数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件

S
n
lim
n
n(n 1)(2n 1) 6n3
1 3
与
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
பைடு நூலகம்
1 3
，
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为
S 1。
3
由此可以想到，如果在每个小区间[xi1,xi ] 上任意取点i [xi1,xi ] ，
并构造以
h
为底、以
f
( i
)
2 i
为高的小矩形，则所有这些小矩形的面
ti ti ti1
充分小， v(i ) 就可以近似地看作是在[ti1, ti ]时间段中的平均速度，因 此在这段时间中走过的路程近似地等于 v(i )ti ，于是整个路程就近似 等于
n
v(i )ti 。
i 1
若当
max(
1in
ti
)
0 时,
极限
n
lim
0
i 1
v( i
)ti
存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值。
积之和为
1 n
n
i2
i 1
，显然仍然有
S n
1 n
n
i2
i 1
Sn ，
令n
，由极限的夹逼性，得到 lim n
1
n
n
i2
i 1
1 3
，就是所求的曲边三
角形的面积。
y
y=f(x)
f ( i)
0
xi-1 xi 1 x
利用上述思想，我们来求由连续曲线 y f (x) （假设 f (x) 0 ），
定积分的定义
定义7.1.1 设 f (x) 是定义于[a, b]上的有界函数，在[a, b]上任意
取分点
{xi
}n i0
，作成一种划分
P： a x0 x1 x2 xn b ，
并任意取点i [xi1, xi ] 。记小区间[xi1, xi ] 的长度为 xi xi xi1 ，并令
max(
1in
xi
)
，若当
0
时，极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，且极限值既与划分P无关，又与对 i 的取法无关，则称 f (x) 在
[a, b]上Riemann可积。和式
n
f (i )xi
i 1
称为Riemann和，其极限值 I 称为 f (x) 在[a, b]上的定积分，记为
I
＝
b
a
f
( x)dx
y=f(x)
f ( i)
0a
xi
xi-1 i xi
bx
在许多其他领域的研究中，也大量地遇到诸如此类的和式的极限
问题。比如，求一个以速度 v(t) 做变速运动的物体从时间 t T1 到时间 t T2 所走过的路程 S ，可以先在时间段[T1, T2 ]中取一系列的分点 ti ， 作成划分
P： T1 t0 t1 t2 tn T2 ， 并在每个小区间[ti1, ti ]上随意取一点 i ，只要时间间隔
，
这里 a 和 b 分别被称为积分的下限和上限。
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
P： a x0 x1 x2 xn b ， 和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
似代替小的曲边梯形的面积。 y
y=f(x)
f ( i)
0a
xi
xi-1 i xi 图7.1.3
bx
那么这些小矩形面积之和
n
f (i )xi
i 1
就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 m1iaxn (xi ) ,当 0 时，若
极限
n
lim
0
i 1
f (i )xi
存在，那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 y
设曲边三角形的面积为 S ，则有 Sn S Sn 。
利用数学归纳法，容易证明
n (i 1)2 12 22 32 (n 1)2 n(n 1)(2n 1)
i 1
6
n i 2 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ，
i 1
6
令 n ，得到
lim
n
i1
则称 f (x) 在[a, b]上Riemann可积，称 I 是 f (x) 在[a, b]上的定积分。
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ － 语言”表述如下： 设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划 分
这是天文学上划时代的发现（Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学 发展史上的重要里程碑。
一方面，在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值。
另一方面，为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角 形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出 了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现 代定积分思想的雏形。
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ － 语言”表述如下： 设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划 分
P： a x0 x1 x2 xn b ， 和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
n
f (i )xi I ，
直线 x a ， x b和 x 轴围成的曲边梯形的面积（图7.1.3）：
在[a, b]中取一系列的分点 xi ，作成一种划分 P： a x0 x1 x2 xn b ， 记小区间[xi1, xi ] 的长度为
xi xi xi1 ， 并在每个小区间上任意取一点 i ，用底为 xi ，高为 f (i ) 的矩形面积近
第七章 定积分
§1 定积分的概念和可积条件
定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运 动，太阳在此椭圆的一个焦点上。 ⑵从太阳到行星的向径在相等的 时间内扫过相等的面积。 ⑶行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。