关于椭圆离心率专项练习(1)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
高中压轴选择题离心率专项
高中数学压轴选择题离心率专项一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12，63） D ．（0，22）2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．233．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．235．已知点A 为椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22 C ．12D ．246．已知椭圆x 2a 2+y2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．327．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 548．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．1039．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．310．设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33B ．3 55C ．3 22D ．9811．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．6212．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．3413．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 514．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 315．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 716．设A 为椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ．若∠ABF ∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0， 22] B ．[ 22，1) C ．[0， 63] D ．[ 22， 63]17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 5218．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 519．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．2220．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜121．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 322．如图所示，A ，B ，C 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且|BF |=|CF |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．102B ． 10C ．32D ．323．过双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（b ＞0，a ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12（OF →+OP →），则双曲线的离心率为（ ）A ．102B ．105C ． 10D ． 224．已知点P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左支上除顶点外的一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，双曲线离心率为e ，则tana2tanβ2=（ ） A ．e−1e +1B ．e +1e−1C ．e 2+1e 2−1D ．e 2−1e 2+125．设F 是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点，且向量BF →与FA →同向．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为（ ） A ．52B ．62C ．72D ．226．已知点P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1→|= 3|PF 2→|，则双曲线离心率为（ ） A ．6+12B ． 6+1C ．3+12D ． 3+127．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →=2F 1O →，F 1Q →=λ(F 1P →|F 1P →|+F 1O →|F 1O →|)(λ＞0)则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．5−12D ．5+1428．设双曲线的﹣个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．3+12D ．5+1229．已知双曲线E 的离心率为e ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为顶点，F 1为焦点，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a |PF 2|+c |PF 1|=8a 2，则e 的值为（ ）A ． 3B ．3C ． 2D ． 630．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，直线l 的方程为bx +ay﹣ab=0，若原点O 到直线l 的距离为 34c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33或2 B ．2 33C ． 2或2 33D ．231．如果以原点为圆心的圆经过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的顶点，并且被直线x =a 2c （c 为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，则该双曲线的离心等于…（ ） A ．2B ． 3C ． 2D ．6232．过双曲线M ：x 2﹣y 2b 2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |=|BC |，则双曲线M 的离心率是（ ） A ． 10 B ． 5 C ．103D ．5233．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4 33B ．2 33C ．3D ．234．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ） A ．63B ． 33C ． 23D ．1335．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3436．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |=10，|AF |=6，cos∠ABF =45，则C 的离心率为（ ）575737．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2 33，2]B ．[2 33，2)C ．(2 33，+∞)D ．[2 33，+∞)38．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点为在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， 2）B ．（1， 2）C ．（22，1） D ．（ 2，+∞）39．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，则曲线r 的离心率等于（ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2 D ．23或3240．椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（0， 22] B ．（0，12] C ．[ 2−1，1） D ．[12，1） 41．曲线x 210−m+y 26−m=1(m ＜6)与曲线x 25−m+y 29−m=1(5＜m ＜9)的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．准线相同42．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为 3的直线交C 于A 、B 两点，若AF →=4FB →，则C 的离心率为（ ）558543．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．（3，+∞） D ．[3，+∞]44．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．1+ 22B ．1+ 32C ．1+ 2D ．1+ 345．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1， 2]B ．[ 2，+∞)C ．(1， 2+1]D ．[ 2+1，+∞)46．从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．24B ．12C ．22D ．3247．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）48．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c （c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P |，则椭圆的离心率是（ ） A ．3−12B ．12C ． 5−12D ．2249．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A ．52B ． 102C ．152D ． 550．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2 D．3高中压轴选择题离心率专项参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12， 63） D ．（0，22）【分析】可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），由于∠OPA=90°，可得点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：(x −a 2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．与椭圆的方程联立可得：（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，得到x =ab2c2，由于0＜x ＜a ，可得0＜ab2c2＜a ，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）． 设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上． 该圆为：(x −a2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．联立 x 2−ax +y 2=0x 2a 2+y 2b2=1化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，解得x =ab22，∵0＜x ＜a ，∴0＜ab2c2＜a ，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2， ∴e 2＞12，又1＞e ＞0． 解得22＜e ＜1．∴该椭圆的离心率e 的范围是( 22，1)． 故选：B ．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．23【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，与椭圆方程联立化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，根据向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，联立 y =x +cx 2a 2+y 2b2=1，化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，∴x 1+x 2=−2ca 2a 2+b 2，y 1+y 2=x 1+x 2+2c=2c b 2a 2+b 2，∴向量OA →+OB →=（−2ca 2a 2+b 2，2cb 2a 2+b 2），∵向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线， ∴﹣−2c a 2a 2+b 2﹣3×2cb 2a 2+b 2=0，∴a 2=3b 2，∴e =c a = 1−b 2a 2= 63．故选：B ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）【分析】点Q （c ，a2）在椭圆的内部，b 2a＞a2，|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |，由﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a 2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c ．【解答】解：∵点Q （c ，a2）在椭圆的内部，∴b 2a＞a2，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．ca ＜ 22|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |又因为﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c5a 2＜10c ，c a＞14，则椭圆离心率的取值范围是（14，22）．故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．23【分析】设M （x ，y ），由OM →⋅OA →=OF →⋅OA →⇒cx +by=c 2，…①，由OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2ca ，y=2b c 2a ，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ．【解答】解：设M （x ，y ），∵OM →⋅OA →=OF →⋅OA →∴OA →⋅(OM →−OF )→=0，⇒OA →⋅FM →=0⇒即OA ⊥MF ⇒cx +by=c 2，…①.OM →+OF →=(x +c ，y )，因为OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，OM →+OF →与OA →共线，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2c a 2，y=2b c 2a 2，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3， ⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ⇒a= 2c ，椭圆的离心率e=c a=22．故选：A【点评】本题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．5．已知点A 为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22C ．12D ．24【分析】如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b 2=1，解得：x C ．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，解得x B ．根据|OA |=|CB |=a ，即x C ﹣x B =a 化简即可得出．【解答】解：如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°， ∴直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b2=1，解得：x C =3ab a 2+3b 2．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，化为：（a 2+3b 2）x 2+2a 3x +a 4﹣3a 2b 2=0．解得x B =a −2a 3a 2+3b 2=3ab 2−a 3a 2+3b2．∵|OA |=|CB |=a ， ∴3aba 2+3b 2﹣3ab 2−a 3a 2+3b 2=a ．化为：a=3b ．∴椭圆的离心率e=ca = 1−b 2a 2=2 23．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．32【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：依题意，作图如下∵A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：x−a+y b=1，整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×ab +2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2ba 2+b 2，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣a b 2a +b ）2+（a 2ba +b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2，∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52=（5−12）2，∴椭圆的离心率为e= 5−12．故选A ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 54【分析】如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2．又点O 为线段F 1F 2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ ∥PF 1，PF 1⊥PF 2．再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2，化为：b=2a 3．c 2=a 2﹣b 2=59a 2．代入a 2+e 2b，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2． 又点O 为线段F 1F 2的中点，Q 为线段PF 2的中点， ∴OQ ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|=2|OQ |=2b ，|PF 2|=2a ﹣2b ．在Rt △PF 1F 2中，（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2， 化为：b 2+（a ﹣b ）2=c 2=a 2﹣b 2， 化为：b=2a 3．∴c 2=a 2﹣b 2=a 2−(2a 3)2=59a 2．∴a 2+e 2b =a 2+c 2a 2b =a 4+59a 2a 2×2a =9a 2+56a ≥2 9a 2⋅56a = 5，当且仅当a 2=59时取等号．∴a 2+e 2b（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为 5．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．103【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l ，设P 到l 的距离为d ，根据双曲线的第二定义即可求出Q 到l 的距离为32d ．过Q 作l 的垂线QQ 1，而过P 作QQ 1的垂线PM ，交x 轴于N ，在△PMQ 中有c−a 2c−d12d =25，这样即可求得d=5c −5a 2c6，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|=2c ﹣2a ，所以根据双曲线的第二定义即可得到2c−2a 5c−5a 2c6=ca ，进一步可整理成5(c a )2−12(ca )+7=0，这样解关于c a 的方程即可．【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设P 到右准线的距离为d ； 过P 作PP 1⊥l ，QQ 1⊥l ，分别交l 于P 1，Q 1；∵|PF 2||PP 1|=|QF 2||QQ 1|，3|PF 2|=2|QF 2|；∴d |QQ 1|=23，|QQ 1|=32d ；过P 作PM ⊥QQ 1，垂直为M ，交x 轴于N ，则：|NF 2||MQ |=c−a 2c −d12d =25；∴解得d=5c−5a 2c6；∵根据双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2c ﹣2a ； ∴根据双曲线的第二定义，2c−2a5c−5a 2c 6=c a；整理成：5(c a )2−12(c a)+7=0； ∴解得c a=75，或c a=1（舍去）；即该双曲线的离心率为75． 故选A ．【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．9．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣bax 上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=b ax ，l 2，y=﹣bax ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣c2）2+y 2=c 24，将y=b ax 代入（x ﹣c2）2+y 2=c 24，得（x ﹣c2）2+（bax ）2=c 24，即c 2a 2x 2=cx ，则x=0或x=a 2c ，当x=a 2c 时，y ═b a •a 2c =abc ，即A （a 2c ，abc ）， 设B （m ，n ），则n=﹣ba •m ， 则AB →=（m ﹣a 2c，n ﹣ab c），FA →=（a 2c﹣c ，ab c），∵AB →=2FA →， ∴（m ﹣a 2c，n ﹣ab c）=2（a 2c﹣c ，ab c）则m ﹣a 2c=2（a 2c﹣c ），n ﹣ab c=2•abc，即m=3a 2c﹣2c ，n=3ab c，即3abc =﹣ba •（3a 2c﹣2c ）=﹣3ab c+2bc a，即6ab c =2bc a，则c 2=3a 2， 则ca= 3，故选：B ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a ，c 的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10．设双曲线x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33 B ．3 55C ．3 22D ．98【分析】由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=b c，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=58，可得a ，c 的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±bax ，设焦点F （c ，0）， 则当x=c 时，y ═±ba •c=±bca，即A （c ，bc a），B （c ，﹣bc a），P （c ，b 2a），因为OP →=λOA →+μOB →， 所以（c ，b 2a）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）bc a），所以λ+μ=1，λ﹣μ=b c， 解得：λ=c +b 2c，μ=c−b 2c，∵λ2+u 2=58， ∴（c +b 2c）2+（c −b 2c）2=58，即2c 2+2b 24c 2=58，即c 2=4b 2． 则c 2=4（c 2﹣a 2）， 则3c 2=4a 2．3c=2a ，则e=3=2 33，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．11．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．62【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a 2﹣1）．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式得到：mn=﹣b 2a ，则2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f （ab ），令ab =t ＞0，则f （t ）=2t +t +12t2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出． 【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a﹣1），即有y 02x 02−a 2=b 2a 2，由双曲线的方程可得A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0x 0+a ，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=﹣b 2a2，∴2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a2 =f （a b ），令a b=t ＞0，则 f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ． f ′（t ）=﹣2t 2+1+t ﹣2t=(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值 f （ 2）=2 2+ 2+12×2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2．∴a b= 2．∴e=c a= 1+(b a )2= 1+12= 62．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．34【分析】连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°，cos ∠AOP=b |OP |=12，可得b ＜|OP |≤a ，可得椭圆C 的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆， ∵∠APB=60°， ∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°， ∴cos ∠AOP=b |OP |=12，∴|OP |=2b ， ∴b ＜|OP |≤a ， ∴2b ≤a ， ∴4b 2≤a 2，由a 2=b 2+c 2，即4（a 2﹣c 2）≤a 2， ∴3a 2≤4c 2， 即e ≥ 32，又0＜e ＜1，∴32≤e ＜1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是 32≤e ＜1．∴椭圆最圆的时离心率e= 32．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 5【分析】设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a ，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF 2|=2c﹣a ，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a ，将P 的坐标代入双曲线的方程，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 可得重心G （s−c +c 3，t3）即（s3，t3），设△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点N ，与边PF 1的切点为K ， 与边PF 2上的切点为Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与N 的横坐标相同． 由双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ．①由圆的切线性质|PF 1|﹣PF 2|=|F I K |﹣|F 2Q |=|F 1N |﹣|F 2N |=2a ， ∵|F 1N |+|F 2N |=|F 1F 2|=2c ，∴|F 2N |=c ﹣a ，|ON |=a ， 即有M （a ，a ）， 由MG ∥F 1F 2，则△PF 1F 2的重心为G （s3，a ），即t=3a ，由△PF 1F 2的面积为12•2c•3a=12a （|PF 1|+|PF 2|+2c ），可得|PF 1|+|PF 2|=4c ② 由①②可得|PF 2|=2c ﹣a ， 由右准线方程x=a 2c，双曲线的第二定义可得e=c a =|PF 2|s−a 2，解得s=2a ，即有P （2a ，3a ），代入双曲线的方程可得4a 2a 2﹣9a 2b2=1，可得b= 3a ，c= a 2+b 2=2a ，即e=c a=2． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．14．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 3【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可． 【解答】解∵设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c ，若△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形， 由于点M 也在抛物线上， ∴过M 作MA 垂直准线x=﹣c 则MA=MF 2=F 1F 2，则四边形AMF 2F 1为正方形， 则△MF 1F 2为等腰直角三角形， 则MF 2=F 1F 2=2c ，MF 1= 2MF 2=2 2c ， ∵MF 1﹣MF 2=2a ， ∴2 2c ﹣2c=2a ， 则（ 2﹣1）c=a ， 则离心率e=ca =1 2−1=1+ 2，故选：C【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形是解决本题的关键．考查学生的转化和推理能力．15．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 7【分析】根据双曲线的定义求出|BE |=10a ，|BF |=8a ，结合抛物线的定义求出交点B 的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF |=|AF |=45|BE |，∵|BE |﹣|BF |=2a ， ∴|BE |﹣45|BE |=|BE |=2a ，则|BE |=10a ，|BF |=8a ，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的焦点F ， ∴p2=c ，且x=﹣c 是抛物线的准线，则|BD |=|BF |=8a ，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2=DE2+BD2，即100a2=64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2=0，即c2﹣8ac+9a2=0，解e2﹣8e+9=0，得e=8±64−362=4±7，∵0＜a＜b，∴e=ca=1+b2a2＞2，∴e=4+7，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．16．设A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．(0，22] B．[22，1) C．[0，63] D．[22，63]【分析】设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=1sinα+cosα=12sin (α+π4)，根据α的取值范围即可得出．【解答】解：设左焦点为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ． ∠ABF=α，则：∠ANF=α． ∴2a=2ccosα+2csinα ∴e=2c2a =1sinα+cosα=2sin (α+π4)，α=∠ABF ∈[π4，5π12]，∴(α+π4)∈[π2，2π3]， ∴sin (α+π4)∈[ 32，1]． ∴e ∈[ 22， 63]． 故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 52【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：椭圆x 2a 2+y 2b2=1整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×a b+2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2b a 2+b ，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→=（﹣ab 2a 2+b 2）2+（a 2ba 2+b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2， ∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52．椭圆的离心率的平方3− 52，故选D ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．18．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【分析】如图所示，S △ABC =3S △BCF 2，|AC |=3|F 2C |，求得A （﹣c ，b 2a），求得直线AF 2的方程，代入双曲线方程，运用韦达定理解得x C ．根据AF 2→=4CF 2→，由向量的坐标运算，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得出所求值． 【解答】解：如图所示： ∵S △ABC =3S△BCF 2，∴|AC |=3|F 2C |．由x=﹣c ，代入双曲线的方程，可得y=±b 2a，取A （﹣c ，b 2a ），直线AF 2的方程为：y ﹣0=b 2a−0−c−c（x ﹣c ），化为：y=﹣b 22ac（x ﹣c ），代入双曲线x 2a 2−y 2b2=1，（a ，b ＞0），可得：（4c 2﹣b 2）x 2+2cb 2x ﹣b 2c 2﹣4a 2c 2=0， ∴x C ×（﹣c ）=﹣b 2c 2+4a 2c 24c 2−b 2，解得x C =b 2c +4a 2c 4c 2−b 2．∵AF 2→=4CF 2→， ∴c ﹣（﹣c ）=4（c ﹣b 2c +4a 2c 4c 2−b 2），化为：5a 2=c 2， 解得e=ca = 5．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．22【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式肯定：mn=b 2a 2，2b a +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba+a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b =t ＞1，则f （t ）=2t +t +12t 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0a +x 0，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=b 2a2，∴2ba +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba +ab +a 22b2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b=t ＞1，则f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ．f ′（t ）=−2t2+1+t ﹣2t =(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值f ( 2)=2 2+ 2+12×( 2)2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2． ∴ab= 2．∴e = 1−(b a)2=22．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜1【分析】由题意可知：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，由图可知：O 、P 、A 、B 四点共圆，∠APB=60°，则∠APO=∠BPO=30°，cos ∠AOP=b丨OP 丨=12，|OP|=2b，因此b＜|OP|≤a，即2b≤a，由a2=b2+c2，可得3a2≤4c2，e≥3 2，又0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=b丨OP丨=1 2，∴|OP|=b12=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即c2a2≥3 4，∴e≥32，又0＜e＜1，∴32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是32≤e＜1．故选D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．21．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 3【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ．利用定义可得：m +n=2a ，m ﹣n=2a 1，解得m ，n ．利用余弦定理可得：cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，化简整理可得：1e 12+3e22=4，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12． 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ． 则m +n=2a ，m ﹣n=2a 1， ∴m=a +a 1，n=a ﹣a 1．cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
舍去 e 1 2 因此 e 1 2
[解法二]解： e 离心率的定义椭c圆的定2义c
2c
2c 1 2 1
a 2a
| PF1 | | PF2 | 2 2c 2c 2 1
二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式） 1）、直接根据题意建立 a, c 不等关系求解. W.w.w
.1、（07
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
1、（10 广文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
4
3
2
1
A.
B.
C.
D.
5
5
5江苏））在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) ,右焦点为 F
,右准线为
l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若 d2 6d1 ,则椭圆 C 的离心
北京）椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦点为 F1 ， F2 ，两条准线与 x 轴的交点分别为 M，N
，若
MN
F1F2
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）解析
2a2
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
椭圆的离心率专题训练
椭圆的离心率专题训练椭圆的离心率专题训练(带详细解析) 一(选择题(共29小题)1((2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆12C上恰好有6个不同的点P，使得?FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是12 ( )A( B( C( D(2((2015•河南模拟)在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A( B( C( D(3((2015•湖北校级模拟)已知椭圆(a,b,0)上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF?BF，设?ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为( )A( B( C( D(4((2015•西安校级三模)斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A( B( C( D(5((2015•广西模拟)设椭圆C:=1(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F，P是C12上的点，PF?FF，?PFF=30?，则C的离心率为( ) 21212A( B( C( D(6((2015•绥化一模)已知椭圆，F，F为其左、右焦点，P12为椭圆C上除长轴端点外的任一点，?FPF的重心为G，内心I，且有(其12中λ为实数)，椭圆C的离心率e=( )A( B( C( D(7((2015•长沙模拟)已知F(,c，0)，F(c，0)为椭圆的两个焦点，P为椭12 圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A( B( C( D(8((2015•朝阳二模)椭圆+=1(a,b,0)的左、右焦点分别是F，F，过F作倾斜122角为120?的直线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为( ) 1A( B(2, C(2(2,) D(9((2015•新余二模)椭圆C的两个焦点分别是F，F，若C上的点P满足，12则椭圆C的离心率e的取值范围是( )A( B(C( D(或10((2015•怀化二模)设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?FPF=120?，1212则椭圆的离心率的取值范围是( )A( B( C( D(11((2015•南昌校级二模)设A，A分别为椭圆=1(a,b,0)的左、右顶点，若12 在椭圆上存在点P，使得,,，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A((0，) B((0，) C( D(12((2015•宜宾县模拟)设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，121N，若|MF|=|FF|，且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为( ) 21211A( B( C( D(13((2015•高安市校级模拟)椭圆C:+=1(a,b,0)的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( ) A( B( C( D(一l14((2015•宁城县三模)已知F，F分别为椭圆+=1(a,b,0)的左、右焦点，P为12椭圆上一点，且PF垂直于x轴(若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为( ) 2122 A( B( C( D(15((2015•郑州二模)已知椭圆(a,b,0)的两焦点分别是F，F，过F的直121线交椭圆于P，Q两点，若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为( ) 21211A( B( C( D(16((2015•绍兴一模)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F，F，12O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA?MF，且|MF|=2|OA|，2122则椭圆C的离心率为( )A( B( C( D(17((2015•兰州模拟)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F、F，M是椭圆C上一点，且12满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=( )A( B( C( D(18((2015•甘肃校级模拟)设F，F分别是椭圆+=1(a,b,0)的左右焦点，若在12直线x=上存在点P，使?PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( ) 12A((0，) B((0，) C((，1) D((，1)19((2015•青羊区校级模拟)点F为椭圆+=1(a,b,0)的一个焦点，若椭圆上在点A使?AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A( B( C( D(,122220((2015•包头一模)已知椭圆C:=1(a,b,0)和圆O:x+y=b，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得?MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A([，1) B([，1) C([，1) D((1，]21((2015•甘肃一模)在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1(a,b,0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若?ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A((，) B((，1) C((，1) D((0，)22((2015•杭州一模)设F、F为椭圆C:+=1(a,b,0)的左、右焦点，直线l过12 焦点F且与椭圆交于A，B两点，若?ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭212圆离心率为e，则e=( )A(2, B(3, C(11,6 D(9,623((2015•宜宾模拟)直线y=kx与椭圆C:+=1(a,b,0)交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若?ABF?(0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A((0，] B((0，] C([，] D([，1)24((2015•南宁三模)已知F(,c，0)，F(c，0)为椭圆=1(a,b,0)的两个122焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A([，] B((0，] C([，1) D([，]25((2015•张掖模拟)已知F(,c，0)，F(c，0)是椭圆=1(a,b,0)的左右12两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为( )A( B( C( D(26((2015•永州一模)已知两定点A(,1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l:y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )A( B( C( D(27((2015•山东校级模拟)过椭圆+=1(a,b,0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0,k,，则椭圆的离心率的取值范围是( )A((0，) B((，1) C((0，) D((，1)22228((2015•鹰潭一模)已知椭圆C:=1(a,b,0)与圆C:x+y=b，若在椭圆12C上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得?BPA=，则椭圆C的离心11率的取值范围是( )A( B( C( D(2222229((2015•江西校级二模)已知圆O:(x,2)+y=16和圆O:x+y=r(0,r,2)，动12圆M与圆O、圆O都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为12e、e(e,e)，则e+2e的最小值是( ) 121212A( B( C( D(参考答案与试题解析一(选择题(共29小题)1((2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆12C上恰好有6个不同的点P，使得?FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是12( )A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 分等腰三角形?FFP以FF为底和以FF为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆121212 焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围(解答:解: ?当点P与短轴的顶点重合时，FFP构成以FF为底边的等腰三角形， 1212此种情况有2个满足条件的等腰?FFP; 12当?FFP构成以FF为一腰的等腰三角形时， 1212以FP作为等腰三角形的底边为例， 2FF=FP， 121点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上 1因此，当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时， 1存在2个满足条件的等腰?FFP， 12在?FFP中，FF+PF,PF，即2c+2c,2a,2c， 1211212由此得知3c,a(所以离心率e,(当e=时，?FFP是等边三角形，与?中的三角形重复，故e? 12同理，当FP为等腰三角形的底边时，在e且e?时也存在2个满足条件的等腰1FFP 12这样，总共有6个不同的点P使得?FFP为等腰三角形 12综上所述，离心率的取值范围是:e?(，)?(，1)点评: 本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得?FFP为等腰三角形，求椭12圆离心率e的取值范围(着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题(2((2015•河南模拟)在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，(a，b)点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数(a，b)点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解(解答:解:?表示焦点在x轴上且离心率小于，a,b,0，a,2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示:则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B(点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关(3((2015•湖北校级模拟)已知椭圆(a,b,0)上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF?BF，设?ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为( )A( B( C( D( 考点: 椭圆的简单性质(专题:三角函数的图像与性质;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以:AB=NF，再根据椭圆的定义:|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论(解答:解:已知椭圆(a,b,0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为:N则:连接AF，AN，AF，BF所以:四边形AFNB为长方形(根据椭圆的定义:|AF|+|AN|=2aABF=α，则:ANF=α(所以:2a=2ccosα+2csinα利用e==所以:则:即:椭圆离心率e的取值范围为[]故选:A点评: 本题考查的知识点:椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型(4((2015•西安校级三模)斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题(专题:计算题(分析: 22先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2ab，求得关于的方程求得e(解答:解:两个交点横坐标是, c，c所以两个交点分别为(,c，,c)(c，c)代入椭圆=122两边乘2ab22222则c(2b+a)=2ab222?b=a,c22222c(3a,2c)=2a^4,2ac 222a^4,5ac+2c^4=02222(2a,c)(a,2c)=0=2，或0,e,1所以e==故选A点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质(考查了椭圆方程中a，b和c的关系(5((2015•广西模拟)设椭圆C:=1(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F，P是C12上的点，PF?FF，?PFF=30?，则C的离心率为( ) 21212A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 设|PF|=x，在直角三角形PFF中，依题意可求得|PF|与|FF|，利用椭圆离心率的性212112质即可求得答案(解答: 解:设|PF|=x， 2PFFF，?PFF=30?， 21212|PF|=2x，|FF|=x， 112又|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 12122a=3x，2c=x，C的离心率为:e==(故选A(点评: 本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF|与|PF|及|FF|是关键，考查1212理解与应用能力(6((2015•绥化一模)已知椭圆，F，F为其左、右焦点，P12为椭圆C上除长轴端点外的任一点，?FPF的重心为G，内心I，且有(其12中λ为实数)，椭圆C的离心率e=( )A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质(专题:压轴题(分析: 在焦点?FPF中，设P(x，y)，由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，1200因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形FPF的面积等于12被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率解答: 解:设P(x，y)，?G为?FPF的重心， 0012G点坐标为 G(，)，，?IG?x轴，I的纵坐标为，在焦点?FPF中，|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 121212=•|FF|•|y| 120又?I为?FPF的内心，?I的纵坐标即为内切圆半径， 12内心I把?FPF分为三个底分别为?FPF的三边，高为内切圆半径的小三角形1212=(|PF|+|FF|+|PF|)|| 1122•|FF|•|y|=(|PF|+|FF|+|PF|)|| 1201122即×2c•|y|=(2a+2c)||， 02c=a，椭圆C的离心率e==故选A点评:本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法7((2015•长沙模拟)已知F(,c，0)，F(c，0)为椭圆的两个焦点，P为椭12圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A( B( C( D( 考点:椭圆的简单性质;向量在几何中的应用(专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 222设P(m，n )，由得到n=2c,m ?(把P(m，n )代入椭圆得2222222222到 bm+an=ab ?，把?代入?得到 m 的解析式，由m?0及m?a求得的范围(解答: 222解:设P(m，n )，=(,c,m，,n)•(c,m，,n)=m,c+n，222222?m+n=2c，n=2c,m ?(222222把P(m，n )代入椭圆得bm+an=ab ?，22222把?代入?得m=?0，?ab?2ac，22222 b?2c，a,c?2c，??(22222又 m?a，??a，??0，故a,2c?0，??(综上，??，故选:C(点评:本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题(8((2015•朝阳二模)椭圆+=1(a,b,0)的左、右焦点分别是F，F，过F作倾斜122角为120?的直线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为( ) 1A( B(2, C(2(2,) D(考点:椭圆的简单性质(专题:计算题(分析: 如图，Rt?MFF中，tan60?==，建立关于a、c的方程，解方程求出的值( 2 1解答:解:如图，在Rt?MFF中，?MFF=60?，FF=2c 122112MF=4c，MF=2c 21MF+MF=4c+2c=2a?e==2,， 12故选B(点评:本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法(9((2015•新余二模)椭圆C的两个焦点分别是F，F，若C上的点P满足，12 则椭圆C的离心率e的取值范围是( )A( B(C( D(或考点: 椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C的离心率e的计算公式即可得出解答: 解:?椭圆C上的点P满足，?|PF|==3c， 1由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a，?|PF|=2a,3c( 122利用三角形的三边的关系可得:2c+(2a,3c)?3c，3c+2c?2a,3c，化为(椭圆C的离心率e的取值范围是(故选:C(点评:本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题(10((2015•怀化二模)设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?FPF=120?，1212则椭圆的离心率的取值范围是( )A( B( C( D( 考点:椭圆的简单性质(专题:计算题(分析: 先根据椭圆定义可知|PF|+|PF|=2a，再利用余弦定理化简整理得12cos?PFF=,1，进而根据均值不等式确定|PF||PF|的范围，进而确1212定cos?PFF的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心12率的取值范围(解答: 解:F(,c，0)，F(c，0)，c,0，设P(x，y)， 1211则|PF|=a+ex，|PF|=a,ex( 1121在?PFF中，由余弦定理得cos120?==， 122解得x=( 1222222?x?(0，a]，?0?,a，即4c,3a?0(且e,1 1e=(故椭圆离心率的取范围是 e?(故选A(点评: 本题主要考查了椭圆的应用(当P点在短轴的端点时?FPF值最大，这个结论可以12记住它(在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题(11((2015•南昌校级二模)设A，A分别为椭圆=1(a,b,0)的左、右顶点，若12在椭圆上存在点P，使得,,，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A((0，) B((0，) C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2根据题意设P(asinα，bcosα)，所以根据条件可得到，b22换上a,c从而可得到，再根据a，c,0，即可解出离心率的取值范围(解答: 解:设P(asinα，bcosα)，A(,a，0)，A(a，0); 12，;;;，a，c,0;解得;该椭圆的离心率的范围是()(故选:C(点评: 考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，222以及b=a,c，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P点坐标是求解本题的关键(12((2015•宜宾县模拟)设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，121N，若|MF|=|FF|，且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为( ) 21211A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:设椭(a,b,0)，运用椭圆的定义，可得|NF|=2a,|NF|=2a,3，21|MF|+|MF|=2a，即有2c+4=2a，取MF的中点K，连接KF，则KF?MN，由勾股21122定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到( 解答:解:设椭圆(a,b,0)，F(,c，0)，F(c，0)， 12|MF|=|FF|=2c， 212由椭圆的定义可得|NF|=2a,|NF|=2a,3， 21|MF|+|MF|=2a，即有2c+4=2a， 21即a,c=2，?取MF的中点K，连接KF，则KF?MN， 1222222由勾股定理可得|MF|,|MK|=|NF|,|NK|， 2222即为4c,4=(2a,3),25，化简即为a+c=12，?由??解得a=7，c=5，则离心率e==(故选:D(点评:本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题(13((2015•高安市校级模拟)椭圆C:+=1(a,b,0)的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( ) A( B( C( D(一l考点: 椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 求出F(,c，0)关于直线x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率(解答:解:设F(,c，0)关于直线x+y=0的对称点A(m，n)，则，m=，n=c，代入椭圆方程可得，42化简可得e,8e+4=0，e=,1，故选:D(点评:本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力(14((2015•宁城县三模)已知F，F分别为椭圆+=1(a,b,0)的左、右焦点，P为12椭圆上一点，且PF垂直于x轴(若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为( ) 2122A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 设F(,c，0)，F(c，0)，(c,0)，通过|FF|=2|PF|，求出椭圆的离心率e( 12122解答:解:F，F分别为椭圆+=1(a,b,0)的左、右焦点， 12设F(,c，0)，F(c，0)，(c,0)， 12P为椭圆上一点，且PF垂直于x轴(若|FF|=2|PF|， 21222222可得2c=2，即ac=b=a,c(可得e+e,1=0(解得e=(故选:D(点评: 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法((a,b,0)的两焦点分别是F15((2015•郑州二模)已知椭圆，F，过F的直121 线交椭圆于P，Q两点，若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为( ) 21211A( B( C( D(考椭圆的简单性质(点:专计算题;作图题;圆锥曲线中的最值与范围问题( 题:分由题意作图，从而设设点Q(x，y)，从而由2|PF|=3|QF|可写出点P(,c,x，00110析:,y);再由椭圆的第二定义可得|PF|=|MP|，|QF|=|QA|，从而可得3(x+)=20110(,c,x+)，从而化简得到x=,，再由|PF|=|FF|及椭圆的第二定义0021222可得3a+5c,8ac=0，从而解得(解解:由题意作图如右图，答: l，l是椭圆的准线，设点Q(x，y)， 1200?2|PF|=3|QF|， 11点P(,c,x，,y); 00又?|PF|=|MP|，|QF|=|QA|， 112|MP|=3|QA|，又?|MP|=,c,x+，|QA|=x+， 00?3(x+)=2(,c,x+)， 00解得，x=,， 0 |PF|=|FF|， 212(c+x+)=2c; 0将x=,代入化简可得， 0223a+5c,8ac=0，即5,8+3=0; 解得，=1(舍去)或=; 故选:A(点本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题(评:16((2015•绍兴一模)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F，F，12O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA?MF，且|MF|=2|OA|，2122则椭圆C的离心率为( )A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 如图所示，在Rt?AFF中，|FF|=2|OA|=2c(又|MF|=2|OA|，可得?AFF=60?，1212221在Rt?AFF中，可得|AF|=c，|AF|=c(再利用椭圆的定义即可得出( 1221 解答:解:如图所示，在Rt?AFF中，|FF|=2|OA|=2c( 1212又|MF|=2|OA|， 2在Rt?OMF中， 2AFF=60?， 21在Rt?AFF中， 12|AF|=c，|AF|=c( 212a=c+c，=,1(故选:C(点评:本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(17((2015•兰州模拟)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F、F，M是椭圆C上一点，且12满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=( )A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质(专题:计算题;解三角形;平面向量及应用(分析: 由已知可得2a=|MF|+|MF|=3|MF|，进而在?FOM中，|FO|=c，|FM|=a，|OM|=a，122111在?OFM中， 2|FO|=c，|M0|=|FM|=a，由?MOF=180?,?MOF得:cos?MOF+cos?MOF=0，221212 结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案( 解答:解:?|MF|=|MO|=|MF|， 12由椭圆定义可得2a=|MF|+|MF|=3|MF|， 122即|MF|=a，|MF|=a， 21在?FOM中，|FO|=c，|FM|=a，|OM|=a， 111则cos?MOF==， 1在?OFM中，|FO|=c，|M0|=|FM|=a， 222则cos?MOF==， 2由?MOF=180?,?MOF得:cos?MOF+cos?MOF=0， 1212即为+=0，22整理得:3c,2a=0，2即=，即e=，即有e=(故选:D(点评:本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于 a，c的方程是解答的关键，难度中档(18((2015•甘肃校级模拟)设F，F分别是椭圆+=1(a,b,0)的左右焦点，若在12直线x=上存在点P，使?PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( ) 12A((0，) B((0，) C((，1) D((，1) 考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 由已知P(，y)，可得FP的中点Q的坐标，求出斜率，利用，122可得y=2b,，由此可得结论( 解答: 解:由已知P(，y)，得FP的中点Q的坐标为()， 1，22?，?y=2b,，222?y=(a,c)(3,),0，3,,0，0,e,1，,e,1(故选:C(点评: 本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定FP 的中点Q的1坐标是解答该题的关键，是中档题(19((2015•青羊区校级模拟)点F为椭圆+=1(a,b,0)的一个焦点，若椭圆上存在AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) 点A使A( B( C( D(,1 考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析:首先，写出焦点 F的坐标，然后，根据?AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率(解答:解:如下图所示:设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60?=，点P坐标为:(c，c)，代人椭圆的标准方程，得，222222?bc+3ac=4ab，e=(故选:D(点评:本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题(求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a，b，c的等量关系，然后，进行求解(22220((2015•包头一模)已知椭圆C:=1(a,b,0)和圆O:x+y=b，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得?MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A([，1) B([，1) C([，1) D((1，] 考点: 椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:如图所示，连接 OE，OF，OM，由于?MEF为正三角形，可得?OME=30?，OM=2b?a，再利用离心率计算公式即可得出(解答:解:如图所示，连接 OE，OF，OM，MEF为正三角形，OME=30?，OM=2b，则2b?a，，椭圆C的离心率e==(又e,1(椭圆C的离心率的取值范围是(故选:C(点评: 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(21((2015•甘肃一模)在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1(a,b,0)上的一点A 为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若?ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( )，) B((，1) C((，1) D((0，) A((考点: 椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 如图所示，设椭圆的右焦点F(c，0)，代入椭圆的标准方程可得:A(根据?ABC是锐角三角形，可得?BAD,45?，且1,，化为，解出即可(解答:解:如图所示，设椭圆的右焦点F(c，0)，代入椭圆的标准方程可得:，取y=，A(ABC是锐角三角形，BAD,45?，1,，化为，解得(故选:A(点评: 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(22((2015•杭州一模)设F、F为椭圆C:+=1(a,b,0)的左、右焦点，直线l过12 焦点F且与椭圆交于A，B两点，若?ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭212圆离心率为e，则e=( )A(2, B(3, C(11,6 D(9,6 考点: 椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 可设|FF|=2c，|AF|=m，若?ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则1211|AB|=|AF|=m，|BF|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，11可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到( 解答: 解:可设|FF|=2c，|AF|=m， 121若?ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形， 1则|AB|=|AF|=m，|BF|=m， 11由椭圆的定义可得?ABF的周长为4a， 1即有4a=2m+m，即m=2(2,)a，则|AF|=2a,m=(2)a， 2在直角三角形AFF中， 12222|FF|=|AF|+|AF|， 121222222即4c=4(2,)a+4()a，22即有c=(9,6)a，2即有e==9,6(故选D(点评:本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键(23((2015•宜宾模拟)直线y=kx与椭圆C:+=1(a,b,0)交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若?ABF?(0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A((0，] B((0，] C([，] D([，1) 考点: 椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算( 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 设F是椭圆的右焦点(由•=0，可得BF?AF，再由O点为AB的中点，OF=OF(可22得四边形AFBF是矩形(设?ABF=θ，可得BF=2ccosθ，BF=AF=2csinθ，利用椭圆22的定义可得BF+BF=2a，可得e=，即可得出( 2解答: 解:设F是椭圆的右焦点( 2•=0，BFAF，O点为AB的中点，OF=OF( 2四边形AFBF是平行四边形， 2四边形AFBF是矩形( 2如图所示，设?ABF=θ，BF=2ccosθ，BF=AF=2csinθ， 2 BF+BF=2a， 22ccosθ+2csinθ=2a，e=，sinθ+cosθ=，θ(0，]，，(，e(故选:D(点评:本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(24((2015•南宁三模)已知F(,c，0)，F(c，0)为椭圆=1(a,b,0)的两个12 2焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c，则此椭圆离心率的取值范围是( )A([，] B((0，] C([，1) D([，] 考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:2设P(x，y)，则2c=，化为(又，可得00=，利用，利用离心率计算公式即可得出( 解答: 2解:设P(x，y)，则2c==(,c,x，,y)•(c,x，,y)=+，000000化为(又，?=，，，222?b=a,c，?，(故选:A(点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(25((2015•张掖模拟)已知F(,c，0)，F(c，0)是椭圆=1(a,b,0)的左右12 两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为( )A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:设P(x，y)，则，可得:=(由于，002可得=c，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出(解答:解:设P(x，y)，则， 00=(，2?(,c,x，,y)•(c,x，,y)=c， 0000 2化为=c，2?=2c，化为=，，2?0??a，解得(故选:D(点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题(26((2015•永州一模)已知两定点A(,1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l:y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( ) A( B( C( D(考点: 椭圆的简单性质(专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析:作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|?|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到( 解答: 解:由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，P在直线l:y=x+2上移动，2a=|PA|+|PB|(过A作直线y=x+2的对称点C，设C(m，n)，则由，解得，即有C(,2，1)，则此时2a=|PA|+|PB|?|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C(点评:本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题(27((2015•山东校级模拟)过椭圆+=1(a,b,0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0,k,，则椭圆的离心率的取值范围是( )A((0，) B((，1) C((0，) D((，1)考点: 椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:作出图形，则易知|AF|=a+c，|BF|=，再由?BAF是直线的倾斜角，易得222 2k=tan?BAF，然后通过0,k,，分子分母同除a得0,,求解( 2解答:解:如图所示:|AF|=a+c，|BF|=， 22k=tanBAF=， 2又?0,k,，0,,，0,,，,e,1(故选:D(点评:本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识(22228((2015•鹰潭一模)已知椭圆C:=1(a,b,0)与圆C:x+y=b，若在椭圆12C上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得?BPA=，则椭圆C的离心11率的取值范围是( )A( B( C( D( 考点:椭圆的简单性质(专题:圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:利用 O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围(解答:解:连接 OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，BPA=，?APO=?BPO=，在直角三角形OAP中，?AOP=，cosAOP==，?|OP|==2b，b,|OP|a，?2b?a，22222?4b?a，即4(a,c)?a，22?3a?4c，即，，又0,e,1，??e,1，椭圆C的离心率的取值范围是[，1)，故选:A(点评:本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题(2222229((2015•江西校级二模)已知圆O:(x,2)+y=16和圆O:x+y=r(0,r,2)，动12圆M与圆O、圆O都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为12e、e(e,e)，则e+2e的最小值是( ) 121212A( B( C( D(考点:椭圆的简单性质(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 分别求出e、e(e,e)，利用基本不等式求出e+2e的最小值( 121212解答: 解:?当动圆M与圆O、O都相内切时，|MO|+|MO|=4,r=2a，?e=( 12211当动圆M与圆O相内切而与O相外切时，|MO|+|MO|=4+r=2a′，?e= 12122 e+2e=+=， 12令12,r=t(10,t,12)，e+2e=2×?2×== 12故选:A(点评:本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率，属于难题(。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
求椭圆离心率的题型
椭圆离心率的题型椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求解椭圆的离心率的三种方法：1.定义法：求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率； 2.齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； 3.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.一、定义法，求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率e 1．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解 （1）通过等量关系列式得出关于,a c 的齐次方程1．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率e =（ ）A B C ．35 D 2．椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1()0F c -，到过顶点(0)A a -，，(0)B b ，的直线的，则该椭圆的离心率e =（ ）A B ．12 C ．2 D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．12C D4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617BC ．45D 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C ．12 D ．12（2）通过特殊三角形的边关系列式得出关于,a c 的二元齐次方程 1．设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F P 、，是C 上的点2121230PF F F PF F ⊥∠=︒，，则C 的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 D ．32．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1BC 1D ．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12 B ．2 C ．14 D4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是e =（ ）A B 1 C 1 D -5．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 6．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．2 D ．127．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左.右焦点为1 F ，2 F ，过2 F 垂直于 x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D 8．在Rt ABC 中，AB AC =，如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A B 1 C 1 D -9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4b OQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．2310．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．13 D ．1612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D 13．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．315．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O 是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D（3）求出某个在椭圆上的点的坐标，再把坐标代入标准方程，得出关于,a c 的齐次方程1．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．34 C ．12 D ．142．椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN 使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D ．123．已知12,F F 是椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且满足112||2||,||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．3C D4．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（ ）A 1B ．2CD ．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．5 D ．76．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y += B ．22186x y + C ．22142x y += D ．22184x y += 7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A B C D（4）点差法 1．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．2（5）涉及到最值1．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．3 D ．59 2．已知椭圆C 过点(5,0),(0,)A B b -，左､右焦点分别为1F ､2F ，中心在原点，点M 的坐标为(1,2)，P 为椭圆上一动点，若1PF PM +的最大值为10，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45。
高中数学--椭圆离心率专练--解析版
高中数学椭圆离心率专练1.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若012=60F PF ∠，则椭圆的离心率为( )A.B.C. 12D. 13解析 解法一：（定义法）令1||=1PF ，则在12Rt PF F 中，由012=60F PF ∠，可知212||=2,|PF F F ，由椭圆定义得122||||3a PF PF =+=，2c =，所以22c e a ==.故选B. 解法二 因为2(,)b P c a -±，再由012=60F PF ∠，所以021=30PF F ∠，得21||=2||PF PF ，13|2,PF a =22232,23b a a b a ==，故2223b a =所以3e ==.故选B .解法三 同解法二，因为2(,)b P c a-±，在12Rt PF F 中，得0121||=tan60||F F PF =即2222c ac b b a==2222)ac a c ==-2220ac +=,220e +-=所以e =e =故选B . 2. 设1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，以2F 为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线1F M 与圆2F 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.1 B.2 C.2D. 2分析 利用椭圆定义寻求,,a b c 之间的关系，进一步求解离心率．解析 已知()()12,0,,0F c F c -，直线)y x c =+过点1F斜角01260MF F ∠=．如图10-53所示，因为021121302MF F MF F ∠=∠=，所以01290F MF ∠=，所以12,MF c MF ==，由椭圆定义知122MF MF c a +==，3.椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________. 解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取得最大值，而由题意可知，若在椭圆上存在点M 使得120FM F M ⋅=，即01290F MF ∠=，只需要焦点三角形的顶角最大值090≥即可，故只需保证当点M 落在椭圆短轴端点处情形时01290F MF ∠=的即可，所以012sin sin 452F MF c a ∠=≥=又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭解法二：由椭圆的定义知12||||2MF MF a +=，在12F MF 中，01290F MF ∠=，由勾股定理得， 22221212||||||4F M F M F F c +==，将上式化简得2212||||2()F M F M a c ⋅=-，根据韦达定理，可知2212||||2()F M F M a c ⋅=-是方程22222()0x ax a c -+-=的两个根，则22248()0a a c ∆=--≥21()2c a ≥，即e ≥，又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭4. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，满足120FM F M ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）A. (0,1)B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C.0,2⎛ ⎝⎭ D. 2⎫⎪⎪⎣⎭解析 解法一：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，故以坐标原点为圆心，c 为半径的圆总在椭圆内部，即22221,,2c b c a c e <<-<，得02e <<．解法二：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，所以对于椭圆上任意一点P 都有01290F PF ∠<，故最大顶角小于090，从而0900sin 22e <<=，即0e <<C ． 评注：若椭圆上存在点P 使得12F PF α∠=（F 1，F 2为焦点，()0,απ∈），则sin ,12e α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，反之，0,sin 2e α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，2F ，则此椭圆离心率的取值范围为____________分析 根据椭圆的定义12||||2PF PF a +=求解.. 解析 解法一，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =得14||3a PF =，22||3a PF =，又12||||2PF PF c -≤，即223ac ≥， 得113e ≤<，故离心率的取值范围为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.评注 若椭圆上存在点P ，使得12||||(0,1)PF PF λλλ=>≠，则1||,11e λλ-⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦。
完整版椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．．．B ． CAD，则方程，b]分别取一个数，记为a5]和[2，4轴上且表示焦点在x2．在区间[1，离心率小于的椭圆的概率为（）． DA ． BC．．（a＞b＞0）3．上一点已知椭圆A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e设∠ABF=α，且的取值范围为（）．A ．B． DC ．交于不同的两点，且这两个交点在4．斜率为与椭圆x轴上的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）． DCA ． B．．：C5．设椭圆上的点，PF⊥FF，，＞a＞b0）的左、右焦点分别为F、FP是C（=121122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21． D B． CA．．．已知椭圆上除长轴端点外6为其左、右焦点，P为椭圆CF，F，21，且有I的重心为的任一点，△FPFG的离心，椭圆λ（其中为实数）C，内心21）（e=率．．．B ． CAD．为椭圆）c，00），F（为椭圆上一点且，7．已知F（﹣c，的两个焦点，P12则此椭圆离心率的取值范围是（）． D CA．． B ．=1（a＞8b．椭圆＞+0）的左、右焦点分别是F，F，过F作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．﹣）﹣ C．2（2AD． B．2满足上的点P，F，若CC的离心9．椭圆C的两个焦点分别是F，则椭圆e的取值范围是（）21率或． BD． C A．．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2211的取值范围是（）． D． CA． B．分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点．设11A，AP，使得21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．DC ．B．（0 ，） A．（0），12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．AB．．关于直线Fx+y=0，）的左焦点为F若0椭圆13．（2015?高安市校级模拟）Ca：+=1（＞b＞的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）l一． D．C ．B ．A．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，14．已知F，F分别为椭圆P为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）221．． CAD． B．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F，F，过F的直线交椭圆于P15．，Q两点，112若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11122．．． B． CAD的左、右焦点分别为F，F，：O为坐标原点，M为y16．已知椭圆C21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．． CAD． B|上一点，且满足，M是椭圆C，．已知椭圆C的中心为O两焦点为F、F|=2|||=2|，1721则椭圆的离心率e=（）． C A．． BD．上存在点P分别是椭圆，使x=18．设F，+F=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1），1）D． BA．（0，）．（0，）C．（=1（a＞b＞0F+19．点）的一个焦点，若椭圆上在点为椭圆A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）1﹣． D ． C ． B．A．C上存在点M，过点+yM=b引圆O：=1（a＞b＞0）和圆O：x20．已222，若知椭圆C的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（），]（1 1） D．．[，1） C．，[A．，[1） B中，以椭圆21．在平面直角坐标系xOy）上的一点A为圆心的圆与x轴+=1（a＞b＞0相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）0 D．（1） C．（，A．（1，） B．）（，=1（a＞b＞0为椭圆C）的左、右焦点，直线：l过焦点F且与椭圆交+F22．设、F221于A，B两点，若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，12=（ e ）则6﹣ D．C．11﹣96A．2﹣ B．3 ﹣且为椭圆C的左焦点，A、B两点，FC：（+=1a＞b＞0）交于，?=023．直线y=kx与椭圆]，则椭圆C若∠ABF∈（0，的离心率的取值范围是（），（0B ] D．．[0A．（，，1）] C．[ ，]）为椭圆=1（a＞c，0b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在FF24．已知（﹣c，0），（21点P 满足?） =2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（，（0A．[]， B D．[．，]）] C．[，1）是椭圆=1（a＞b＞0，F，F．已知（﹣c0），（c0）的左右两个焦点，P 为椭圆2521，则椭圆的离心率的取值范围为（）上的一点，且．D ．C ．B ．A．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）．D ．A． B ． C=1（a＞b＞0+）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点27．过椭圆B，且点B＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）F，若0＜k 在x轴上的射影恰好为右焦点（，1）） D．C（，1）．（0 A．（0B，）．，C上存在点P，过：0）与圆CxP+y作=b28．已知椭圆Ca：222，若在椭圆=1（＞b＞121使得∠BPA=，BPB，切点为A ）圆的切线PA，C，则椭圆的离心率的取值范围是（1．D．． B ．A C22222（0＜r＜2），动圆M与圆O、圆O2：29．已知圆O（x ﹣）：+y=16和圆Ox+y都相切，=r2121动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e、e（e＞e），则e+2e的最211122小值是（）． D．C ．B ．A．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．D ．． B ． AC解：①当点解P与短轴的顶点重合时，答：△FFP构成以FF为底边的等腰三角形，2211此种情况有2个满足条件的等腰△FFP；21②当△FFP构成以FF为一腰的等腰三角形时，2112以FP 作为等腰三角形的底边为例，2∵FF=FP，121∴点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上1因此，当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，1存在2个满足条件的等腰△FFP，21在△FFP中，FF+PF＞PF，即2c+2c ＞2a﹣2c，2121121＞．．所以离心率e 由此得知3c＞ae≠ P当是等边三角形，与①中的三角形重复，故e=时，△FF21个2时也存在ee≠且为等腰三角形的底边时，在同理，当FP1PF满足条件的等腰△F21 6个不同的点P使得△FFP为等腰三角形这样，总共有211e综上所述，离心率的取值范围是：∈）（，，）∪（轴上且表示焦点在ba]，和5[12．在区间，][24分别取一个数，记为，，则方程x）的椭圆的概率为（离心率小于． CDA．． B．解轴上且离心率小于表示焦点在解：∵x，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：轴上且离心率小于的椭圆的概率为则方程表示焦点在x=， P=故选B．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点3．B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e的取值范围为（）设∠ABF=α，且． DC BA．．．解（a＞b＞0）上一点解：已知椭圆A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα=利用 e=所以：则：[]即：椭圆离心率e的取值范围为A 故选：交于不同的两点，且这两个交点在x与椭圆4轴上．斜率为的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）．．． B D． AC解：两个交点横坐标是﹣解c，c，﹣c c（所以两个交点分别为（﹣，c）c）答：代入椭圆=1两边乘2a22222 +ab则c）（2b=2a222 =ac﹣∵b22222﹣2a（3a2c﹣c）22 bc=2a^422+2c^4=0 ﹣5ac2a^42222=0 ﹣c2c）（a（2a）﹣=2，或1 ＜∵0＜ee=所以=A 故选=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，P5．设椭圆C：是C上的点，PF⊥FF，21122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21．． D BA．．C 解，解：设|PF|=x2．答：∵PF⊥FF，∠PFF=30°，21221|=x，|FF ，∴|PF|=2x211又|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 21122c=x，∴2a=3x，e=的离心率为：．∴C=故选A．．已知椭圆，F，F6为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外21，且有IG，内心的重心为，椭圆C的离心的任一点，△FPF（其中λ为实数）21率e=（）． CDA ．B．．解：设P（x，y），∵G解为△FPF的重心，2100答：（ G∴G，，）点坐标为∵，∴IG∥x轴，的纵坐标为∴I ，在焦点△FPF中，|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 221112=?|FF|?|y∴|021的纵坐标PF的内心，∴I 即为内切圆半径，又∵I为△F21内心I把△FPF 分为三个底分别为△FPF的三边，高为内切圆半径的2211小三角形|）|F（|PF|+|F|+|PF∴|=2121|||+|PFF|+|F|PF|=|?|yF∴?|F（）|2211021．||， |=（2a+2c即×2c?|y）0∴2c=a，e=的离心率=∴椭圆CA故选为椭圆上一点且P），为椭圆的两个焦点，0），F（c，07．已知F（﹣c，21）则此椭圆离心率的取值范围是（．． D． CA ．B=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n，解：设P（mn ）），解222，c 答： =m+n ﹣222222①．﹣，n∴mm+n=2c=2cnn b）代入椭圆得b=am+a ，把P（m222222②，2a≥0，∴a把①代入②得m =bc22222，≤，a﹣c ≤2c b，∴≤2c≥22222．a﹣∴2c，≥0，≤0，故又 m≤aa，22222∴≤≤∴．≤，综上，≤故选：C．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F，F，过8F．椭圆作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．D ）﹣2B A．．﹣2（2．C解：如图，解．答：在Rt△MFF中，∠MFF=60°，FF=2c211221=2MFc∴MF=4c，12﹣?=2e=MF+MF，=4c+2 c=2a21故选B．的离心，则椭圆满足P9．椭圆C的两个焦点分别是F，F，若C上的点C21率e的取值范围是（）D或B． C．．A ．|=P，∴|PF满足=3c，解：∵椭圆C上的点解1答：由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a，∴|PF|=2a﹣3c．212利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．的取值范围是eC的离心率．∴椭圆故选：C．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2121的取值范围是（）．．． BD． AC解：F（﹣c，0），F（c，0）解，c＞0，设P（x，y），1211答：则|PF|=a+ex，|PF|=a﹣ex．1112在△PFF中，由余弦定理得21=，cos120°=．x解得12=，∴0≤＜a]0∈（，a2222221＜e∵x≥0．且3a﹣4c，即1．≥．∴e=∈故椭圆离心率的取范围是 e．故选A．分别为椭圆=1（a＞b，A＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得11．设A21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．．，） C（A．0D，） B．（0解：设P（asinα，bcosα），A（﹣a，0），A（解a，0）；21∴，；答：∴；∴；∴，a，c＞0；；∴解得∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．A ．B ．解，＞0）a解：设椭圆（＞b 答：F（﹣c，0），F（c，0），21|MF|=|FF|=2c，|NF|=2a﹣|NF ，3﹣|=2a12．212由椭圆的定义可得|MF|+|MF|=2a，即有2c+4=2a，12即a﹣c=2，①取MF的中点K，连接KF，则KF⊥MN，2212222， |||NK|﹣|MK|﹣=|NF由勾股定理可得|MF2222﹣25，化简即为a+c=12，②（2a﹣3）即为4c ﹣4=由①②解得a=7，c=5，=．e= 则离心率故选：D．关于直线x+y=0的对称点AF，若F是椭圆＞+=1（ab＞0C13．椭圆）的左焦点为：C上的点，则椭圆C的离心率为（）．一ClA．． BD．）关于直线0（﹣c，解，则m，n）解：设F的对称点x+y=0A （答：，n=c，，∴m=代入椭圆方程可得，﹣8e，e化简可得24 +4=0，∴e=﹣1故选：D．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P，14．已知FF分别为椭圆为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）212．D ． C． B．A．解+=1（a＞b＞0解：F，F）的左、右焦点，分别为椭圆21答：设F（﹣c，0），F（c，0），（c＞0），21P为椭圆上一点，且PF垂直于x 轴．若|FF|=2|PF|，2122﹣1=0．=a ﹣ce，即可得ac=b2c=2．可得2222+e．解得 e= ．故选：D两点，FF，过的直线交椭圆于P，Q的两焦点分别是15．已知椭圆（a＞b＞0）F，121若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11212．． CDAB．．解解：由题意作图如右图，答：，l是椭圆的准线，设点Q（x，y）l，0120∵2|PF|=3|QF|，11，﹣y）﹣x∴点P；（﹣c 00|=|QA|，，|QF又∵|PF |=|MP|11∴2|MP|=3|QA|，+，|QA|=x ﹣x，+又∵|MP|=﹣c00+﹣（﹣c）， x=2∴3（x+）00﹣x=，解得，0∵|PF|=|FF|，221）=2c；c+x+∴（0代入化简可得，将x=﹣022﹣8ac=03a，+5c；+3=08﹣5即．=；解得，=1 （舍去）或故选：A．：的左、右焦点分别为F，F，O16．已知椭圆C为坐标原点，M为y21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．B ． CAD．解：如图所示，解答：在Rt△AFF中，|FF|=2|OA|=2c．2112又|MF|=2|OA|，Rt△OMF中，2∴∠AFF=60°，12在Rt△AFF中，212在|=c．，|AF|=c|AF 12，∴2a=c+c．﹣∴1=故选：C．|=2||，C上一点，且满足|=2||是椭圆两焦点为17．已知椭圆C的中心为O，F、F，M21）（ e=则椭圆的离心率． B．． C． DA，|解：∵|MF|=|MO|=|MF解21由椭圆定义可得2a=|MF|+|MF|=3|MF|答：，221|=a，，|MF 即|MF|=a12，a|FO|=c|FOM在△F中，，|OM|=，aM|=111．=，cos∠MOF =则1M|=a，，|M0|=|F 在△OFM中，|FO|=c222=，cos∠MOF= 则2由∠MOF=180°﹣∠MOF得：cos∠MOF+cos∠MOF=0，2211+=0即为，，﹣2a整理得：3c22=0，即 =，即e2=e=即有．故选：D．x=上存在点P＞0）的左右焦点，若在直线，使分别是椭圆+=1（a＞b．设18F，F21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1） 1）D．B．（0 ，）C．（， A．（0，）的坐标为（的中点Q），得FP），解：由已知P（，y解1答：∴，=2b，∵，∴y22﹣3c ）＞0，）∴ya=（（﹣222﹣∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，．1＜e＜∴．故选：C．+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A19．点F使△AOF为椭圆为正三角形，那么椭圆的离心率为（）．﹣D． C1．A B．解：如下图所示：解答：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得k=tan60°=，的斜率为直线OP，c，c∴点P坐标为：）（代人椭圆的标准方程，得b∴b=4ac+3a c222222，∴e=．故选：D．C上存在点M=b，过点M：a＞b＞0）和圆Ox引圆+yOC20．已知椭圆222，若（：=1的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（），]1．（，[1）C．[，1）DB），A．[1 ．解：如图所示，连接OE，OF，解OM，答：∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，2b≤a，∴，e=C的离心率=．∴椭圆又e＜1．的离心率的取值范围是．∴椭圆CC．故选：=1（a＞b＞．在平面直角坐标系xOy0中，以椭圆）上的一点+A为圆心的圆与x轴21相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）（0 ．（，1）．（．，） B．（，1） CDA解：如图所示，解答：，代入椭圆的标准方程可得：），0c设椭圆的右焦点F（，A．，取 y=∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，．解得．故选：A+=1（a：＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F且与椭圆交为椭圆F、．设22FC2122=，则ee为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为构成以两点，若△ABF，于ABA1）（．6 9﹣6 D﹣ C．11﹣．A．2．﹣ B3解：可设|FF|=2c，解|AF|=m，112答：若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，1|=m，|=m，|BF 则|AB|=|AF11由椭圆的定义可得△ABF的周长为4a，1﹣）a2，即有 4a=2m+m，即m=2（2（ m=|AF|=2a﹣则）a，2在直角三角形AFF中，21222， +|AF|FF||=|AF|2112a+4）即4c2=4（）﹣（a22222，6）即有c9=（﹣a22，．故选==9﹣D即有e62．?=0且为椭圆两点，FC的左焦点，，0C与椭圆=1：（+a＞b＞）交于A、B．23直线y=kx]，则椭圆0若∠ABF∈（C，的离心率的取值范围是（），0B．（1[，）]．]0．A（， C．[，] D解：设F解是椭圆的右焦点．2∵答： ?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF．2∴四边形AFBF是平行四边形，2∴四边形AFBF是矩形．2如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF=AF=2csinθ，2BF+BF=2a，2∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，，sinθ+cosθ=，]（0，∵θ∈，∴∈．∈∴∈∴，．∴e∈．故选：D）的两个焦点，若椭圆上存在＞0＞=10（，0），Fc，（a）为椭圆b（﹣24．已知Fc21=2c?点P）满足2，则此椭圆离心率的取值范围是（。
椭圆与双曲线的离心率专题练习(含答案)
圆锥曲线的离心率专题练习1．过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )2.方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率3.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 （ ） A.53 B.43 C.54 D.324. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） (A)2 (B)22 (C) 21 (D)42 5. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 6. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+7. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .8.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 9.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32C ．22D ．23 10.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311.曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞12.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)13. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．2 14. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(215. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D ．316. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（ ）（A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b -=17. 在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．19. 设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册专题训练：椭圆离心率题 分层练习题含答案解析
9.椭圆离心率题型归类基础过关练 ....................................................................................................................... 1 能力提升练 ....................................................................................................................... 6 培优拔尖练 (12)基础过关练1.设1F 和2F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的两个焦点，若1F ，2F ，()0,2P b 是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）A 7B ．7C D 【答案】B【分析】由三角形1F 2F P 是等边三角形，得到b 、c 的齐次式，即可求出离心率. 【详解】设椭圆是焦距为2c .因为1F ，2F ，()0,2P b 是等边三角形的三个顶点，所以tan623c b π==()2222344c b a c ==-，则7c e a ==. 2.椭圆222:12x y E a a +=+的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与E 交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为12，则E 的离心率为（ ） A ．23B ．13C ．19D ．49【答案】A【分析】由椭圆的定义，求得3a =，再由222c a b =-，求得c 的值，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为2ABF 的周长为12，根据椭圆的定义可得412a =，解得3a =， 则2224c a a =--=，所以2c =，则椭圆E 的离心率为23c e a ==. 3.已知椭圆的两个焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 满足12120F PF ∠=，则椭圆离心率的最小值为________．【分析】不妨设椭圆的两个焦点在x 轴上，故当点P 为椭圆的上下顶点时12F PF ∠最大 设椭圆的上顶点为0P ，则102120F P F ∠≥，结合02tan cOP F b ∠=≥c e a ==，分析即得解【详解】不妨设椭圆的两个焦点在x 轴上，故当点P 为椭圆的上下顶点时12F PF ∠最大 设椭圆的上顶点为0P ，若椭圆上存在一点P 满足12120F PF ∠=， 则102120F P F ∠≥且02tan tan 603cOP F b ∠=≥=b ≤c e a ==≥=4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =>与C 相交于,M N 两点（M 在第一象限）.若12,,,M F N F 四点共圆，且直线2NF 的倾斜角为6π，则椭圆C的离心率为（）AB 1CD 1【答案】B【分析】依据12,,,M F N F 四点共圆，且直线2NF 的倾斜角为6π，利用椭圆定义可得)1c a =，进而求得椭圆C 的离心率【详解】根据题意四边形12MF NF 为平行四边形，又由12,,,M F N F 四点共圆，可得平行四边形12MF NF 为矩形，即12NF NF ⊥又直线2NF 的倾斜角为6π，则有12π6MF F =∠ 则21212MF F F c ==，121MF F =，则122(1a c MF MF =+=，即)1c a ==则椭圆C 的离心率ce a==1 5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上点(,)P x y 到焦点2F 的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BC ．23D ．2【答案】A【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为a c +，最小值为a c -，可求出,a c ，即可计算出离心率【详解】设椭圆的半焦距为c ，由题意可得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==， 6.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点,P Q 均在C 上，且关于原点对称.若直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则C 的离心率为（ ） AB．2C ．12D ．13【答案】B【分析】设()()0000,,,P x y Q x y --，再根据直线,AP AQ 的斜率之积为12-列式，结合椭圆的方程化简即可.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --且0x a ≠±，则2000122200012y y y k k x a x a x a =⋅==+---. 又2200221x y a b +=，故()2220202b a x y a-=，故2212b a -=-，所以e ==7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， ,A B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足30,45MAB MBA ︒︒∠=∠=，设椭圆C 的离心率为e ，则2e =______.【答案】13-【解析】设()00,M x y ,(),0A a - (),0B a ，因为30,45MAB MBA ︒︒∠=∠=，所以可得001,BM y k x a ==-003AM y k x a ==+ ，2200221x y a b += ，三等式联立消去00,x y可得22221,1b e e a ==-=故答案为18.．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.2【分析】求椭圆的离心率，要列出关于,a c 的等量关系式，设1||(0)F B k k =>，根据椭圆的定义以及11||3||AF BF =，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于k 的表达式，根据几何关系可以列出关于,a c 的等量关系式，从而求出离心率【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k=，||4AB k =，2||23AF a k∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠=，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，c ∴=，∴椭圆的离心率2c e a ==. 9.已知1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（ ）A 1B 1CD 【答案】A【分析】由几何关系得1290F PF ∠=︒，再由椭圆性质求解【详解】由题意12PF F △为直角三角形，1290F PF ∠=︒，而12212PF F P F F ∠=∠，则1260PF F ∠=︒，又122F F c =，∴1PF c =，2PF ，由椭圆的定义知，122PF PF c a +==，∴离心率为1ce a==． 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，且PF 1＝3F 1Q ，若PF 2垂直于x 轴，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】求得椭圆的左右焦点，设(,)P m n ，由题意可得m c =，代入椭圆方程求得n ，再由向量共线的坐标表示可得Q 的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值．【详解】解：设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设(,)P m n ，0n >，由2PF 垂直于x 轴可得m c =，由242222(1)c b n b a a =-=，可得2b n a=，设(,)Q s t ，由113PF F Q =，可得3()c c s c --=+，23b t a -=，解得53s c =-，23b t a=-，将5(3Q c -，2)3b a -代入椭圆方程可得222225199c b a a+=，即2222259c a c a +-=，即有223a c =， 则c e a ==11.以椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点F 为圆心､c 为半径作圆，O 为坐标原点，若圆F与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是OF 的中点，且AD OF⊥，则椭圆C 的离心率为（ ） A2B．3 C1 D 2【答案】C【分析】由几何性质得出A 点坐标，代入椭圆方程求解【详解】不妨令点A 在第一象限，由D 是OF 的中点，且AD OF ⊥，OFAF =。
椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率问题专题练习1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为2.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，椭圆的离心率为3.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，椭圆的离心率为4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为6. 如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为7.已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2a，椭圆的离心率为 ·8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 椭圆离心率e 的取值范围为10.设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使∠AQB=120º，椭圆离心率e 的取值范围为11.设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围是12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，椭圆的离心率e 的取值范围是13．已知椭圆M ：12222=+by a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点、P （4，－1）在直线AB 上，椭圆M 的离心率是14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，椭圆的离心率是】15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，椭圆的离心率《|参考答案1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为36 2． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36）3． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率.（215-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 《 6． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）7． 如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （215-） 8． 已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 、距离为2a，求椭圆的离心率.（36）。
椭圆离心率经典题型总结
椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ）A ．3B CD ．253或32. 的两段，则其离心率为________．3. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于________．6. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中，7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________．11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ，FAB ∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22 D.2＋115. 已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B C ．13 D ．1218. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．19. 与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2B ．1[,1)2C ．(0,2D ．1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．23. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．25. 如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．26. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c ，则椭圆C 的离心率为_____．27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
关于椭圆离心率专项练习(1)
关于椭圆离心率的演练之青柳念文创作a与b的比值，以1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的间隔是焦距的2倍，则其离心率为则椭3.圆的离心率为4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为核心，且过C、D两点的椭圆的离心率为椭圆的离心率为6..mn取得最小值时，7.则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左核心，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆9.P（a＞b＞0是椭圆的左右核心，已知P是椭圆上一则椭圆的离心率为11.在给定椭圆中，过核心且垂直于长轴的弦长1，则该椭圆的离心率为12.（a＞b＞0）的右核心为F1，1F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的间隔，则椭圆的离心率是.13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A（B(0,b),若右核心F到直线AB的间隔.14.a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过核心，则椭圆的离心率是15.已知直线L a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的16.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，17.）Ｄ．以上三1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数2．以椭圆的右核心F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心而且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左核心为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3．以椭圆的一个核心F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O而且与椭圆交于M、N两4．设椭圆的两个核心分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5．已知F1、F2是椭圆的两个核心，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF26核心，P是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形.1知1F是椭圆的两个核心，知足的点率的取值范围是2P是椭圆上一e的取值范围为3P是椭圆上一e的取值范围为4a>b>0）的两核心为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为56．别是椭的使线段7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个核心，其余四个顶点9.17.（ A ）1三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形. 16。
离心率专项练习
离心率专项练习1、 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_____________．【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62．2、 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足33<k ≤3，易知k ＝b a ，所以13<⎝⎛⎭⎫b a 2≤3，43<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤4，即有233< 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以233<e ≤2． 3、 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为____________．【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 4、 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是____________．【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.5、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为___________．【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.6、 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是___________．【解析】不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±ba x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.7、 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为____________．【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.8、 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是____________．【解析】设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.9、 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为__________． 【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.10、 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为__________．【解析】设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3. 11、 设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率等于____________．【解析】设圆锥曲线的离心率为e ，因|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32.12、 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为___________．【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b ,一条渐近线斜率为：ba ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b b a c∴⋅-=-，2b ac ∴=,220c a ac --=，解得512c e a +==. 13、 椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________． 【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等,而|F A |＝22a b c c c -=,, |PF |∈[a －c ,a ＋c ],于是2b c∈[a －c ,a ＋c ],即ac－c 2≤b 2≤ac ＋c 2,∴222222ac c a c a c ac c⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩⇒1112c a c c a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或,又e ∈(0,1),故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14、 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是________． 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，， 则有，因15、 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________．【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y ,得有唯一解,所以△=,所以,16、 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为于两点，若,则的离心率___________.【解析】设双曲线的右准线为 ,过分 别于 ,于, ,由直线AB知直线AB 的倾斜角为,由双曲线的第二定义有 .22221(0,0)x y a b a b-=>>A 1-,B C 12AB BC =(),0A a 0x y a +-=22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭222,4,AB BC a b e =∴=∴=12222=-by a x 212222=-b y a x x a b y =21b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩210b x x a -+=2()40b a -=2ba=2c e a a ====()222210,0x y C a b a b-=>>：F F C A B 、4AF FB =C 22221x y C a b-=：l A B 、AM l ⊥M BN l⊥N BD AM D ⊥于16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+又.17、 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，求得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .而|F 1F 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos ∠PF 1F 2，所以4a 2＝16a 2＋4c 2－2·4a ·2c ·cos 30°，即3a 2－23ac ＋c 2＝0，所以3a －c ＝0，故双曲线C 的离心率为 3.18、 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.19、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解．求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a 值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.20、 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1，则椭圆C 的离心率为________．【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查学生的推理能力及运算能力． 令F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋y b ＝1，所以d 1＝bcb 2＋c2 .15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=又d 2＝a 2c －c ＝b 2c ，由d 2＝6d 1，可得b 2c ＝6·bcb 2＋c 2，解得b 2＝2c 2，所以a 2＝3c 2，a ＝3c ，所以e ＝c a ＝33.21、 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 【解析】本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.22、 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．【解析】本题主要考查双曲线的离心率和解直角三角形，并结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化处理能力和运算能力．由已知可得，|PF 1|＝2c cos 30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1.23、 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______________．【解析】依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55.24、 椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．【解析】依题意得，点F (－a 2－5，0)，不妨设点A (a cos θ，－5sin θ)， |F A |＝|FB |＝(a cos θ＋a 2－5)2＋5sin 2θ＝a ＋a 2－5cos θ，|AB |＝25sin θ， |F A |＋|FB |＋|AB |＝2a ＋2a 2－5cos θ＋25sin θ的最大值是2a ＋ (2a 2－5)2＋(25)2＝4a ＝12，即a ＝3，因此该椭圆的离心率是23.25、 设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.【解析】由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P (－c ，－b 2a)．又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝2 2b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.26、 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【解析】法一：因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即. 设点由焦点半径公式，得则.记得，由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率.法二： 由法一知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.27、 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T ，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】直线的方程为：； 直线的方程为：.二者联立解得：， 22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0)F c F c -P 1221sin sin a cPF F PF F =12PF F ∆211221sin sin PF PF PF F PF F =1211a c PF PF =12aPF cPF =00(,)x y 1020,PF a ex PF a ex =+=-00()()a a ex c a ex +=-0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则2210,e e +->2121(0,1)e e e <--<-∈或，又(21,1)e ∈-12cPF PF a=212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即22222,,20,a PF a c a c c c a c a <+<++->+则既2210,e e +->xoy 1212,,,A A B B 22221(0)x y a b a b+=>>F 12A B 1B F OT M OT 12A B 1x ya b+=-1B F 1x y c b+=-2()(,)ac b a c T a c a c+--则在椭圆上， , 解得.()(,)2()ac b a c M a c a c +--22221(0)x y a b a b +=>>2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--5e =。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
Байду номын сангаас
c2 a2
5
3a 5c
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
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【答案】2
4、（06 山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线距离为 1，则该椭圆的离心
率为
。
2b2
[解法一]：通径：
2①
b2
根据焦准距有
1②；①式除以②式，得 2b2 A c
2 ，于是 e
2
a
c
a b2 1
2
[解法二]：（老手的方法）
e
椭圆的第二定义
|
AF2
|
2/2
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
c2 a2
5
3a 5c
1、（10 广文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
4
3
2
1
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
1.．
2、（13 江苏））在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) ,右焦点为 F
,右准线为
l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若 d2 6d1 ,则椭圆 C 的离心
的取值范围为
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|= 2a ，|PF2| c a 即 2a c a ∴【1/3,2）
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关于椭圆离心率的演练
一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。
在椭圆中，a c e =，22
2
22221a
b a b a a
c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为
4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为
5.若椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆
的离心率为
6..已知)0.0(12
1>>=+n m n
m 则当mn 取得最小值时，椭圆1
2222=+n y m x 的的离心率为
7.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点
分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 。
9.P 是椭圆22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知
,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
12.设椭圆22
22b
y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1
且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。
13.椭圆
12222=+b
y
a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F
到直线AB 的距离等于
21
∣AF∣，则椭圆的离心率是。
14.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD
的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是
15.已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),
如果坐标原点到直线L 的距离为2a
，则椭圆的离心率是 16.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y
a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O
为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫
⎪⎝⎭
作圆的两切线互相垂直，则离心率e =
17.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2
=，右焦点为(0)F c ，，
方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）
Ａ．必在圆2
2
2x y +=内
Ｂ．必在圆22
2x y +=上 Ｃ．必在圆2
2
2x y +=外
Ｄ．以上三种情形都有可能
二、构造a c ，的齐次式，解出e
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
3 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是 3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13- 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
6．设12F F 、分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 是其右
（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 9021=∠PF F ，
椭圆离心率e 的取值范围为 3．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为
4．设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
5．在ABC △中，AB BC =，7cos 18
B =-．若以A B ，为焦点的椭圆
经过点C ，则该椭圆的离心率e =
．
6．设12F F ，分别是椭圆22221x y a
b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其
右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值
范围是 7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是
关于椭圆离心率的演练答案
1.
2 2. 22 3. 21
4 12。
5. 22。
6. 237.
12⎫⎪⎢⎪⎣
⎭8 =e 22。
9. =
e 13-10.
3611. 22
12. 2
1。
13. 3
6。
14 215- 15. 3
6 16. e
17.（ A ）
二、构造a c ，的齐次式，解出e
1． 532． 13-3． 13-4
． 336．
2
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1． (0,)22． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,223． ⎪⎭⎫
⎢⎣⎡1,21
4． 136<≤e 5． e =38．
6． 13⎫
⎪⎪⎣
⎭7．13-。