数列求和-PPT课件
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高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
数列求和1(白)-优质课件
评
1.倒序相加法：
对某些前后具有对称性的数列，
可运用倒序相加法求其前n项和.
2.分组求和法： 将一个数列分成n部分求和；
检
12
12 102
22 22 92
32 32 82
102 102 12
.
பைடு நூலகம்
在思想交锋中实现共赢！
讨论1: 在求和之前先要观察什么？ 讨论2:倒序相加法适用于什么结构? 讨论3:分组求和适用于什么结构？
要求： 组长负责本组讨论， 全员参与，准备展示！
要求：讲解思路清晰，简洁，板书书写规范。每位同学 严格控制时间。其他同学仔细聆听，展示完毕后方可补 充质疑。（及时做好记录）
1.等差数列的前n项和公式----倒序相加
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2.等比数列的前n项和公式-------错位相减
导
na1,q 1
Sn a1 1 qn
a1 anq q 1
1q
1 q
求数列的前n项和，通常要掌握以下解法： 1直接法 2公式法 3倒序相加法 4错位相减法 5分组转化法 6裂项相消法
数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
数列求和-裂项相消法_PPT课件
2 3 35 57
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1 ）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n 1)
1 2
(1 (2n 1)
1) (2n 1)
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
3 4 4 7 7 10
3n 5 3n 2 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
强化练习·扩展延伸
强化练习12：．.(2017·福 州 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ xa 的 图 象 过 点 (4,2) ， 令 an ＝
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
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( 1 ) 求{an}的通项 公式;
(2)求数列{ an }的前 n 项和. 2n
解:(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= 1 ,
2 所以{an}的通项公式为 an= 1 n + 1.
2
1.错位相减法的关注点 (1)适用题型:等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项({an·bn})” 型数列求和. (2)步骤: ①求和时先乘以数列{bn}的公比. ②把两个和的形式错位相减. ③整理结果形式.
知识梳理
数列求和的方法技巧 (1)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方 法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别 是等差数列和等比数列.
热点一 错位相减法求和
【例 1】 (2014 高考新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数 列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.
练习3．(2012·全国大纲卷改编) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，
若数列
{ 1 } 的前n项和为
an .an1
Tn
求证： Tn
1
思考题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，
若数列
1 {}
an2
的前n项和为 Tn 求证： Tn 2
归纳小结
1．错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一 个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等 比数列的公比再错位相减。
专题四 数列第Biblioteka 2讲 数列求和数学小故事：
要是一个月后这对小兔子长成大兔子。再过一 个月，这对大兔子生下一对小兔子，以后，每 对大兔子每月都生一对小兔子，小兔子一个月 后长成大兔子。（单位：对）
月份
1月后 2月后 3月后 4月后 5月后 6月后
7月后 8月后
9月后
兔子数 （对）
12
35
8 13
21 34 55
(2)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相 加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方 法，适用于求通项为 ana1n＋1的数列的前n项和，其中{an} 若为等差数列，则 ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.
常见的裂项公式： ①nn1＋1＝n1－n＋1 1； ②nn1＋k＝1k(n1－n＋1 k)； ③2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)； ④ n＋1 n＋k＝1k( n＋k－ n).
1.裂项相消法适合于形如{
1 an·an＋k
}形式的数列，
其中{an}为等差数列.
2.裂项后相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差. (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.
练习 2．(2012·全国大纲卷)已知等差数列{an}的前 n 项和
为 Sn，a5＝5，S5＝15，则数列an·1an＋1的前 100 项和为(
)
A.110001
B.19091
C.19090
D.110010
解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. ∵a5＝5，S5＝15，
a1＋4d＝5， ∴5a1＋5×2 4d＝15
⇒ad1＝＝11， ⇒an＝n.
∴1＝ anan＋1 n
1 n＋
1＝n1－n＋1 1，
S100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1011＝1－1011＝110001.
练习 1.[2014·江西卷改编] 已知数列 {an}的通项公式是 an＝(2n－1)3n－1，则 数列{an}的前 n 项和 ＝________．
Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，
3Sn＝
1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
将两式相减得
－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n ＝－2－(2n－2)3n， 所以 Sn＝(n－1)3n＋1.
2．裂项相消的基本思想是把数列的通项an分拆成 an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等， 从而达到在求和时逐项相消的目的。
作业：快乐考生第15套 第17题
热点二 裂项相消法求和
例 2.[2014·全国卷改编] 已知
an＝13－3n，则数列ana1n＋1
的
前 n 项和 Tn=________．
[解析] 易知 ana1n＋1＝1310－ 1 3n－13－ 1 3n， 所以 Tn＝1317－110＋14－17＋…＋10－ 1 3n－13－ 1 3n＝
1310－ 1 3n－110＝10（10n－3n）.
10月后
11月后
1年后
89144233
考点动向 ： 数列求和
【考情快报】
难度:中档题
命题指数:★★★
题型:客观题、解答题都可能出现
考查方式:主要考查等差、等比数列前n项和公式以及其他求和方法, 尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容,常与通项公式相 结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命题