立体几何中的平行与垂直(测试卷)

1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下四个结论：

(1)直线D1C∥平面A1ABB1；

(2)直线A1D1与平面BCD1相交；

(3)直线AD⊥平面D1DB；

(4)平面BCD1⊥平面A1ABB1 .

上述结论中，所有正确结论的序号为__________．

2.在所有棱长都相等的三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：

(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面PAE；(3)平面PDF⊥平面ABC; (4)平面PDF⊥平面PAE.

其中正确命题的序号为__________．

解析：由条件可证BC∥DF ，则BC∥平面PDF ，从而(1)正确；因为DF 与AE相交，所以(2)错误；取DF 中点M(如图)，则PM⊥DF ，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF ，故平面PDF ⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．

3.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，其中正确命题的序号为__________．

①|BM|是定值；

②点M在圆上运动；

③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；

④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

解析：取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，

4.(2017·苏锡常镇二模)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.

(1)求证：AB⊥平面EDC；

(2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD.

解析：(1)因为平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，

即CD⊥AC，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB，因为AC＝BC，E为AB的中点，所以CE⊥AB，又CE∩CD＝C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，所以AB⊥平面EDC.

(2)连EF ，EG，因为E，F 分别为AB，AD的中点，所以EF ∥BD，又BD⊂平面BCD，EF ⊄平面BCD，所以EF ∥平面BCD，同理可证EG∥平面BCD，且EF ∩EG＝E，EF ⊂平面BCD，EG⊂平面BCD，所以平面EF G∥平面BCD，又P为F G上任一点，所以EP∥平面EF G，所以EP∥平面BCD.

5.(2017·南京二模)如图，四棱锥P­ABCD中， AD⊥平面PAB，AP⊥AB.

(1)求证：CD⊥AP；

(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.

解析：(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.

又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.

因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.

6. (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

解析：(1)在平面ABC内，因为AB⊥AD，EF ⊥AD，所以EF ∥AB，又因为EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF ∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD，又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.

7.如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝

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BC，D是边BC的中点，E是线段AD上一点，

且AE＝4DE，M是线段SD上一点．

(1)求证：BC⊥AM；

(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.

解析：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 又SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC.

又AD∩SA＝A，所以BC⊥平面SAD.

又AM⊂平面SAD，所以BC⊥AM.

8.如图，四棱锥P­ABCD的底面为矩形，且AB＝2BC，E，F分别为棱AB，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE.

解析：(1)证法1 如图1，取线段PD的中点M，连结F M，AM.

图1

因为F 为PC的中点，所以F M∥CD，且F M＝1

2 CD.

因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝1

2 CD.

所以F M∥EA，且F M＝EA.

所以四边形AEF M为平行四边形．

所以EF ∥AM.

又AM⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.

证法2 如图2，连结CE并延长交DA的延长线于点N，连结PN.

图2

因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.

所以∠BCE

＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.

又AE＝EB，

所以△CEB≌△NEA.

所以CE＝NE.

又F 为PC的中点，

所以EF ∥NP.

又NP⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.

证法3 如图3，取CD的中点Q，连结F Q，EQ.

图3