高考数学压轴题：交集数列

高考数学压轴题：交集数列

数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.

类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=-

，数列{b }n 的通项公式为n b 5

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n =--． 设集合*

{|2,}n A x x a n N ==∈，

*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项

1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．

类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题

典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2

n b n =．若将数

列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则数列{}n c 的通项公式为____．

类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题

典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，

2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .

（1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论.

1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2．集合A ＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N *

}，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N *

}．将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列c 1，c 2，c 3，…，则{c n }的通项公式为___________.

2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a =

（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；

（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求21

1*212

32(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；

（2）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.

3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去

某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. ① 当时，求

的数值；②求的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.

k N *∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为 k q ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设1

1

k k b q =

-. （1）若12d =，求2a 的值； （2）求证：数列{}k b 为等差数列； （3）若12q =，设1

n

n n b c b +=

，是否存在m 、k ()

2,,k m k m >∈*N ≥，使得1c 、m c 、k c 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．

5. 在数列中，,且对任意的,12212,,+-k k k a a a 成等比数列，其公比为.

（1）若)(2*

N k q k ∈=，求；

（2）若对任意的,k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为，设1

1

k k b q =- ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差；

12,,

n a a a (4)n ≥0d ≠4n =1

a d

n (4)n ≥12

,n b b b {}n a 11a =*k N ∈k q 13521...k a a a a -++++*

k N ∈k d

② 若21=d ,试求数列的前项的和k D .

6. 数列{}n a 的各项均为正数.若对任意的*n N ∈，存在*k N ∈，使得2

2n k n n k a a a ++=⋅成

立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列.

（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且288,1a a ==，求2n a ；

（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明：数列{}n a 是等比数列.

7. 设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值； （2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式

答案

类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=-

，数列{b }n 的通项公式为n b 5

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n =--． 设集合*

{|2,}n A x x a n N ==∈，

*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项

1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．

【答案】724n c n =-

【解析】对任意*

n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴

A B B =

∵1c 是A

B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则

∴265179125d -<-+<-，即5

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d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差等差数列， {}k d k