几道经典极限问题

1、设0,01>>a x ，)(211n

n n x a x x +=+，证明：}{n x 收敛并求其极限。 证明：显然0>n x ，又a x a x x n n n ≥+=

+)(211（中学中不等式） 又1)1(2121≤+=+n

n n x a x x ，所以}{n x 单调减少，有下界，故}{n x 收敛，令A x n n =∞→lim ，由 )(21A a A A +=，则a A =。 2、求20cos 2cos cos 1lim x

nx x x n x -→。 解答：

+-+-=-→→→2

020202cos cos cos lim cos 1lim cos 2cos cos 1lim x x x x x x x nx x x x x n x 2

10cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim x nx x x x n x x n n x --+-→，而21cos 1lim 20=-→x x x ， 2020202cos 1lim 2cos 1cos lim 2cos cos cos lim x

x x x x x x x x x x x -=-=-→→→， 因为22~cos 1x a x a -，所以22)2(41~2cos 1x x x =-，于是12cos 1lim 2

0=-→x x x ， 同理 ,233cos 2cos cos 2cos cos lim 230=-→x

x x x x x x ， 2cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim 2

10n x nx x x x n x x n n x =---→ ， 所以原式4

)1(22221+=+++=

n n n 。 3、设0,0>>b a ，求][lim 0x

b a x x ⋅+→。 解答：令θ+=n x b ，其中10<<θ，当+→0x 时，+∞→n ，则θ+=n b x ， 于是a

b n n a b x b a x n x =⋅+=⋅∞→+→)(lim ][lim 0θ。 4、⑴证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。

⑵ 设∑=+=n k n k n x 121tan

，求n n x ∞

→lim 。 证明：⑴ 因为

32tan lim 3231sec lim 2tan lim tan lim tan lim 2202200304220==-=+⋅-=-→→→→→x x x

x x x x x x x x x x x x x x x ， 又注意到当x 充分小时，x x ≥tan ，所以成立不等式422tan 0x x x ≤-≤。

⑵ 由⑴知，当n 充分大时有，()2

2

111tan 1k n k n k n k n +++≤+≤+，故 ()n k n k n k n x k n n k n k n k n n

k 1111111211++≤+++≤≤+∑∑∑∑====，而∑∑==+=+n k n k n k n k n 111111，于是 ln2d 11111lim 1lim 1011=+=+=+⎰∑∑=∞→=∞→x x n k n k n n k n n

k n ，由夹逼定理知ln2lim =∞→n n x 5、设曲线()x f y =与曲线⎰-=

x t t y arctan 0d e 2在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅∞→n f n n 2lim 。 解：由已知，显然有()00=f ，且在点(0,0)处()()

,x x f x 2arctan 1e 2

+='-故()10='f 因此，所求切线方程为y = x 。()()2022022lim 2lim ='=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅∞→∞→f n

f n f n f n n n 。