(线性代数课后习题答案)线代习题第五六章

（ m为 大 于 1的 整 数 ） ， 证 明 A不 能 与 对 角 矩 阵 相 似 。
证：反证法。假设 A ~ 对角矩阵。
则 存 在 可 逆 矩 阵 P,使 得 P 1 AP
A P P 1
A m (P P 1 )(P P 1 ) (P P 1) P m P 1
由 于 A m 0, 则 P m P 1 0， m P 1 0 P 0
0 4100
Q
1
1
1
11
2
0
0 2 /3 1/3
4100
1/3
1
/
3
2 4100
3
3
2 3
2
4100 3
1 4100
3
3
1 3
2
4100 3
0 4
Q
1
十六、（第五章第9题）已知n阶方阵A的n个特征值分别 是a1,a2, ,an, 求det(AkE)的值，其中k为常数。
方 程 组 A X 0的 基 础 解 系 为 1 (1, 2, 2)T , 2 (2,1, 2)T , 求 A. 解：
A1 0, A 2 0, A1 01 , A 2 0 2 0是 A的 2重 特 征 值 。
= 3是 A 的 特 征 值 ， 设 3 ( x1 , x2 , x3 )T 是 对 应 = 3 的 特 征 向 量 。
令
=
a1
0
0
，
m
=
a1m
an
0
0
O
anm
a1 a2 an 0, 则 =O .
A P P 1 PO P 1 O ,这 与 A O 矛 盾 。
所 以 ， A不 能 与 对 角 矩 阵 相 似 。
十九、（第五章第30题）求x,y的值，使得下列矩阵A与B相似。
1 x 1
1
0
1
0
得
到
基
础
解
系
：
-1 1
是
特
征
向
量
。
对 于 2 4， 求 解 方 程 组 ： (A 4 E )X 0
(接 )
A
E
wk.baidu.com
2
2
1 1
2 0
1
0
得
到
基
础
解
系
：
1 2
是
特
征
向
量
。
得
到
可
逆
矩
阵
Q
1 1
1 2
使
得
Q
1
A
Q
1
0
0
4
,
A
Q
1 0
A100
Q
1100 0
QT X Y
Y T diag (1, , n ) Y
1
y
2 1
2
y
2 2
n
y
2 n
令 c m ax{ | 1 |, , |n | }, 则
X T AX
c
(
y
2 1
y
2 2
y
2 n
)
cY TY
c(Q T X
)T (Q T X )
cX T QQ T X cX T X
二 一 、 （ 第 五 章 第 24题 ） 设 A是 3阶 实 对 称 矩 阵 ， =3是 其 一 特 征 值 ，
=det(( AT E)A)=det( AT E) det A = det(( A E)T ) det A det( A E) = det((E A)) (1)n det(E A) = det(E A) 所以，det(E A) 0
十 八 、 （ 第 五 章 第 27题 ） 设 n阶 非 零 矩 阵 A满 足 Am O
解：
因为 det(AE)=(a1-)(a2-) (an-) 令=-k,
det(AkE) (a1 k)(a2 k) (an k)
十七、（第五章第16题）设A是奇数阶正交矩阵，且 det( A) 1 证明 det(E A) 0
证： 因为A是正交矩阵，AT A E det(E A) det( AT A A) det( AT A EA)
1y1
xy
对 2 1， det(A-2 E ) 0 所以，x y 0
0x1 det(A-2 E) det( A E) x 0 x 2x 0 x 0
1x0
二 十 、 （ 第 五 章 第 22题 ） 设 A为 n阶 实 对 称 矩 阵 ， 证 明 存 在 实 数 c,
对 一 切 X n ,有 X T AX cX T X .
(1 ,3 )=0
(
2
,
3
)
=
0
x1 2 x2
2
x1
x2
2 x3 2 x3
0 0
3 (2, 2,1)T
由 于 (1 ,2 )=0， 1,2 ,3两 两 正 交 。
1/3 2/3 2/3 1 2 2
令 Q ( 1 1
, 2 2
, 3 3
)
2
/
3
2 / 3
1/3 2 / 3
0 0 0
A
x
1
y
,
B
0
1
0
1 y 1
0 0 2
解：求B的特征值。
因 为 B是 对 角 阵 ， 其 特 征 值 为 ： 1 0， 2 1， 3 2 由 于 A ~ B, 则 A与 B有 相 同 的 特 征 值 ： 1 0， 2 1， 3 2
1x1 对 1 0， det( A 1E ) 0 det( A 1E ) det A x 1 y ( x y)2 0
2
/
3
1 / 3
1 3
2
2
1 2
2
1
0
Q1
AQ
0
,
3
0
1 2 2 0
1 2 2
A
Q
0
Q
1
3
1 3
2 2
1 2
2
1
0
3
1 3
2 2
1 2
2 1
4 4 2
1 3
4 2
4 2
2
1
第六章 二次型 部分习题
例（习题六第8题） 设A (aij )nn 为n阶实对称阵，试证： (1)若A是正定的，则 aii 0, i 1, 2, , n
证 ： A为 n阶 实 对 称 矩 阵 ， 则 存 在 正 交 矩 阵 Q, 使 得
Q 1 AQ diag (1, , n )
A Q diag (1 , , n ) Q 1
X T A X X T Q diag (1 , , n ) Q 1 X
(Q T X )T diag (1, , n ) (Q T X )
证：因为A是正定的，对任意X 0, 总有X T AX 0
取X 0, 0, , 0,1, 0, , 0T ,即xi 1, 其余x j 0
nn
X T AX
aij xi x j aii xi2 aii 0 (i 1, 2, , n)
习题五部分讲解
十
五
、
（
第
五
章
第
8题
）
已
知
A
2 2
1 3
,
求
A 100。
解 ： det(A E ) 2
1 ( 1)( 4)
2 3
得 到 特 征 值 1 1， 2 4 对 于 1 1， 求 解 方 程 组 ： ( A 1 E ) X 0
A
E
1
2
1 2