1.三角形的边角转换

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系三角形，作为几何学中最基本且最古老的存在之一，是我们理解空间结构的重要元素。

在众多的几何图形中，三角形以其独特的性质和关系，展示了丰富多样的形态和功能。

其中，边角关系是三角形属性中的核心内容之一。

我们来看三角形中的边与角的关系。

在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这是三角形边长关系的基本定理，它告诉我们三角形的三边长度之间是相互制约的。

同时，三角形的三个内角之和等于180度，这是三角形角的关系的基本定理。

我们来看三角形中的特殊边角关系。

等边三角形是三边长度相等的三角形，其三个内角都是60度。

这是三角形中一种简单而特殊的形式，其中所有的边都相等，所有的角也都相等。

等腰三角形是两边长度相等的三角形，其两个内角相等。

这是三角形中另一种常见的形式，其中两边的长度相等，相应的两个角也相等。

在等腰直角三角形中，两边的长度相等，一个角是直角。

这种三角形的特性是，其斜边的长度是直角的边的两倍。

这种关系在解决几何问题时非常重要，例如在勾股定理的应用中。

我们还可以看到，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

这是勾股定理的表现形式，它揭示了直角三角形中边与边之间的深刻关系。

三角形的边角关系是几何学中的基本概念，它反映了三角形的基本属性和结构。

对这些关系的理解和掌握，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何结构。

这些知识将贯穿我们在数学和其他科学领域的学习和应用中。

一、测试目的本单元测试旨在检验学生对三角形中边角关系的理解与运用。

三角形中的边角关系是几何学中最基本的概念之一，理解并掌握这些关系对于进一步学习和解决几何问题具有重要意义。

二、测试内容本单元测试主要包括以下几个方面的内容：1、三角形内角和定理及其应用2、三角形边角关系的应用3、特殊三角形的性质与判定三、测试形式本单元测试采用闭卷、笔试形式，考试时间为60分钟，满分为100分。

第六讲-三角形的概念及边角关系

第六讲:三角形的概念及边角关系【基础知识概述】一、三角形的基本概念及性质1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共顶点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角：2．三角形中的几条主要线段(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线交于一点．(3)三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高交于一点．3．三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．(2)三角形的三个内角之和等于︒180(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和．(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．(5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．4．三角形的分类【同步练习】一、填空题：1．△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，则其周长L 的取值范围是__________．2．有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组成_________个三角形．3．若等腰三角形，一边长为4 cm ，另一边为9 cm ，则三角形的周长是__________cm ．4．如图（1），AD 、BC 相交于O 点，AB ∥CD ，∠A ＝30°，∠AOB ＝100°，则∠ADE ＝__________．5．若三角形三个外角的度数之比为4：3：2，则三个内角之比为__________．6．如图（2），已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝36°，则∠BDC ＝__________．7．不等边△ABC 的三条边为整数且3-a +(b －２)2＝0，则c ＝__________．8．已知长度为a －2，a ，a ＋2的三条线段能组成一个三角形，则a 的取值范围是__________．图（1）图（2）图（3）9．如图（3）已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A＝40°，则∠D＝__________．10．AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是_______。

解三角形知识点总结

解三角形中的一些常用的知识点——周文强2020年2月28日14:19:071、正弦定理【边角转换定理】：2sin sin sin a b c R A B C ===（注：R 为ABC ∆的外接圆半径）边转角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===、、角转边：sin sin sin 222a b c A B C R R R ===、、适用的的条件：①边的齐次式；②角的正弦齐次式2、余弦定理【一角三边定理】：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+−+−−== 22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac+−+−−== 22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+−+−−== 3、常用面积公式汇总：面积公式一【已知底和高】：111222ABC a b c S ah bh ch Λ=== 面积公式二【已知两边夹一角】：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B Λ=== （以角为主导）面积公式三【已知三边】：2a b c p ++=，()()()ABC S p p a p b p c Λ=−−− 面积公式四【已知三点的坐标】： 112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 21213131(,),(,)AB x x y y AC x x y y =−−=−−，2131312111()()()()22ABC S AB AC x x y y x x y y Λ=⨯=−−−−− 4、面积公式+余弦定理 222tan 4b c a S A +−=， 222tan 4a cb S B +−=，222tan 4a bc S C +−= 5、中线长定理（D 为BC 的中点）2222()a b c a m +−=，2222()b a c b m +−=，2222()c a b c m +−= 推导：2222222222()22cos cos 00a a a AD c AD b b c a BDA CDA AD m AD a AD a ⎛⎫⎛⎫+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭∠+∠=⇒+=⇒==⋅⋅ 其他两个推导方法一致，这里说明下，a m 表示边a 的中线。

三角形边角互换公式

三角形边角互换公式三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它是由三条线段组成的图形。

三角形有很多种分类方法，比如按照边长分类、按照角度分类等等。

在学习三角形的过程中，我们会遇到一些定理和公式，这些定理和公式可以帮助我们更好地理解三角形。

其中一个非常重要的公式就是“三角形边角互换公式”。

三角形边角互换公式是指：在一个三角形中，三个角的对边分别为a、b、c，那么有以下三个等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinCsinA/a = sinB/b = sinC/ca =b +c - 2bc cosA这个公式的意义非常重要，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。

我们可以通过这个公式来求解三角形的边长、角度、面积等等。

下面我们来逐一解释一下这个公式的意义和应用。

第一个等式是a/sinA = b/sinB = c/sinC。

这个等式的意义是：在一个三角形中，对于任意一个角，它的对边与该角的正弦值之比是一个定值。

这个定值是三角形的周长的二分之一，即a+b+c的一半，也就是(s-a)+(s-b)+(s-c)。

这个公式可以帮助我们求解三角形的边长和角度。

比如，如果我们知道了三角形中一个角的正弦值和对边的长度，那么我们就可以通过这个公式求解出其他两个角的正弦值和对边的长度。

第二个等式是sinA/a = sinB/b = sinC/c。

这个等式的意义是：在一个三角形中，对于任意一个角，它的正弦值与该角的对边之比是一个定值。

这个定值是三角形的周长的二分之一，即a+b+c的一半，也就是(s-a)+(s-b)+(s-c)。

这个公式可以帮助我们求解三角形的角度。

比如，如果我们知道了三角形中一个角的正弦值和对边的长度，那么我们就可以通过这个公式求解出其他两个角的正弦值和对边的长度。

第三个等式是a = b + c - 2bc cosA。

这个等式的意义是：在一个三角形中，某一个角的余弦值与该角的对边平方之比是一个定值。

初中数学三角形边角关系的公式

初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是小编整理的初中数学三角形边角关系的公式大全，欢迎阅览。

初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。

(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。

关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系知识点梳理一、边1、根本概念〔三角形、边、顶点的定义；三角形的符号表示〕2、按边对三角形的分类：≠⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形☆3、三边关系：〔1〕任意两边之和大于第三边〔2〕任意两边之差小于第三边验证：两条较短边之和与第三边的关系二、角1、根本概念〔内角、外角〕2、按角对三角形的分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形3、三角形的内角和〔1〕三角形三个内角和等于180°；〔2)直角三角形的两个锐角互余；〔3〕一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。

三、线1、中线(1) 定义〔2〕重心〔3〕中线是线段〔4〕表示方法 2、高线〔1〕定义〔2〕垂心 (3〕高是线段，垂线是直线〔4〕表示方法〔5〕钝角三角形高的画法 3、角平分线〔1〕定义 (2)外心〔3〕画法〔4〕表示方法四、方法技能归纳法在规律探索中的应用。

根底练习第1题-〔1〕第1题-〔2〕第1题-〔2〕1、〔1〕以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.〔2〕图〔1〕中三角形的个数是____________;★图〔2〕中三角形的个数是____________。

2、三角形按角分类可以分为〔〕A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C ．直角三角形、等边直角三角形；D ．以上答案都不正确3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长是___________________________4、假设三角形的三边长分别为3,4，x -1，那么x 的取值范围是_________________________5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成_____个三角形6、,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，那么ABC 是__________三角形7、以下说法正确的选项是_____________________〔1〕等边三角形是等腰三角形；〔2〕三角形的两边之差大于第三边；〔3〕有两边相等的三角形一定是等腰三角形；〔4〕一个钝角三角形一定不是等腰三角形。

直角三角形的边角关系课件1

精选教课课件设计| Excellent teaching plan直角三角形的边角关系讲义第 1 节从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（要点）1、正切的定义在确立，那么 A 的对边与邻边的比便随之确立，这个比叫做∠ A 的正切，记作tanA 。

A 的对边 a即 tanA=A的邻边 b例 1 如图，△ ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图，已知在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， CD⊥ AB，AD=8， BD=4，求 tanA 的值。

BDC A精选教课课件设计| Excellent teaching plan2、坡度的定义及表示（难点我们往常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：h tan al注意：（ 1）坡度一般写成 1： m的形式（比率的前项为1，后项能够是小数）；（ 2）若坡角为 a，坡度为htana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。

il例 3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽 BC 为 6m，坝高为 3.2m，为了提升水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，而且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD? 的坡度不变，但是背水坡的坡度由本来的i ＝ 1： 2 变为 i ′＝ 1： 2.5，（相关数据在图上已注明）．?求加高后的坝底 HD 的长为多少？3、正弦、余弦的定义在 Rt 中，锐角∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA 。

A 的对边 a即 sinA=斜边 c∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA。

A 的邻边 b即 cosA=斜边 c例4在△ ABC中，∠ C=90°， BC=1， AC=2，求 sinA 、 sinB 、cosA、 cosB 的值。

经过计算你有什么发现？请加以证明。

精选教课课件设计| Excellent teaching plan4、三角函数的定义（要点）锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数。

边角互换公式

边角互换公式
相关信息
1、三角形的正弦定理的表达式为a/sina=b/sinb=c/sinc= 2r=d。

其中r为外接圆半径，d为直径。

2、表达的含义是在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

3、正弦定理在数学和物理中的应用，三角形的三个角a、b、c和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

正弦定理是解三角形的重要工具。

4、在解三角形中，已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

5、运用a:b:c=sina:sinb:sinc解决角之间的转换关系。

6、边角互化不仅在等式、分式中可以用，不等式中也可以用。

当出现关于边角的分式，等式或不等式时，一般是关系，而不是具体的值，要考虑是否应用边角互化。

边角互化的原则是化繁为简，化未知于已知。

一般用正弦定理进行化简，当出现与余弦定理相关的式子之后，才会用余弦定理。

《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。

会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。

2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。

3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。

4．了解三角形的稳定性。

知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。

注意：三角形的中线平分三角形的面积。

2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。

3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。

②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∆)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。

知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。

2．命题都可以写成：“如果……，那么……。

”的形式。

为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。

3．命题由题设、结论两部分组成。

“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。

4．命题分为真命题和假命题。

真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。

5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。

三角形度数计算机公式角度数换算公式

三角形度数计算机公式角度数换算公式三角形是一个有三条边和三个角的多边形。

在三角形中，角度是一个重要的概念，可以用来计算和描述三角形的特性和性质。

以下是三角形度数计算的一些公式和换算公式。

1.三角形内角和公式：三角形的内角和是一个固定值，等于180度。

对于一个普通的三角形，可以用以下公式计算内角和：内角和=第一个角度+第二个角度+第三个角度2.三角形外角和公式：如果将三角形的每个内角延长成一条射线，那么这些射线的外角和等于360度。

对于一个普通的三角形，可以用以下公式计算外角和：外角和=360度-内角和3.三角形内角的关系：在一个三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。

这些关系可以用以下公式表示：第一个角度+第二个角度>第三个角度第一个角度+第三个角度>第二个角度第二个角度+第三个角度>第一个角度4.直角三角形的特殊角度关系：直角三角形是一个至少有一个内角为90度的三角形。

在直角三角形中，有以下特殊的角度关系：第一个角度+第二个角度+第三个角度=180度第三个角度等于90度5.三角形的边角关系：在一个三角形中，三个内角和三个对应的边之间有一些特殊的关系。

这些关系可以用以下公式表示：sin(A) = a / c （正弦定理）sin(B) = b / csin(C) = a / bcos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) （余弦定理）cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)6.三角形的面积公式：三角形的面积可以通过以下公式计算：面积=0.5*底边长*高面积 = 0.5 * a * b * sin(C) （正弦定理）面积 = 0.5 * a * b * sin(C) = 0.5 * b * c * sin(A) = 0.5 * a * c * sin(B) （海伦公式）以上是三角形度数计算的一些公式和换算公式。

(新)初一几何——三角形的边角关系(一)

泛美国际学校数学教研室数学的学习可以让我们理性面对生活，可以让我们学会坚持和变得坚强。

——吴老师第 1 页共 2 页初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】1．根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。

2．充分利用三角形三边关系解决相关问题。

3．学会并掌握双垂直图形。

【知识库】1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短）由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A ．∠A ＝∠1＋∠2B ．2∠A ＝∠1＋∠2C ．3∠A ＝2∠1＋∠2D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2）变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。

【题型精讲】重难点一：三角形的面积。

例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ．若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为．例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。

（要求画出草图再求证）拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）若点P 在△ABC 外（图3），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( )A.1<a <5B.2<a <6C.3<a <7D.4<a <6例四：已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，确定b 的取值范围。

三角形的边角性质

三角形的边角性质甲内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。

用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ，五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 乙例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。

(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。

解三角形题中的边及的转化策略

sin A sin C 5 sin B ， b 1， ac 1 ﹒求 a, c 的值﹒
4
4
分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“ sin A sin C 5 sin B 〞转
4
化为三条边的关系“ a c 5 b 〞，联立“ a c 5 〞与“ ac 1 〞，解方程
4
4
4
组即可求出 a 、 c ﹒
解：由题设并利用正弦定理，得
aacc154
4
，解得
a c
1 1
4
，或
a c
1
4 1
﹒
点拨：运用正弦定理将角关系“ sin A sin C 5 sin B 〞转化为边关系
4
“ a c 5 b 〞是解此题的关键﹒
4
例 2 在△ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边，且
2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C ﹒求 A 的大小﹒
分析：此题条件“ 2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C 〞是一个边角混合
等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为
角；二是将角转化为边﹒此题假设将边转化为角，即将等式转化为
分析：此题是一道求边长的题目，先将两个等式“ bsin A 4 〞和
“ a cos B 3〞整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定
理将 b 转化为 sin B ，化简求出 tan B ，再进一步求出 cos B 、 a ﹒
a
sin A
解：将 a cos B 3、 b sin A 4 两式相除，有
z.
-
“ 2sin 2 A (2sin B sin C) sin B (2sin C sin B) sin C 〞，再化简求 A 比拟困

九年级第一章直角三角形的边角关系

九年级下册第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的与锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4），则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长；（2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2：如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。

三角形边角互换条件

三角形边角互换条件
1. 嘿，你知道吗，三角形的边角互换可有条件呢！就好像你想要跟朋友换个玩具，那也得人家愿意呀！比如在直角三角形中，直角所对的边最长，这可是铁打的规则呀！
2. 哇塞，三角形边角互换条件可重要啦！这就好比一场游戏的规则，不能随便乱来呀！像等腰三角形，两腰相等，那对应的角不也就相等啦！
3. 哎呀呀，三角形的边角互换条件得好好搞清楚呀！这就跟你找对钥匙才能打开锁一样关键呢！比如说等边三角形，三边相等，那三个角不也都相等嘛！
4. 嘿哟，三角形边角互换条件可不是闹着玩的！这就像你要去一个地方，得知道走哪条路一样呀！像直角三角形中，知道一个锐角，就能算出另一个锐角的度数啦！
5. 哇哦，三角形的边角互换条件真的很神奇呢！就好像变魔术一样，有它特定的门道哦！比如知道三角形的两个角和一条边，就能求出其他的边和角啦！
6. 哎呀，三角形边角互换条件你可不能小瞧呀！这就跟你掌握了一项技能一样重要呢！像知道了等腰三角形的顶角，就能算出底角的度数呀！
7. 嘿，三角形边角互换条件真的很有意思呢！这就像你和小伙伴玩猜谜游戏，得找到线索才行！比如三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，这多有趣呀！
8. 哇，三角形边角互换条件可是很有讲究的呢！这就像你搭配衣服，得搭对了才好看呀！像三角形中大边对大角，这不是显而易见嘛！
9. 哎呀呀，三角形边角互换条件真的要牢记呀！这就像你每天要记得刷牙一样重要呢！比如知道三角形的三条边长度，就能判断它是什么类型的三角形啦！
10. 嘿哟，三角形边角互换条件真的不简单呢！这就像解一道难题，得慢慢琢磨呀！像三角形中角平分线会把角分成相等的两部分，这多神奇呀！
我的观点结论：三角形边角互换条件是非常重要且有趣的知识，只有掌握了这些条件，我们才能更好地理解和运用三角形呀！。

三角形中的边角关系

三角形【2 】基本常识解释：△ABC中,角A,B,C的对边分离为a,b,c,p为三角形周长的一半,r为内切圆半径,R为外接圆半径,）h a,h b,h c分离为a,b,c边上的高S△ABC表示面积.1．三角形的界说：三条线段首尾按序贯穿连接所构成的图形,个中各条线段叫做三角形的边,每两条边构成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边.角.中线.高线.角等分线.周长.面积等都叫三角形的元素．3．肯定三角形的前提：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的根本元素,个中角肯定三角形的外形（定形）,边肯定三角形的大小（定量）,三角形具有稳固性．肯定三角形的前提是：已知三角形的三边（SSS）或双方及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与个中一角的对边（AAS）,这也是断定两个三角形全等的重要办法,全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小,不能肯定三角形,具有雷同大小的三个角的两个三角形是类似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线.垂心．（2）中线.重心及其的性质.坐标公式.向量公式及其物理意义.中线长定理．（3）中垂线.外接圆.外心．（4）内角等分线.内切圆.心坎.内角等分线定理．（5）外角等分线.旁切圆.旁心.外角等分线定理．（6）中位线.中位线定理.中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情形分：三边不等的三角形.等腰三角形.等边三角形.（2）按最大角的情形分：锐角三角形.直角三角形.钝角三角形.6．等腰三角形的剖断与性质.四线合一7．等边三角形的剖断与性质.四心合一（中间）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理.②外角定理③角的性质：规模.关系．④最大角.最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：双方之和大于第三边,双方之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中,大边所对的角也较大,相等双方所对的角也相等,反之也真．②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中,任何一边的平方都等于其他双方的平方和减去这双方与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中,任何双方在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的接洽）．④含30º角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：依据三角形中已知的元素求其它未知的元素,叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch ===111sin sin sin 222ab C ac B bc A ===2sin sin 2sin a B C A =C B A c B C A b sin 2sin sin sin 2sin sin 22==22sin sin sin R A B C =(sin sin sin )Rr A B C =++4abcR =pr =．（2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==,则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ,则ABCS ∆=． 1．正弦定理：(2sin sin sin R C c B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）. 2．余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=;B ac c a b cos 2222-+=;C ab b a c cos 2222-+=3．射影定理：B c C b a cos cos +=;A c C a b cos cos +=; A b B a c cos cos +=.3．三角形中三角函数的关系：由π=++C B A ,可得.（1）C B A sin )sin(=+,…… ;C B A cos )cos(-=+,…… ; C B A tan )tan(-=+…… ;（2）2cos )2sin(C B A =+…… ;2sin )2cos(C B A =+…… ; 2tan )2tan(C B A -=+…….。

数学教师手册_直角三角形的边角关系

三角壹﹑教学目标与节数贰﹑教材地位分析参﹑教学摘要本章由锐角的正弦﹑余弦﹑正切函数开始介绍﹐进而了解正弦﹑余弦﹑正切函数之间的基本关系﹐并逐步引入广义角三角函数的概念。

其次﹐再由三角形的边角关系导出正弦定理与余弦定理及海龙公式。

接着介绍差角公式与和角公式﹐并引进倍角及半角公式。

最后介绍基本的三角测量。

本章共分五节﹐内容重点如下：1-1直角三角形的边角关系1. 直角三角形边的比例：固定θ之直角三角形﹐不论大小﹐其任两边长的比值恒为定值﹐依此定义正弦﹑余弦及正切；介绍30°﹐45°﹐60°之正弦﹑余弦﹑正切值及一些简单求值问题。

2. sin θ﹐cos θ﹐tan θ的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之定义﹐引出商数关系﹑平方关系﹑余角关系﹐利用这些关系式﹐能处理求值问题及证明简单三角恒等式。

3. 锐角的三角函数：透过特殊角函数值及四分之一单位圆的图形﹐能了解θ为锐角时﹐当θ增加﹐正弦值变大﹐余弦值变小﹐正切值变大之事实；并建立当θ确定时﹐正弦﹑余弦及正切唯一确定之函数关系。

1-2广义角与极坐标1. 广义角：介绍广义角之定义﹐再介绍标准位置角及同界角之定义。

2. 广义角的三角函数：在标准位置角之终边上取一点﹐利用该点坐标及其至原点的距离来定义广义角的三角函数；并能判断正弦﹑余弦及正切函数在不同象限之正负情形并求值。

3. 广义角三角函数的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之广义角定义﹐可得商数关系及平方关系；接着再利用负角关系﹑补角关系﹑余角关系及同界角关系﹐得将任意角度以参考角来表示的公式。

4. 极坐标：介绍极坐目标表示法﹐并能将极坐标所表示的点与直角坐目标点互相转换。

5. 弧度：藉由观察弧長半徑的大小与圆心角的大小成正比，且这个比值与单位无关，也与圆形的大小无关，因此我们可以利用此值来衡量角度的大小，此即弧度的概念；其次让学生了解角度有弧度量与度度量两种表示方式，并能熟练单位换算。

等边三角形中的边角关系

《等边三角形中的边角关系》教学设计教材分析：本节内容是新人教版八年级下册第13章第3节内容，由于初二已经学习了等边三角形的性质与判定，学生已经掌握了全等三角形的判定，等腰三角形和等边三角形的性质与判定，现在通过复习，让学生能熟练运用它们的性质特点。

因为等边三角形包含了全等三角形和等腰三角形的性质和判定，它是平面几何中最基础的，最重要的几何知识，它对高中立体几何的学习也非常重要，所以，今天专题复习等边三角形中的边角关系。

教学目标：知识与技能：1、熟练掌握等边三角形的性质与判定。

2、掌握等边三角形中常见的添辅助线的方法过程与方法：经历探索等边三角形中的边角关系的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力，加深了对从特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的认识。

情感态度与价值观：通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性与严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。

重点：掌握等边三角形中常见的添辅助线的方法。

难点：运用旋转的方法造全等三角形。

教学方法：本节课我将采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留足思考的时间，让学生去联想、探索；在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

教学过程：由教师板书第（过程，规范书写格式。

变式1：已知：如图变式2：∆是等腰直角三角ABC形，AC=BC，过点B作射线BM，点E是BM上任意一点，连接CE，将CE绕点顺时针旋转90°得到CD,连接AD，AD与BMCF。

1、这节课你学到了哪些添辅助线的方法？2、还有哪些困惑？板书设计：。