复变函数第一章学习指导

复变函数第一章学习指导

一 知识结构

1. n ⎧

⎪

⎧⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎨

⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎩

复数的定义有序实数对代数式复数的五种表示三角式复数指数式向量复数的模、辐角、共轭复数棣莫夫公式复数的次方根 2. ⎧⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

平面点集预备知识区域曲线复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质

学习要求:

⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；

⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；

⒍理解复变函数的极限与连续。

内容提要:

复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。

正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即

},:),({R b a b a z C ∈==

复数的四则运算定义为

),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=-

),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅

0,),(

),(),(2

22

222≠++-++=÷d c d

c a

d bc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+

②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅

④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅

⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅

),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。共轭复数满足 z z

z z z

z z z z Im i

2,Re 2,

2

=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(

22

121≠=z z z

z z 复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式

)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z

0,e e e 2)

(i 21i 2i 121212

1≠==-z r r r r z z θθθθ θn n n r z i e = 2121z z z z ⋅=⋅

0,22

121

≠=z z z z z )Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅ )Arg()Arg()Arg(

212

1

z z z z -= 对于复数θ

i e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(e π2i

-==+n k r z n

k n

n

θ。

0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N .

0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-

无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N .

开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集. 区域：1、D 是开集；

2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。

对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。

复变函数的定义： 设C G ⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =

.

复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。 注1、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应； 注2、同样可以定义函数的定义域与值域；

注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数。

复变函数的极限：设函数)(z f w =

在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，

a 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||

00z z 时，

ε<-|)(|a z f ，

则称a 为函数

)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：

)()()(lim 0,0z z A z f A z f E

z z z →→=∈→当或

复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即

A z f A z f z z z z z z Re )(Re lim )(lim 0

00

Im Im Re Re =⇔=→→→且A z f z z z z Im )(Im lim 0

0Im Im Re Re =→→

复变函数连续性的定义：

如果)()(lim 00

z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果

)(z f 在E 中每一点

连续，则称)(z f 在E 上连续。

如果

),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充

要条件为：

，

，),(),(lim

),(),(lim

00,

,00,

,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→

四.典型例题

例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求

2

1

z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解 为求

2

1

z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=z

z z z z z z 例2 求复数)

i 21)(i 34()

i 21)(i 34(+--+=

A 的模．

解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有

2

121z z z z A ⋅⋅=

由共轭复数的运算结果得

12

1212

1212

121=⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

z z z z z z z z z z z z A

例3 求8)i 1(+． 解 4

πi e 2i 1=+，故有