数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案

数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。

3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点

0x 可导。

4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。

6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1

A f f

-

A. =

B. ≠

C. ⊃

D. ⊂

2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<

3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。

A. )(x f '≠)(x ϕ'

B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f ' >)(x ϕ' D. 前三个结论都不对

4．已知⎩⎨⎧∈∈=]

2,1(2

]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰

=

x t t f x F 0

d )()(，则)(x F 在区

间[0，2]上（ ）。

A. 连续

B. 不连续

C. 可导

D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。

A. 0)(>''x f

B. 最小值唯一

C. 0)(<''x f

D. 最大值唯一 6．x

x x f sin )(=

定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数

A. 有界

B. 无界

C. 周期

D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）

1．已知2cos tan )(x x f =，求)(x f '

2．求定积分⎰20

d cos π

x x x

3．已知34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 。 4．求3

sin lim

x

x x x -→

四、证明题（每小题8分，共32分）

1．设数列{n a }满足n a >0且1lim

<=∞

→r a n

n n ，则级数∑∞

=1

n n a 收敛

2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。

3．已知2

,0,0π

=

+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x

4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则

⎰

>b a

x x f 0d )(。

模拟试卷参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．等价关系

2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<0x

3．x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 000

4．)()()(y f x f xy f += 5．线性

6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）

1．解：x x x x f 2sin )

(cos cos 1)(2

2

2

⋅⋅=

'

12

cos 2

d sin 2

d sin sin d cos .220

20

20

20

20

-=

+=

-

=-=⎰

⎰⎰

π

π

π

π

π

π

ππ

x x x x x x

x x x x 解

3．解 34)1(2

+-=+x x x f 8)1(6)

1(2

++-+=x x

故86)(2

+-=x x x f

4．解 2

3

3c o s 1lim

sin lim

x x x x x x x -=-→→

=x x

x x

x x x 2sin lim 31

cos lim

31

02

0→→=

-

6

1

s i n lim

610==→x x x 四、证明题（每小题8分，共32分）