数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件

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定积分概念与可积性浅析-第六章定积分及其应用

§1 定积分概念与可积性浅析引例 (曲边梯形的面积)：设函数在闭区间上连续，且。

则由曲)(x f ],[b a 0)(≥x f 线，直线)(x f y =a x =，以及b x =x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形。

在区间(,内任取)a b 1-n 个分点，依次为T ：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210它们将区间分割成个小区间，。

记为],[b a n n i i ],[1i i x x -i ,,2,1 =1i x x x -∆=-x ，i ，同时记n ,,2,1 =}n ,,,21x max{)(T x ∆∆∆= λ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成个小曲边梯形。

在每个小区间，n ]i x i ,[i x 1-n ,,2, 1=上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化)(x f ],[1i i x x -不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。

于是，该曲边梯形面积的近似值为。

从而∑=nf S 1(∆ix≈ii)ξ ()01lim ()niiT i S f λξ→=x =∆∑1 定积分的定义定义1 (分割)：设开区间内有个点，依次为(,)a b 1-n T ：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210将闭区间分成个小区间，记为],[b a n 1i i i x x x -∆=-，n i ,,2,1 =，同时称}n ,{1x x T ,,2x ∆∆ ∆=为区间的一个分割，并记],[b a }{max )1i n i x (T ∆=≤≤λ称为分割T 的模。

定义2：设是定义在[上的一个函数，对于的一个分割)(x f ],b a (,)a b},,,{21n x x x T ∆∆∆= ，任取点i i x ∆∈ξ，n i ,,2,1 =，并作和式),T f i i x f ∆)(ξni =∑=:(n δ1称此和式为在关于分割)(x f ],[b a T 的一个积分和，也称Riemann 和。

定积分的概念和性质

§4.3 定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
是时间间隔 [T1,T2 ] 上t的连续函数，v(t) 0
且
，计算在此段时间内物体经过的
路程。思想方法
（1）分割：
在区间 [T1,T2 ]中任取若干分点：
T1 t0 t1 ti1 ti tn1 tn T2
把 [T1 ,T2 ] 分成n个小区间： [ti1,ti ]
a
性质7 （定积分中值定理）如果函数f (x)在闭区
间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点
，使
b
a f (x)dx f ( )(b a) (a b)
这个公式叫积分中值公式。
证由性质6，有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
即有 m 1
I
，如果
取极限
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b
n
b
a
f
(x)dx
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
,即
f(x)dx叫做被积表达式;
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定

定积分的概念和可积条件

的直径。对每一个这样的划分作如下黎曼和：
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分，记作，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明：不是一般性，设 ' 就比多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1

定积分的概念和意义

定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。

在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。

本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。

一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。

假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。

为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。

当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。

定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。

二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。

下面将介绍定积分的几个主要意义。

1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。

这个面积可以用定积分来精确计算。

2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。

例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。

同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。

3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。

概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。

通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。

定积分的概念与性质

t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积

(3)
并作和 = ෍ ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.

()
+

+
−

14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =

4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分，可以研究市场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以用来分析投资回报率的变化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分，掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解决与几何形状、物理量分布等有关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

定积分的概念和定义

定积分的概念和定义
定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、曲线长度、质量、质心等问题。

定积分的定义是通过极限过程来逼近曲线下面积的值。

考虑一个函数f(x)在区间[a, b]上的积分，将该区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，然后在每个小区间上选取一个任意点xi，i取值从1到n。

那么，曲线下的面积可以近似表示为：
S ≈ f(x1) Δx + f(x2) Δx + f(x3) Δx + ... + f(xn) Δx
上述表达式中，f(xi)表示函数f(x)在xi点的函数值，Δx表示小区间的长度。

当n趋向无穷大时，曲线下的面积的连续性被更好地描述，可以写作如下定义的定积分形式：
∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) [f(x1) Δx + f(x2) Δx + ... + f(xn) Δx]
其中，∫表示积分，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量，lim表示极限。

定积分可以理解为对函数
f(x)在[a, b]区间的所有小区间上的面积进行累加，通过极限过程得到曲线下的面积值。

数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件

第十三页，共三十页。
例7.1.1 讨论Dirichlet函数
1, x为有理数 D(x) 0, x为无理数
在[0, 1] 上的可积性。
解由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，因此不管用什么
样的划分 P 对[0, 1] 作分割，在每个小区间[xi , xi1] 中一定是既有有理数又有无理数。
于是，当将 i 全部取为有理数时，
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ －语言”表述如下：设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划分
P： a x0 x1 x2 xn b ，和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
另一方面为了确定第二定律kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的扇形并近似地将它们看成一个个小的三角形运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限成功地计算出了所扫过的面积图711
数学分析(shù xué fēn xī)ch7-1定积分的概念和可积条件
第一页，共三十页。
这是天文学上划时代的发现（Newton正是在证明这些定律的过程中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学发展史上的重要里程碑。
i 1
6
令 n ，得到
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
与
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
，
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分的概念学法

定积分的概念学法定积分的概念学习是数学中一个非常重要的内容,也是许多科学领域中不可或缺的一部分。

在这篇文章中,我们将深入探讨定积分的概念和应用。

定积分的定义在数学中,定积分是一种用来计算一个函数与一个变量的乘积的函数。

换句话说,定积分就是对一个函数进行累加,从而得到这个函数在一个区间上的总量。

我们可以通过一个简单的例子来更好地理解定积分的概念。

假设我们有一个函数f(x)=x^2,它的一个定积分可以表示为:∫(x^2)dx=∫(x^2)dx=x^3/3+C其中C是一个常数项。

这个定积分可以表示为在一个区间上的函数值之和,它的值为x^3/3加上一个常数项C。

定积分的应用在数学中,定积分有广泛的应用。

例如,可以使用定积分来计算一个函数在一个区间上的值,或者用来定义一个函数的导数。

定积分也可以用于求解曲线的最值。

在二维或三维空间中,我们可以通过计算函数的定积分来找到一个曲线的最高点或最低点。

定积分的计算定积分的计算是一个比较复杂的过程。

虽然定积分看起来很简单,但在实践中,我们需要注意一些细节。

首先,我们需要确定被积函数的积分区间。

这可以通过对函数进行不定积分来完成。

然后,我们需要计算不定积分。

这可以通过对函数进行求导来完成。

不过,在一些情况下,不定积分可能无法给出精确的结果,这时候我们需要使用数值积分来得到一个近似值。

最后,我们需要将定积分转化为定积分。

这可以通过对函数进行积分来实现。

定积分的实例下面是一个利用定积分计算曲线最值的例子。

假设我们有一个函数f(x)=x^3,我们需要计算这个函数在一个区间[0,2]上的最值。

首先,我们需要计算函数在区间[0,2]上的定积分。

定积分的计算结果为:∫(x^3)dx=∫(x^3)dx=(1/3)x^4+C其中C是一个常数项。

然后,我们对这个定积分求导,得到:d/dx(1/3)x^4)=(4/3)x^5这个导数的值为:(4/3)x^5=4x^5/3因此,函数f(x)=x^3在区间[0,2]上的最值为:f(2)=2^3-1=15除此之外,定积分还可以用于求解曲线的最值。

数学分析ch7-1定积分的概念和与可积条件

数学分析ch7-1定积分的概念和与可积条件
目录
• 定积分的概念 • 可积条件 • 定积分的应用 • 定积分与不定积分的关系
01 定积分的概念
定积分的定义
定积分是积分和的极限
定积分定义为积分区间[a,b]上，函数f(x)与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积，即对任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当分割的区间长度最大不超过δ时，积分和的绝对值不超过ε。
计算方法不同
定积分需要先找到被积函数的原函数，再利用微积分基本定理计算；而不定积分则直接对被积函数进行不定积分运算。
定积分与不定积分的转换
利用微积分基本定理
通过求不定积分得到原函数，再利用定积分的定义计算出定积分的值。
利用牛顿-莱布尼茨公式
将定积分转换为不定积分的计算，需要先找到被积函数的原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。
在计算曲线长度时，我们需要确定曲线的起点和终点，并将其表示为连续可微的函数。然后，我们可以利用这个函数来计算定积分，从而得到曲线的长度。
定积分在计算曲线长度方面具有广泛的应用，它可以用来计算各种曲线的长度，如圆弧、椭圆弧、抛物线等。
04 定积分与不定积分的关系
定积分与不定积分的联系
两者都是积分，都是求解曲线与x轴所夹的面积。
定积分的性质
线性质
∫(a,b)[k*f(x)+g(x)]dx=k*∫(a,b)f(x)d x+∫(a,b)g(x)dx，其中k和g(x)是常数。
区间可加性
下限函数的积分性质
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f[φ(t)]φ'(t)dt，其中φ(t)是单调不减的函数，且 φ(a)=b，φ(b)=a。

7-1 定积分的概念与可积条件

（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 , ,tn }
n
路程的精确值
b
a f ( x)dx

A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和．在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．

例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
播放
曲边梯形如图所示，在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]，长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
lim ln n
f 1 f 2
f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f

i n

lim
n
n
ln
i 1
f

i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1] 区间
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为

定积分的概念与性质

(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0

详解定积分的定义

详解定积分的定义
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算在某一区间上函数的面积、体积、平均值等问题。

定积分的定义是通过分割求和来逼近曲线下的面积。

具体的定义如下：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]区间分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(ba)/n。

在每个小区间上任意选择一个点xi，构成一个小矩形，其高度为f(xi)。

则每个小矩形的面积为f(xi)Δx。

将所有小矩形的面积相加，得到一个近似的总面积：
S=f(x1)Δx+f(x2)Δx+...+f(xn)Δx
当n趋向于无穷大时，将上面的和记作∑f(xi)Δx。

定义定积分：
若当n趋向于无穷大时，∑f(xi)Δx的极限存在，并且与f(x)的选取和分割方式无关，那么我们称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。

可以看出，定积分是通过将区间分割成无穷小的小矩形，再将每个小矩形的面积相加求得的。

当分割的越细致，得到的近似值越精确，最终得到的极限值就是定积分的准确值。

定积分的几何意义是曲线和坐标轴之间的有界区域的面积。

定积分还可以表示为反映函数f(x)在区间[a,b]上平均值的量，即∫[a,b]f(x)dx/(ba)。

定积分知识点总结

定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面积的一种方法。

当我们要计算一个曲线在两个点之间的面积时，可以使用定积分来求解。

定积分通常由一个区间上的函数来定义，它表示这个函数在这个区间上的面积。

二、定积分的符号表示定积分通常用符号∫关于x代表积分，下限和上限之间的函数表示要积分的函数，dx表示积分变量。

即∫ab f(x)dx表示在区间[a, b]上的函数f(x)的定积分。

三、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]上的可积函数，k1和k2是常数，则有∫ab(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx。

2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上都可积，则有∫ac f(x)dx=∫ab f(x)dx+∫bc f(x)dx。

3. 积分的保号性：若在[a, b]上有f(x)≥0，则∫ab f(x)dx≥0。

4. 积分的单调性：若在[a, b]上有f(x)≥g(x)，则∫ab f(x)dx≥∫ab g(x)dx。

五、定积分的计算方法1. 几何法：通过几何图形的面积来计算定积分，通常使用在能够用几何图形表示的函数上，例如多项式函数。

2. 积分表法：通过积分表中的已知积分公式，来计算定积分，通常用于一些常见函数。

3. 定积分的换元积分法：通过变量替换的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定变量替换后才能计算的函数。

4. 定积分的分部积分法：通过分部积分的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定的分部积分后才能计算的函数。

六、定积分的应用定积分在数学和物理学中有着极其重要的应用，例如计算曲线下面积、求解函数的平均值、求解体积、求解质量、质心和弧长等。

在数学中，定积分是微积分的基础，它还被广泛应用于概率统计、微分方程、傅立叶变换等领域。

在物理学中，定积分被用来求解各种场和力的功、能量、质心等问题。

定积分的定义和可积条件

8
实例3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时间间隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t) 0,求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
o
i 1x
n
n
i 1
f (i )xi
1 n3
n
i 2
i 1
1 n3
1 n(n 1)(2n 1) 6
1 (1 1 )(2 1 ) 6n n
1
n
x2 C[a,b]
0
x 2dx
lim
d 0
i2Δxi
i 1
22
n
i 1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i 1
11 n3 6 n(n 1)(2n 1)
nn
或
I
lim
n1
sin(
k)
1
1
sin
x dx
n k 0
nn 0
i
0 12
x i n n
(n1) x
n
n1 1 x
n
26
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
I lim 1 n sin k
n k1 n n
1
1 (n 1)
lim sin lim sin
n n n n n
n
1
0
sin
（1)分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
： a x0 x1 x2 xn1 xn b

定积分知识点

定积分知识点定积分是微积分中非常重要的概念之一。

它在实际问题的建模和求解中起着至关重要的作用。

本文将介绍定积分的基本定义、性质以及一些常见的应用。

1. 定积分的基本定义定积分是函数积分学的重要概念，它可以将函数的定义域上的函数值从一个点到另一个点的累加。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δx_i，选择每个小区间中任意一点ξ_i，称为取样点。

则定义Δx_i乘以f(ξ_i)的和对应的极限值，当区间的个数趋向于无穷大时，即Δx_i趋于0，就得到了函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分。

定积分的数值即为积分的结果。

2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面我们简要介绍其中的几个。

2.1 可加性设函数f(x)在区间[a, b]上可积，如果将该区间分成两个子区间[a, c]和[c, b]，则有定积分的可加性质，即∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx。

这个性质可以推广到多个子区间的情况。

2.2 线性性质定积分还具有线性性质。

即对于任意的实数k、l，函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b](k*f(x) + l*g(x))dx = k * ∫[a,b]f(x)dx + l * ∫[a, b]g(x)dx。

2.3 积分中值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ) * (b - a)。

这个定理说明了定积分与函数在区间上的平均值的关系。

3. 定积分的应用定积分在各个领域都有广泛的应用。

下面我们介绍一些常见的应用。

3.1 几何应用通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围的区域面积。

例如，如果给定函数f(x)，在区间[a, b]上，可以通过定积分∫[a, b]f(x)dx来计算曲线y=f(x)与x轴之间的面积。

Chapter07.1-4定积分概念、可积性、性质

定义设f : [a, b] R. 任取[a, b]的分划以及i [xi–1, xi]
({1, 2, , n} = ()称为分划下的介点集) , 作和
( f , π, ) f (i )xi ,
若总有
||π||0
n
lim f (i )xi I
i 1
n
i 1
则称 f 在[a, b]上可积, 记为f R[a, b]. I称为 f 在[a, b]上的定积分，记为 b f ( x)dx
a
即

b a
f ( x)dx lim f (i )xi
||π||0 i 1
n
—积分号; a, b —积分下、上限; [a, b]—积分区间; f (x) —
问题逆命题成立吗？即| f |R[a, b]能否导出 f R[a, b]？
例1 设 f C[a, b], f (x) 0, 且 f ( x)dx 0, 证明 f (x) 0. a 若 f (x) 0, 且
b

b a
f ( x)dx 0, 则 f (x)在连续点的取值为0.
m(b a) f ( x)dx M (b a).
a b
推论3(绝对值不等式) 若f R[a, b], 则| f |R[a, b], 且

b a
f ( x)dx | f ( x) | dx.
a
b
定义设f : [a, b] R, 若| f |R[a, b], 则称 f 在[a, b]上绝对可积.
x a

x
a
f (t )dt 是x的函数, 即
F ( x) f (t )dt , x [a, b]

数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件

定积分概念与可积性浅析-第六章定积分及其应用

定积分的概念和性质

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定积分的概念和意义

定积分的概念与性质

掌握定积分概念及基本性质

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7-1 定积分的概念与可积条件

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定积分的定义和可积条件

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Chapter07.1-4定积分概念、可积性、性质