第二章模糊控制的数学基础

设 f : X →Y ，显然有 {(x, y) y = f (x)} ⊂ X ×Y ，可见 映射 是关系的特例。 f 是关系的特例。
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6. 集合的运算性质 设 A、 、 ⊂U，其并、交、补运算具有以下性质： B C
1．幂等律 2．交换律 3．结合律 4.分配律 5．吸收律 6．同一律
A U A = A, A I A = A
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二、模糊集合的表示法 1. 查德（Zadeh）表示法 查德（ ） 查德提出的表示法是， 查德提出的表示法是，当 U为有限集 {u1,u2 ,⋅ ⋅ ⋅un} 时， U上的模糊集 A可表示为
~
Fra Baidu bibliotekA=
~
A(u1 )
~
u1
+
A(u2 )
~
u2
+⋅⋅⋅ +
A(un )
~
un
当是有限连续域时， 当是有限连续域时，查德给出如下记法
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5. 映射与关系 存在， 设有集合 X 和 Y ，若有一对应法则 f 存在，使得对 与之对应， 于集合 X 中任意元素 x，有 Y 中唯一的元素 y 与之对应， 的映射， 则称此对应法则 f 为从 X 到 Y 的映射，记为
f : X →Y
的定义域， 称 X为映射 f 的定义域，而集合 的值域。 称为 f 的值域。
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控制论的创始人维纳（ 控制论的创始人维纳（Norbert Wiener） ） 在谈到人为什么能胜过任何最完善的机器时， 在谈到人为什么能胜过任何最完善的机器时， 强调说： 人具有运用模糊概念的能力” 强调说：“人具有运用模糊概念的能力”。 如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性 特点， 特点，使部分自然语言作为算法语言直接进入 计算机程序，让计算机完成更复杂的任务， 计算机程序，让计算机完成更复杂的任务，这 正是模糊数学诞生的直接背景。 正是模糊数学诞生的直接背景。
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第二章
模糊控制的数学基础
2.1 概述
2.1.1
模糊概念与模糊数学的诞生
内涵和外延是描述概念的两个方面
有些概念在特定的场合是有明确外延的，例如华工的学生、正数、 有些概念在特定的场合是有明确外延的，例如华工的学生、正数、 省会城市、 岁以下的儿童等等 岁以下的儿童等等。 省会城市、6岁以下的儿童等等。 还有些概念是没有一个清晰的外延的，例如年轻人、高个子、 还有些概念是没有一个清晰的外延的，例如年轻人、高个子、好 学生、能力强、闷热、凉快等等。这些概念就是模糊概念。 学生、能力强、闷热、凉快等等。这些概念就是模糊概念。
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美国加里福尼亚大学控制论专家扎德 年创立了模糊集合论， （L.A.Zadeh）教授 ）教授1965年创立了模糊集合论， 年创立了模糊集合论 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数， 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数，隶属 函数在[0, 间连续取值 间连续取值， 函数在 1]间连续取值，以此来描述模糊现象的 中间过渡性， 中间过渡性，突破了经典集合论中或不属于的绝 对关系。 对关系。
以年龄为论域， 给出“ 例2-1 以年龄为论域，取 X = [0 ,100]。Zadeh给出“年轻” 给出 年轻” 的模糊集 ，其隶属函数是 Y
~
1, −1 Y(x) = x − 25 2 ~ 1+ ( 5 ) ,
0 ≤ x ≤ 25 25 < x ≤ 100
年轻” 图2-4 “年轻”的隶属函数曲线 年轻
~
0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0 0 + + + + + + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
µA(u)
~
A
~
在论域U中 在论域 中，隶属度
＞０的元素集称为
的台。 的台。
0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 采用台的方式可将模糊集合“几个”表示为： 采用台的方式可将模糊集合“几个”表示为： A= + + + + + ~ 3 4 5 6 7 8
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Fuzzy —— 模糊的，不分明的，边界不清的， 模糊的，不分明的，边界不清的，
毛绒绒的。 毛绒绒的。 所谓模糊性， 所谓模糊性，主要是指客观事物彼此间的差 不分明性” 异在其中间过渡时的 “不分明性” 。 例如 “大与小” 、 “胖与瘦” 很难用精确 大与小” 胖与瘦” 的数学语言划分出一条截然分明的界线。 的数学语言划分出一条截然分明的界线。
f ( X ) = { f (x) x ∈ X}
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关系： 关系：对于给定集合 X 、 Y 的直积 X ×Y 上的一个子集 R， 的二元关系，简称为关系。 称为 X 到 Y 的二元关系，简称为关系。对于 X ×Y 的元 相关， 素 (x, y)，若有 (x, y) ∈ R，则称 x 与 y 相关，记为 x R y 否则 (x, y) ∉ R ，记为 x R y 。
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2.1.2
精确性、 精确性、模糊性与随机性 确定性——经典数学 经典数学 确定性 随机性——统计数学 统计数学 随机性 不确定性 模糊性——模糊数学 模糊性 模糊数学 随机性： 随机性：事件本身的性态和类属是确定的 模糊性： 模糊性：事件本身的性态和类属是不确定的
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2.2
模糊集合
2.2.1 普通集合 一、基本概念 1. 论域（Universe of discussion） 论域（ ） 将考虑的议题局限在一定的范围内，该范围称为论域。 将考虑的议题局限在一定的范围内，该范围称为论域。 2. 元素（Element） 元素（ ） 论域中的每个对象称为元素。 论域中的每个对象称为元素。 3. 集合（Set） 集合（ ） 给定一个论域， 给定一个论域，其中具有相同属性的确定的可以彼此区别的元素的 全体称为集合。 全体称为集合。 4. 全集、空集、子集 全集、空集、 全集：集合中包含了论域中的全部元素。 全集：集合中包含了论域中的全部元素。 空集： 称为空集，记为Ø。 空集：不包含论域中任何元素的集合称为空集，记为 。 子集（ ）：对于 称为A为 的一个子 子集（Subset）：对于 ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B , 称为 为B的一个子 ）： 集, A⊆ B
~
µA :U →[0 ,1]
~
µ~ 都确定 U 的一个模糊子集 A ， A 称为模糊子集的隶属函 ~ µ~ 的隶属度。 数， A(u) 称为 u 对于 A的隶属度。隶属度也可记为A(u)， ~ ~ 的程度。 它表示某元素 u 属于模糊集合 A 的程度。U 上的模糊集合 ~ 的全体记为 F(U) 。 15
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若对于模糊集合 A 有一个有限的台 {u1,u2 ,⋅ ⋅ ⋅,un }，则可 ~ 表示为如下一般形式
A=
~
µ1
u1
+
µ2
u2
+⋅⋅⋅ +
µn
un
=∑
i=1
n
µi
ui
2. 序偶表示法 将论域中的元素 ui与其隶属度 A(ui ) 构成序偶来表示 A ， ~ ~ 则
A= {(u1, A(u1 )),(u2 , A(u2 )),..., (un , A(un ))}
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二、集合的表示法 1. 列举法： 列举法：
偶数集合A＝ 例：论域U={1, 2, 3, ……, 9} ，偶数集合 ＝{2,4,6,8} 2. 描述法 描述法: A= { x | P(x) } ，P(x)为x应满足的条件。 为 应满足的条件。 应满足的条件 为偶数， 例 ：A={x∣x为偶数，x<10} ∣ 为偶数 3. 特征函数法： 特征函数法：
~ ~ ~ ~
3. 向量表示法
A= ( A(u1 ), A(u2 ),..., A(un ))
~ ~ ~ ~
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4. 隶属函数法
当论域U为实数集 上的某区间时 当论域 为实数集R上的某区间时，直接给出模糊集隶 为实数集 上的某区间时， 属函数的解析式，是使用十分方便的一种表达形式。 属函数的解析式，是使用十分方便的一种表达形式。 如查德给出论域U=[0,100]上的“年老”──O 与“年 上的“ 如查德给出论域 上的 年老” ~ 两个模糊集的隶属函数如下： 轻”── Y 两个模糊集的隶属函数如下：
AUU = U, AIU = A AU Ø = A ， A I Ø＝Ø
7．复原律
( Ac )c = A
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8．互补律 9．对偶律
A U Ac = U ,
A I Ac = Ø
( A U B)c = Ac I Bc
( A I B)c = Ac U Bc
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2.2.2
模糊集合 一、模糊集合的定义 的子集， 模糊集合往往是某一论域 U 的子集，所以人们在谈论 模糊集合时，常常习惯称它为“模糊子集”。我们一般采用 模糊集合时，常常习惯称它为“模糊子集” 在大写字母下边加波浪线来表示模糊集合。 在大写字母下边加波浪线来表示模糊集合。例如 A 就表示 ~ 一个模糊集合。1965年 Zadeh将模糊子集定义为 将模糊子集定义为： 一个模糊集合。1965年，Zadeh将模糊子集定义为： 上的一个元素， 设给定论域 U ，u 为 U 上的一个元素， 到闭区间 U [0,1] 的任一映射 µA
A = ∫U
~
A(u)
~
u
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在由整数1， ， ， 组成的论域中 组成的论域中， 例2-2 在由整数 ，2，…，10组成的论域中，即 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，讨论“几个”这一模糊概念。根 ，讨论“几个”这一模糊概念。 据 经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊子集“几个” 经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊子集“几个” 可 表示为 = A
参考文献： 参考文献： 1. 姜长生等，智能控制与应用，科学出版社， 姜长生等，智能控制与应用，科学出版社， 2007年7月。 年 月 2. 许力，智能控制与智能系统，机械工业出 许力，智能控制与智能系统， 版社， 版社，2007年2月。 年 月 3. 诸静，模糊控制与系统原理，机械工业出 诸静，模糊控制与系统原理， 版社， 版社，2005年8月。 年 月 4. 易继锴等，智能控制技术，北京工业大学 易继锴等，智能控制技术， 出版社， 出版社，1999年 年 5. 李士勇，模糊控制、神经网络控制和智能 李士勇，模糊控制、 控制论，哈尔滨工业大学出版社， 控制论，哈尔滨工业大学出版社，1996年 年
1, 当x ∈ A CA (x) = 0 , 当x ∉ A
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三、集合的基本运算 1. “并” 运算（Union） 并 运算（ ） A∪B={x | x∈Α或x∈Β} ∪ ∈ 或 ∈ 2. “交” 运算 （Intersection） 交 ） A∩Β={x | x∈Α且x∈Β} ∈ 且 ∈ 3. “补” 运算（Complement） 补 运算（ ） Ac=｛x | x ∉ 且x∈U｝ Α且 ∈ ｝ ｛ 4. 集合的直积 设有两个集合A和 ， 和 的直积 的直积A× 定义为 设有两个集合 和B，A和B的直积 ×B定义为 A×B={（x,y）|x∈А,y∈В} × （ ） ∈ ∈ 上述定义表明，在集合А中取一元素 中取一元素x，又在集合Β中取一 上述定义表明，在集合 中取一元素 ，又在集合 中取一 元素y，就构成了（ ， ） 序偶” 所有的（ ， ） 元素 ，就构成了（x，y）“序偶”，所有的（x，y）又构 成一个集合，该集合即为A× 。直积又称为笛卡尔积、 成一个集合，该集合即为 ×B。直积又称为笛卡尔积、 叉积。 叉积。
A U B = B U A, AI B = B I A
(A U B) U C = A U (B U C)
(A I B) I C = A I (B I C)
AU (B I C) = (A U B) I ( A U C)
A I (B U C) = (A I B) U (AI C) ， A U ( A I B) = A A I ( A U B) = A
~
0, −1 O(u) = u − 50 −2 ~ 1+ ( 5 ) ,
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明确的概念可用经典集合描述。 明确的概念可用经典集合描述。 经典集合的特征函数表示： 经典集合的特征函数表示：
1, 当x ∈ A CA (x) = 0 , 当x ∉ A
经典数学建立在德国数学家乔•康托（ 经典数学建立在德国数学家乔 康托（G•Contor）创立的 康托 ） 经典集合论之上，可用来描述客观世界存在的确定性事件， 经典集合论之上，可用来描述客观世界存在的确定性事件， 但对模糊性事件则无能为力。 但对模糊性事件则无能为力。