数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案

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数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案

一、填空题(每小题3分,共18分)

1.集合X 中的关系R 同时为反身的,对称的,传递的,则该关系R 为 . 2.设E 是非空数集,若存在实数β,满足1)E x ∈∀,有β≥x ;2) ,则称β是数集E 的下确界。

3.函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若 存在,则称函数)(x f 在点

0x 可导。

4.若)(x f y =是对数函数,则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5.若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f 是 函数。

6.设函数)(x f 定义在区间),(b a 上,对于任意的),(,21b a x x ∈,)1,0(∈∀α,有 成立,则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题(每小题3分,共18分)

1.设f :Y X →,X A ⊂∀,则A ( )))((1

A f f

-

A. =

B. ≠

C. ⊃

D. ⊂

2.已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导,),(b a x ∈∀,有1)(0<

3.已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导,且)(x f < )(x ϕ,则( )。

A. )(x f '≠)(x ϕ'

B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f ' >)(x ϕ' D. 前三个结论都不对

4.已知⎩⎨⎧∈∈=]

2,1(2

]1,0[1)(t t t f ,对于]2,0[∈x ,定义⎰

=

x t t f x F 0

d )()(,则)(x F 在区

间[0,2]上( )。

A. 连续

B. 不连续

C. 可导

D. 前三个结论都不对 5.已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数,则( )。

A. 0)(>''x f

B. 最小值唯一

C. 0)(<''x f

D. 最大值唯一 6.x

x x f sin )(=

定义在(0,1)上,则)(x f 在(0,1)上是( )函数

A. 有界

B. 无界

C. 周期

D. 偶 三、计算题(每小题8分,共32分)

1.已知2cos tan )(x x f =,求)(x f '

2.求定积分⎰20

d cos π

x x x

3.已知34)1(2+-=+x x x f ,求)(x f 。 4.求3

sin lim

x

x x x -→

四、证明题(每小题8分,共32分)

1.设数列{n a }满足n a >0且1lim

<=∞

→r a n

n n ,则级数∑∞

=1

n n a 收敛

2.已知函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在二阶导数,且0)()(==b f a f ,存在0)(),,(>∈c f b a c 。则至少存在一点),(b a ∈ξ,使0)(<''ξf 。

3.已知2

,0,0π

=

+>>y x y x ,证明2sin sin ≤+y x

4.已知函数在],[b a 上连续非负,且存在一点),(0b a x ∈,使0)(0>x f ,则

>b a

x x f 0d )(。

模拟试卷参考答案

一、填空题(每小题3分,共18分)

1.等价关系

2.E x ∈∃>∀0,0ε,使得εβ+<0x

3.x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 000

4.)()()(y f x f xy f += 5.线性

6.)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题(每小题3分,共18分)

1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 三、计算题(每小题8分,共32分)

1.解:x x x x f 2sin )

(cos cos 1)(2

2

2

⋅⋅=

'

12

cos 2

d sin 2

d sin sin d cos .220

20

20

20

20

-=

+=

-

=-=⎰

⎰⎰

π

π

π

π

π

π

ππ

x x x x x x

x x x x 解

3.解 34)1(2

+-=+x x x f 8)1(6)

1(2

++-+=x x

故86)(2

+-=x x x f

4.解 2

3

3c o s 1lim

sin lim

x x x x x x x -=-→→

=x x

x x

x x x 2sin lim 31

cos lim

31

02

0→→=

-

6

1

s i n lim

610==→x x x 四、证明题(每小题8分,共32分)

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