一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=A ；③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=；⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==；⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a-a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】（2015•张家界）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0.则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________【答案】54m ≤且m≠1【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，∴ m 的取值范围是54m ≤且m≠1．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m≠1．举一反三：【高清ID 号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设x 1、x 2是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得12x x +=1212x x =-A ，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x A 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知12x x +=，1212x x =-A ，所以（1）222121212()2x x x x x x +=+-213521222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．（2）22121212()()4x x x x x x -=+-213742222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．（3）121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-．【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x A 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-A ．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
人教版第二十一章 一元二次方程复习课优质课件
回顾与复习
1、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
（1）二次项系数化为1；
（2）移项；
（3）配方；
（4）降次；
当二次项系数是1时，方程两边都加 上一次项系数绝对值一半的平方
2、练习：(1) x2+4x+4=(x+ 2 )2 ; (2) x2+8x+16=(x+ 4 )2 ; (3) x2-6x+9=(x- 3 )2 ; (4) x2-12x+36=(x- 6 )2 ;
(4) 2x2 - 8x -18 0
回顾与复习
１.一元二次方程根的判别式是什么？
2.一元二次方程根的情况与判别式是怎样的关系？
① △>0时 ② △=0时 ③ △<0时
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
若 △≥0 呢？
练习巩固
1.已知关于x的一元二次方程 (k －5)x2－4x－1＝0 有两个实数根，求k的满足的条件。
例7、两个数的和为10，积为24，求这两个数。
思考
中考直击
已知: (a2＋b2)(a2＋b2－3)=10 求a2＋b2 的值。
练习：
1、选用适当的方法解下列方程
(1)4(x 3)2 36 0 (2)x 2 3x 0
(3)9x 32 4(3 2x)2 (4)x2 13x 36 0
小结与复习
一
概念
元
二
解法
次
根的判别式
方
根与系数的关系
程
复习回顾
1.一元二次方程的概念
整理后：①只含一个未知数;（一元） ②未知数的最高次数是2；（二次） ③整式方程。
2、一元二次方程的一般形式
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、【教学目标】1. 掌握一元二次方程的根的判别式;2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系. 二、【重点难点】重点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系.难点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用. 三、【主要考点】 （一）、一元二次方程的根的判别式1．判别方法：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)，∆=b 2-4ac 称为一元二次方程的根的判别式.⑴b 2-4ac >0 ⇔方程有两个不相等的实数根； ⑵b 2-4ac =0 ⇔方程有两个相等的实数根； ⑶b 2-4ac <0 ⇔方程没有实数根.2．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件. （二）、一元二次方程的根与系数的关系设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根，且b 2﹣4ac ≥0，则有x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=ac . 四、【经典题型】【12-1A 】若关于x 的一元二次方程ax 2+2x －1=0无解 ，则a 的取值范围是____________.【12-2A 】 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．【12-3B 】关于x 的一元二次方程x 2-3x -k =0有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围．②请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根.【12-4B 】关于x 的方程kx 2+(k +2)x +4k=0有两个不相等的实数根. ⑴求k 的取值范围. ⑵是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.五、【点击教材】 【12-5A 】（九上P45）一元二次方程3x 2﹣2x -1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【12-6B 】（九上P48）已知关于X 的一元二次方程X 2-2X-a=0的两个实数根为X 1，X 2，且321121-=+x x ，求a 的值。
一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习
（1）请判断这是一个什么方程？ （2）不解方程，你能判断它的根的情况吗？
例1：关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0,有 两个不相等实数根，求实数m的取值范围.
总结归纳： ___△_>_0____ 一元二次方程有两个不相等的实数根 ___△__=_0____一元二次方程有两个相等的实数根 ___△__≥__0___一元二次方程有两个实数根 ____△_<_0____ 一元二–x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示． （1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两 个交点； （2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若 0A 0B 6 ,求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离； （5）求△ ABC的面积S．
变式训练1 ：已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论K取任何实数值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
变式训练2：如图，已知抛物线y＝x 2－3x经
过B（4，4），将直线OB向下平移m个单位
长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共
变式训练1: 关于一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实 数根为x1 、 x2。且x1+x2>0,x1x2>0.求m的取值 范围
变式训练2:已知菱形的边长为5，两条对角线交 与O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m=（ ）
A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3
点D，求m的值及点D的坐标
第12课时 一元二次方程(根的判别式、根与系数的关系、应用)
九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第12课时 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系、应用） 一、知识要点：1. 一元二次方程根的判别式:一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式Δ＝__ __. 当Δ＞0时⇔方程有______________. 当Δ＝0时⇔方程有______________. 当Δ＜0时⇔方程______________. 当Δ≥0时⇔方程有_____________. 2. 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为21x x ，，则有1x ＋2x =___________ˉ1x 2x =__________.3. 列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为（1）“审”是读懂题目，审清______，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的_______.（2）“设”是指设未知数，设未知数又分为__________和__________，要根据题目特点选择合适的设元方式.（3）“列”就是_________，即根据题目中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其它未知数，利用题目中的_________建立方程. （4）“解”就是求出所列方程的_________.（5）“验”就是对方程的根进行_________，具体说来包括两个方面，一是检验解出的根是否能使_________，二是看方程的根是否_________，不符合题意的根要_________. （6）“答”即写出_________.二、典型例题[例1] 已知：关于x 的方程0122=-+kx x . （1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若方程的一个根是－1，求k 的值及另一个根.[例2] 我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问： （1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）三、课堂演练：1．关于x 的一元二次方程014)5(2=---x x a 有实数根，则a 应满足的条件是 .2．已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A ． b =﹣1B ．b =2 C ． b =﹣2D ．b =0 3. 如果关于x 的一元二次方程kx 2－21k +x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( ). A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠04．已知21x x 、是一元二次方程0)32(22=++-k x k x 的两个根. (1)求实数k 的取值范围； （2）若,11121=+x x 求k 的值.5.已知21x x ，是关于方程2x ＋（2a －1）x ＋2a =0的两个实数根，且（1x ＋2）(2x +2)=11, 求a 的值.四、课外作业1.写出一个以-1与2为根的一元二次方程 .2. 已知关于x 的方程x 2+（1﹣m ）x +=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_________．3.已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x a 有两个相等的实数根，求a 的值及方程的根.4.已知关于x 的一元二次方程2x －4x ＋k =0有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围.（2）若k 为符合条件的最大整数，且方程2x －4x ＋k =0与方程2x ＋m x －1=0有一个相同的根，求此时m 的值.5.已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克65元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式及最大月销售利润． （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
中考专题复习〈〈一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》1、根的判别式及应用(△ = b2 一4ac):(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒0)的两根为x i、X2,b c贝U X i+X2=—— , x i X2=—。
a a(1) 已知一根求另一根及未知系数；(2) 求与方程的根有关的代数式的值；(3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(x1、x2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x「乂2为根的一元二次方程为x2-(x〔+x2)x+x〔x2= 0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数a乒0,同时满足^> 0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1 +x2, ?两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。
1.一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程a顶4bx+c=0a#0 )的根的判别式为.(1) b2 -4ac>0u 一元二次方程ax2+bx + c =0(a #0)有两个实数根.(2) 史—4ac=0U 一元二次方程有相等的实数根，即x1 = x2= ^(3) b2—4ac<0u 一元二次方程ax2+bx+c = 0(a #0 实数根.2.一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2 +bx + c =0(a , 0)有两根分别为x1, x2,那么x1 + x2=,2 2x1 x2 = ^变形：x1 +x2 =, x1 -x2 =。
至十兰=。
x1 %3.易错知识辨析：1) 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.2) 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2 -4ac芝0 ；②二次项系数a#0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系^一、【典型示例】【例1】当k为何值时，方程x2-6x + k-1=0 , (1)两根相等；(2)有一根为0 ；(3)两根为倒数【例2】已知关于x的方程x2 +2(a—1)x+a2—7a—4=0,(1) 若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2) 若方程的有两个实数根为x〔、x2 ,且x； +x；=32，求a的值。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程判别式和根与系数的关系
一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的复习
∴a+1<0
a-1<0
∴函数图象不经过第一象限
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二、经典范例引导
例3. (2008年梅州市)已知x=-1是关于x的一元二次 方程x2-mx-2=0的一个根，求m的值和方程的另一 根。 解：设方程的另一根是x1,由根与系数的关 系得： x 1 1 m
x1 2
解得， x1=2,m=1
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三、精选习题强化
1.关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最
大值是（ C ） A．6 B．7 C．8 D． 9 2.若关于x的一元二次方程kx2 -2x-1= 0 有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是( B ) A.k>-1 C. k<1 B. k>-1且 k≠o D. k<1且k≠0
+x2<0且x1x2>0 有两个负根的条件 x1_________________ ；
有两异号根的条件 __________________；
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二、经典范例引导
例1 .(2008 长沙)当m为何值时，关于x的一元二次 1 2 方程 x 4 x m 2 0 有两个相等的实数根？此 时这两个实数根是多少？ 解：由题意，△=(-4)2-4(m)=0
即16-4m+2=0，m=
原方程可化为：x2-4x+4=0 ∴当m= 时,方程有两个相等的实数
根x1=x2=2．
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二、经典范例引导
例2.若关于x的一元二次方程x2-2x-a=0无实根，
则一次函数y=(a+1)x+a-1不经过第____ 一 象限。 解：由题意得： △=4+4a>0 即a<-1
4一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(名师总结)
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【知识点1】一元二次方程的根的判别式概念：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，通常用符号“△”来表示。
即△=b 2－4ac 一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。
②当△=0时，有两个相等的实数根。
③当△＜0时，没有实数根 ✪注：当△≧0时，方程有实数根。
【例1】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ． 没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例2】如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A.＞B ＞且C.＜D.且【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是【例4】.已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 。
【例5】已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是【例6】关于x 的一元二次方程04)(2=-+++ca bx xb a 有两个相等的实数根,那么以a 、b 、c 为三边的三角形是 A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以c 为斜边的直角三角形 C 、以b 为底边的等腰三角形D 、以c 为底边的等腰三角形 【知识点2】一元二次方程根于系数的关系概念：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。
这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
【例1】在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
一元二次方程的根的判别式和根与系数关系复习
一元二次方程的根的判别式和根与系数关系一、知识要点：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-；2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数关系：（1）设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,则有1212,b c x x x x a a+=-=；（2）以12,x x 为两根的一元二次方程是：21212()0x x x x x x -++=。
3、公式变形：2221212122212121212121212121212(1)()2(2)()()4(3)(1)(1)()111(4)(5)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+--=+- ++=++++ += -==121212121210000010x x x x x x x x x x x ⇔∆>⇔∆⇔∆<⇔∆≥∆≥⎧⎪⇔+=⎨⎪≤⎩∆≥⎧⇔⎨⎩∆≥⎧⎪⇔+>⎨⎪>⎩∆≥⇔+4、（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根＝0；（3）方程没有实根0；（4）方程有两个实根0（5）方程有两个互为相反数的实根 （6）方程有两个互为倒数的实根＝0 （7）方程有两个正根0 （8）方程有两个负根2121212121200000x x x x x x x x x x x ⎧⎪<⎨⎪>⎩∆>⎧⎪⇔+>⎨⎪<⎩∆>⎧⎪⇔+<⎨⎪<⎩0 （9）方程有两个异号根，且正根的绝对值比较大0 （10）方程有两个异号根，且负根的绝对值比较大例1、解关于x的方程：2--+=m x mx m(1)20例2、已知关于x的一元二次方程2m x mx m+++-=有两个不等实根，且这两根又不互为相反数，(1)230求m的取值范围。
例3、已知关于x的方程22--+=x m x m4(2)40（1）若方程有两个相等实根，求m的值，并求出方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实根的平方和等于224？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由。
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1．会用判别式判断一元二次方程的根的情况或根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围； 2．会利用根与系数的关系，由方程的一个根求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值，以及求关于方程的两根的代数式的值．3．会建立一元二次方程解应用题；【教学重难点】根与系数的关系的运用考点1：判断一元二次方程的根的情况知识点与方法技巧梳理：一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可由24b ac -来判定，24b ac-叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，用希腊字母“∆”表示，24b ac ∆=-．①当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根（若a ，c 异号，则必有∆＞0）； ②当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；③当24b ac -＜0时，方程没有实数根．注意：在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般形式． 【例】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）(1)(3)5x x x -+=- （2）01)2(2=++--x k x （k 为常数）【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）(1)(3)5x x x -+=-（2）0)21(4)12(2=-++-k x k x （k 为常数）考点2：根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围知识点与方法技巧梳理：①如果方程有两个不相等的实数根，则∆＝24b ac -＞0；②如果方程有两个相等的实数根，则∆＝24b ac -＝0；③如果方程没有实数根，则∆＝24b ac -＜0．【例】1、已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实根，求k 的取值范围．【变式2】若关于x 的方程()2421x m x m -+=-有两个相等的实数根，求m 的值和这个方程的根．【例】2、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且关于x 的方程)0(02)()(22>=--++n ax n n x b n x c 有两个相等的实数根，求证：△ABC 是直角三角形．【变式】已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例】3、已知关于x 的一元二次方程098)6(2=+--x x a 有实数根． （1）求a 的最大整数值； （2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求118732222+---x x x x 的值．【变式】已知关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x -+-+=有实数根． （1）求m 的最大整数值；（2）当m 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求22365342x x x x -+++的值．【例】4、若等腰△ABC 的一边长a ＝6，另两边长b 、c 是关于x 的方程2(32)60x k x k +--=的两个根，求△ABC 的周长．【变式】已知等腰△ABC 的一边长c ＝3，另两边长a 、b 恰是关于x 的方程2(21)420x k x k -++-=的两个根，求△ABC 的周长．考点3：已知方程的一个根，求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值知识点与方法技巧梳理：一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么，x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca，这就是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系．注意：在使用根与系数的关系之前，应将一元二次方程化成一般形式．【例】已知2-240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．【变式1】已知1是方程250x bx ++=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．【变式2】已知1是方程22(1)330m x x m m +-+--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．考点4：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值知识点与方法技巧梳理：把待求的代数式整理成含有x 1＋x 2及x 1x 2的式子【例】1、已知1x ，2x 是方程051022=--x x 的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +【变式】已知1x ，2x 是方程2520x x ++=的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）12(2)(2)x x -- （2）21x x - （3考点5：给出两个方程的未知数不同，但结构相同，求代数式的值知识点与方法技巧梳理：两个方程的未知数不同，但结构相同，那么这两个未知数是同一个方程的两个根，由根与系数的关系可求代数式的值【例】1、如果实数a b ≠，且满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值．【变式】如果实数a b ≠，且满足21314a a -=，21314b b -=，求b aa b+的值．【过关检测】1．关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．2 3．已知方程01222=+-+k kx x 的两实根的平方和为429，则k 的值为（ ） A ．3 B ．－11 C ．3或－11 D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)10a x a x ---+=只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝25．某地区2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=6．若一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个相等的实根数，则k 的值是__________． 7．若方程2610kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是______________． 8．当k ＝__________时，方程0)1(2=+++k x k x 的两根互为相反数． 9．关于x 的一元二次方程20x m -=的一个根为9，则另一个根为__________．10．已知2+240x x m -+=的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________．11．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．11．以x 1，x 2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是：2x -__________x +__________0=13．将一块长比宽多10cm 的矩形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个容积为800cm 3的无盖的盒子，则原铁皮的长为__________cm ，宽为__________cm ．14．长为13米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，如果梯子顶端沿墙面下滑，且下滑的距离与底端滑动的距离相等，则梯子顶端下滑了__________米．15．已知m ，n 是方程x 2+2x －5=0的两个实数根，则m 2－mn +3m +n 的值为__________． 16．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）01)2(2=++--x k x （2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）17．已知1x ，2x 是方程2260x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +18．如果实数a b ≠，且满足2231a a +=，2231b b +=，求b a a b +【家庭作业】1．关于x 的一元二次方程2232x x m -+-＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程2(2)426m x mx m --+-＝0有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．23．已知方程2221x kx k +-+＝0的两实根的平方和为294，则k 的值为（ ）A ．3B ．－11C ．3或－11D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)1a x a x ---+＝0只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝2 5．已知224x x m -+＝0的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________． 6．不解方程，判断下列方程根的情况： （1）01)2(2=++--x k x（2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）7．解下列方程：（1）2(21)60x x --=（2）2(21)10kx k x k -+++=。
一元二次方程判别式以及根与系数关系
一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac .注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，切勿丢掉等号．②当b 2－4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2＋c ＝0(a ≠0)．（3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．【例2】已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？2．一元二次方程的根与系数的关系（1）如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．（2）利用根与系数的关系确定一元二次方程若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根． 注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．总结：已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．（3）利用一元二次方程根与系数的关系求关于两根x 1，x 2的代数式的值已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例7】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.（4）已知含未知常数m 的一元二次方程两根关系式，求未知常数m 。
第10课一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(初三复习课教案)
第10课一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系（教学案）启东市长江中学九年级数学组执教者:黄美娟复习目标:1•掌握用判别式判断一元二次方程的根的情况和用判别式确定方程中字母 系数的取值范围，会灵活运用判别式解决有关问题。
2•理解一元二次方程的根与系数的关系式，会用它解决有关简单问题。
复习重点：掌握根的判别式及根与系数关系.灵活运用配方法、因式分解法等数 学方法和降次、化归、方程、分类讨论的数学思想解决问题。
复习难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问 题应具备的条件，特别是不忽略隐含条件并注意对待定系数的检验。
—、预习交流复习书本P34-37, P40-41内容，完成【知识整理】和【基础扫描】 （一）、【知识整理】（二）、【基础扫描】1. （2011*福州）一元二次方程x （x-2） =0根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C •只有一个实数根 D.没有实数根 2. （2011・威海）关于x 的一元二次方程x?+ （m-2） x+m+l=0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A.OB.8 CA±y{2 D.0 或 8 3・（2010-荆门市）若关于x 的方程a X 2+2X +1= 0有两个不等实数根，则实数a的取值范围 ________—元二次方程 ax - +bx+c=0(aH0)J4.（2010-眉山）已知方程x2 -5x+2=O的两个解分别为x |、x 2，Wljx1 + x2-x1・x2的值为（）A.-7B.-3C.7D.35.（2011-常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则m= _________ ,另一个根是—6•已知£ , x?是一元二次方程X2-2X-1=0的两根，则x「+X2：= ________ , Xj +2 X2= __7.（2011-南充市）已知关于x的一元二次方程x:+2x+k+1= 0的实数解是X］和 X?.（1）求k的取值范围；（2）如果X1+X2-X1X2 且k为整数，求k的值.8.（2010*中山）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0.（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为xi, X2,且xi+3X2=3,求m的值.二、展示交流 1例1. （1） m为任意实数时，关于x的方程-x2-（m + \）x+m2 + 2m + 2 = 0 的根的情况是___________ 2（2） a,b,c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx + （a + b） = 0的根的情况是___________例2：已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+x+l=0有实数根，则m的取值范围_______ °变式1：已知关于x的方程（m・l）x2+x+l=0有两个不相等实数根，则m的取值范围________变式2：已知关于x的方程（m-1） x2+x+l=0有两个实数根，则m的取值范围例3 (2010＞芜湖)已知A), x2是方程X2+3X +\= 0的两个实数根，求下列式子的值(l)(x ] - 2)(x 2 - 2) (2)x「+ Sx2 + 20例4已知关于x的一元二次方程x?+ (2m-1) x+m2 =0有两个实数根X】和x?・(1)求实数m的取值范围；(2)当(Xi + x?) • (Xj- x2) =0 时，求 m 的值.三、课堂小结1 •本课我们复习了哪些知识点？2 •解题时注意哪些问题？四、当堂检测1.（2011-潍坊）关于x的方程x2+2kx+k-l=O的根的情况描述正确的是（）A、k为任何实数，方程都没有实数根B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数抿C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D、根据k的取值不同，方程根的悄况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2.（2010*自贡）关于x的一元二次方程-X，+ （2m+l） x+l-m2=0无实数根,则m的取值范围是_________3.（2011-德州）若” X，是方程x2+x-l=0的两个根，贝9立+生二____________ ,Xi X.4•已知方程X2-2X+C=0的一个根是3,则方程的另一个根__________ c的值5•已知x,, X2是关于X的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且 x「x22- x r x2=115.求 k 的值。
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课南洋初级中学/吕湘霞教学目标：1、 巩固一元二次方程根的判别式、根与系数的关系2、 灵活运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行解题 教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用教学过程：第一部分：一元二次方程根的判别式一、复习一元二次方程根的判别式（学生口述，老师板书）根的判别式：△=24b ac -（分三种情况）⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 二、一元二次方程根的判别式的应用（一） 已知一个方程，判别方程根的情况题1：不解方程判别下列方程有没有实数根或有几个怎样的实数根？ 1、232(21)x x =- 2、271x +=3、2234x x +=小结：对于一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）当a 、c 异号时，△一定大于零（二）方程中含有字母系数，研究根的情况题2：求证：不论m 取何值时，关于x 的方程2(1)10x m x ---=一定有两个不相等的实数根。
小结：证明题的一般步骤：（1） 计算24b ac -（2） 对24b ac -进行适当的变形，常用的变形方式主要是配方法（3） 说理，即说明△的符号（4） 得出所要求证的结论变式：已知方程2(1)10mx m x ---=问题1：m 为何值时，方程有两个实数根？问题2：m 为何值时，方程有实数根？问题3：m 为何值时，该方程的两个实数根的平方和为3？小结：此类方程中，二次项的系数含有字母因而要注意在求解过程中需同时满足⎧⎨∆⎩二次项系数不等于零的取值范围 三、小结第二部分：韦达定理（说明：由第一部分题2变式的问题3引出根与系数的关系，由于涉及到分式方程，因而只要求学生列出式子即可，不作具体的解答要求）一、 复习根与系数的关系如果方程()002≠=++a c bx ax 的两个根是1x ，2x ，那么 a b x x -=+21 ac x x =⋅21 二、 韦达定理的运用（一）已知一个方程，利用根与系数的关系解决相关问题题3：已知方程22450x x --=的两个根是1x 和2x ，求（1）2212x x + （2）2112x x x x + （3）3312x x + （4）12x x -（二）给出两根的相关条件，求作新方程题4：利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是题3中方程的两个根的（1）2倍 （2）平方三、小结第三部分：根的判别式与韦达定理的综合运用 题5：已知关于x 的方程2(2)310k x x --+=问题1：k 为何值时，方程有两个实数根？ 问题2：k 为何值时，方程两根异号？问题3：k 为何值时，方程的两根同为正号？ 题6：已知2210x x m -+-=，当21225x x +=时，求m 的值 题7：已知m 、n 是方程2199810x x ++=的两个根，求22(19961)(20001)m m n n ++++的值第四部分：课堂小结。
【新课标】中考专题强化复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》
第一轮复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》（第11课时）【课标要求】1、根的判别式及应用(△=b 2-4ac)： (1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—b a，x 1·x 2=c a。
(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(x 1，x 2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x 1+x 2，•两根之积x 1x 2的代数式的形式，整体代入。
【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典型例题】【例1】当k 为何值时，方程2610x x k -+-=， （1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.【例2】（08武汉）下列命题：① 若0a b c ++=，则240b a c -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b a c ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例3 （06泉州）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【课堂检测】1．（07巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ .4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 【课后作业】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_____，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
一元二次方程判别式及根与系数的关系讲义
的值.
分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這裡主要說明解題格式，學生完成過程. （2）已知關於x的方程3x2-mx-2=0的兩根為x1 ，x2，且
1 x1 1 x2 3 ，求 ①m的值；②求x1 +x2 的值.
2 2
分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已 知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪 一個問題，所要用到的都是根與係數的關係. 小結 ： 1.求方程兩根所組成的代數式的值 ， 關鍵在於把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.
(4)有兩個實根. 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9
9 8 9 8 9 8
（1）當△=8m+9=0，即m= （2）當△=8m+9＞0，即m＞-
時，方程有兩個相等的實根； 時，方程有兩個不等的實根；
（3）當△=8m+9＜0，即m＜ - 時，方程沒有實根. 三、典型問題二：不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值 例2、 （1）已知關於x的方程3x2+6x-2=0的兩根為x1 ，x2，求
若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由． 解：設方程的兩實根為 x1，x2 ， 則： x1 x2 2( m 2) ， x1 x2 m 2 ． 令 x1 x2 56 得： ( x1 x2 ) 2 x1 x2 4( m 2) 2 m 56 ．
2 2 2 2 2
即 m 2 8m 20 0 ．
m 10 或 m 2 ．
2 2 2 當 m 10 時， [2(10 2)] 4 10 16 400 0 ，
HS复习方程根的意义、根的判别式、根与系数关系
复习课:方程根的意义、根的判别式、根与系数关系一、复习知识点：1.根据方程的根的意义，如果x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则有ax 02+bx 0+c =0.特别的，当x 0=1时,有a +b +c =0；当x 0=-1时，有a -b +c =0；当x 0=-2时，有4a -2b +c =0；……2.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),根的判别式：△=b 2-4ac当b 2-4ac >0时 ⇔方程有两个不等实数根b 2-4ac =0时 ⇔方程有两个相等实数根b 2-4ac <0时⇔方程没有实数根3．一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),在△≥0的前提下,两实根与系数关系公式: x 1+x 2 = - a b ； x 1·x 2 = ac （思考：根与系数关系公式可解决哪些与方程有关的问题？）二、练习巩固：1.已知m 是方程x 2-x -2=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于( )2.关于x 的一元二次方程（a -1）x 2+x +a 2-1=0的一个根是0，则a 的值为( )A . 1B . -1C . 1或-1D . 21 3.关于的x 一元二次方程x 2-2x -a 2=0的根的情况是（ ）A .有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C .没有实数根D .无法确定4.若关于x 的方程x 2+2x +k =0 有实数根,则( )A .k ＜1B .k ≤1C . k ≤-1D .k ≥-15.已知关于x 的方程x 2-(2k -1)x +k 2=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是（ ）.A .-2B .-1C .0D .16.关于x 的一元二次方程（2a -1）x 2+(a +1)x +1=0的两个根相等，那么a 等于（ ）. A . 1或5 B .-1或5 C .1或-5 D .-1或-57. 若x 1、x 2是一元二次方程3x 2-5x -7=0的两个根，则下列各式中正确的是（ ）.A . x 1+x 2=5, x 1·x 2=7B . x 1+x 2=-5, x 1·x 2=-7C . x 1+x 2=35, x 1·x 2=-37D . x 1+x 2= - 35, x 1·x 2=-37 8．下列说法：①当4a -2b +c =0时，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0必有一根为x =-2②当(a +c )2≤b 2时，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0必有实数根③当a 取任何实数时，关于x 的方程ax 2-(2a -1)x +a -3=0，总有两个不相等的实数根④若关于x 的方程ax 2-(2a -1)x +a =0有实数根，则a ≥-41且a ≠0，其中正确的个数是（ ）. A . 1 B . 2 C . 3 D . 49.若0，-3是方程x 2-px +q =0的两个根,则p +q = .(两种方法)10.当m = 时,方程2x 2-(m 2-4)x +m =0的两根互为相反数.11. 一元二次方程x 2-4x -c =0的一个根是2+3，则另一个根是 ，c = .12.已知方程x 2+5x +k =0的两根之差为3，求k .13.已知关于x 的方程（a 2-1）x 2-(a +1)x +1=0的两实数根互为倒数，求a .14.若方程x 2-x +m =0 与x 2+x +3m =0有一个根相同，求m .15. 若关于的方程（1-2a ）x 2-2 1+a x -1=0有两个不相等的实数根，求a 取值范围.16.已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2-2m -3=0的两个不相等的实数根中，有一个根是0， 试求m 的值.17.如果关于x 的一元二次方程a (1+x 2)+2bx =c (1- x 2)有两个相等的实数根，试判定以a 、b 、c 为边长的三角形是何形状？18.已知关于x 的一元二次方程x 2-(m +2)x +2m -1=0(1)求证:方程有两个不相等的实数根.(2)设方程的两根分别为x 1、x 2，且满足x 1+x 2 = x 1·x 2，求k 的值.19. 已知方程x 2－4x ＋2－k 2 = 0且k ≠0, 不解方程, 证明：①方程有两个不相等的实数根; ②一个根大于1, 另一个根小于1.20．已知关于x 的方程23(31)0x k x k -++=的两根是一个直角三角形的两条边，该直角三角形的斜边长为12，求此三角形的面积.思考题:21.已知m 、n 是一元二次方程x 2-3x +1=0的两根,求代数式2m 2+4n 2-6n +1999的值22．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且关于x 的方程2220ax cx b ++=有两个实数根.（1）若∠C =90°，方程有两个相等的实数根，求a ：b ：c 的值；（2）若∠A =∠B ，方程两根为x 1、x 2，且121x x -=，求∠C 的度数.23.已知关于的一元二次方程（3-k ）(2-k )x 2-(24-9k )x +18=0的两根均为整数时,求所有满足条件的实数k 的值。
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一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课
教学目标
(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；
(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.
教学重点和难点
重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.
难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.
教学设计过程
(一)复习
1.已知一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示)
(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.
(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.
反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0；没有实数根时，△＜0)
2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=?
(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?
3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.
(二)新课
例1 P为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0
(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根.
分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根的性质，可使解题过程简单些.
解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.
由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.
例2 若α，β是方程x2+x-1=0的两根，
求证：(1)α2=β+2,β2=α+2;
分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.
证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得
α2+α-1=0, ①
β2+β-1=0. ②
由根与系数关系，得
α+β=-1, ③
αβ=-1. ④
由③，得α=-β-1, ⑤
⑤式平方，得α2=β2+2β+1. ⑥
由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2.
由③β=-α-1, ⑦
⑦式平方，得β2=α2+2α+1, ⑧
由⑧β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α+2,所以β2=α+2;
例3 m取什么值时，方程.
(1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.
解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).
令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1. ①
又由m可知，必须m≥0 ②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根；
注意此问的解答中，容易忽略条件②.
(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零；
(3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号；
(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10, x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0,
即
但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0,
即△=4(-m+1)≥0. ③
由①，②，③，得不等式组
答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根.
注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如
取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2 -4x+7=0没有实根，也就没有正根了.
(三)课堂练习
α取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是正根.
(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零.
由(1)，列出条件组
(四)小结
1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例3第(4)问中的条件△≥0.
2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第(1)中隐含的条件m≥0.
(五)作业
1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.
2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.
3.已知u=16x2+12x+39,υ=9x2-2x+11,求：对于二次式u+kυ是一个完全平方式的常数k 的值.
4.c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2-3x+c=0 的根.
5.k是什么值时，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.
作业的答案或提示
2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是
4.设a是x2-3x+c=0的一个根，且是方程x2+3x-c=0的根，则有
③-④得2c=0,所以c=0,代入x2-3x+c=0,得x2-3x=0，解此方程得x1=0,x2=3.
5.因为方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即k2-1≠0得k≠±1 ①,又因为两实根不相等，△＞0.即［-6(3k-1)］2-4×72(k2-1)＞0,得k≠3.②
要使x1,x2都是整数，必须k+1能整除12，且k-1能整除6.
由k+1能整除12，k+1可为1,2,3,4,6,12即k可为0,1,2,3,5,11. ③
由k-1能整除6，k-1可为1,2,3,6即k可为2,3,4,7. ④
由③，④的共同解为k=2,k=3,但由②知k≠3,所以只能取k=2.
答：k=2时，原方程有两个不相等的正整数根.
注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.
像“两个”，限定了k≠±1，像“不相等”，限定了△＞0，即k≠3，像“正整数”
，限定了k+1可为1,2,3,4,6,12且k-1可为1,2,3,6.
课堂教学设计说明
1.在复习旧知识时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重提醒学生记住.
2.例1不仅用到根的判别式性质，还用到方程根的概念.例2不仅用到根与系关系，还用到了方程根的概念.这两个例题中的“方程的根”这个条件容易被忽略.
3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往容易忽略某些条件.例3就是要说明这一点，尤其是例3的第(4)问.。