椭圆经典例题讲解

椭圆

1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：

12

22

2=+

b y a x ，其中( > >0，且

=2a )

(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12

22

2=+

b

x a

y ，

其中a ，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断 3．椭圆的几何性质(对

12

22

2=+b y a x ,a > b >0进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．

(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；

e 越接近

0，椭圆越接近于 ．

(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则

=1PF ，122PF a PF -== 。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a

(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )

2

(3) 面积：21F PF S ∆＝2

1

r 1r 2 sin θ＝2

1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)基础过关

变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，

求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .

∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r

∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知|OA |=

.)(22

1

||211r a r a PF -=-⨯=故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线2

4y x =-的焦点重合，过1F 的直线

l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，22CD

AB

=．（1）求椭圆的方程；

（2）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22F A F B ⋅的最大值和最小值．

解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．

设椭圆的方程：)0(122

22>>=+b a b

y a x ．

解方程组241y x

x ⎧=-⎨=-⎩

得C （-1，2），D （1，-2）．

由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，∴

1

1||||22||||

FC CD F A AB ==，12||2F A =， ∴2(1,

)2A ． …………2分∴

22

1112a b

+=又12

22==-c b a ，因此，2211

112b b

+=+，解得21b =并推得22a =．

典型例题

故椭圆的方程为2

212

x y += ． …………4分（2）

2,1,1a b c ===，

圆过点O 、1F ，

∴圆心M 在直线1

2

x =-

上．设1

(,),2M t -

则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴13()(2).2

2

r =---=

由,OM r =3

,2

=

解得t =

∴所求圆的方程为2219

()(.24

x y ++=…………………………8分

（3） 由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)2

2

,1(),22,

1(---B A ，

222(2,

),(2,22

F A F B ∴=-=--， 2217

422

F A F B ⋅=-

=…………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y

由⎩⎨

⎧=-++=0

22)

1(2

2y x x k y 得 0)1(24)21(2

222=-+++k x k x k

0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根．

设),(11y x A ，),(22y x B .

2221214k k x x +-=+, 2

22121)

1(2k k x x +-=⋅………………………………11分

),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴