计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
计算方法习题第二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
计算方法-刘师少版第三章课后习题完整答案
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 − 1 3 ⎥ = ⎢l ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎥ − 6 9 1 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣l 31
1 l32
⎤ ⎡u11 ⎥⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎦⎢ ⎣
u12 u 22
u13 ⎤ u 23 ⎥ ⎥ u 33 ⎥ ⎦
将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
l 2 = b2 − a 2 u1 = 4 −
1 15 = 4 4
u 2 = c2 / l2 = −
由
4 , 15
l3 = b3 − a3u 2 = 4 −
4 56 = 15 15
⎤ ⎡ ⎢4 0 0 ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎥ ⎢ 15 y2 ⎥ =⎢ 0 ⎥⎢ 4⎥ ⎢− 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢10⎥ ⎢ 56 ⎥⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ −1 ⎢ 15 ⎥ ⎦ ⎣
−1
消元
0 .5 1 .5 2 .5 0 .5 2 .5 1 .5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2
1 2 3 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0
0 .5
− 0 .5 − 0 .5
0.5
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0 ⎤ 1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
列选主
− 0.5 − 0.5
6
消元
0 .4 1 .2 0 .2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
3 2 3 3
0 2 3 − 6
0 ⎤ ⎡ y ⎤ ⎡5⎤ ⎥ 1 0 ⎥⎢ 3⎥ y2 ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 7 y ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎥ 3⎥ ⎦ 1 6 1 3
y1 =
再由
5 3
,
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
计算物理学课后答案(第一章、第二章)
第1章：绪论【1.2】设准确值为* 3.78694x =，*10y =，取它们的近似值分【1.1】按有效数字的定义，从两个方面说出1.0,1.00,1.000的不同含义【解】1.0,1.00,1.000的有效数字分别是两位，三位和四位；绝对误差限分别是0.05，0.005和0.0005别为123.7869, 3.780x x ==及129.9999, 10.1y y ==，试分析1212,,,x x y y 分别具有几位有效数字。
【解】*10.000040.00005x x -=<，1x 有5位有效数字；*20.006940.005x x -=>，2x 有2位有效数字；*10.000010.0005y y -=<，1y 有4位有效数字*2||0.10.5y y -=<，2y 有2位有效数字【1.3】（1）设p 的近似数有4位有效数字，求其相对误差限。
（2）用22/7和355/113作为 3.14159265p =L 的近似值，问它们各有几位有效数字？【解】（1）其绝对误差限是0.0005，则相对误差限为0.0005/3.1420.01591%r E ==（2）22/7 3.142857...=，有3位有效数字；355/113 3.14159292...=，有7位有效数字。
【1.4】试给出一种算法计算多项式32216180x a x a x a ++的函数值，使得运算次数尽可能少。
【解】24816328163281632012012,,,,x x x x x a x a x a x a x a x a x Þ++=++，总共8次乘法，两次加法【1.5】测量一木条长为542cm ，若其绝对误差不超过0.5cm ，问测量的相对误差是多少？【解】相对误差为0.5/5420.09%Î==【1.6】已知 2.71828e =L ，试问其近似值1232.7, 2.71, 2.718x x x ===各有几位有效数字？并给出他们的相对误差限。
计算方法 课后习题答案
得到方程组
3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
例如：设
与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
4。下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解：
设 B可以进行LU分解，则B=
计算得
其中。 。
解：(1)由题意，可设 ，由Lagrange插值余项公式得
(2)由(1)式可知，
15．给定数据表：
1
0
2
3
构造出函数 的差商表，并写出它的三次 插值多项式.
解：利用Newton插值公式：
先作出差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
3
1
3/2
13/4
1/2
2
0
3
1/6
1/3
3
2
5/3
-2/3
-5/3
证明：据题4可知，
令 ，则有 。注意到
（证明见王能超数值简明教程145页题6）
令 即有 。
9.已知 ，求差商 和 。
解：根据差商与微商的关系，有
10.已知 互异，求 。其中 。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）
解：因为 ，则
由差商性质 可知，
11.设首项系数为1的n次式 有n个互异的零点 ，证明
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
计算方法第二章作业答案参考
{
double mid=0,x1=0.3,x2=0.4;
while(1)
{mid=(x1+x2)/2;
if(f(mid)<0) {x2=mid;printf("x1=%10f,x2=%10f\n",x1,x2);}
else if(f(mid)>0) {x1=mid;printf("x1=%10f,x2=%10f\n",x1,x2);}
main()
{
float x1=1.5,a=0,b=0;
int i;
for(i=0;i<20;i++)
{
b=x1;
a=f(x1);
x1=f(a);
x1=(x1*b-a*a)/(x1-2*a+b);
printf("%10f",x1);
}
printf("\n因此，x=%.4f\n",x1);
}
9.用牛顿法求方程 在 附近的根，要求准确到小数点后第3位
main()
{
float x1=1.3;
int i;
for(i=0;i<20;i++)
{
x1=f(x1);
printf("%10f",x1);
}
printf("\n因此，x=%f\n",x1);
}
（3） ，
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) pow(x-1,-1*1.0/2)
main()
{
float x1=1.3;
2020_2021学年高中数学第二章算法初步2.2.1顺序结构与选择结构学案含解析北师大版必修320
2 算法框图的基本结构与设计2．1 顺序结构与选择结构考纲定位重难突破1.掌握算法框图中的两种算法结构——顺序结构、选择结构及其特点.2.通过具体的实例体会用算法框图表示算法的优点.3.会用算法框图表示简单的算法.重点：理解并掌握顺序结构、选择结构.难点：能正确选择并运用两种逻辑结构框图表示具体问题的算法.授课提示：对应学生用书第25页[自主梳理]1．算法框图在算法设计中，算法框图可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思路和步骤．2．算法的两种结构顺序结构选择结构定义按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构在算法流程中，需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构图形表示3.基本框图及其表示的功能图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息判断框判断某一个条件是否成立，成立时在出口处标明“是”；不成立时标明“否”处理框赋值、计算流程线连接图框[双基自测]1．任何程序框图中都不可缺少的是( )A．输入框B．处理框C．判断框D．起止框解析：任何一个算法都有开始和结束，因而任何程序框图必须有起止框．答案：D2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )A．处理框中B．判断框内C．输入、输出框内D．终端框内解析：根据程序框图中各图形符号的作用，知A选项正确．答案：A3．如图所示的算法框图中，输入a 1＝3，a2＝4，则输出的结果是( )A．12 B．7C．34 D．43解析：∵a1＝3，a2＝4，∴b＝a1a2＝3×4＝12.答案：A授课提示：对应学生用书第26页探究一顺序结构的算法框图[典例1] 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出该问题的一个算法，并画出算法框图．[解析] 算法如下：1．输入点的坐标x0，y0及直线方程的系数A，B，C；2．计算z1＝Ax0＋By0＋C；3．计算z2＝A2＋B2；4．计算d＝|z1| z2；5．输出d.算法框图如图所示：顺序结构只须严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉．最后将解题步骤“细化”就可以．“细化”指的是写出算法步骤、画出算法框图．1.阅读如图所示的程序框图，根据程序框图和以下各小题的条件解决问题．(1)若输入x的值分别是0和－1时，输出y的值分别是2和5，试求a，b的值．(2)在(1)的条件下，要使输出的y的值不小于11，应使输入的x的值在什么X围内？解析：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝2，2a＋b＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝－1.(2)由(1)知y＝3·⎝⎛⎭⎪⎫12x－1，因此当输出的y的值不小于11时，有3·⎝⎛⎭⎪⎫12x－1≥11，即⎝⎛⎭⎪⎫12x≥4，解得x≤－2.即输入的x的值的X围是(－∞，－2]．探究二选择结构的算法框图[典例2] 已知函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 （x>0），0 （x＝0），1 （x<0）.写出求该函数函数值的算法并画出算法框图．[解析] 算法步骤如下：1．输入x.2．如果x>0，那么使y＝－1；如果x＝0，那么使y＝0；如果x<0，那么使y＝1；3．输出函数值y.算法框图如图所示：(1)设计算法框图时，首先设计算法分析(自然语言)，再将算法分析转化为算法框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画算法框图的方法，那么可以省略算法分析直接画出算法框图．在设计算法框图时，对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成选择结构来解决． (2)在处理分段函数问题的过程中，当x 在不同的X 围内取值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x 的值时，必须先判断x 的取值X 围，所以在算法框图中需要设计选择结构．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.如图所示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________． 解析：由框图可知只要满足①中的条件，则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写x <2，则②处应填写将log 2x 记为y . 答案：x <2 将log 2x 记为y探究三 算法框图的实际应用[典例3] 设计房租收费的算法，其要求是：住房面积90 m 2 以内，每平方米收费3元；住房面积超过90 m2时，超过部分，每平方米收费5元．画出算法框图，要求输入住房面积数，输出应付的房租．[解析] 算法如下：1．输入住房面积S.2．根据面积选择计费方式：若S≤90，则租金为M＝S×3；若S>90，则租金为M＝270＋(S－90)×5.3．输出房租M的值．算法框图如图所示：对于实际问题的算法，解决的关键是读懂题意，建立合适的模型，找到问题的计算公式，然后选择合适的算法结构表示算法过程．3．根据有关规定，从2019年1月1日起，某市儿童乘坐汽车免票标准按新标准执行．若儿童身高不超过1.2 m则免票；若身高超过1.2 m，但不超过1.5 m，可买半票；若超过1.5 m，则应买全票，试设计一个购票的算法，并画出相应的程序框图．解析：算法步骤如下：第一步，输入一个身高h.第二步，判断h≤1.2是否成立，若是，输出“免费乘车”并结束；否则执行第三步．第三步，判断h≤1.5是否成立，若是，输出“半票乘车”并结束；否则输出“全票乘车”并结束，程序框图如图所示：选择结构中应用题的解答[典例] (本题满分12分)试设计算法和程序框图，解关于x 的方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数)．[规X 解答] 算法步骤如下：1．输入a ，b 的值.…………………………………………………………………2分2．判断a ＝0①是否成立，若成立，则执行第3步；若不成立，则令x ＝－b a，输出x ，结束算法.……………………………………………………………………4分3．判断b ＝0②是否成立，若成立，则输出“方程的解为R ”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法.……………………………………………6分 程序框图为：……………………………………………………………………………………12分 [规X 与警示] (1)①处易漏掉a ＝0，失分点； ②处漏掉此步，得分减半，关键点．(2)在解含参数的方程时，常需要讨论，当方程两边同除以含参数的式子时，需按该式的值是否为0分类讨论．(3)分类讨论的关键是确定分类的标准，另外讨论要做到不重不漏，如本题中的分类标准为a 能否取0.[随堂训练]对应学生用书第27页1．如图，是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为( )A．顺序结构B．判断结构C．选择结构D．以上都不对解析：由选择结构的特点可知．答案：C(第1题图) (第2题图)2．阅读如图所示的程序框图，若输出S的值为－7，则判断框内可填写( )A．i<3 B．i<4C．i<5 D．i<6初始值第一次循环第二次循环第三次循环S 21－2－7i 1357当S＝－7答案：D3．关于算法框图的图形符号的理解，正确的有________．①任何一个算法框图都必须有起止框；②输入框只能放在开始框之后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．解析：输入框可以放在需要输入的任何地方，所以②错；判断框内的条件不一定是唯一的，所以④错．答案：①③4．阅读如图所示的程序框图，回答问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.55，则输出的数是a，b，c中的________．解析：因为50.6>1，0<0.65<1，log0.55<0，所以三个数中a最大，故应填a.答案：a。
计算方法-刘师少版第四章课后习题完整答案
λ 2 = 0.8 ，故 ρ ( B) = 0.9 < 1 ，所以迭代法收敛。
4.6 设线性方程组
⎧ x1 + αx 2 = 4 ⎨ ⎩2αx1 + x3 = −3
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 α 的取值范围。 解 高斯－赛德尔迭代矩阵
⎡1 G s = −( D + L) U = − ⎢ ⎣2α
−1
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎢ 1⎥ 0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
−1
⎡ 1 = −⎢ ⎣− 2α
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡0 α ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣2α − 1⎥ 0⎥ ⎦⎣ ⎦
⎡0 − α ⎤ =⎢ 2⎥ ⎣0 2α ⎦
它的特征多项式为
α ⎤ ⎡λ det(λI − G s ) = ⎢ = λ (λ − 2α 2 ) 2⎥ ⎣ 0 λ − 2α ⎦
26
第 1 次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T
1.46 ⎧ (1) ⎪ x1 = 1 + 2 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 + 1 − 2 × 1 + 1) = 1.73 ⎪ 3 2 ⎪ 1.46 ( k +1) ⎪ x4 (1.73 − 2 × 1) = 0.8029 = 1+ 2 ⎩
第四章
⎧10 x1 − 2 x 2 − x3 = 3 ⎪ ⎨− 2 x1 + 10 x 2 − x3 = 15 ⎪− x − 2 x + 5 x = 10 2 3 ⎩ 1
要求 x
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
计算方法第2章习题 - 参考答案
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。
如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。
k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想课后训
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想课后训练 北师大版必修31．下列语句表述的是算法的有( )．①做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤； ②利用公式12S ah ＝计算底为1、高为2的三角形的面积； ③1242x x ＞＋； ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程可先求MN 的斜率再利用点斜式方程求得．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知算法：1．输入n .2．判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行第3步．3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，则满足条件．上述满足条件的数是( )．A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数3．下列所给问题中：①用二分法解方程：x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程组50,30;x y x y ++=⎧⎨-+=⎩③求半径为2的球的体积；④判断函数y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．下列是用“二分法”求方程x 2－5＝0的近似解的算法，请补充完整．1．令f (x )＝x 2－5，给定精确度d .2．确定区间(a ，b )，满足f (a )f (b )＜0.3．取区间中点m ＝________.4．若f (a )f (m )＜0，则含零点的区间为(a ，m )；否则，含零点的区间为(m ，b )．将新得到的含零点的区间仍记为(a ，b )．判断(a ，b )的长度是否小于d 或f (m )是否等于0.若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第3步．5．下面是一个求底面直径为8，高为4的圆锥的表面积与体积的算法，请补充完整．1．取r ＝4，h ＝4.2．计算l =3．计算S ＝________与V ＝________.4．输出计算结果．6．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值，写出解决本题的一个算法．7．写出求过已知三点的圆的方程的一个算法．8．已知函数342 1 1,log 1 12, 2,x x y x x x x ⎧-(≤)⎪=(+)(-<<)⎨⎪(≥)⎩，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．设计算法，求方程5x ＋2y ＝22的正整数解．参考答案1. 解析：①②④都表达了一种算法．答案：C2. 答案：A解析：由质数定义知，满足条件的数是质数．3. 答案：C解析：由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x ＞0或x ＜0时，函数y ＝x 2是单调递增或单调递减函数，但当x ∈R 时，由函数的图像可知在整个定义域R 上不是单调函数，因此不能设计算法求解．4. 答案：2a b + 解析：区间(a ，b )的中点，就是a 与b 的平均数2a b +. 5. 答案：πr 2＋πrl 21·3r h π6. 解：1.求出圆心到直线的距离d =＝1.21=.3．化简上面方程得|a +4．解方程得a ＝0.7. 解：已知三点坐标求圆的方程，一般采用圆的一般式方程，设出待定系数，再求出待定系数的值，解方程组即可完成．算法步骤如下：1．设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.2．将已知三点的坐标代入第1步中的方程，得到三个关于D 、E 、F 的方程．3．解第2步得到的三个方程组成的方程组，得到D 、E 、F 的值．4．将第3步求得的D 、E 、F 的值代入第1步的方程，这就是所求圆的方程．8. 解：算法如下：1．输入x .2．当x ≤－1时，计算y ＝2x －1，否则执行3.3．当x ＜2时，计算y ＝log 3(x ＋1)，否则执行4.4．计算y ＝x 4.5．输出y .9. 解：1．将x ＝1代入原方程，得172y ＝，这组解不是方程的正整数解． 2．将x ＝2代入原方程，得y ＝6，这组解是方程的正整数解．3．将x ＝3代入原方程，得72y ＝，这组解不是方程的正整数解．4．将x ＝4代入原方程，得y ＝1，这组解是方程的正整数解．5．方程的正整数解有两组：2,6,x y =⎧⎨=⎩或4,1.x y =⎧⎨=⎩。
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2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102
1-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为
)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2
11
a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.
2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过
0.5×10-4的根要二分多少次？
证明 令f (x )＝1－x －sin x ，
∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0
∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又
f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间
[0，1]内有唯一实根.
给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为
)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211
a b k 即可，亦即 7287.1312
lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.
2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1）211x x +=，迭代公式2111k
k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
解：（1）令211)(x x f +
=，则3
2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。
（2）令321)(x x f +=，则322)1(3
2)(-+='x x x f ，由于
134.0)5.11(35
.12)(322<≈+⨯='x f
迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
（3）令11)(-=x x f ，则3)
1(21)(--='x x f ，由于 1)
15.1(21)(3>--='x f
迭代发散。
（4）令1)(3-=x x f ，则2
1
32)1()(--='x x x f ，由于 115.15.11)(3232
>-=-='x x x f
迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，
3211k
k x x +=+ n=0,1,… 计算结果如下：
4727057
.1,481248.1,5.1210===x x x 466243
.1,4670480.1,4688173.1543===x x x 4656344
.1,4657102.14658768.1876===x x x 4656000
.19=x 4656000.1,102
19489=⨯≤--x x x 2.5 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ϕ，试讨论：
（1） 当C 取何值时，),2,1,0(),(1
==+k x x k k ϕ产生的序列{}k x 收敛于2； （2） C 取何值时收敛速度最快？ 解：（1）)2()(2-+=x C x x ϕ，Cx x 21)(+='ϕ，由已知条件知，当
1221)2(<+='C ϕ，即 02
1
<<-C 时，迭代收敛。
（2）当0)
(='x ϕ时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。
即
0221)2(=+='C ϕ，所以2
21-=C 时收敛最快。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
(1)
c 1不使用除法运算； (2) c
1不使用开方和除法运算. 解：（1）令c x =1，取21)(,1)(x x f c x x f -='-=，则 22211cx x x
c x x x -=---=
迭代格式为 21
2k k k cx x x -=+ 注：若令c x 1=，取1)(,1)(='-=x f c
x x f ，则 x c x x x =--=11
，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令c x =21，取3
22)(,1)(x x f x c x f ='-=，则 x x c x c x x
x c x x )2
23(22321
2332-=-=--= 迭代格式 k k k x x c x )2
23(21-=+
2.10 设23)()(a x x f -=。
（1） 写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式。
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
解：因23)()(a x x f -=，故)(6)(32a x x x f -='，由Newton 迭代公式：
,1,0,)()(1='-
=+n x f x f x x n n n n。