第五章定性和稳定性理论
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
常微分方程定性与稳定性方法
谢谢观看
目录分析
第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其 中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具， 通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
目录分析
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《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目 录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解 这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
目录分析
从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要 介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分 对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。 让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。 例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的 解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群 动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心 流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在 分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代 科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方 程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在 时滞微分方程中的应用和意义。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
5第五章 稳定性理论
Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
11
5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
2
2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式
t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d
自动控制--第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) ，0 使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
为系统的平衡状态或平衡点。
注意：
系统能维持在某 状态不再变化
1）如果系统是线性定常的，即： x Ax ，则当
A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点；
Axe 0 xe 0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
Axe 0 无穷多个 xe
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一、几个基本概念
1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。
其状态方程描述为： x f (x,t) x(t0 ) x0
其解表示为： x(t; x0 , t0 )
只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动
下的特性）：
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
微分方程定性与稳定性分析解析
微分方程定性与稳定性分析解析微分方程是描述自然界中变化规律的重要数学工具，在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程的定性与稳定性分析是研究微分方程解行为的一种方法，通过分析解的性质和稳定性来了解方程的整体行为。
本文将介绍微分方程定性与稳定性分析的基本概念和方法，并通过具体的例子来阐述其应用。
一、微分方程定性分析微分方程定性分析是指通过对微分方程解的性质进行分析，得到关于解的定性描述。
在定性分析中，我们主要关注解的长期行为和整体趋势，而不是具体的解析形式。
1. 平衡解与稳定性在微分方程中，平衡解是指满足方程右端为零的解。
对于一阶微分方程dy/dx = f(x)，平衡解即为使得f(x) = 0的x值。
平衡解的稳定性是指当初始条件接近平衡解时，解的行为是否趋于平衡解。
2. 等式右端的符号分析对于微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分析f(x)的符号来推断解的行为。
当f(x) > 0时，解呈现上升趋势；当f(x) < 0时，解呈现下降趋势；当f(x) = 0时，解为平衡解。
3. 相图分析相图是描述微分方程解的图形，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
在相图中，曲线表示解的轨迹，平衡解表示曲线与纵轴的交点。
通过绘制相图，我们可以直观地了解解的行为和稳定性。
二、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析是指通过分析微分方程解的稳定性来了解方程的整体行为。
稳定性分析可以分为局部稳定性和全局稳定性两个方面。
1. 局部稳定性局部稳定性是指当初始条件接近某个平衡解时，解的行为是否趋于该平衡解。
局部稳定性可以通过线性化的方法来分析，即将微分方程在平衡解附近进行泰勒展开，并分析展开式的特征根。
2. 全局稳定性全局稳定性是指当初始条件在整个定义域内变化时，解的行为是否趋于某个平衡解。
全局稳定性的分析较为复杂，通常需要借助于Lyapunov函数或者Poincaré-Bendixson定理等方法。
三、定性与稳定性分析的应用微分方程的定性与稳定性分析在各个学科领域中都有广泛的应用。
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的， 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统， 对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡 对于稳定的线性系统， 态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性 问题。 问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论， 它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 分布参数系统。
5.1 动态系统的外部稳定性
控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 而且必须假定系统的初始条件为零。 而且必须假定系统的初始条件为零。 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统， 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，在任何一 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的， 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就 称该动态系统是外部稳定的，又称为BIBO稳定。 稳定。 称该动态系统是外部稳定的，又称为 稳定 对于单输入单输出线性定常系统而言， 对于单输入单输出线性定常系统而言，在经典控制理论中定 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下， 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统， 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统，具有外部稳定 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于s平面的 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于 平面的 左半边。 左半边。
稳定性理论
1为什么要研究稳定性？稳定性研究的是什么？首先，一个控制系统自身的结构性质一共有三个：即稳定性，能控性，能观性。
稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。
一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值时的初始偏差应随时间的增长逐渐减小并趋于零。
具体来说，对于稳定的恒值控制系统，被控量因扰动而偏离期望值后，经过一个过渡过程时间，被控量应该恢复到原来的期望值状态；对于稳定的随动系统，被控量应能始终跟踪参据量的变化。
反之，不稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差将随时间的增长而发散，因此，不稳定的控制系统无法实现预定的控制任务。
《自动控制原理》稳定性理论是研究动态系统的过程（包括平衡位置）相对干扰是否具有自我保持能力的理论。
《稳定性理论》自适应控制系统的稳定性是指系统的状态、输入、输出和参数等变量，在干扰的影响下，应当总是有界的，稳定性是对所有控制系统的基本要求。
《自适应控制》系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。
直观上，系统平衡状态的稳定性问题就是，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的有限邻域内，或者使之最终返回到平衡状态。
控制系统的稳定性是由系统的结构所决定的，与外界因素无关，因此，系统的稳定性研究的是自治系统的稳定性，自治系统可写为：),(t x f x=&，00)(x t x =，],[0∞∈t t 其中x 为n 维状态向量。
对于连续非线性时变系统，为显含时间变量t 的n 维向量函数⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&4333222231321cos sin )(x t x t x x e t x tx x x x t 对于连续非线性时不变系统，),(t x f 中不再显含时间变量t ，即可写成)(x f x=&的形式 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&33321223132153x x x x x x x x x x 对于连续线性时变系统，),(t x f 可进一步表示为状态x 的线性向量形式，并且显含时间t⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&32313213215cos sin 3x x t x t x x e x tx x x x t 对于连续线性时不变系统，),(t x f 表示为不显含时间t 状态x 的线性向量形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&332321321653x x x x x x x x x 2稳定性理论在控制系统设计中是如何应用的？3各种稳定与吸引之间的关系是怎样的？系统特解稳定性是解在有限时间区间上对初值的连续依赖性在无穷区间上的扩展，把系统的解与特解作差，那么就把系统特解的稳定性转化为零解的稳定性，即系统状态对零状态的连续依赖性在无穷区间上的扩展。
4.1常微分方程的定性与稳定性
13
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
Lyapunov稳定性理论概述
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
x e 差任意大，而当a ≺0时， x(t) = 0 at 。与零解的误差不会超过初始误差x0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。
这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳
定的严格定义。
设微分方程
R dx
dt
=
f
(t, x) ，
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
ห้องสมุดไป่ตู้该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集，
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括 外部稳定性 内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零，外部稳定性定义如下：定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即 102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt tt tt ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t ) ∞<≤1β)(t u ∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()(即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得 ∞=∫ττd t h t t 11),(构造有界输入 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==0100011111),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
MIMO 情形：对输出的每一分量，有 pj q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤∫∞β定理5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条件是，传递函数矩阵G (s )所有极点均具负实部。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
（有界输入－有界输出）β为有界常数。
１范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。
性质１： 非负性；齐次性；三角不等式。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元） 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L 证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有 ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt t t t t ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t )∞<≤1β)(t u∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()( 即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得∞=∫ττd t h t t 101),(构造有界输入（分段函数）⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==010*******),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
第五章稳定性分析
第五章稳定性分析第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5 控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（⼀般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应⽤（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析⼩球平衡点的稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移⽽发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分⽅程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作⽤下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作⽤下的性能，亦与系统的输⼊信号⽆关，只与系统的内部结构有关。
对上述微分⽅程描述的系统亦只与等式的左端有关，⽽与右端⽆关，亦：系统的稳定性是由下列齐次⽅程所决定：其稳定性可转化为上述齐次⽅程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。
分析齐次⽅程的解的特征。
由微分⽅程解的知识，上述⽅程对应的特征多项式为：设该⽅程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n 且各根互异（具有相同的根时分析⽅法相同，推导稍繁琐）则上述齐次⽅程的⼀般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。
注：只能是⼩于零，等于或⼤于均不⾏。
等于零的情况为临界稳定，属不稳定。
综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征⽅程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦：特征⽅程的根均在根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
亦：系统的极点位于根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
从上⾯的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平⾯上的位置，勿需去计算齐次⽅程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征⽅程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征⽅程两端乘（－1）），可以证明上述特征⽅程中所有系数均⼤于零（即）是该特征⽅程所有根在s平⾯的左半平⾯的必要条件。
第五章 药物制剂的稳定性
第三节 制剂中药物化学降解的途径
2.酰胺类药物的水解 青霉素类、头孢菌素类 结构中存在不稳定的 β—内酰胺四元环，在H+或OH-影响下，很易裂 环失效。因四元环张力大，β—内酰胺环与抗菌活 性有很大的直接关系。 如氨苄西林在中性和酸性中水解为α-氨苄青霉 酰胺酸，碱性下酰胺键断裂。 最稳定pH为5.8 pH 6.6， t1/2=39天 故本品只宜制成固体剂型、粉末安瓶制剂。
第第五五章章 药药物物制制剂剂的的稳稳定定性性
第 一节 概述
药剂学的宗旨是制备安全、有效、稳定、使 用方便的药物制剂制剂。药物制剂稳定性是保证 安全有效的前提。制剂稳定性研究主要是指体外 稳定性情况。
药物制剂稳定性包括： 1.化学稳定性：药物的化学变化，如水解、 氧化、光解等降解反应，含量下降，色泽变化。 2.物理稳定性：如固体药物颗粒结块、结晶 生长、晶型变化；混悬剂沉降、粒度变化；乳剂 分层。 3.生物学稳定性：因微生物污染，药物腐败 变质。
3.空气（氧）的影响 抗氧剂：①本身为强还原剂，首先被氧化而消耗 氧，保护主药免遭氧化，抗氧剂逐渐被消耗。
②为链反应阻化剂，能与游离基结合，中断 链反应，抗氧剂不被消耗。 分类：水溶性抗氧剂和油溶性（阻化）抗氧剂
焦亚硫酸钠、亚硫酸氢钠用于弱酸性药液, 亚硫酸钠用于偏碱性药液,硫代硫酸钠碱性药液。
协同剂：枸橼酸、酒石酸等。 VE、卵磷脂为天然抗氧剂。
第五章 药物制剂的稳定性
第二节 药物稳定性的化学动力学基础
药物降解可按零级、一级、伪一级反应处理：
1.零级反应：- dC /d t = K C=C0 – k0t 反应速度与反应物浓度无关，而受其它因素影响 2.一级反应： -dC /d t = KC lgC= -kt/2.303 +lgC0 反应速度与反应物浓度一次方成正比
高中生物《第五章 第五节 生态系统的稳定性》课件 新人教版必修3
同时存在，相互依存，不可分割，形成一个统 关系 一整体。
1.如果一个生态系统中有4种生物，它们可以形成下面 几种营养结构，如图所示，其中最稳定的是( B )
丁 甲 乙 丙 乙 丁 甲 丙 甲 乙 丁 丙 甲 丙 乙 丁
A
B
C
D
2.下列哪种措施能提高生态系统的稳定性 A．减少寄生生物和捕食者的数量 B．平衡生产者和消费者的数量 C．增加物种的数目 D．对生态演替进行限制
措施1、控制对生态系统干扰的程度,对生
态系统的利用应该适度,不应超过生态系统的 自我调节能力。
适量砍伐森林中的树木，森林的结构 功能不会破坏，还能促进森林的更新。
措施2、对人类利用强度较大的生态系统，应
实施相应的物质、能量投入，保证生态系统内部 结构与功能的协调。 对农田生态系统要不断施肥、灌溉，增加投入， 控制病虫害，才能保证高产出。
适度捕捉生态系统中的动物， 也不会导致种群严重减小，更不会 灭绝。
二、生态系统的自我调节能力
1、实例： 1） 净化作用 河流受到轻度污染是，能通过什么方式消除污染？ 物理沉降 化学分解 微生物的分解 2）生物群落内部负反馈调节的实例
害虫数量增加 食虫鸟数量减少 食虫鸟数量增加
害虫数量减少
2）生物群落与无机环境之间负反馈调节的实例
环境资源与人的比例严重偏小
恐怕还有比例不对的原因,在真的生物圈中平均每人所 对应的大气,水,植物等是那么的广阔,而二号呢?环境资源与 人的比例严重偏小,就那点大气,水,植物等,哪怕就是生活一个 人也已严重不够了,更何况是几个人. 二氧化碳多、氧气少是结果而非原因,二氧化碳多、氧 气少是因为植物相对太少了,不足以将人和植物自身产生的 那么多二氧化碳转化并释放氧气.氧气的消耗速度高于产生 速度,而二氧化碳的产生高于消耗.
第五章溶液中稳定性
12 10
dien: NH2 NH NH2
8
6
4
2 0
5
10
15
20
en NH2 NH2
Mn2+ Fe2+Co2+Ni2+ Cu2+Zn2+
问题: 变化规律
结论：成环作用使配合物稳定性增加, 且随着环的 数目增加稳定性增加。
（2）环的大小对配合物稳定性的影响 问题：
环的大小对配合物稳定性有何影响 结论：
t2g
由于: (水)很小, Dq(h)可忽略。
因此：
稳定化能对配离子能量的贡献为：
[4n1(t2g)-6n2(eg)] Dq(c)
金属离子:
Mn2+ Fe2+ Co2+ Ni2+ Cu2+ Zn2+
稳定化能(Dq): 0 -4 -8 -12 -6 0
问题:
为何Cu2+ 的配合物稳定性出现异常情况
2.软硬酸碱(Hard and soft acid and base)与配合物的稳定性
配体 乙二胺
lgk1(25 0C, I=0.1) 10.55
1,2-二氨基丙烷
10.65
1,3-二氨基丙烷
9.98
1,2,3-三氨基丙烷
11.1
1. 试判断下列配离子的几何结构 [SbCl5]2-
解：Sb3+价电子层构型： 4d105s25p5d
sp3d2杂化
.. .. .. .. .. Cl Cl Cl Cl Cl
硬酸 软酸
软碱 形成不稳定的配合物
硬碱
交界酸(碱)
软(硬)酸(碱)
形成的配合物稳 定性差别不大
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性newppt课件
线性系统理论第五章 系统运动 マスタ タイトルの書式設定 的稳定性new
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
引言
本章的主要内容
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆij s取拉式反变换导出的 g
是
1 s l lt h t e 之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅 lr
1 s l t e lt 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
y ( t ) g ( t ,) u ( ) d | g ( t ,) | d 1 1 1
t 0 t 0 t 1
有
t 1
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
lim ( t ,t0) 0
t
结论5
Ax x ( 0 ) x 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x 0 t
At 内部稳定的充分必要条件为 lime 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
常微分方程习题答案（第五章定性与稳定性理论简介）
常微分方程习题答案第五章定性与稳定性理论简介教材习题同步解答习题5.21. 对于方程组41114221,,xx x x x x ⎧=-⎨=⎩ 试说明 441212(,)V x x x x =+是正定的，而dVdt是常负的。
证：易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x > 正定。
34344444121122211212124()4()440dV V V x x x x x x x x x x x x dt x x ∂∂=+=-+-=-+=∂∂ ，故dV dt是常负。
(0,0)0V =。
2. 讨论方程组312132124,3,xx x x x x ⎧=--⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时， 12(,)0V x x >即正定。
334411221212121212222(4)2(3)22()0dV x x x x x x x x x x x x x x dt=+=--+-=---< ，故方程的零解是渐进稳定的。
3. 讨论自治系统2111222212,,x Ax x x x Ax x x ⎧=-⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x >即正定。
222211221112221212222()2()2()dV x x x x x Ax x x x Ax x x A x x dt=+=-+-=+ ，故方程的0A >，则零解是不稳定的；若0A <，则零解是渐进稳定的。
习题5.3通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性：（1）2,3;dx x dt dy y dt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3,3;dx x dt dy x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（3）,;dx y dt dy x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）23,3;dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解：（1）方程的奇点为(0,0)O ，方程所对应的系数矩阵为2003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，系数矩阵所对应的特征方程为20003λλ--=-- 或2560λλ++= ，特征根为 1220,30,λλ=-<=-<奇点(0,0)O 为稳定结点。
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设对应于轨道 的解为 x t, p, 于是存在数列 0 t1 t2 ,
使得
d t2k1 ,1 0, d t2k ,2 0, 当k , 即tk +时.
从而存在自然数 N, 使得对每个 k>N 都有 tk : t2k tk t2k1,
证明： 用反证法, 若 x0 不是平衡点, 则必存在时刻 t,
使得 t, x0 x0, 记 x0 与 t, x0 之间的距离
d t, x0 , x0 0.
根据解对初值的连续性, 对给定的 0, 存在 0, ,
称由 (5.1.1) 所确定的全体轨道的集合为一个动力系统.
例如, 对于n阶常方阵A, 系统 x Ax 的所有轨道就组成了一 个动力系统.
关于 (5.1.1) 的解 x t, 有如下性质：
性质 5.1.1 若 x t, 是 (5.1.1) 的解, 则对任给的常数c,
等)，且解的定义区间都为 R ;
于是对 Rn , (5.1.1) 就有惟一的一个解 x t, 满足 0， .
从几何上来看,解x t, 的积分曲线是 Rn1 空间的图像
t, xRn1 x t, , t R , 称为轨线 (trajectory),
面的性质 5.1.2 矛盾. 命题证毕.
推论 5.1.2 若 (5.1.1) 的解 t, 当 t 时,有 t 趋于
(5.1.1) 的平衡点 xe , 则必有 或 .
命题 5.1.2 若在 x0 的任意小邻域内, 都存在时间长度为任
意大的轨道弧, 则 x0 必为平衡点.
性质 5.1.3 (群性质) 对 Rn , 都有
t2, t1, t1 t2, .
5.1.2
证明: 由性质 1 即知 t， t1, 和 t t1, 都是 (5.1.1) 的解,
又当t=0 时, 这两个解均为 x t1, , 故由解的惟一性即知有
第五章 定性和稳定性理论
主讲人：刘兴波
大家知道, 能求出通解的常微分方程是极为有限的, 差 不多就是前两章讨论的那些方程类型. 大量非线性方程的求 解都尚待研究, 更谈不上用初等函数的积分来表示. 因此就 提出直接从微分方程的结构来研究解的性质, 或者研究由微 分方程所确定曲线的分布状态及其渐近性质. 这就是十九 世纪八十年代初到九十年代初由 H. Poincare 和 A. M. , Liapunov 提出的微分方程定性理论和稳定性理论.
在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得
lim
k
tk
,
p
q
Rn
,
5.1.4
则称点 q 为轨道 或正半轨 的 极限点.
若存在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得 (5.1.4)
成立, 则称点 q 为轨道 或负半轨 的 极限点.
趋向于一个点q , 则q必为平衡点, 且有 q.
注：如果轨道L上的每一点都是轨道 的 极限点, 则称L 为
的 极限轨道
它满足
d tk, p ,i 4 , i 1, 2; k N.
由 的有界性即知序列 tk, p k N 必存在极限点 x0 , 显然 x0 ,
且 d x0, i
4
,
i 1, 2. 从而 x0 1
2 , 这就与 1
的在
t=0
时位于
U0
内的轨道
x
(t)
满足
lim
t
xt
xe ,
则称 (5.1.1) 的平衡点 xe 是渐近稳定的.
吸引域: U0 称为是 (5.1.1) 的平衡点的吸引域.
如果U0 Rn, 则称 (5.1.1) 的平衡点是全局渐近稳定的.
考虑n 维常系数线性系统 x Ax 的平衡点的稳定性
同理可证 的情况. 证毕
推论 5.1.3 若 是系统(5.1.1)的任一闭轨, 则 .
推论 5.1.4 若有界轨道 的 极限集合 是只由一点q
构成的, 即 q, 则q 必为平衡点, 并且当 t +-
时轨道 趋向于这个平衡点. 反之, 若当 t +-时轨道
意义下是稳定的.
如果对 xe 的任一邻域 U, 总存在一个 xe 的邻域 U1 U ,
使得系统 (5.1.1) 的在 t=0 时位于 U1 内的轨道在 t>0 时始终位
于 U 中. 否则就称平衡点 xe 不稳定.
如果平衡点 xe 是稳定的, 并且存在 xe 的一个邻域 U0, 使得系
统
(5.1.1)
的定义知 为闭集.
再证明其连通性. 反证, 若集合 不连通, 则存在非空的分离的
集合 1 和2 ，使得 1 2 ，由 的有界性得 1 和2
的有界性。
由 是闭集及 1 和2 的分离性，得 1 和2 是闭集. 由于两个不相交的有界闭集之间的距离为正, 因此 1 和2 之间的距离
t, t1, t+t1, , 特别当 t t2 时即得 (5.1.2) 式. 证毕
2.平衡点及其稳定性.
如果 存在 x0 Rn 使得 f x0 0, 则称 x0 为 系统 的 常点。
如果 存在 xe Rn 使得 f xe =0, 则称x0为 系统 的 平衡点 。
方程的平衡点是不稳定的.
三、周期解和闭轨
如果系统 (5.1.1) 的解 t , t R 是 t 的周期函数, 即存在 0,
使得对一切 t R, 有 t t, 则称 t 为 (5.1.1) 的 周期解, 而称 为它的周期.
从几何上看, 在 Rn+1 空间中，周期解的积分曲线是一条以最小正
我们只讨论 A 为n阶非奇异实常方阵的情况. 这时系统的平衡
点是唯一的: x=0. 方程的标准基解阵为 exp At , 由标准基解
阵的形式容易证明如下定理：
定理 5.1.1 1. 若 A 的特征值都具有负实部, 则方程的平衡点是渐近稳定的; 2. 若A 的特征值至少有一个正实部, 则方程的平衡点是不稳定的;
2
矛盾, 故 应为连通集.
设q , q1 t1, q 为过q 点的轨道上的任一点，由于q 是 t, p的 极限点, 所以存在序列 tk, k=1,2, , tk , 使得
tk , p q, k +.由解的群性质 5.1.2 与解对初值的连续性, 当
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合。
并记作 ;
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合,
并记作 A .
定理 5.1.2 有界轨道 的极限集 A 是一个非空、有界、闭
的连通集合, 且 等于若干整条轨道的并集.
证明: 由于 的有界性，故 是一个非空有界集. 由极限集合
积分曲线在相空间上的投影x Rn x t, , t R
是 Rn 中的一条曲线，称它为一条轨道(orbit) .
称 Rn 为相空间phase space, 相空间的点称为相点.
当 t 变动时就说相点在轨道上运动.
称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0 为正半轨, 称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0为负半轨.
x t +c, 也是 (5.1.1) 的解.
性质 5.1.2 若x t, 是 (5.1.1) 的解, 则 x t +c,
对应的轨道与c 无关, 即对任意常数c, x t +c,
所对应的是 (5.1.1) 的同一条轨道.
推论 5.1.1 对 Rn , (5.1.1) 有且只有一条轨道通过点 .
3.1 基本概念
1.动力系统 当一般方程 x=f t,x中函数 f 不显含 t 时，即
x f x, x Rn , n 1,
5.1.1
则称它为定常系统或驻定系统或自治系统,其中 f x 在 Rn 连续，
且保证 (3.1.1) 的解由初值所惟一确定 (如 Lipschitz 条件
命题 5.1.1 若 xe 为(5.1.1) 的平衡点，则对任何不同于 xe 的轨道
不可能在有限时间到达或趋于 xe .
证明: 反证, 若定理结论不真, 则存在 (5.1.1) 的一个非定常解
x(t) 和有限的时刻 , 使得当 t 时有 x t xe, 由x (t) 的连续性即知 x =xe, 由此即见过 xe 有两条轨道, 这与上
周期为螺距的螺旋线, 而其对应的轨道是在相空间 Rn 中的一条
闭曲线; 不是定常解的周期解所对应的轨道称为闭轨.
命题 5.1.3 不是常值的连续的周期函数具有最小正周期. 且这个
周期函数的周期都是最小正周期的正整数倍. 因此闭轨对应的解
具有最小正周期.
四. 轨道的极限集合
定义：设 : x t, p, t R 为系统 (5.1.1) 的任一轨道; 如果存
tk 时有
t1 tk , p t1, tk , p t1, q q1,
即 tk : t1 tk ,且 tk , p q1, 这说明 q1也是轨道 t, p 的
极限点, 由 q 和 t1的任意性， 等于若干整条轨道的并集.
使得对一切满足
d x0, x1
3
的
x1,
3
都有
d t, x0 , t, x1