椭圆经典例题讲解

合集下载

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-．如果21-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠A Q B ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222，于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-．如果21-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222，于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα， ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

椭圆经典例题分类汇总

椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ．① 另一方面221≤≤-x ．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？ 5.相交情况下--弦长公式的应用例1已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：()2222212221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ，即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）：若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。

注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。

分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。

再求最小值可较快的求出。

解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ，由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值，即：MF MA +为“最小”，由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。

（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。

[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图，由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于：。

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-．如果21-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222，于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

高中数学椭圆大题经典例题

高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。

(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。

(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。

解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。

又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。

所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。

(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。

根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。

所以△OEF是直角三角形。

(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。

联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。

当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。

当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。

《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-．如果21-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠A Q B ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222，于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

椭圆经典例题讲解

椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中(>>0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围：≤ x ≤，≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e (与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -==。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)典型例题基础过关变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知|OA |=.)(221||211r a r a PF -=-⨯=故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆典型例题例1已知椭圆mx23y34 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.2 解：方程变形为—62— 1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 . 2m又c 2，所以2m 6 22, m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b （或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在x轴上时，设其方程为笃a2圆的方程为-9由椭圆过点P3,0，知9202 1 .又a 3b ，联立解得a 281，b 29，故椭圆a b2 2 的方程为y X 1 .81 9例3 ABC 的底边BC 16，AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：（1）由已知可得GC GB 20 ,再利用椭圆定义求解.（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程.由椭圆过点0 b 21 .又a 3b , 代入得b2 1，a 29，故椭y 2 1.当焦点在y 轴上时，设其方程为 2 2 yx 2,2ab（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点 B 、C为焦点的椭圆，且解：坐标为x , y ，由GC GB 20，知G 点的轨迹是以除去轴上两点.因a 10, c 8，有 b 6 , 2 故其方程为— 100 2 y 36 -y (2)设 Ax , y 2 ，则— 100 2 y 36 1y x x 由题意有 y3 椭圆（除去x 轴上两点）. 3'代入①，得A 的轨迹方程为y2x900 2y324 1 y 0 ,其轨迹是例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为土勺 3和晋，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 设两焦点为F ,、F 2，且PF ,于,PF 2竽.从椭圆定义知 2a si n PF 1I PF 2 2亦.即 a .从PR可求出 PF2I 知|PF 』垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2 PF 1PF 1F 2cos — 6 口，从而b 2、、3a 2 c 210 3•••所求椭圆方程为3y 2 101或眩102例5已知椭圆方程冷 a2yb 2长轴端点为A ，A 2，焦点为£， P 是椭圆上一点, A-i PA 2 F 1PF 2.求：F 1PF 2的面积（用b 、由椭圆定义知：PR PF? 2a ②，则②2—①得PF i PF22b2 1 cos故S F.,PF21PF. PF2 sin21 2b2sin21 cos示)•1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S -absinC求2面积.解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P x, y，由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2F I F2PF I PF2 2PF1 ・PF2 cos 4c45•①4求过点P1,丄且被P平分的弦所在直线的方程；2 25求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；解: 设弦两端点分别为M X i, y. , N x?, y2,线段MN的中点R x,2 X i2 X2X i y i 2y f 2,2y；2,x22X,y2y,①②③④①一②得x. x2 x. x2 2 y. y2 y.由题意知X. X2，则上式两端同除以X.y i y?X i X2 2 y i y? 0,X i X2将③④代入得X 2yh^ 0 .⑤x. x21代入⑤，得也汇2 x. x2y? 0X2，有i，故所求直线方程为：2例6已知椭圆=y2 1 2x 4y 3将⑥代入椭圆方程X22寸O I2得6y26y n 0,36 0符合题意,2x 4y 3 0为所求.(2)将匹上2代入⑤得所求轨迹方程为: 捲x2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3)将里上口代入⑤得所求轨迹方程为:X i x2 x 2 圆内部分)x2 2y2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x2 y21及直线y x m .(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y21得4x2 x m 2 1 ,即5x22mx m2 1 0 2m 2 4 5 m21 216m220(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X1 , X2，由(1 )得x. X2 2m T，x-|xm2 15根据弦长公式得：.1 1222m m215¥ .解得m0 .方5m ——2程为y x.斜解为-的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.过它对的左焦点F1作倾由直线方程与椭圆方程联立得:所以X1 x272. 3X1X36 8例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(..3, 2)和B( 23,1)两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为mx2 ny21( m 0，n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2 ny2 1(m 0，n 0).由AC，3 , 2)和B(2..3,1) 两点在椭圆上可得m炯：n ( 2)2 1,即3m 4n 1,所以m - , n —故所求的椭圆方m ( 2..3)2n 121, 12m n3 15 52 2程为x_仝1.15 5例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,分析：可以利用弦长公式 AB V1 k2|x1x2| v(1 k2)[( x1x2)24x1x2]求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB J1 k2|x1 X2 J(1 k2)[(X1 X2)24x1X2].因为 a 6 , b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为——1，左焦点F ( 3 •. 3 , 0)，从而直线方程为y 3x9 .36 9 1313x2 72...3x 36 80 .设洛,X2为方程两根,4813••T 的斜率k i 4 , •••设直线AB 的方程为y4x n .由方程组2 13x 28nx 216n 248 0①。

三道椭圆的高考题及解答

解答：将直线 L 的方程式代入椭圆 C 的方程式中得到：
16x^2 + 9(2x - 5)^2 = 144
化简得到：
97x^2 - 180x + 81 = 0
解得 x = 9/7 或 x = 1。将 x 的两个解代入直线 L 的方程式中得到点 A 和点 B 的坐标分别为 (3,1) 和 (7,9)。因此，AB 的长度可以用两点间距离公式计算得到：
高考例题1：已知椭圆 C1 ：x^2/4 + y^2/3 = 1，另一椭圆 C2 的周长与 C1 相等，且 C2 的面积是 C1 的 2 倍，求 C2 的方程。
解答：首先，求出椭圆 C1 的长轴和短轴分别为 2 和 √3，其面积为 2π。设另一椭圆 C2 的长轴和短轴分别为 a 和 b，则其周长为 2π，面积为 4π。根据椭圆周长的公式可以得到：
AB = √[(7-3)^2 + (9-1)^2] = √80
因此，AB 的长度为 4√5。
高考例题3：已知椭圆 C ：x^2/4 + y^2/3 = 1，点 P 为椭圆上一点，过点 P 作椭圆的两条切线，分别与 x 轴交于 A、B 两点，求线段 AB 的长度。
解答：点 P 在椭圆上，其坐标可以表示为 (2cosθ, √3sinθ)，其中 0 ≤ θ ≤ π/2。椭圆的标准方程式为：
x^2/4 + y^2/3 = 1
将点 P 的坐标代入方程式中，得到：
4cos^2θ + 3sin^2θ = 4
化简得到：
cos^2θ - sin^2θ = 1/4
将正弦和余
2π = 4a - 2b
同时，根据椭圆面积的公式可以得到：
4π= πab
化简得到：
a = b + 3

(完整版)高中数学椭圆经典例题详解

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：()2222212221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ，即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A 为长轴端点时，2a ，1b ，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A 为短轴端点时，2b ，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223a c，∴3331e．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax ，由101222yaxy x ，得021222xa x a ，∴222112a a x x x M，2111ax y MM ，4112ax y k MM OM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522y x上不同三点11y x A ，，594，B ，22y x C ，与焦点04，F 的距离成等差数列．（1）求证821x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5a ，3b ，4c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x caAF 12，∴ 11545x ex a AF ．同理2545x CF ．∵ BF CFAF2，且59BF，∴ 51854554521x x ，即821x x ．（2）因为线段AC 的中点为2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为42212121xy y x x y y y．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为00，x ，代入上式，得21222124x x y y x 又∵点11y x A ，，22y x B ，都在椭圆上，∴ 212125259x y 222225259x y ∴ 21212221259x x x x y y．将此式代入①，并利用821x x 的结论得25364x ∴ 454059x k BT．典型例题五例5已知椭圆13422y x，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设11y x M ，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e ．∵左准线l 的方程是4x，∴14x MN．又由焦半径公式知：111212x ex a MF ，112212x ex a MF ．∵212MF MF MN ，∴11212122124x x x ．整理得048325121x x ．解之得41x 或5121x ．①另一方面221x ．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设sin3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为2121xk y ．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxk kxk ．由韦达定理得22212122kkkx x ．∵P 是弦中点，∴121x x ．故得21k ．所以所求直线方程为0342y x ．分析二：设弦两端坐标为11y x ，、22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y ．解法二：设过2121，P 的直线与椭圆交于11y x A ，、22y x B ，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121y y x x y x yx ，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121x x y y ，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222by ax 求出1482a ，372b ，在得方程13714822yx 后，不能依此写出另一方程13714822xy ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222by ax 或12222bx ay ．由已知b a2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy ．（2）设方程为12222by ax ．由已知，3c ，3c b ，所以182a．故所求方程为191822yx ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222by ax 或12222bx ay ．典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F ，过点31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl ：．过A 作l AQ ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2．显然MF AM 2的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3My ，且M 在椭圆上．故32M x ．所以332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为.sin cos 3yx ，设椭圆上的点的坐标为sincos 3，，则点到直线的距离为263sin226sin cos3d．当13sin时，22最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23e，已知点230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222by ax ，其中0b a 待定．由222222221ab ab a ac e 可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222yyby a yxd34213493342222byyyb其中b yb．如果21b，则当b y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾．因此必有21b 成立，于是当21y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得34722b ，可得1b ，2a．∴所求椭圆方程是11422yx．由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，，点213，到点230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincos b ya x ，其中0b a ，待定，20，为参数．由22222221ab ab aac e可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点230，P 的距离为d ，则22222223sin cos23b a yxd49sin3sin34222b b b 3421sin3222bbb 如果121b ，即21b，则当1sin 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b ，与21b矛盾，因此必有121b成立．于是当b 21sin 时2d （从而d ）有最大值．由题设知34722b，∴1b ，2a．∴所求椭圆的参数方程是sincos 2yx ．由21sin，23cos ，可得椭圆上的是213，，213，．典型例题十一例11设x ，R y，x y x 63222，求x yx 222的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222与椭圆方程的结构一致．设m xyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222，得123492322y x可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x 222，则1122m yx 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为11mm ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m ，此时0m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41m ，∴15m ．∴x yx222的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆012222baby axC ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ，求证：不论a 、b 如何变化，120APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120AQB，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x，b y，根据120AQB得到32222ayxay ，将22222y ba ax代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设0，c F ，0，a A ，0，a B ．abc P b a ya xb cx 2222222，于是a c a bk AP 2，aca b k BP2．∵APB 是AP 到BP 的角．∴2222242221tan ca ac a ba c ab ac a bAPB∵22ca∴2tan APB 故3tanAPB∴120APB ．（2）设y x Q ，，则ax y k QA ，ax y k QB．由于对称性，不妨设0y，于是AQB 是QA 到QB 的角．∴22222221tan ayxay ax y a x yax yAQB∵120AQB ，∴32222ayxay 整理得023222ay ayx∵22222yba ax∴0213222ay yba ∵0y ，∴2232caby∵b y ，∴bcab 2232232c ab，222234cca a ∴04444224a c a c，044324e e ∴232e或22e （舍），∴136e ．典型例题十三例13已知椭圆19822y kx 的离心率21e，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82ka，92b ，得12k c．由21e，得4k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92a ，82kb ，得k c12．由21e，得4191k，即45k ．∴满足条件的4k 或45k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(b，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222by bx，得b a 2，b c 3，23e．由椭圆定义，b a PF PF 4221，得b b b PF bPF 34421．由椭圆第二定义，e d PF 11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF 22，2d 为P 到右准线的距离，23ac e，∴b ePF d 33222．又椭圆两准线的距离为b c a 33822．∴P 到左准线的距离为b bb32332338．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆.sin 32,cos 4yx (为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3POx，求P 点坐标．分析：利用参数与POx 之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(P ，由P 与x 轴正向所成角为3，∴cos4sin 323tan，即2tan ．而0sin ，0cos，由此得到55cos，552sin ，∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222by a x )0(ba 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex ar ，02ex ar ．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线caxl 2：的距离，cax PQ 2，由椭圆第二定义，e PQPF 1，∴01ex a PQe r ，由椭圆第一定义，0122ex ar ar ．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA 的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2)求223PF PA的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62a ，)0,2(2F ，22AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221aPF PF ，22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02y x，解方程组4595,0222yxy x 得两交点)2141575,2141579(1P 、)2141575,2141579(2P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA取最小值26，P 点与2P 重合时，2PF PA取最大值26．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3a，2c ，∴32e．由椭圆第二定义知322ePQPF ，∴223PF PQ，∴PQ PAPF PA223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29x．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)sin2cos 3y x )(R ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(为矩形在第一象限的顶点，)2(，则122sin 12sin 2cos 34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222by ax （0ba ），),(11y x P （01y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212PFPF PFPFK K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，化简可得03233212121ccy y x ．又1221221by ax ，两方程联立消去21x 得0323412212bcy b y c ，由],0(1b y ，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF 的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF ，12ex a PF ，在21F PF 中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x ，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF 的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221求解．解：(法1)设椭圆方程为12222by ax （0ba），),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，0c，则11ex a PF ，12ex a PF ．在21F PF 中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a ，解得2222134eacx．(1)∵],0(221a x ，∴2222340a eac ，即0422ac．∴21a c e．故椭圆离心率的取范围是)1,21[e ．(2)将2222134eacx 代入12222by ax 得24213cby ，即cby 321．∴22213332212121b cbcy F F S FPF ．即21F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF 1，n PF 2，12F PF ，21F PF ，则120．(1)在21F PF 中，由正弦定理得60sin 2sin sinc n m ．∴60sin 2sinsinc n m ∵a n m 2，∴60sin 2sinsin2c a ，∴2cos2sin260sin sinsin 60sin a c e212cos 21．当且仅当时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[e ．(2)在21F PF 中，由余弦定理得：60cos 2)2(222mn n m c mnnm22mnn m 3)(2∵a nm 2，∴mn a c 34422，即22234)(34b c a mn．∴23360sin 2121b mn SF PF ．即21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20椭圆12222by ax )0(ba与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是sincos b ya x )0(ba，则椭圆上的点)sin ,cos (b a P ，)0,(a A ，∵AP OP，∴1cossin cossin aa b a b ，即0coscos)(22222ba b a，解得1cos或222cosb ab ，∵1cos1∴1cos （舍去），11222bab，又222cab∴2022ca ，∴22e，又10e ，∴122e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP．如何证明？。

椭圆问题的类型与解法

椭圆问题的类型与解法椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。

可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。

从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。

纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。

那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P的轨迹是（）A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆【解析】【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。

【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。

【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。

2、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）；（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。

(完整版)椭圆经典精讲例题详细答案

椭圆经典精讲1、基本概念、基本图形、基本性质题1、题面：集合}12|),{(}4|),{(2222=+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（）.A.A B A =IB.A B ⊆C.B A ⊆D.A ∩B = Ø 答案：D.变式一题面：设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能答案：C. 详解：若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．变式二题面：若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个答案：B. 详解：由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．题2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。

若容器底面与桌面成角为60o，则这个椭圆的离心率是。

答案：解题步骤：由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ，即：2,,a r b r c ===，2e =.变式一题面：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14答案：B. 详解：由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.变式二题面：60o4r2r(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45答案：C. 详解：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.题3、题面：椭圆22143x y +=与圆 22(1)1x y -+=的公共点个数是。

数学-椭圆大题专题及解析

椭圆大题习题及答案解析1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A，且离心率为2．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．（（（由题意得 2a =（2c e a ==（所以c = 因为 222a b c =+（所以 1b =所以椭圆C 的方程为 2214x y +=（（（（若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =（设()11,M x y ，()22,N x y （由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=，由0∆>，得 212k >（且12241x x k +=-+，122841x x k =+（所以MN ==因为 PA MN =，所以=整理得 421656330k k -+=，解得k =±，或 k =±经检验均符合0∆>，但2k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去（所以 k =k =± 2已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，124F F =，过2F的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，1PQF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A ,1F 分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且11AF M OF N ∠=∠．证明：直线m 过定点，并求出该定点的坐标.】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意，知1224F F c ==，可知2c =，由椭圆的定义知,1PQF ∆的周长为4a =，∴a =24b =∴椭圆C 的方程为22184x y += （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线:l y kx m =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222124280k x kmx m +++-=,()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，∵111212,22F M F N y y k k x x ==++， ∵M 、N 都x 轴上方．且11AF M OF N ∠=∠，∴11F M F N k k =-，∴121222y y x x =-++，即()()122122y x y x +=-+,代入1122,y kx m y kx m =+=+ 整理可得()()12122240kx x k m x x m ++++=，2121222284,1212m kmx x x x k k -=+=-++ 即222241684840km k k m km k m m ---++=，整理可得4m k =， ∴直线l ()44y kx m kx k k x =+=+=+，∴直线l 过定点()4,0-3已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 、R分别是椭圆C 的上、右、左顶点，且3PQ PR ⋅=-，点S 是2PF 的中点，且1OS =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0T -的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若QMN △的面积是125，求直线MN 的方程.解：（Ⅰ）由题意知(),PQ a b =-，(),PR a b =--，∴223PQ PR a b ⋅=-+=-， ∵点S 是2PF 的中点，且1OS =，∴211122OS PF a ===，∴2a =，1b =，故所求椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ty =-，联立方程组22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224230t y ty +--=， ∴12224t y y t +=+，12234y y t=-+，12y y -==24t =+，∴1211123225QMNS TQ y y =⋅⋅-=⨯=△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.（解法2：求出弦长12N M y =-=点Q 到直线MN 的距离d =11225QMNS MN d ===△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.4如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【小问1详解】由题意，1c =，则()()()(),,,,,,,A a b B a b C a b D a b ----，所以22AC b bk a a==，22BDb b k a a ==--，所以B AC D k k ⋅=2212b a -=-，解得：a =1=，（椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（方法一）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线PQ ：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124220k x ktx t +++-=， 12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由12OP OQ k k ⋅=-，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=，代入化简得：22212t k =+.（22221212121211222222x x y y x x y y x MO M y Q ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+2222121222x x y y ++=+，又点P ，Q 在椭圆上，（221112x y +=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=，（()222221212122242222222kt t x x x x x x t t --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭，（2212142x x +=.（2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭.即2232MO MQ +=为定值. （方法二）由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，把12122x x y y =-代入上式，化简22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， ()22221222121322x x y y MO MQ ++==++. 5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF 内切圆半径的最大值.【小问1详解】以2214x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知()1F ，222112248ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==，设直线l为x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y +--=，设()11,A x y ，()22,B x y，则1224y y m +=+，12214y y m -=+ 所以1224y y m -===+所以2121212ABF SF F y y =⋅-=，令内切圆的半径为R ，则2182ABF SR =⨯⨯，即24R m =+，令t =，则12t R t==≤=+，当且仅当3t t=，t =，即m =时等号成立，所以当m =R 取得最大值12； 6已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．【小问1详解】220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN 的长度的最小值为83.【小问3详解】由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5SB ==，要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：4056225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=4=解得：32t =-或52t =-，当32t =-时，302x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：275304y y --=，由9350∆=+>得：302x y +-=与椭圆方程有两个交点；当52t =-时，502x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：295504y y -+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T 的个数为2．满足题意. 所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,A B ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，记直线AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为2k ，直线AN 的斜率3k ，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明. （直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上；（1213k k =；（1314k k =-..解（因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆的右焦点用(1,0)又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b += 又22221a b c b =+=+，所以224,3a b ==椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）选（设()()1122,,,M x y N x y 22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立得：()22223484120k x k x k +-+-=法一：直线11(2),(2)y k x y k x =+=+的交点的横坐标为()12212k k x k k +=-()2121212122212112162442233422481234234k x k k x x x x k x k k k x x x k --+-++==⋅=⋅=--+--+所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上法二：要证直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上，即()122124k k k k +=-，即证1213k k =即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，即证1212221292x x x x -+=+- 即证()12122580x x x x -++=因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 法一：()()()()()()1212112122121212122122222122y x x x k x x x x k x y x x x x x x -----+===++--+- 222112212222221122412846223434134121834128322343434k k k x x x k k k k k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭法二：()()12121222y x k k x y -=+ 所以()()()()()()()()222121212121222121212122222422242y x x x x x x x k k x x x x x x x y ----++⎛⎫=== ⎪++++++⎝⎭22222222224121644134344121636943434k k k k k k k k k k--+++===-++++因为12,k k 也同号，所以1213k k =法三：要证1213k k =，即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即证1212221292x x x x -+=+-，即证()12122580x x x x -++= 因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭ 所以1213k k =法四：由122(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616120k x k x k +++-=得21122116812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理22222228612,3434k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 因为,,M N F 为三点共线，所以12221222122212121234346886113434k k k k k k k k -++=----++即()()12214330k k k k +-= 因为12,k k 同号，所以1213k k = 选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++.()()21212121312121212224k x x x x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=⋅=+++++ ()2222222222222222412814128343434141241216121641634434k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===---+++++++.所以1314k k =-8设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为A ，B ，AB 4=．过点(0,1)E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若FC DE =，求k 的值；（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论．【小问1详解】由题意22224b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22164x y +=；【小问2详解】由题意知，0k ≠，直线l 的方程为1y kx =+，则1(,0)F k -，联立221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∆=++>，设1122(,),(,)C x y D x y ，有12122269,2323k x x x x k k --+==++，则CD 中点横坐标为1223223x x kk+-=+，又,(0,1),1(0)F k E -，则EF 中点横坐标为12k-，又因为FC DE =，且,,,C E F D 四点共线，取EF 中点H ，则FH HE =，所以H F HE C DE F =--，即HC DH =，所以H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232k k k -=-+，解得k = 【小问3详解】不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)A B -，则()()1122,2,,2AC x y BD x y =-=+，若AC BD ，则AC BD ∥，所以()()122122x y x y +=-，即()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=，化简得()121220x x x x -++=，213x x =-，由（2）得，12112266,32323k k x x x x k k --+=-=++，解得12323kx k=+， ()12112299,32323x x x x k k --=⋅-=++解得212323x k =+，所以222332323k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得22233k k +=，无解，所以不存实数k ，使直线AC 平行于直线BD .9已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和. 【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22a c =又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.10已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）．（1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求△OBC 面积的最大值；（2）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且3y 1+y 2=0，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程．【小问1详解】直线OB 的方程为32y x =，即3x -2y =0，设过点C 且平行于OB 的直线l '的方程为32y x b =+，则当l '与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立221,433,2x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并整理，得3x 2+3bx +b 2-3=0，此时Δ=9b 2-12（b 2-3），令Δ=0，解得b =±当b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-时，C ⎭，∴ △OBC=．【小问2详解】显然可知直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x =my +n ，联立221,43,x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得（3m 2+4）y 2+6mnx +3n 2-12=0， ∴12221226,34312,34nm y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵ 3y 1+y 2=0，∴ 1222123,344,34nm y m n y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 从而()222222943434n m n m m -=++，即2223431m n m +=+， ∴21212216||6||||2||23431OBCm n m Sn y y n y m m =⋅-=⋅==++． ∵ B 在第一象限，∴ 21123034m nx my n n m =+=+>+，∴ n ＞0．∵ y 1＞0，∴ m ＞0，∴2661313OBCm Sm m m==≤=++当且仅当31m m =，即m =时取等号），此时2n =，∴ 直线l的方程为x y =+，即20y -=．11椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过椭圆右焦点2F 的直线l和椭圆C 相交于E 、F 两点，1EFF △的周长为8，若P 是椭圆上一个动点，且12PF PF ⋅的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）四边形MNAB 的四个顶点均在椭圆C 上，且//MB NA ，MB x ⊥轴，若直线MN 和直线AB 交于点()4,0S ，问：四边形MNAB 的对角线交点D 是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【详解】（1）解：1EFF △的周长为48a =∴2a =，令222c a b =-设()00,p x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c()()20000,,PF PF c x y c x y ⋅=---⋅--2220x c y =-+2222021b x b c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭当220x a =时，()22212max3PF PF a c b ⋅=-==∴21c =，∴23b =∴方程为22143x y += （2）解：设 :AM y kx b =+（k 一定存在）与椭圆联知：()2223484120kxkbx b +++-=设()11,A x y ，()22,M x y ，()11,N x y -，()22,B x y -，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ，∵M 、N 、S 共线∴2121044y y x x +=-- 得()12122(4)80kx x b k x x b +-+-=，即()222412824803434b kb k b k b k k--⋅+-⋅-=++，整理可得0k b +=∴:(1)AM y k x =-过点()1,0Q 下证：BN 也过()1,0Q 212111BQ NQ y y k k x x -=---()()()()()()2112211111011k x x k x x x x ----=--=-∴BN 和AM 相交于()1,0()1,0即为定点D .。

高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间２0１４年12月１3日第( )次课共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于，顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为。

椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。

解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。

典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。

解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。

二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。

典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。

解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。

将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。

由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。

专题60：椭圆知识点和典型例题(解析版)

专题60：椭圆知识点和典型例题（解析版）1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a焦半径公式题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c =∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(A B 两点【详解】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程；【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．已知ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程．【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为2c =，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <．又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：已知在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆3C 3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||32b cF F MN c MN a===由已知得3c a =，∴21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．（Ⅱ）若0m =，则()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立．若0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+，因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

椭圆的标准方程——例题讲解

解：因为焦点在x轴上，且a 4，
所以设所求椭圆的标准
方程为 x2 16
y2 b2
1,
又因为所求椭圆经过点 A（2，3），
所以点 A的坐标（2，3）满足椭圆方程，即
22 16
(
3)2 b2
1,解得b2
4.
x2
y2
因此椭圆的标准方程为 1.
16 4
课堂练习
1.填空题：（1）若椭圆的标准方程为
解：因为椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
，0)和(0，1),
22 所以 a 2
0 a 2
0 b2
1 b2
1 1
2
b2
4, 1
故所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
4
(2)焦点在y轴上，且与 y轴的一个交点坐标为
P(0,10), P到它较近的一个焦点的距离为2.
x2 9
y2 4
1 ，则a=（
）
ｂ=（），ｃ＝（），焦点坐标是（
），焦距是
（），椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为（）.
（1）若椭圆的标准方程为
x2 y2 1 16 25
，则a=（
）
ｂ=（），ｃ＝（），焦点坐标是（
），焦距是
（），椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为（）.
２.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. （１）a=３，b=１，焦点在x轴上；
解：因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0),
因为P(0,10)在圆上，所以 a 10,
又因为P到它较近的一个焦点的距离为2.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断 3．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== 。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)基础过关变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知|OA |=.)(221||211r a r a PF -=-⨯=故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，22CDAB=．（1）求椭圆的方程；（2）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22F A F B ⋅的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．设椭圆的方程：)0(12222>>=+b a by a x ．解方程组241y xx ⎧=-⎨=-⎩得C （-1，2），D （1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，∴11||||22||||FC CD F A AB ==，12||2F A =， ∴2(1,)2A ． …………2分∴221112a b+=又1222==-c b a ，因此，2211112b b+=+，解得21b =并推得22a =．典型例题故椭圆的方程为2212x y += ． …………4分（2）2,1,1a b c ===，圆过点O 、1F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,),2M t -则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴13()(2).22r =---=由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=…………………………8分（3）由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),22,1(---B A ，222(2,),(2,22F A F B ∴=-=--， 2217422F A F B ⋅=-=…………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y 得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根．设),(11y x A ，),(22y x B .2221214k k x x +-=+, 222121)1(2k k x x +-=⋅………………………………11分),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴v1.0 可编辑可修改)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x B F A F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=22222221)214)(1(21)1(2)1(k kk k k k k +++--++-+= =)21(29272117222k kk +-=+- 12110,121,0222≤+<≥+≥kk k ]27,1[22-∈⋅∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-变式训练3：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围；（3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C （x , y ）,∵ 222AC BC AB +=+＋2AB =, ∴ 222AC BC +=>,∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点. ∴ 2, =1a c =. ∴ 2221b a c =-=.∴ W : 2212x y += (0)y ≠. … (2) 设直线l 的方程为2y kx =+22(2)12x kx +=.整理，得221()22102k x kx +++=. ①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 222184()4202k k k ∆=-+=->，解得2k <2k >∴ 满足条件的k 的取值范围为2,(,)22k ∈-∞-+∞（（3）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2), 由①得12x x +=. ②又1212()y y kx x +=++③因为 0)M ，(0, 1)N ，所以( 1)MN =-.………所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x xy y ++. 将②③代入上式，解得k所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线.例4. 已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （1）求椭圆W 的方程；（2）求证：CF FB λ= (λ∈R )；（3）求MBC ∆面积S 的最大值.解：（1）设椭圆W 的方程为22221x y a b+=，由题意可知22223,26,c a a b c a c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得a =2c =，b =，所以椭圆W 的方程为22162x y +=．……………………………………………4分（2）解法1：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+．v1.0 可编辑可修改22(3),162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知2222(18)4(13)(276)0k k k ∆=-+->，解得223k <．设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,则21221813k x x k -+=+，212227613k x x k-=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．因为(2,0)F -，11(,)C x y -，所以11(2,)FC x y =+-，22(2,)FB x y =+. 又因为1221(2)(2)()x y x y +-+-1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++2222541290[12]1313k k k k k--=++++ 2222(5412901236)013k k k k k --++==+，所以CF FB λ=． ……………………………………………………………10分解法2：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．由椭圆的第二定义可得22113||||||3||x y FB FC x y +==+, 所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB λ=．…………………………………10分(3)由题意知1211||||||||22S MF y MF y =+ 121||||2MF y y =⋅+121|()6|2k x x k =++23||13k k =+313||||k k =≤=+，当且仅当213k =时“=”成立，所以MBC ∆面积S 的最大值为32．变式训练4：设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得v1.0 可编辑可修改依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会． 5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．小结归纳。