北师大数学选修课时分层作业1 命 题 含解析

课时分层作业(一)命题
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句是命题的是()
A．2018是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗？
D．a≤15
B[B选项可以判断真假，是命题．]
2．以下说法错误的是()
A．原命题为真，则它的逆命题可以为真，也可以为假
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题
C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
B[A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能相同，也可能相反；C、D为真命题．]
3．下列命题中，为真命题的是()
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
A[B选项中，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，为假命题．]
4．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()
A．互逆命题B．互否命题
C．互逆否命题D．不确定
B[因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．] 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是()
A．若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥α
B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或mα
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C[C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．]
二、填空题
6．命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________，结论是________．[解析]该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．[答案]一个数是无理数它是无限不循环小数
7．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有：
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中改写正确的序号是________．
[解析]①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”，故③错误．
[答案]①②
8．有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中是真命题的是________(填序号)．
[解析]④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．
[答案]①②③
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x轴有公共点．
[解](1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．
(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－
4ac≥0，为假．
10．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[证明]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
[能力提升练]
1．命题“若－1<x<1，则x2<1”的逆否命题是()
A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
B．若x2<1，则－1<x<1
C．若x2>1，则x>1或x<－1
D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
D[“－1<x<1”的否定为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否定为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．]
2．下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是()
A．0B．1 C．2 D．3
B[(1)否命题：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：若a2≤b2，则a≤b，假命题．(3)否命题：若x＞－3，则x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，故选B.]
3．命题“若x ∈R ，则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．
[解析] 由题意得：Δ≤0，即：(a －1)2－4×1×1≤0，解得：a ∈[－1,3]．
[答案] [－1,3]
4．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．
[解析] 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≤1，m ＋1≥2，
∴1≤m ≤2. [答案] [1,2]
5．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．
[解] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，
即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.
由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.
因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，
解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。