9--数学认知结构

数学认知结构认知心理学家认为，不是环境引起个体的行为反应，而是个体作用于环境。

环境只是提供潜在的刺激，而这些刺激能否受到注意或被加工，则取决于个体内部的心理结构。

因此原有认知结构始终是影响当前学习的最重要因素。

关于什么是认知结构这个问题，通常有以下几种观点：皮亚杰认为，认知结构就是被内化的动作。

它最初来源于先天的遗传。

如婴儿生下来就有吸吮图式。

奥苏伯尔认为所谓认知结构，就是学生头脑里的知识结构。

广义地说，它是某一学习者的观念的全部内容和组织；狭义地说，它是学习者在某一特殊知识领域内的观念的内容和组织。

从现代信息加工心理学的广义知识观来看，所谓认知结构就是贮存于个人长时记忆系统内的陈述性知识和程序性知识（包括自动化技能和受意识控制的策略）的实质性内容和它们彼此之间的联系。

著名的瑞士心理学家、哲学家与教育家皮亚杰进一步发展了“认知主义”，通过对儿童从出生到成人的发展过程的观察，记录其智力发展的特征，从儿童的内在过程来分析儿童的行为，并提出其认知结构的假设模型。

在 50 年代提出了“建构主义”，到 70 年代末“建构主义”思想得到重视并有了迅猛发展。

认知建构主义自 1987 年正式出现于国际数学教育会议以来，它在国际数学教育界受到了广泛的重视，并被大多数数学教育者所接受。

认知建构观对今天数学教育改革有着重要的影响，尤其是把握数学认知结构及其形成与发展的规律，对于数学教育的理论与实践都有重要价值。

一、数学认知结构的概念学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中小学生在老师的指导下把课程教材知识结构转化成自己的数学认知结构。

“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，在学生头脑中形成的一个具有内部规律的整体结构”。

简单地讲，数学认知结构就是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识、相关的数学活动经验，和这些数学知识、经验在头脑里的组织方式与特征。

如有关分数的意义及四则运算的认知结构，一方面要反映分数的概念和性质、分数四则运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式。

建构主义认为，数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程；数学学习的实质在于主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。

“建构”同时是建立和构造关于新知识认识结构的过程。

“建立”一般是指从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或者重组。

主体对新知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。

学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的。

数学学习是一个复杂的心理过程，它包括了认知过程和个性心理特征在内的心理活动。

在这一特殊的心理过程中，表现出两类心理因素：一类是与认知过程直接有关的智力因素；另一类是与认知过程的起动、维持、调节有关的非智力因素。

智力因素直接起着加工与处理信息的作用，非智力因素却能起到推动信息的加工和处理，加快新知识和原数学认知结构相互关联的作用。

因此，在一个完整的认知结构里，应该有智力因素和非智力因素，不兼顾这两者的关系，就不能深入地探索认知结构的整体性，也谈不上建立和完善学生的认知结构。

二、数学认知结构与数学知识结构的区别、联系数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。

两者的联系：主要反映为学生的数学认知结构是由数学科学中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据。

两者的区别主要表现在以下几个方面：l ．概念的内涵不同。

数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。

而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。

2 ．信息的表达方式不同。

数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。

数学科学中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。

它表现为一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。

在这个体系内部知识的逻辑起点和知识表达形式以及前后内容之门的联系。

在其载体——数学书中都有明确而具体的表述。

而学生头脑里的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。

这种表达方式表明，“认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体”了。

3 ．结构的构造方式不同。

数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为小学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容前后内容连贯有序，整个结构相对完善。

而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。

数学知识结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不像数学教材知识结构那样清晰可辨。

4 ．结构的完备性不同。

①数学知识结构在内容上都是相对系统的、完备的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。

如“分数的意义和性质”一知识结构，其内容就包括了分数的意义和单位，分数与除法的关系、分数的分类、假分数与带分数和整数的互化、分数的基本性质及约分和通分等，这些内容构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构。

②而数学认知结构，由于学习者本身在接收、理解上的失误和学习后的遗忘等原因，在内容上常常是有缺口的，不完备的。

如“分数的意义和性质”一知识结构转化成学生的数学认知结构以后，他们并不一定对每一内容都非常清晰，某些内容可能是模糊的，甚至是被完全遗忘了的。

因而，对学习主体来说它可能是一个内容不完备的数学知识结构。

由此表明，学生的数学认知结构的形成尽然与数学知识结构关系十分密切，但是，由于受学生原有背景、智能水平、教师教学、课程教材编排、呈现方式等诸多因素的影响，在其内容上经常有可能出现某些缺口。

5 ．内容的科学性不同。

数学知识结构中的内容都是经过严格逻辑论证和实践检验，能正确反映客观世界数量关系和空间形式普遍规律的科学真理，通常不存在什么错误。

而数学认知结构中的内容，由于是数学知识结构与学生心理结构相结合的产物，是经过学生主观改造过的数学知识结构，所以它并不一定都是科学的。

其内容可能是正确的，也可能是错误的，更可能是部分正确部分错误的。

很明显，学生头脑里掌握的数学知识，其内容的科学性是有待检验的。

我们不能把学生数学认知结构内容的科学性程度简单地伺数学教材知识结构内容的科学性程度等同起来，从而掩盖学生在学习过程中可能产生的某些错误认识。

三、数学认知结构的主要变量奥苏伯尔有句名言，“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的唯一因素是学习者已经知道了什么”。

并且指出，要“根据学生原有知识结构进行教学”。

学生已有的知识是他下一步学习的基础，奥苏伯尔提出原有认知结构对新知识学习发生重要影响的变量主要有三个：即“可利用性”、“可辨别性”、“稳定性”。

所谓认知结构变量，是指学习者在某一特定教材领域内的现有知识的实质特征和组织特征。

数学认知结构变量就是指学生头脑里的数学知识在内容和组织方面的特征。

根据奥苏伯尔的研究，学生原有认知结构对新的数学知识学习有重大影响的变量主要是以下三个方面。

（一）原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性。

这是对数学学习影响特别大的一个认知结构变量。

指的是在新的数学知识学习中，学生原有认知结构中是否有用来同化新知识的适当观念，是决定数学学习活动能不能顺利进行的关键因素。

这是因为学生构建新的数学认知结构总是以他们原有认和结构中的有关内容为基础的，如果他们原有认知结构里缺乏适当的观念作为新的学习的固定点，新内容输人头脑里之后就不会有相应的旧知识与之发生相互作用，没有新旧内容的相互作用就不可能有原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。

在学习异分数加减法的有关内容时，学生原有认知结构里如果没有分数的基本性质、通分和同分母分数加减法计算法则等观念起固定作用，他们就根本不可能形成有关异分母分数加减法的认知结构。

（二）新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性。

即，原有知识和新知识的异同点是否可以清晰地辨别。

国外研究认为，教学中强调概念之间的共同点和不同点是奥苏伯尔理论的一个重要观点。

在学习中，如果学生原有认知结构中的有关内容（特别是那些在新的学习中起固定作用的内容）是按照一定的结构严密地组织起来的，面对新的学习任务，他们不仅能迅速地在认知结构中找到学习新知识的固定点，同时还能清楚地辨别出新旧知识之间的联系和区别，由此顺利实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化。

反之，如果学生不能清晰地辨认新旧知识之间的联系和区别，那么在学习中小学生就难以建立起以新的数学知识为内容的数学认知结构。

如学习方程概念时，如果学生不清楚地辨认方程与等式的区别，他们就不能正确理解方程的意义，也就不能建立起方程的数学认知结构。

由此表明，新旧知识内容之间的可辨别性也是影响学生数学认知结构形成的一个重要变量。

（三）原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性，指已有知识的掌握程度，尤其是原有知识结构中“固定观念”的掌握程度。

在数学学习中，如果学生原有认知结构中的有关观念（主要是指那些与新知识有密切联系的旧知识）不稳定甚至模糊不清，那么这种认知结构就不仅不能为新的学习提供适当的关系和强有力的固定作用，而且还会影响新旧知识之间的可辨别性，进而影响新知识同原有认知结构之间的相互作用和数学认知结构的建立。

比如学习分数的基本性质时，如果学生对原来已学过的分数与除法的关系和除法中商不变性质等旧知识的认识是模糊不清的，那么他们就不能真正理解“分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外）分数的大小不变”的普遍规律。

很明显，只有学生原有认知结构中的相关内容既稳定又清晰，他们才能顺利实现原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。

认知结构的三个变量对新知识的学习和巩固起着重要作用。

由于它的重要性，奥苏伯尔强调如何操纵认知结构变量，更好地促进新知识的学习，从而形成良好的认知结构，是数学教学的首要目标。