数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案
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数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案
一、填空题(每小题3分,共18分)
1.集合X 中的关系R 同时为反身的,对称的,传递的,则该关系R 为 . 2.设E 是非空数集,若存在实数β,满足1)E x ∈∀,有β≥x ;2) ,则称β是数集E 的下确界。
3.函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若 存在,则称函数)(x f 在点
0x 可导。
4.若)(x f y =是对数函数,则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5.若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f 是 函数。
6.设函数)(x f 定义在区间),(b a 上,对于任意的),(,21b a x x ∈,)1,0(∈∀α,有 成立,则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题(每小题3分,共18分)
1.设f :Y X →,X A ⊂∀,则A ( )))((1
A f f
-
A. =
B. ≠
C. ⊃
D. ⊂
2.已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导,),(b a x ∈∀,有1)(0< 3.已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导,且)(x f < )(x ϕ,则( )。 A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f ' >)(x ϕ' D. 前三个结论都不对 4.已知⎩⎨⎧∈∈=] 2,1(2 ]1,0[1)(t t t f ,对于]2,0[∈x ,定义⎰ = x t t f x F 0 d )()(,则)(x F 在区 间[0,2]上( )。 A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对 5.已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数,则( )。 A. 0)(>''x f B. 最小值唯一 C. 0)(<''x f D. 最大值唯一 6.x x x f sin )(= 定义在(0,1)上,则)(x f 在(0,1)上是( )函数 A. 有界 B. 无界 C. 周期 D. 偶 三、计算题(每小题8分,共32分) 1.已知2cos tan )(x x f =,求)(x f ' 2.求定积分⎰20 d cos π x x x 3.已知34)1(2+-=+x x x f ,求)(x f 。 4.求3 sin lim x x x x -→ 四、证明题(每小题8分,共32分) 1.设数列{n a }满足n a >0且1lim <=∞ →r a n n n ,则级数∑∞ =1 n n a 收敛 2.已知函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在二阶导数,且0)()(==b f a f ,存在0)(),,(>∈c f b a c 。则至少存在一点),(b a ∈ξ,使0)(<''ξf 。 3.已知2 ,0,0π = +>>y x y x ,证明2sin sin ≤+y x 4.已知函数在],[b a 上连续非负,且存在一点),(0b a x ∈,使0)(0>x f ,则 ⎰ >b a x x f 0d )(。 模拟试卷参考答案 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.等价关系 2.E x ∈∃>∀0,0ε,使得εβ+<0x 3.x x f x x f x ∆-∆+→∆) ()(lim 000 4.)()()(y f x f xy f += 5.线性 6.)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 三、计算题(每小题8分,共32分) 1.解:x x x x f 2sin ) (cos cos 1)(2 2 2 ⋅⋅= ' 12 cos 2 d sin 2 d sin sin d cos .220 20 20 20 20 -= += - =-=⎰ ⎰⎰ π π π π π π ππ x x x x x x x x x x 解 3.解 34)1(2 +-=+x x x f 8)1(6) 1(2 ++-+=x x 故86)(2 +-=x x x f 4.解 2 3 3c o s 1lim sin lim x x x x x x x -=-→→ =x x x x x x x 2sin lim 31 cos lim 31 02 0→→= - 6 1 s i n lim 610==→x x x 四、证明题(每小题8分,共32分)