也有 缺陷，就是在光滑解区域不很理想。 缺陷，就是在光滑解区域不很理想。 Liu 等提出了 WENO格式 可以克服这种不足， 格式, WENO格式, 可以克服这种不足，这种方法不是选择 最光滑的网格模板，而是取它们的一个凸组合， 最光滑的网格模板，而是取它们的一个凸组合，对 r 组合中的每组网格模板上构造的插值多项式设置一 个系数，以此决定对数值通量逼近函数的贡献， 个系数，以此决定对数值通量逼近函数的贡献，在 阶精度（ ENO格式达到 光滑区域可以达到 (r +1) 阶精度 （ 在 ENO 格式达到 阶精度的情况下） 阶精度的情况下）。
一维守恒方程 ENO和WENO格式 和 格式
考虑一维守恒方程
ut + fx (u) = 0
u = (u1,u2,......,un )Τ f (u) = ( f1(u), f2(u),......, fn (u))Τ
写成半离散的形式 其中
ˆ = f + (u) + f − (u) = 1 ( f (u) +αu) + 1 ( f (u) −αu) f 2 2
F(U(Gj ,t) ⋅ n ≈[(F(U− (Gj ,t)) + F(U+ (Gj ,t))) ⋅ n −α(U+ (Gj ,t) −U− (Gj ,t))]
处的值， 插值多项式在 Gj 处的值， + 为与相邻的控制体 ∆i上构造的插 U 插值多项式在 Gj 处的值 。 有限体积法计算的是平均值 U ，在 构造插值多项式函数。 ，由 i 网格 ∆i上 由 ∆上平均值 U 构造插值多项式函数。 为赋值点，即所谓的格子中心型。 为赋值点，即所谓的格子中心型。 我们以三角形网格作为计算网格， 我们以三角形网格作为计算网格，三角形网格的重心作
插值多项式的构造
上的ENO插值多项式 p2 (x, y)，需要六个三角 为了构造 ∆0 上的 插值多项式 形网格， 形网格，不妨设阴影部分 为选定的三角形网格模板， 为选定的三角形网格模板，记为
S = {∆0 , ∆i , ∆ j , ∆k , ∆ia , ∆ jb}
有限体积法选用的一般三角形计算网格
d 1 u(t) = − ( f 1 − f 1 ) i− dt ∆x i+2 2
其中
α = m f ′(u) ax
u
节点模板通常有固定模板和优化模板两种选取方法。 节点模板通常有固定模板和优化模板两种选取方法。 本文采用优化模板，在每次增加节点扩充模板时， 本文采用优化模板，在每次增加节点扩充模板时，要进 差商的绝对值比较。 行Newton差商的绝对值比较。取其极小值的扩充作为新 差商的绝对值比较 的模板。设选择的节点模板为： 的模板。设选择的节点模板为： 组节点模板， 个节点。 共有 k +1 组节点模板，每组有 k +1 个节点。例如对于 k = 2 时，节点模板选择如下图 节点模板选择如下图 ⅰ ⅱ ⅲ
∑ω
αi
i=0
k
i
=1
r Ck ωi = r αk = αk (ε + ISk )2 ∑
k=1
是表示插值多项式函数光滑程度的度量， 光滑因子 ISk 是表示插值多项式函数光滑程度的度量，即表 IS 明插值多项式函数振荡程度如何。 越大，振荡越剧烈。 明插值多项式函数振荡程度如何。 k 越大，振荡越剧烈。
ISk = ∑∫ h
r−1 i+1 2 2s−1 1 i− s=1 2
( f (s) )2 dx
控制方程的有限体积格式
有限体积格式可以写成
d 1 Ui (t) = − dt ∆i
∑
k= 1
3
Γk (
ω j F(U+ ,U− )) ∑
j= 1
p
本文选择Lax-Friedrichs通量 通量 本文选择
α为Jacobian矩阵特征值的上确界。 − 为在控制体∆i上构造 矩阵特征值的上确界。 矩阵特征值的上确界 U
网格模板的选取
构造二次多项式 p(x, y) , 选取十个三角形网格作为基 本网格模板。 本网格模板。 S = ∆0 , ∆i , ∆ j , ∆k , ∆ia , ∆ib , ∆ ja , ∆ jb , ∆ka , ∆kb
{
}
构造WENO二次插值多项式选取的典型的网格模板如下图 二次插值多项式选取的典型的网格模板如下图 构造
上述网格三角形可以重合
ia jb ka,i 0 ib,k j kb ja 特殊情况的网格模板(I) 特殊情况的网格模板 ia,jb i j
0 ja ib k ka板 )