几道经典极限问题
函数极限连续(120道练习题)
一、填空题1.212x y x x -=+-有个间断点 2.()y f x =在0x 点连续，则0lim ()x x f x →= 3．设2(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =5．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =6．2352limsin 53n n n n→∞++= 7．极限12sin lim 2+∞→x xx x = .8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x fx x =______9. =→xxx 5sin lim 0___________； 10. =-∞→nn n)21(lim _________________； 11. 若函数23122+--=x x x y ，有几个间断点_________12. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是13符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合14. 无穷小量是 15、21lim(1)xx x→∞-=16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =18、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+=19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是 。
21．若()xx f -=11，则()[]=x f f 22．函数1+=x ey 的反函数为 。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
高数极限60题及解题思路
高数极限60题1.求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+∞→。
2.设∑==n k kn b k S 1，其中)!1(+=k b k ，求n n S ∞→lim 。
3.求数列极限)321(lim 12-∞→+⋯+++n n nq qq ，其中1<q 。
4.求数列极限)]1(54[lim 2--++∞→n n n n 。
5.求数列极限)11)...(311)(211(lim 222nn ---∞→。
6.求极限)111)(110()110(...)13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x 。
7.求极限)12584(lim 2+++--∞→x x x x 。
8.讨论极限xx xx x e e e e 2323432lim --∞→+-。
9.求极限)4tan(2tan lim 4x x x -⋅→ππ。
10.求极限2223lim 32--+→x x x 。
11.求极限xx x x 350)41()21(lim +-+→。
12.求极限301sin tan 1lim x x x x +-+→。
13.讨论极限x x x cos 22lim 0-→。
14.求数列极限12sin 2lim -∞→n n n π。
15.设01>>a x ，且n n ax x =+1，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。
16.设21=x ，且n n x x +=+21，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。
17.设2221...31211nx n ++++=（n 为正整数），求证：n n x ∞→lim 存在。
18.求数列极限!2lim n nn ∞→。
19.求极限)23ln()32ln(lim 32x x x e e +++∞→。
20.求极限xxx x x x ++++∞→lim 。
21.无限循环小数•9.0的值(A)不确定 (B)小于1 (C)等于1 (D)无限接近122.求数列极限2)(sec lim n n n π∞→。
高数极限必做150题及答案
极限必做150解答033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nxx x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→⎡⎤+-+⎣⎦==-+++⎛⎫---+=+++=+++= ⎪⎝⎭)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭+⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n nn a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++⎝⎭+-→∞+-+-+-→→→=⎝⎭====⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⎛ ⎪+⎝⎭====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a bn n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤++--⎢⎥⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=+-+⎛⎫== ⎪⎝⎭令同第二题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++⎡⎤=+-++-++⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=++=-+=-=⎢⎥+++⎣⎦)00010110112lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan cos()sin()244424.lim26.lim tan()427.lim sin x x x x xx xx x xxx x x x x x x x xe ee eex e e x ππππππ→→→→→→→--→---------→+=====⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x xx x x xxxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞⎛⎫-+-+⎛⎫- ⎪ ⎪ +-+-⎝⎭⎝⎭+======⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞⎪-→∞⎛⎫⎪+⎝⎭→∞-→=+⎛⎫⎪-⎝⎭=+=+-=22lim cos1lim()221cos cos sinlim limtancos()cos0002232.lim coscos33.limcosln()ln()2ln134.lim35.limx xx a x axxx xxx ax ax a xaa x a axxe e exae e ex x x x xx xππ→+∞→+∞→→→+∞⎡⎤⎫-⎢⎪⎥-⎭⎣⎦-→----→→+===⎛⎫⎪⎝⎭===++--+同第二题-[]00011211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim1ln(sec tan)36.limsinln(1sin)cos ln(1sin)ln coslim lim lim137.lim()lim(axax axaxaxx x xxx x xx xxxxbexb b e abee abx x ex xxx x x xx x xx a ax a a∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=22122111(ln ln) 0005111)lim()ln lim ln ln1(1)138.lim111lim explim explim1(1)139.lim5x xx xx xxxx x x x x xxa bx xx x xxxxx a a ax x x xxaxbxa xb a b a b aexb x xb x x bex-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++⎛⎫+⎪+⎝⎭⎛⎫----===-== ⎪++⎝⎭-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a xa a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα⎛⎫+< ⎪⎝⎭=+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-<⇒+<⇒+<=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减 所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=⇒=⇒=--+-+⇒=⇒=--=⇒====→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：1212()im1lim1()~()lim1lim 1()lim11111,,1,224k x x k x x kx f x g x Ax x f x g x Axk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞-=⇒==-=→∞=⇒=⇒===--==-所以k+4。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。
为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。
具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。
我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。
然后求出极限即可。
具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。
+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。
+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。
最烧脑的题目和答案
最烧脑的题目和答案在我们的生活中，常常会遇到一些让人绞尽脑汁的题目，它们挑战着我们的思维极限，激发着我们的智慧火花。
今天，就来给大家分享几道堪称最烧脑的题目以及它们令人意想不到的答案。
先来看第一道题：有一个人要从A 地前往B 地，他可以选择步行、骑自行车或者坐汽车。
步行每小时能走 5 公里，需要 10 个小时才能到达；骑自行车每小时能行 15 公里，需要 3 个小时到达；坐汽车每小时能行驶 60 公里，需要 1 个小时到达。
如果他早上 8 点出发，想要在中午 12 点之前到达 B 地，他应该选择哪种交通方式？答案是：坐汽车。
因为步行需要 10 个小时，肯定无法在 12 点之前到达；骑自行车需要 3 个小时，到达的时间是 11 点，虽然能到达但不是最优选择；而坐汽车只需要 1 个小时，8 点出发，9 点就能到达 B 地，能够轻松在 12 点之前到达。
接下来这道题也很有意思：一个房间里有三盏灯，房间外面有三个开关，分别控制着这三盏灯。
你只能进入房间一次，如何确定哪个开关控制哪盏灯？答案是：先打开第一个开关，等几分钟后关闭；再打开第二个开关，然后进入房间。
亮着的灯由第二个开关控制，用手摸一下另外两盏不亮的灯，发热的由第一个开关控制，剩下的那盏灯由第三个开关控制。
再看这道逻辑推理题：在一个岛上，住着两种人，一种说真话，一种说假话。
你遇到了一个人，要通过问一个问题来确定他是说真话的还是说假话的，你会问什么问题？答案是：你问他“如果我问另一种人你说的是真话还是假话，他会怎么回答？”如果他回答“他会说我是假话”，那么这个人说的就是真话；如果他回答“他会说我是真话”，那么这个人说的就是假话。
还有一道数学题：有一个水池，用一个进水管注水5 小时可以注满，用一个出水管放水 8 小时可以放完。
如果同时打开进水管和出水管，多长时间可以把水池注满？答案是：假设水池的容量为单位“1”，进水管每小时注水 1/5，出水管每小时放水 1/8，同时打开，每小时实际注水 1/5 1/8 ＝ 3/40，所以注满水池需要 40/3 小时，约 13 小时 20 分钟。
【高中物理 极值问题的典型题】(带答案)
【高中物理 极值问题的典型题】一、单项选择题1．(图解法求极值)如图所示，质量为m 的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F 推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高．当线拉力最小时，推力F 等于( )A ．mg sin α B.12mg sin α C ．mg sin 2α D.12mg sin 2α2．(三角函数法求极值)一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速直线运动，已知这个最小拉力大小为6 N ，取g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ的取值，正确的是( )A ．μ＝916B.μ＝43C ．μ＝34D.μ＝353．(二次函数法求极值)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g )( )A.v 216gB.v 28gC.v 24gD.v 22g二、多项选择题4．(图解法求电场极值问题)如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电量为＋q 、质量为m 的小球在力F (大小可以变化)的作用下沿图中虚线由A 至B 做竖直向上的匀速运动．已知力F 和AB 间夹角为θ，AB 间距离为d ，重力加速度为g .则( )A ．力F 大小的取值范围只能在0～mgcos θB ．电场强度E 的最小值为mg sin θqC ．小球从A 运动到B 电场力可能不做功D ．若电场强度E ＝mg tan θq 时，小球从A 运动到B 电势能变化量大小可能为2mgd sin 2 θ5．(三角函数求极值问题)如图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x 与斜面倾角θ的关系，将某一物体每次以不变的初速率v 0沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x 与斜面倾角θ的关系如图乙所示，g 取10 m/s 2，根据图象可求出( )A ．物体的初速率v 0＝3 m/sB ．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75C ．取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的位移x 的最小值x min ＝1.44 mD ．当θ＝45°时，物体达到最大位移后将停在斜面上三、计算题6．(三角函数求极值)如图所示，水平地面上放置一个质量为m 的物体，在与水平方向成θ角、斜向右上方的拉力F 的作用下沿水平地面运动．物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .求：(1)若物体在拉力F 的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面，拉力F 的大小范围．(2)已知m ＝10 kg ，μ＝0.5，g ＝10 m/s 2，若F 的方向可以改变，求使物体以恒定加速度a ＝5 m/s 2向右做匀加速直线运动时，拉力F 的最小值．7．(二次函数求极值问题)如图所示，位于竖直平面上有14圆弧的光滑轨道，半径为R ，OB 沿竖直方向，圆弧轨道上端A 点距地面高度为H .当把质量为m 的钢球从A 点静止释放，最后落在了水平地面的C点处．若本地的重力加速度为g，且不计空气阻力．求：(1)钢球运动到B点的瞬间受到的支持力多大；(2)钢球落地点C距B点的水平距离s为多少；(3)比值RH为多少时，小球落地点C距B点的水平距离s最大？这个最大值是多少？8．(极限法求极值问题)如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2)这一临界角θ0的大小．9．(物理过程分析求极值)如图所示，绝缘轨道CDGH位于竖直平面内，圆弧段DG的圆心角为θ＝37°，DG与水平段CD、倾斜段GH分别相切于D点和G点，CD段粗糙，DGH 段光滑，在H处固定一垂直于轨道的绝缘挡板，整个轨道处于场强为E＝1×104 N/C、水平向右的匀强电场中．一质量m＝4×10－3 kg、带电量q＝＋3×10－6 C的小滑块在C处由静止释放，经挡板碰撞后滑回到CD段的中点P处时速度恰好为零．已知CD段长度L＝0.8 m，圆弧DG的半径r＝0.2 m，不计滑块与挡板碰撞时的动能损失，滑块可视为质点．求：(1)滑块与CD段之间的动摩擦因数μ；(2)滑块在CD段上运动的总路程；(3)滑块与绝缘挡板碰撞时的最大动能和最小动能．10．(二次函数法求极值)如图所示，质量为km小球a，用l1＝0.4 m的细线悬挂于O1点，质量为m小球b，用l2＝0.8 m的细线悬挂于O2点，且O1、O2两点在同一条竖直线上．让小球a静止下垂，将小球b向右拉起，使细线水平，从静止释放，两球刚好在最低点对心相碰．相碰后，小球a向左摆动，细线与竖直方向最大偏角为60°，两小球可视为质点，空气阻力忽略不计，仅考虑首次碰撞．取g＝10 m/s2.求：(1)两球相碰前小球b的速度大小；(2)讨论k可能的取值范围；(3)所有满足题干要求的碰撞情形中，k取何值时？机械能损失最多．11．(不等式法求极值)如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面间的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m．在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．(g取10 m/s2)(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为(1.6 m,0.8 m)，求其离开O点时的速度大小；(2)为使小物块击中挡板，求拉力F作用的距离范围；(3)改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值．(结果可保留根式)【高中物理极值问题的典型题】【高中物理 极值问题的典型题】答案解析1．D 以小球为研究对象．小球受到重力mg 、斜面的支持力N 和细线的拉力T ，在小球缓慢上升过程中，小球受的合力为零，则N 与T 的合力与重力大小相等、方向相反，根据平行四边形定则作出三个力的合成图如图，则当T 与N 垂直，即线与斜面平行时T 最小，则得线的拉力最小值为：T min ＝mg sin α，再对小球和斜面体组成的整体研究，根据平衡条件得：F ＝T min cos α＝(mg sinα)cos α＝12mg sin 2α，故A 、B 、C 错误，D 正确．2.C 物体在水平面上做匀速直线运动，可知拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力相等．以物体为研究对象，受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态．水平方向有F cos α＝μF N ，竖直方向有F sin α＋F N ＝mg .联立可解得：F ＝μmg cos α＋μsin α＝μmg1＋μ2sin α＋φ，当α＋φ＝90°时，sin(α＋φ)＝1，F 有最小值，F min ＝μmg 1＋μ2，代入数值得μ＝34. 3．B 据机械能守恒定律有12mv 2＝mg ·2R ＋12mv 2x ，物块从轨道上端水平飞出做平抛运动，有2R ＝12gt 2和x ＝v x t ，联立x ＝－16R 2＋4v2gR ，解得水平距离最大时，对应的轨道半径为v 28g，故选B. 4．BCD 因为小球做匀速直线运动，合力为零，则F 与qE 的合力与重力mg 大小相等、方向相反，作出F 与qE 的合力，如图所示，拉力F 的取值随着电场强度方向的变化而变化，如果电场强度方向斜向右下方，则F 的值将大于mgcos θ，故A 错误；由图可知，当电场力qE 与F 垂直时，电场力最小，此时场强也最小，则qE ＝mg sin θ，解得电场强度的最小值为E ＝mg sin θq，故B 正确；当电场力qE 与AB 方向垂直时，小球从A 运动到B 电场力不做功，故C 正确；若电场强度E ＝mg tan θq时，即qE ＝mg tan θ时，电场力qE 可能与AB 方向垂直，如图位置1，电场力不做功，电势能变化量为0，电场力的方向也可能位于位置2方向，则电场力做功为W ＝qE sin 2θ·d ＝q ·mg tan θqsin 2θ·d ＝2mgd sin 2θ，故D 正确．5．BC 由图可知，当θ＝90°时，物体做竖直上抛运动，位移为1.80 m ，则由动能定理得－mgh ＝0－12mv 20，解得v 0＝2gh ＝2×10×1.80 m/s ＝6 m/s ，故A 错误；当θ＝0°时，位移为2.40 m ，由动能定理得－μmgx ＝0－12mv 20，解得μ＝v 202gx ＝622×10×2.4＝0.75，故B 正确；由动能定理得－mgx sin θ－μmgx cos θ＝0－12mv 20，解得x ＝v 202g sin θ＋μcos θ＝622×10sin θ＋0.75cos θ＝ 1.854sin θ＋α，当θ＋α＝90°时，sin(θ＋α)＝1，此时位移最小，解得x min ＝1.44 m ，故C 正确；若θ＝45°时，由于mg sin 45°＞μmg cos 45°，故物体到达最大位移后会下滑，故D 错误．6．解析 (1)要使物体运动时不离开地面， 应有：F sin θ≤mg 要使物体能一直向右运动， 应有：F cos θ≥μ(mg －F sin θ) 联立解得：μmg cos θ＋μsin θ≤F ≤mgsin θ(2)根据牛顿第二定律得F cos θ－μ(mg －F sin θ)＝ma 解得：F ＝μmg ＋macos θ＋μsin θ上式变形得F ＝μmg ＋ma1＋μ2sin θ＋α其中α＝arcsin11＋μ2当sin(θ＋α)＝1时，F 有最小值 解得：F min ＝μmg ＋ma1＋μ2代入相关数据解得：F min ＝40 5 N答案 (1)μmg cos θ＋μsin θ≤F ≤mgsin θ(2)40 5 N7．解析 (1)钢球由A 到B 过程由机械能守恒定律得：mgR ＝12mv 2在B 点对钢球由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2R解得：F N ＝3mg(2)钢球离开B 点后做平抛运动，则有：H －R ＝12gt 2 s ＝vt解得：s ＝2H －R R (3)s ＝2H －R R ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －H 22＋H 24根据数学知识可知，当R ＝12H ，即R H ＝12时，s 有最大值，s 最大＝H答案 (1)3mg (2)2H －R R (3)12H8．解析 (1)对物体受力分析，由平衡条件得：mg sin 30°－μmg cos 30°＝0解得：μ＝tan 30°＝33(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示：由平衡条件得：F cos α＝mg sin α＋F fF N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即tan α＝3时，F →∞，即“不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°答案 (1)33(2)60° 9．解析 (1)滑块由C 处释放，经挡板碰撞后第一次滑回P 点的过程中，由动能定理得：qE ·L 2－μmg ⎝ ⎛⎭⎪⎫L ＋L 2＝0解得：μ＝0.25(2)滑块在CD 段上受到的滑动摩擦力μmg ＝0.01 N ，电场力qE ＝0.03 N ，滑动摩擦力小于电场力，故不可能停在CD 段，滑块最终会在DGH 间来回往复运动，到达D 点的速度为0，全过程由动能定理得：qE ·L －μmgs ＝0解得：s ＝2.4 m(3)滑块在GH 段运动时：qE cos θ－mg sin θ＝0故滑块与绝缘挡板碰撞的最大动能为滑块第一次运动到G 点的动能 对C 到G 过程，由动能定理得：Eq (L ＋r sin θ)－μmgL －mgr (1－cos θ)＝E kmax －0解得：E kmax ＝0.018 J滑块最终在DGH 间来回往复运动，碰撞绝缘挡板有最小动能 对D 到G 过程由动能定理得：Eqr sin θ－mgr (1－cos θ)＝E kmin －0 E kmin ＝0.002 J答案 (1)0.25 (2)2.4 m (3)0.018 J 0.002 J 10．解析 (1)对小球b 下摆过程：mgl 2＝12mv 2b ，得出碰前v b ＝4 m/s ，(2)小球a 上摆过程：kmgl 1(1－cos 60°)＝12kmv 2a ，碰后v a ＝2 m/s ，对两球碰撞过程有mv b ＝mv b ′＋kmv a ，得出v b ′＝4－2k .由碰撞过程动能不增加有：12mv 2b ≥12mv b ′2＋12kmv 2a ，得出k ≤3，此外由碰撞中合理性原则得：v b ′＝4－2k ≤v a ＝2，得出k ≥1.综上所述1≤k ≤3. (3)碰撞中动能损失ΔE ＝12mv 2b －12mv b ′2－12kmv 2a ＝2m (3k －k 2)可以得出当k ＝1.5时，动能损失最大． 答案 (1)4 m/s (2)1≤k ≤3 (3)1.511．解析 (1)设小物块离开O 点时的速度为v 0，由平抛运动规律，水平方向：x ＝v 0t 竖直方向：y ＝12gt 2解得：v 0＝4 m/s(2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O 点，设拉力F 作用的最短距离为x 1，由动能定理：Fx 1－μmgs ＝0解得x 1＝2.5 m为使小物块击中挡板，小物块的平抛初速度不能超过4 m/s ，设拉力F 作用的最长距离为x 2，由动能定理：Fx 2－μmgs ＝12mv 20解得x 2＝3.3 m则为使小物块击中挡板，拉力作用的距离范围为 2．5 m ＜x ≤3.3 m(3)设小物块击中挡板的任意一点坐标为(x ，y )，则有x ＝v 0′t ′，y ＝12gt ′2由机械能守恒定律得E k ＝12mv 0′2＋mgy又x 2＋y 2＝R 2由P 点坐标可求R 2＝3.2 m 2化简得E k ＝mgR 24y ＋3mgy 4＝4y ＋154y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －15y 22＋215(式中物理量均取国际单位制的单位)由数学方法求得E kmin ＝215 J答案 (1)4 m/s (2)2.5 m ＜x ≤3.3 m (3)215 J。
大学高数真题及答案解析
大学高数真题及答案解析大学高等数学作为大学学习的一门重要基础课程，对于培养学生的数学思维和分析能力具有举足轻重的作用。
在学习过程中，做好真题练习是提高数学水平的一个重要方法。
本文将以大学高数的真题及答案解析为主题，深入探讨一些经典的问题。
第一部分：极限与导数大学高数的第一章是极限与导数。
极限是高数的基础概念之一，在此通过练习题来讲解。
1. 求极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$解析：可以通过洛必达法则求解，即对分子和分母同时求导。
得到：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1$$2. 求极限：$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$解析：这是一个经典的极限题。
可以用数学归纳法证明$n$趋近于无穷大时这个极限是$e$，即$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$3. 求极限：$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}$$解析：这是一个关于无穷大指数的极限题。
可以用自然对数的特性来解答，即$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to\infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}$$然后再用洛必达法则求解，得到：$$\lim_{x \to \infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}=e^0=1$$第二部分：积分与微分方程大学高数的第二章是积分与微分方程。
积分是微分的逆运算，通过各种积分方法可以解决多种复杂问题。
1. 求积分：$$\int e^x \sin x dx$$解析：通过分部积分法可以求解这个积分，得到：$$\int e^x \sin x dx = e^x\sin x - \int e^x \cos x dx$$对于$\int e^x \cos x dx$，再次使用分部积分法可得：$$\int e^x \cos x dx = e^x\cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x\cos x + \int e^x \sin x dx$$将两个方程相加消去$\int e^x \sin x dx$，得到：$$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(e^x \sin x - e^x \cosx) + C$$2. 求解微分方程：$$y''-2y'+y=0$$解析：这是一个二阶齐次线性微分方程。
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a 0)；极限严格定义证明，例如：limn 当 an0，|q| 1时 nlim(3x 1) 5；limq ；等等n x 2不存在，当|q| 1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x) g(x)] A B （2）limf(x) g(x) A Bf(x)g(x)AB（3）lim,(此时需B 0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）limsinxxx 0111xxlim(1 ) e lim(1 x) e（2）；xx x 0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1例如：limsin3x3xx 01，lim(1 2x)x 02xe，lim(1x3)3 e；等等。
xx4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1 x)～ex 1。
求极限的方法及例题总结
求极限的方法及例题总结1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）limf(x)A此时需成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限lim例1解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2n分子分母同除以lim2132解：原式=n例。
上下同除以3n解：原式1。
3．两个重要极限sinx（1）lim（2）1x；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。
1x利用两个重要极限求极限例5limxx2sin22解：原式=。
2sin2注：本题也可以用洛比达法则。
2x例6解：原式1]。
例7lim(解：原式。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～sinx～tanx～arcsin面的等价x～arctanx～～。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（），仍有上关系成立，例如：当时，e3x～3x；～。
f1(x)f(x)limg1(x)存在时，也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim等于，即=。
高数极限习题50题分步骤详解
高数极限习题50题分步骤详解1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞→n n n n解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝1212ln lim -+∞→n n n n＝12212ln lim -+-∞→n n n n ＝)1221ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，122~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n nn ＝12. 求极限xx x e x x sin 1lim 3202--→解：本题为0型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x所以 原式＝4201lim 2x x e x x --→＝30422lim 2x xxe x x -→ （洛必达法则）＝2021lim 2x e x x -→＝x xe xx 42lim 2∞→ （洛必达法则）＝2lim 20xx e →＝213. 求极限2sin 0cos )21(lim x xx x x -+→解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。
应先对算式适当变形，再求极限。
过程如下：原式＝2sin 0)1(cos ]1)21[(lim xx x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。
） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-201cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。
） ＝20sin 2lim xx x x →-2202lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+21 ＝25 （注：当时0→x ，.2~1cos ,2~sin 2~1)21(22sin x x x x x x x---+）4. 求极限x xe e x x x cos 1320lim ----→解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为 )0(2~cos 12→-x x x 所以 原式＝23220lim x xe e x x x ---→ ＝x e e x x x 3220lim -+-→ （第一次运用洛必达法则）＝1420lim xx x e e -→- （第二次运用洛必达法则）＝35. 求极限)1ln(2)cos(sin 12lim x x x +-→ 解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。
高数求极限的例题及详解
高数求极限的例题及详解
求极限的例题及详解
高数的极限是指在函数中求取某一极限值的方法，也是高数中分离变量的基本概念，在学习求取极限过程中，例题的了解也非常重要。
下面就来讨论一道求极限的例题。
例题题目：求极限
lim\left(x\right) = \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}
解析：该题要求求出极限，首先将分数中的分母变为0，则有：2-3x=0，解得x=2/3。
由于在求取函数极值时，该函数至少需要二阶可导，所以要先求出其二阶导。
导函数结果：y''= \frac{12}{\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+7}\right)^3}
故其二阶导数为正，由于函数y= \frac{\sqrt{x+8}-
\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}在x=2/3时，分子和分母同时趋向于无穷大，所以此时函数极限值为正无穷，因此，解得该题极限为：lim\left(x\right) = +\infty。
结论：最终我们解出该题极限值为+∞，由此可见，求极限的基本方法是：求出函数的导数并判断其开口方向；在求取极限的例题中，要先求出表示极限的分子和分母的表达式，然后求出函数的二阶导数，最后由分母或分子在极限点趋向于无穷大或无穷小，两者成比例来确定函数的极限值。
求左右极限的简单例题
求左右极限的简单例题
求左右极限的简单例题
求左右极限是数学中一种重要的概念，可用于求解实际问题，求取函数所能取得的最大/
最小值，甚至在各种学科中都有广泛的应用。
下面将举一个简单的例题来讲解求左右极限
的概念。
问题：证明函数f(x) = (3x-1) / (x-1)的左极限和右极限都为3。
解答：首先，我们将函数f(x)表示为比例：
f(x) = y
a = 3x-1
b = x-1
我们注意到，b>0，因此，令a/b（令y=a/b）可以表示函数f(x)。
求函数f(x)的左极限：
当x逐渐接近1时，函数f(x)的值也逐渐接近3；
当x由大到1时，函数f(x)的值从“+∞”到3，从而可得函数f(x)的左极限为3。
求函数f(x)的右极限：
当x逐渐接近1时，函数f(x)的值也逐渐接近3；
当x由小到1时，函数f(x)的值从“-∞”到3，从而可得函数f(x)的右极限为3。
综上，通过以上分析可知，函数f(x)的左极限和右极限均为3，即f(x)介于-∞到+∞之间时，函数的取值范围的最小值和最大值均为3。
求左右极限的简单例题具有很重要的现实意义，它涉及函数模型的应用及其等价的解析表达。
例如，在金融计算中，通过求解极限可以有效地计算诸如泊松方程、累计折现函数、时间价值等复杂的函数模型，它不仅改变了传统模型的分析方式，而且提供了新的思考方式，进而使得绝大多数复杂实际问题得以求解。
第二讲函数的极限典型例题
第二讲--函数的极限典型例题函数的极限是微积分中的重要概念之一，也是建立微积分理论的基础。
在实际问题中，函数的极限可以用来描述趋于无穷大或无穷小的变化趋势，解决一些复杂的数学问题。
本文将通过一些典型例题来介绍函数的极限的概念和计算方法。
首先，我们来看一个简单的例题：求函数f(x) = x² + 2x - 1在x趋于1时的极限。
要求极限，我们可以通过直接代入法来计算。
当x趋于1时，f(x)的值趋于(x² + 2x - 1) = (1² + 2 · 1 - 1) = 2。
所以，函数f(x)在x趋于1时的极限为2。
接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例题：求函数g(x) = (x³ - 1) / (x - 1)在x趋于1时的极限。
直接代入法无法计算这个极限，因为当x等于1时，分母为0，无法进行计算。
此时，我们可以通过因式分解来简化问题。
将函数g(x)的分子进行因式分解，可以得到g(x) = [(x - 1)(x² + x + 1)] / (x - 1)。
分子中的(x - 1)可以约去，得到g(x) = x² + x + 1。
此时，我们可以再次使用直接代入法来计算极限。
当x趋于1时，g(x)的值趋于(1² + 1 + 1) = 3。
所以，函数g(x)在x趋于1时的极限为3。
除了直接代入法和因式分解法，我们还可以使用其他的计算方法来求函数的极限。
其中，最常用的方法之一是L'Hospital法则。
这个法则适用于求解某些不定型的极限，例如0/0、∞/∞等。
我们来看一个例题：求函数h(x) = (sinx - x) / (x² - x)在x趋于0时的极限。
直接代入法无法计算这个极限，因为当x等于0时，分母为0，分子也为0。
此时，我们可以使用L'Hospital法则来求解。
根据L'Hospital法则，我们对函数h(x)的分子和分母同时求导，得到h'(x) = (cosx - 1) / (2x - 1)。
求极限例题
求极限例题一、什么是极限？极限是微积分中的一个重要概念。
简单来说，一个函数在某一点的极限表示当自变量趋近于这一点时，函数的取值会趋近于某一个确定的值。
极限在解析几何、微分学和积分学中都有广泛的应用。
二、极限的定义极限的定义是通过自变量逼近某一值时函数的取值来进行的。
设函数f(x)在点a的某一空心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ>0，使得当x满足0<|x-a|<δ时，对应的函数值f(x)满足|f(x)-L|<ε，就说当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
三、求极限的方法1.代入法当函数在某一点a的极限存在时，可以通过直接将自变量代入函数中计算得出。
2.近似法对于某些形式较为复杂的函数，可以通过将自变量换成一个趋近于a的值进行计算，以得到一个接近极限的结果。
3.极限法则极限法则是求极限的基本规则，包括常数的极限、函数的和差的极限、函数的积的极限、函数的商的极限等。
4.夹逼定理夹逼定理也称为挤压定理，用于求解一些较为复杂的极限。
它的核心思想是在函数f(x)和g(x)之间夹入一个函数h(x)，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=L，那么lim(x→a)h(x)=L。
四、极限的例题1.例题1: 求极限lim(x→3)(2x+1)。
解: 可以直接将x代入函数中进行计算，得到结果为2 * 3 + 1 = 7。
因此，极限lim(x→3)(2x+1)等于7。
2.例题2: 求极限lim(x→0)(sinx / x)。
解: 当x趋近于0时，sinx / x的极限为1。
这是因为sinx / x在x趋近于0时会趋近于1，所以lim(x→0)(sinx / x)等于1。
3.例题3: 求极限lim(x→∞)(1 / x)。
解: 当x趋近于无穷大时，1 / x的极限为0。
这是因为x越大，1 / x的值越小，所以lim(x→∞)(1 / x)等于0。
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1、设0,01>>a x ，)(211n
n n x a x x +=+，证明：}{n x 收敛并求其极限。
证明：显然0>n x ，又a x a x x n n n ≥+=
+)(211（中学中不等式） 又1)1(2121≤+=+n
n n x a x x ，所以}{n x 单调减少，有下界，故}{n x 收敛，令A x n n =∞→lim ，由 )(21A a A A +=，则a A =。
2、求20cos 2cos cos 1lim x
nx x x n x -→。
解答：
+-+-=-→→→2
020202cos cos cos lim cos 1lim cos 2cos cos 1lim x x x x x x x nx x x x x n x 2
10cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim x nx x x x n x x n n x --+-→，而21cos 1lim 20=-→x x x ， 2020202cos 1lim 2cos 1cos lim 2cos cos cos lim x
x x x x x x x x x x x -=-=-→→→， 因为22~cos 1x a x a -，所以22)2(41~2cos 1x x x =-，于是12cos 1lim 2
0=-→x x x ， 同理 ,233cos 2cos cos 2cos cos lim 230=-→x
x x x x x x ， 2cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim 2
10n x nx x x x n x x n n x =---→ ， 所以原式4
)1(22221+=+++=
n n n 。
3、设0,0>>b a ，求][lim 0x
b a x x ⋅+→。
解答：令θ+=n x b ，其中10<<θ，当+→0x 时，+∞→n ，则θ+=n b x ， 于是a
b n n a b x b a x n x =⋅+=⋅∞→+→)(lim ][lim 0θ。
4、⑴证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。
⑵ 设∑=+=n k n k n x 121tan
，求n n x ∞
→lim 。
证明：⑴ 因为
32tan lim 3231sec lim 2tan lim tan lim tan lim 2202200304220==-=+⋅-=-→→→→→x x x
x x x x x x x x x x x x x x x ， 又注意到当x 充分小时，x x ≥tan ，所以成立不等式422tan 0x x x ≤-≤。
⑵ 由⑴知，当n 充分大时有，()2
2
111tan 1k n k n k n k n +++≤+≤+，故 ()n k n k n k n x k n n k n k n k n n
k 1111111211++≤+++≤≤+∑∑∑∑====，而∑∑==+=+n k n k n k n k n 111111，于是 ln2d 11111lim 1lim 1011=+=+=+⎰∑∑=∞→=∞→x x n k n k n n k n n
k n ，由夹逼定理知ln2lim =∞→n n x 5、设曲线()x f y =与曲线⎰-=
x t t y arctan 0d e 2在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∞→n f n n 2lim 。
解：由已知，显然有()00=f ，且在点(0,0)处()()
,x x f x 2arctan 1e 2
+='-故()10='f 因此，所求切线方程为y = x 。
()()2022022lim 2lim ='=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∞→∞→f n
f n f n f n n n 。