辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=( )A. (0,+∞)B. [0,2)C. (0,2)D. [0,+∞)2. 设函数f(x)的定义域为(−1,3)，则函数g(x)=f(1+x)的定义域为( )ln(1−x)A. (−2,1)B. (−2,0)∪(0,1)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制，当一个人的基因型为AA 或Aa时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当x<0时，函数y=x+( )A. 有最大值−4B. 有最小值−4C. 有最大值4D. 有最小值45. 设a=log32，b=log64，c=log3e(2e)，则( )A. c<b<aB. a<b<cC. b<a<cD. a<c<b6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确的是( )A. B. 事件A与事件B相互独立C. P(AB)与P(C)和为54%D. 事件A与事件B互斥7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. B. C. D.8. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(注：函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)( )A. (−12,0) B. [−12,0] C. [0,12) D. (0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为2，中位数为3B. 平均数为1，方差大于0.5C. 平均数为2，众数为2D. 平均数为2，方差为310. 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则( )A.B. 元件1和元件2恰有一个能通的概率为C. 元件3和元件4都通的概率是0.81D. 电流能在M 与N 之间通过的概率为0.950411. 在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列等式中一定成立的是( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. S △ABC =3S △GBCD. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗12. 氡(Radon)又名氭，是一种化学元素，符号是Rn.氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是3.82天，经x 天衰变后变为原来的a′(a >0且a ≠1)，取0.8347.64=，则( )A. 经过7.64天以后，空元素会全部消失B. 经过15.28天以后，氡元素变为原来的C. a =0.834D. 经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的13. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001 231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设2a =5b =m ，且2a +1b =1，则m =______．15. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为______．16. 在△ABC 中，点F 为线段BC 上任一点(不含端点)，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则的最小值为______．17. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m b ⃗ 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18. 2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 30 3000 B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M 流量，资费20元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．小张过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下： 月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：(1)若小张选择A 套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率． (2)小张拟从A 或B 套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．19. 已知函数f(x)=log a x ，g(x)=log a (2x +m −2)，其中x ∈[1,3]，a >0且a ≠1，m ∈R ． (1)若m =5且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a 的值．(2)当0<a <1时，不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，求实数m 的取值范围．20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．21. 已知定义域为R 的函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数．(1)求y =f(x)的解析式；(2)若f (log 4x ⋅log 28x)+f(4−2a)>0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足；，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的平均值点．(1)函数y=2x2是否是[−1,1]上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)现有函数y=−22x+1+m⋅2x+1+1是[−1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合B={y|y=√2−x}={y|y≥0}，∴A∪B=[0,+∞)故选：D．求出集合A，集合B，再根据并集的定义，求出A∪B．本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)的定义域为(−1,3)，则对于函数g(x)=f(1+x)ln(1−x)，应有{−1<1+x<31−x>01−x≠1，求得−2<x<0或0<x<1，故函数g(x)的定义域为(−2,0)∪(0,1)，故选：B．由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论．本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是aa，所以孩子的基因型也一定为aa，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型aa，但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa，一个是aa，所以父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵x<0，∴−x>0，∴，当且仅当x=−2时等号成立，故选：A．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==，显然ln6−ln9<0，故a−b<0，a<b，排除A，C；b−c===，显然1−ln2>0，ln2−ln3<0，故b−c<0，得b<c，故a<b<c．故选：B．因为a，b，c都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，对于A，，故A正确；对于B，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确；对于C，由B可知，所以P(AB)，故C正确；对于D，事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．故选：ABC．分别求出P(A)，P(B)，进一步求出P(C)与P(AB)，判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理得，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=a ⃗ +b ⃗ ． 故选：A ．根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围． 【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如下图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1，故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故x3+1x3∈(2,52]．x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,12]，故选：D．9.【答案】AD【解析】解：对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，显然有d≥c≥b≥a≥3，而a+b+c+d≤14，则d的最大值为5，A符合条件；对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；对于D，设连续10天的数据为x i，i∈N∗，i≤10，因平均数为2，方差为3，则有11010i=1(x i−2)2=3，于是得(x i−2)2≤30，而x i∈N，i∈N∗，i≤10，因此x i≤7，i∈N∗，i≤10，D符合条件．故选：AD．根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，由题意，可得C21p(1−p)+p2=0.96，整理可得p2−2p+0.96=0，则(p−1.2)(p−0.8)=0，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，0.9×0.9=0.81，故C正确；对于D，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为C21×0.9×(1−0.9)+C22×0.92=0.99，则电流能在M与N之间通过的概率为0.96×0.99=0.9504，故D正确．故选：ACD．根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：A ，∵在△ABC 中，AD 是中线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 正确， B ，∵在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 正确，D 错误，C ，设△GBC 的高为ℎ，∵AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的高为3ℎ， ∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ，∴C 正确， 故选：ABC ．利用平面向量的线性运算，中线的性质判断ABD ，利用三角形的面积公式判断D ． 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为7.64=2×3.82天后，氡元素变为原来的，A 错误；经过3.82天以后剩下的氡元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 要使得氡元素变为原来的=()4，需要经过4×3.82=15.28天，B 正确； 因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，则f(3.82)=m ， 所以a 3.82=，因为0.8347.64=(0.8343.82)2=， 所以0.8343.82=， 所以a =0.834，C 正确． 故选：BC ．由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求． 本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况， 则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：∵2a=5b=m>0，∴a=lgmlg2，b=lgmlg5，∵2 a +1b=1，∴2lg2 lgm +lg5lgm=1，∴lgm=lg20，则m=20．故答案为：20．把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12．所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=1−12=12．同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=1−13=23．所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=12×23=13．于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1−P3=23．故答案为：23．先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点F 为线段BC 上任一点(不含端点)， 若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则x +2y =1， =()(x +2y)=5+=9，当且仅当x =y 且x +2y =1，即x =y =时取等号． 故答案为：9．由已知结合向量共线定理可得x +2y =1，然后结合乘1法及基本不等式即可求解． 本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ −2b ⃗ =(−3,−2)， 又k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线， ∴−2(k +2)−1×(−3)=0， 解得；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ =(7,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m ⋅b ⃗ =(1−2m,−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴−7m −3(1−2m)=0， 解得m =−3．【解析】(1)由已知求得k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； (2)由已知求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解． 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，依题意，当2000≤x ≤3000时，y =30； 当3000<x ≤5000时，y =50； 所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)设y A 表示A 套餐的月平均消费，设y B 表示B 套餐的月平均消费， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6， ∴y A >y B ， 故选套餐B ．【解析】(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)分别求出订购A 套餐和订购B 套餐的月平均费用，比较大小后得答案． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：(1)当m =5时，g(x)=log a (2x +3)，所以F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a (2x +3)=1og a (2x 2+3x)，x ∈[1,3]，当a >1时，F(x)在定义城内单调递增，F(x)max =F(3)=1og a 27=2，解得a =3√3， 当0<a <1时，F(x)在定义域内单调递减，F(x)max =F(1)=1og a 5=2，解得a =√5，不符合题意，舍去，综上，实数a 的值为3√3；(2)要使g(x)在x ∈[1,3]上有意义，则2x +m −2>0，解得m >0，由f(x)<2g(x)，即1og a x <log a (2x +m −2)2，因为0<a <1，所以x >(2x +m −2)2， 即√x >2x +m −2，得m <−2x +√x +2，令t =√x ，t ∈[1,√3]，记ℎ(t)=−2t 2+t +2， 对称轴为t =14，ℎ(t)max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178， 若不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，则m <−2x +√x +2在x ∈[1,3]有解 即m <ℎ(t)max 在x ∈[1,3]有解，即m <178． 综上所述，实数m 的取值薇围为(0,178). 【解析】(1)将m =5代入函数得出F(x)解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论a >1和0<a <1即可；(2)由对数函数性质可得m >0，再由对数单调性可符m <−2x +√x +2，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m 的取值范围． 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)设第四盘棋甲赢为事件A ，第四盘棋甲赢分两种情况：①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则P =×=， ②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则P =×=， 则P(A)=+=．(2)设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件B ，分三种情况： ①若甲赢第三盘，则概率为××(1−)=，②若甲赢第四盘，则概率为××(1−)=， ③若甲赢第五盘，则概率为(1−)×=， 则P(B)=++=．【解析】(1)第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可． (2)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数， 所以f(−x)=−f(x)，即n−3−x 3+3−x+1=−n−3x 3+3x+1，所以n⋅3x −13x+1+3=−n−3x 3+3x+1，所以n ⋅3x −1=−n +3x ， 可得n =1， 所以函数f(x)=1−3x 3+3x+1． (2)由(1)知f(x)=1−3x 3+3x+1=−13⋅3x −13x+1=−13+23(3x+1)， 易得f(x)在R 上单调递减，由f(log 4x ⋅log 28x )+f(4−2a)>0，得f(log 4x ⋅log 28x )>−f(4−2a)，因为函数f(x)是奇函数，所以f(log 4x ⋅log 28x )>f(2a −4)， 所以log 4x ⋅log 28x<2a −4，整理得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a −4，设t =log 2x ，t ∈R ， 则12(3t −t 2)<2a −4， 当t =32时，y =12(3t −t 2)有最大值，最大值为98，所以2a −4>98，解得a>4116，即实数a的取值范围是(4116,+∞)．【解析】(1)由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，从而可求得n值，即可求得f(x)的解析式；(2)由复合函数的单调性判断f(x)在R上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为1 2log2x⋅(3−log2x)<2a−4，令t=log2x，利用二次函数的性质求得12(3t−t2)的最大值，即可求得a的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)若f(x)=2x2，x∈[−1,1]，因为=0，令2x2=0，解得x=0∈(−1,1)，故y=2x2是[−1,1]上的“平均值函数”，且平均值点为0；(2)由题意知=，假设x0是平均值点，则f(x0)=，整理得2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，显然该函数是增函数，则要使结论成立，只需g(t)=2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，即g(t)在(1,4)上有零点即可，g(t)=2t2−4mt+6m−19，Δ=(−4m)2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0，①若g(t)在(1,4)上只有一个零点时，只需g(1)g(4)<0，解得或m<；②若g(t)在(1,4)上有两个不同零点时，只需⇒，解集为⌀；综上可知或，故m的取值范围是()∪(，+∞)．【解析】(1)直接求出，令k=f(x)，判断该方程在(−1,1)上是否有解即可；(2)由题设，设x0是平均值点，则2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，则只需让2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M ∪N）等于（）A．{1，2，3}B．{2，6}C．{1，6}D．{5，6}2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）．则+＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）3．（5分）函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（）A．B．C．2D．24．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为（）（结果精确到0.1）A．170.0B．165.0C．167.5D．167.95．（5分）计算（lg2）2+lg20×lg5的结果是（）A．1B．2C．lg2D．lg56．（5分）下列图象中，x为自变量，y为函数的选项是（）A．B．C．D．7．（5分）对于任意实数x、y，则“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2，a，b∈R，且f（﹣1）＝0，则f（1）＝（）A．﹣2B．2C．4D．﹣49．（5分）若a＝（）﹣2，b＝log2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 10．（5分）设函数y＝log3x与y＝3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）点M是△ABC的边BC的中点，N在线段AM上，且＝x+y（x，y∈R），若x+y＝，则△NBC的面积与△ABC面积的比值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上，13．（5分）已知||＝3，||＝4，求|﹣|的取值范围．14．（5分）设p：∀x∈R，x2+x+a≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）函数f（x）＝2+的单调递减区间是．16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为，80%分位数是．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，集合B＝{x|a＜x＜a2﹣2，a∈R}．（1）求∁R A；（2）若A⫋B，求a的取值范围．18．已知＝（1，2），＝（﹣3，2）．（1）求证：，不共线；（2）若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），求实数m，n的值：（3）若k+与﹣2平行，求实数k的值．19．设函数f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0，且a≠1），f（1）＝3．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．21．已知二次函数f（x）＝x2+mx（m为整数）且关于x的方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根．（1）求m的值；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，求实数a的取值范围．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n年（n∈N*）花在该台运输车上的维护费用总计为（n2+5n）万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M ∪N）等于（）A．{1，2，3}B．{2，6}C．{1，6}D．{5，6}【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，∴M∪N＝{1，2，3，4}，∴∁U（M∪N）＝{5，6}．故选：D．2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）．则+＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【解答】解：向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）；则+＝（﹣2，﹣1）．故选：A．3．（5分）函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（）A．B．C．2D．2【解答】解：∵函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上单调递增，∴函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是f（2）＝2，故选：C．4．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为（）（结果精确到0.1）A．170.0B．165.0C．167.5D．167.9【解答】解：≈167.9，于是可估计该校学生的身高平均数为167.9，故选：D．5．（5分）计算（lg2）2+lg20×lg5的结果是（）A．1B．2C．lg2D．lg5【解答】解：因为（lg2）2+lg20×lg5＝（lg2）2+（1+lg2）•（1﹣lg2）＝1，故选：A．6．（5分）下列图象中，x为自变量，y为函数的选项是（）A．B．C．D．【解答】解：由一个自变量的值只能对应一个函数值，可知只有选项B符合题意，故选：B．7．（5分）对于任意实数x、y，则“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+y2＝0⇔x＝y＝0，x+y＝0⇔x＝﹣y．∴“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的不要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2，a，b∈R，且f（﹣1）＝0，则f（1）＝（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝﹣ax3﹣bx+2+ax3+bx+2＝4所以f（﹣1）+f（1）＝0+f（1）＝4，所以f（1）＝4．故选：C．9．（5分）若a＝（）﹣2，b＝log2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：a＝（）﹣2＝4，b＝log2＝﹣1，c＝2＝，∴a＞c＞b，故选：B．10．（5分）设函数y＝log3x与y＝3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵方程log3x＝﹣x+3的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）＝log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3＝0的解所在的区间是（2，3），即则x0所在的区间是（2，3），故选：C．11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P＝＝．故选：A．12．（5分）点M是△ABC的边BC的中点，N在线段AM上，且＝x+y（x，y∈R），若x+y＝，则△NBC的面积与△ABC面积的比值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设，∴，∴，且，∴，解得，∴N为AM的中点，∴，∴△NBC的面积与△ABC面积的比值是．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上，13．（5分）已知||＝3，||＝4，求|﹣|的取值范围[1，7]．【解答】解：由向量的模的不等式可得，|||﹣|||≤|﹣|≤||+||，即有1≤|﹣|≤7，当，反向共线时，取得最大值7，当，同向共线时，取得最小值1．即有所求取值范围是[1，7]．故答案为：[1，7]．14．（5分）设p：∀x∈R，x2+x+a≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：若p：∀x∈R，x2+x+a≥0，是真命题，则△＝1﹣4a≤0，解得a≥；故a的取值范围是：a≥；故答案为：[，+∞）．15．（5分）函数f（x）＝2+的单调递减区间是（﹣），（﹣）．【解答】解：∵f（x）＝2+＝2+可由y＝的图象向左平移个单位，向上平移2个单位，结合反比例函数的性质可得，f（x）的单调递减区间（﹣），（﹣）．故答案为：（﹣），（﹣）16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为7，80%分位数是8.5．【解答】解：由题意知，数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是10﹣3＝7；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是＝8.5．故答案为：7，8.5．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，集合B＝{x|a＜x＜a2﹣2，a∈R}．（1）求∁R A；（2）若A⫋B，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|1＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤1或x≥5}；（2）∵A⫋B，∴，解得，∴a的取值范围为．18．已知＝（1，2），＝（﹣3，2）．（1）求证：，不共线；（2）若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），求实数m，n的值：（3）若k+与﹣2平行，求实数k的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，＝（1，2），＝（﹣3，2），有1×2≠2×（﹣3），故，不共线；（2）根据题意，若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），且，不共线；则有，解可得；（3）根据题意，若k+与﹣2平行，设（k+）＝t（﹣2），即k+＝t﹣2t，则有，则k＝﹣；故k＝﹣．19．设函数f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0，且a≠1），f（1）＝3．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．【解答】解：（1）因为f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x）＝，由题意f（1）＝log a8＝3，故a＝2，由可得﹣3＜x＜3，故函数的定义域（﹣3，3）；（2）因为f（﹣x）＝log a（9﹣x2）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，（3）∵1≤x≤2，所以5≤9﹣x2≤8，当a＝2时，log25≤log a x≤log28＝3，函数的值域[log25，3]．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．【解答】解：（1）由图可知，位于区间[130，150]的人数为1000×0.0030×20＝60，位于区间[110，130）的人数为1000×0.0045×20＝90，∴成绩大于110分的人数为60+90＝150，又前15%的学生人数为1000×15%＝150，∵小艾同学笔试得了112分＞110分，∴小艾有资格参加面试；（2）由图可知，这1000名学生笔试的平均成绩约为（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+140×0.0030）×20＝78.4；（3）由题意可得所求概率为．21．已知二次函数f（x）＝x2+mx（m为整数）且关于x的方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根．（1）求m的值；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2+mx，则f（x）﹣1＝0即x2+mx﹣1＝0，设g（x）＝x2+mx﹣1，若方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根，则g（x）在区间（﹣，3）上有两个零点，必有，解可得：﹣＜m＜﹣，又由m为整数，故m＝﹣2；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，即f（x）+1≥a在x∈[0，3]上恒成立，又由f（x）＝x2﹣2x，则有x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥a在x∈[0，3]上恒成立，又由y＝（x﹣1）2在[0，3]上的最小值为0，则有a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n年（n∈N*）花在该台运输车上的维护费用总计为（n2+5n）万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．【解答】解：（1）25n﹣49﹣（n2+5n）≥0，即n2﹣20n+49≤0，解得10﹣≤n≤10+，∴n≥3．∴该车运输3年开始盈利．（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，＝20﹣（n+）≤6．当且仅当n＝7时，取等号，∴方案①最后的利润为：25×7﹣49﹣（49+35）+17＝59（万）．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．y＝25n﹣49﹣（n2+5n）＝﹣n2+20n﹣49＝﹣（n﹣10）2+51，∴n＝10时，利润最大，∴方案②的利润为51+8＝59（万），两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算．。
沈阳高一期末数学试卷及答案
沈阳高一期末数学试卷及答案选择题(共40分)1.一组数据的方差是41，则这组数据的标准差为（） A. 41 B. 82 C. 8.1D.9.92.函数f(x) = x^2 + 2x - 8的对称轴是（） A. x = 1 B. x = 2 C. x = -1 D. x = -23.物体沿直线做直线运动，已知t=0时物体位于A点，与A点相距20m处有B点。
若v=4m/s，则由A点到B点所需时间为（） A. 5s B. 10s C. 15s D. 20s4.解释“解x+1=0”的几何意义是（） A. 点 B. 反比例 C. 水平线 D. 交点5.（3.88÷0.00385）× [（-1.3）+ (8.5÷2.5)]的值近似为（） A. -1 B. 1 C. -2 D. 26.已知△ABC中，AB=7cm，BC=24cm，m∠C=90°，则AC=（） A.17cm B. 25cm C. 8cm D. 14cm7.若a:b=3:4，b:c=4:5，则a:b:c=（） A. 3:4:5 B. 12:16:20 C. 3:4:5 D. 9:16:208.（-5）^4的值是（） A. -625 B. 625 C. -125 D. 1259.若y=kx^2+12x+3当x=1时，y=2，求k的值。
10.已知集合A={x|-2<x ≤ 3}，集合B={y|y<2}，则A∩B=（）解答题(共60分)11.计算4!+5!的值。
12.已知直线l经过点A(1，2)，斜率为3，求直线l的方程。
13.已知a-b=3，a2-b2=7，求a和b的值。
14.设函数f(x)=x3+2x2-5x-6，求f’(2)的值。
15.某公司有员工300人，其中男员工占总人数的1/3。
若女员工人数是男员工人数的4倍，则女员工的人数为多少？16.计算：∛64×√(125-5^2)。
17.某地中午12点气温为28℃，下午3点时气温上升了15%，求3点的气温是多少℃。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在下列选项中，能正确表示集合A={-2，0，2}和B={x|x2+2x=0}关系的是（）A. B. C. D.2.若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=，则f（log39）=（）A. 1B. 3C. 6D. 94.若x＞2，则的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 45.函数f（x）=2x+log2x-3的零点所在区间（）A. B. C. D.6.条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R；条件q：0＜a＜4，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（）A. B. C. D.8.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. ，，则B. ，，则C. ，，则D. ，，，则9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-x，则函数f（x）在R上的解析式是（）A. B.C. D.10.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.12.对任意实数a，b定义运算“⊗”：⊗设f（x）=（x2-1）⊗（4-x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.=______．14.已知函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，则f（4）=______．15.已知是定义在（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是______．16.若正四棱锥P-ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}，集合．（Ⅰ）求集合A，集合B；（Ⅱ）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩B．18.已知定义域为R的函数是奇函数，且a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数，若将函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k（x）的图象，再将函数k（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式．19.在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼-20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹．假设一台歼-20战斗机的制造费用为1250百万元．已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x表示飞机使用年限（取整数），则在x年中（含第x年）飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．（Ⅰ）求y关于x的函数关系式；（Ⅱ）求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，∠ABC=∠PCD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；21.已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b是实数），x∈R，若f（-1）=4，且方程f（x）+4x=0有两个相等的实根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间，＞上的最小值．22.已知函数f（x），对任意a，b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（Ⅰ）求f（0）；（Ⅱ）求证：f（x）在R上为增函数；（Ⅲ）若关于x的不等式＜对于任意∈，恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，B={-2，0}，又A={-2，0，2}，所以B A，故选：B．解一元二次方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，可得B={-2，0}，所以B⊊A，可得解本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2.【答案】D【解析】解：A：∵b＜a＜0，∴a2-b2=（a-b）（a+b）＜0，故A正确，B：∵b＜a＜0，∴ab-b2=b（a-b）＜0，故B正确，C：∵b＜a＜0，两边同除以ab，可得＜，故C正确，D：a|+|b|=|a+b|，故D错误，故选：D．利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3.【答案】A【解析】解：．故选：A．可求出log39=2，而将x=2带入f（x）=3x-2即可求出f（2）的值，即得出f（log39）的值．考查对数的运算，已知函数求值的方法．4.【答案】D【解析】解：∵x＞2，∴x-2＞0，则=x-2++2=4，当且仅当x-2=即x=3时，取得最小值4，故选：D．由题意可知=x-2++2，利用基本不等式即可求解最值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：∵f（1）=2+log21-3=-1＜0，f（2）=22+log22-3=5-3=2＞0，根据零点存在性定理，f（x）的零点所在区间为（1，2）故选：B．通过计算x=1，x=2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6.【答案】B【解析】解：条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R，当a=4时，-4＜0恒成立，当a≠4时，则，解得0＜a＜4，综上所述p中a的取值范围为0≤a＜4，所以则p是q的必要不充分条件，故选：B．先由二次函数的性质求出条件p中a的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1），令x+2=0，解得x=-2，∴y=f（-2）=2×a0-1=2-1=1，∴f（x）的图象过定点（-2，1）．故选：B．根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点．本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题．9.【答案】C【解析】解：设x＜0，则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2-x，∴f（-x）=（-x）2+x=x2+x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x2+x，∴f（x）=|x|2+|x|=|x|（|x|+1），故选：C．先设x＜0，则-x＞0，然后根据x≥0时函数的解析式及f（x）为偶函数f（-x）=f（x）即可求解．本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题．10.【答案】C【解析】解：剩余几何体的底面积为：2（π-）=2π-2，剩余几何体的侧面积为：（2+2）×3+2π×3=6+6+6π，∴剩余几何体的表面积为：8，故选：C．底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解．此题考查了柱体表面积，难度不大．11.【答案】D【解析】解：∵=20.6＞20=1，＜log31=0，0＜＜lne=1，∴a＞c＞b．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题．12.【答案】D【解析】解：当（x2-1）-（x+4）＜1时，f（x）=x2-1，（-2＜x＜3），当（x2-1）-（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤-2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：-2≤k＜1，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．13.【答案】19【解析】解：原式=（33）-3×log22-3+lg5•=3-3×（-3）+1=9+9+1=19故答案为：19利用有理指数幂及对数的性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．14.【答案】16【解析】解：函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，∴2m-1=1，解得m=1，∴f（x）=x2，∴f（4）=42=16，故答案为：16．根据幂函数的定义求出m的值，写出f（x）的解析式，计算f（4）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15.【答案】[，）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．16.【答案】【解析】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OE=OF=r，EN=NF=，PE=a，PN=，∴OP=a-r，PF==，在△OFP中，，得，∴内切球表面积为4πr2=4π×=，故答案为：．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，难度不大．17.【答案】（本题满分10分）解：（Ⅰ）由全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}={x|-4＜x＜1}，-------------（2分）集合={x|-1＜x≤2}．--------------（4分）（Ⅱ）A∩B={x|-1＜x＜1}，--------------（6分）A∪B={x|-4＜x≤2}，--------------（8分）∁U A={x|x≤-4或x≥1}，（∁U A）∩B={x|1≤x≤2}．--------------（10分）【解析】（Ⅰ）解不等式能求出集合A和集合B．（Ⅱ）利用交集、并集、补集定义能求出A∩B，A∪B和（∁U A）∩B．本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵定义域为R的函数是奇函数，∴ ，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．∵，∴g（x）=3x+1．∵函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形，得到k（x）的图象，∴k（x）=3-x+1．∵将k（x）的图象向右平移一个单位得到h（x）的图象，∴h（x）=3-（x-1）+1．【解析】（Ⅰ）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1）列方程组解得；（Ⅱ）先由（1）求f（x）代入得g（x）=3x+1，然后关于y轴对称，把x换成-x即可得k（x）=3-x+1，最后按照左加右减平移可得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得∈-------------（6分）（不写x范围或写错扣2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，--------（9分）当且仅当，即x=50时，等号成立．---------（11分）答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元．---------（12分）【解析】（Ⅰ）由y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．可得y关于x的函数关系式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即可．本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题．20.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA平面ABCD，∴PA CD．∵∠PCD=90°，∴PC CD．…………………（2分）∵PA∩PC=P，∴CD平面PAC，∵AC平面PAC，∴CD AC．…………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中，∠CAD=60°，CF=AF，∴∠ACF=60°，∴CF∥AB．…………………（6分）∵CF⊄平面PAB，AB平面PAB，∴CF∥平面PAB．…………………（8分）∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF∥PA，又∵EF⊄平面PAB，PA平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵CF∩EF=F，∴平面CEF∥平面PAB．…………………（10分）∵PB平面PAB，∴PB∥平面CEF．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出PA CD，PC CD，从而CD平面PAC，由此能证明CD AC．（Ⅱ）推导出CF∥AB，CF∥平面PAB，EF∥PA，EF∥平面PAB，从而平面CEF∥平面PAB，由此能证明PB∥平面CEF．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（-1）=4，则a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，则有△=（a+1）2-4a=0，解可得：a=1，b=-2，则f（x）=x2-2x+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=x2-2x+1，则f（x）对称轴为x=1，当＜时，f（x）在，单调递减，∴f（x）最小值为f（t）=t2-2t+1；当t＞1时，f（x）在，单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）最小值为f（1）=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，由f（-1）=4可得a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，分析可得△=（a+1）2-4a=0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；（Ⅱ）由二次函数的解析式求出f（x）的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式．22.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，在f（a+b）=f（a）+f（b）-1中，令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，则有f（0）=1；（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1，又由f（a+b）=f（a）+f（b）-1，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1＞1+f（x1）-1=f（x1），则有f（x2）＞f（x1），故f（x）在R上为增函数．（Ⅲ）根据题意，＜，即＜，则＜，又由f（0）=1，则＜，又由f（x）在R上为增函数，则＜，令m=log2x，∵∈，，则-3≤m≤-1，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，令y=-2m2+2m+4，只需4t＜y最小值，而，m∈[-3，-1]，当m=-3时，y最小值=-20，则4t＜-20．故t的取值范围是t＜-5．【解析】（Ⅰ）根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，变形可得f（0）的值，（Ⅱ）任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，结合f（a+b）=f（a）+f（b）-1，分析可得f（x2）＞f（x1），结合函数的单调性分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令m=log2x，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f（0）的值．。
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2022-2023学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合(){},20A x y x y =+-=，(){},40B x y x y =--=，则A B = （）A ．()3,1-B ．{}3,1-C ．3x =，1y =-D ．(){}3,1-2．若,R a b ∈且0ab ≠.则2211a b >成立的一个充分非必要条件是（）A ．0a b >>B ．b a>C ．0b a <<D ．()0ab a b -<3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A ．12B ．712C ．23D ．344．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A ．1292525a b+ B ．16122525a b+C ．4355a b+D ．3455a b+5．命题“*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x ≤”的否定形式是（）A ．*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x >B ．R,N ,x n *∀∈∀∈都有n x >C ．*R,N x n ∃∈∃∈，使得n x>D ．R,N x n *∃∈∀∈，都有n x>6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知实数和b 满足20222023a =，20232022b =．则下列关系式中正确的是（）A ．22log log 1a b +<B ．2a b +<C ．221a b +<D ．224a b +<8．已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a 为实数，0a ≠且1a ≠，函数1()1ax f x x -=-，则下列说法正确的是（）A ．当2a =时，函数()f x 的图像关于(1,2)中心对称B ．当1a >时，函数()f x 为减函数C ．函数1()y f x =图像关于直线y x =成轴对称图形D ．函数()f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=．已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（）A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()4122341624x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域是R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立.如果命题p 和q 有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%.15．已知()33f x x x =+，x 为实数且满足8（r1）3−3≥3−6r1，则()f x 的最大值为___________．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．四、解答题（本大题共70分。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学第Ⅰ卷（共60分）一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}13A x x =<<,{B x y ==,则A B = （ ）A. {}23x x << B. {}23x x ≤< C. {}3x x < D. {}1x x >【结果】B2. 对于任意实数1x ,2x ,则“12x x >”是“3312x x >”（ ）A 充分不必要款件 B. 不要不充分款件 C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】C3. 若样本1x ,2x ,3x ,…n x 平均数为10,方差为20,则样本125x -,225x -,325x -,…,25n x -地平均数和方差分别为（ ）A. 平均数为20,方差为35B. 平均数为20,方差为40C. 平均数为15,方差为75D. 平均数为15,方差为80【结果】D4. 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题地一种双假设算法,提出了盈不足,盈适足和不足适足，两盈和两不足这三种类型地盈亏问题,以及若干可通过两次假设化为盈不足问题地一般解法.这种解法传到西方后,产生了极大地影响,在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊,人出五,不足四十五：人出七,不足三.问人数，羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊,每人出5钱,差45钱。
每人出7钱,差3钱问合伙人数，羊价各是多少？（ ）A 21，105 B. 21，150 C. 24，165 D. 24，171【结果】B5. 设2log 5a =,0.52b =,4log 10c =,则a ,b ,c 地大小关系为（ ）A. b c a<< B. c b a << C. b a c << D. c a b<<【结果】A 6. 若函数()()22f x ax a b x b =+-+是定义在(),22a a --上地偶函数,则223a b f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）的..A. 13 B. 0 C. 1 D. 3【结果】D7. 函数21()21x x f x x -=⋅+地图象大约是（ ）A. B.C. D.【结果】B8. 已知函数()()1,1ln 1,1x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩,则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-地零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 2D. 1【结果】A 二，选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得5分,有选错地得0分,部分选对地得2分.9. 先后抛掷质地均匀地硬币两次,下面表达正确地有（ ）A. 样本空间中一共含有4个样本点B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件C. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件D. 事件“一次正面向上一次背面向上”发生地概率是12【结果】ACD10. 最近,EDG 电子竞技俱乐部首次夺得英雄联盟全球总决赛冠军地消息在网络上轰动一时,这是对电子竞技体育主流价值地一种认可,也是一场集体地自我证明,电竞并不等同于打游戏,其需要很强地责任心和自律精神,我国体育总局已经将电子竞技项目列为正式体育竞赛项目现某公司推出一款全新电子竞技游戏,下面雷达图给出该游戏中3个人物地5种特征思路.则下面表达正确地是：（ ）A. 小轲生命值低,却法力，防衡力，移动速度都很出色,适合快速进攻B. 小娜地各项特征均衡,组队进攻时,可以弥补小轲地弱点C. 小班地生命值比小轲大,所以游戏中一定比小轲活得久D. 假如进行一对一对抗赛,小班比小娜地胜率大【结果】AB11. 如图所示,已知P ,Q ,R 分别是ABC 三边地AB ,BC ,CA 地四等分,假如AB a = ,AC b =,以下向量表示正确地是（ ）A. 3142QP a b =-- B. 3142QR a b =-+ C. 1344PR a b =-+ D. BC a b =-【结果】BC 12. 已知直线2y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =地图象交于点()11,A x y ,()22,B x y ,则下面表达正确地是（）的A. 122x x += B. 12e e 2e x x +> C. 12e ln 22x x +< D. 12x x <【结果】ABD 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三，填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 求值:22223log log 32log log 64⎛⎫-+= ⎪⎝⎭____________．【结果】314. 设0a >,0b >,若2a b +=,则416a b +地最小值为______.【结果】1815. 命题“()0,x ∀∈+∞,有关x 地方程210mx x -+=不成立”地否定是真命题,则实数m 地取值范围是______.【结果】14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，16. 若1122m x m -<≤+（其中m 为整数）,则m 叫做离实数x 最近地整数,记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-,则函数()f x 地最大值是______.【结果】12##0.5四，解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量()1,2a =r ,(1,3)=- b ,()4,3c =r .（1）求与6a b +共线地单位向量。
2023-2024学年辽宁省沈阳市沈北新区高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市沈北新区高一上册期末数学试题一、单选题1．已知命题32:1,2p x x x ∃>->，则（）A ．p 为真命题，且p 的否定是“321,2x x x ∀>-≤”B ．p 为真命题，且p 的否定是“3212x x x ∀>-<,”C ．p 为假命题，且p 的否定是“321,2x x x ∀>-≤”D ．p 为假命题，且p 的否定是“3212x x x ∀>-<,”【正确答案】A【分析】根据2x =时，322242-=>判断命题真假，再写否定形式.【详解】解：因为当2x =时，322242-=>，所以p 为真命题，所以，p 的否定是“321,2x x x ∀>-≤”．故选：A2．已知集合{|24}A x x =-<，R {|4}B x x =>ð，则A B = （）A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|24}x x -<≤C ．{|2}x x <-D ．{|24}x x <≤【正确答案】B【分析】根据题意先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{|2}A x x =>- ，{|4}B x x =≤，{|24}A B x x ∴⋂=-<≤．故选：B.3．已知()()214,1log ,1,a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩在R 上是减函数，那么a 的取值范围是（）A ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于a 的不等式组，求出其解后可得正确的选项.【详解】因为()f x 为R 上的减函数，所以21001610a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，解得1162a ≤<，故选：A.4．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828e x xa b f x ab +=≠= 来表示.下列结论正确的是（）A ．若0ab >，则函数()f x 为奇函数B ．若0ab >，则函数()f x 有最小值C ．若0ab <，则函数()f x 为增函数D ．若0ab <，则函数()f x 存在零点【正确答案】D【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：取1a b ==，满足0ab >，此时()e e x xf x -=+，其定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x =-，此时()f x 为偶函数，故A 错误；对B ：()e e x x f x a b -=+，令e ,0xt t =>，故b a y a t t ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭若存在最小值，则()f x 有最小值，因为0ab >，故0ba>，根据对勾函数的单调性可知，,0ba y t t t=+>有最小值，无最大值，故当0a <时，,0b a y a t t t ⎛⎫ ⎪=+> ⎪ ⎪⎝⎭有最大值没有最小值，故B 错误；对C ：当0,0a b 时，满足0ab <，又e x y a =是单调减函数，e x y b -=是单调减函数，故()e e x xf x a b -=+是单调减函数，故C 错误；对D ：令()0f x =，即e e 0x x a b -+=，则2e xb a =-，因为0ab <，故0ba->，解得1ln 2b x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故当0ab <，1ln 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭即为函数零点，故D 正确.故选：D.关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.5．若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为（）A．B．C．D．【正确答案】Aab 范围，并注意取等条件.【详解】 实数a ,b满足12a b+=,,0a b ∴>,解得ab当且仅当12a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即a b ==时取等号.则ab的最小值故选：A.6．已知D ，E 分别是ABC 边AB ，AC 上的点，且满足32AB AD = ，4AC AE = ，BE CD O = ，连接AO 并延长交BC 于F 点．若AO AF λ=，则实数λ的值为（）A ．23B ．25C ．57D ．710【正确答案】D【分析】根据,,D O C 三点共线，可得2233AO k AB k AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据,,B O E 三点共线，可求出()114AO AB AC μμ=-+ ，由平面向量基本定理可得2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以可求出AO ，所以知17BF BC = ，再由6177AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求出λ的值.【详解】由题意可得，23AO AD DO AB DO =+=+，因为,,D O C 三点共线，则()1233DO k DC k BC BD k AC AB BA k AC AB ⎛⎫⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22223333AO AB k AC AB k AB k AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，,,B O E 三点共线，131131444444BO BE BC BA AC AB AB AC AB μμμμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()11144AO AB BO AB AC AB AB AC μμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以25110k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以31510AO AB AC =+，所以17BF BC = ，所以()1116177777AO AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6375λ=，所以710λ=故选：D.7．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内求小球落到第7个格子（从左开始）的概率是（）A ．9128B ．15128C ．21128D ．105512【正确答案】C【分析】落入第7个格子需要3次左6次右，计算概率得到答案.【详解】小球从开始下落到结束共有9次左右下落情况，落入第7个格子需要3次左6次右，故概率是.699212128C =故选.C本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.8．已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x +++的最小值为（）A ．72B ．8C ．92D ．12【正确答案】D【分析】先画出分段函数图像，确定1x ，2x ，3x ，4x 的范围，由()()3334log 1log 1x x --=-结合对数运算可得()()34111x x --=，)12x x -与34122x x +分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值.【详解】函数图像如图所示，()17f =，(]0,7t ∈，1234212x x x x <-<≤<<<，124x x +=-，由()()()()()()333433434log 1log 1log 110111x x x x x x --=-⇒--=⇒--=，∴()()34342112122251x x x x =-+++-5922≥+=，当且仅当343,32x x ==时，等号成立，此时1t =；)()2212121242x x x x x x +⎛⎫=-≥-=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1222x x =--=-+1t =.所以)1234122x x x x +++的最小值为91422-=.故选：D 二、多选题9．下列关于函数图象的对称性描述正确的有（）A ．若()()222f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．若()()2223f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()22y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称【正确答案】ABD【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由()()222f x f x -=-，以x 替换2x 得()()2f x f x -=-，以1x +替换x 得()()()121f x f x +-=-+，即()()11f x f x -+=--，所以函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 选项正确.B 选项，由()()2223f x f x -+-=，以x 替换2x 得()()23f x f x -+-=，以1x +替换x 得()()()1213f x f x +-+-+=，即()()113f x f x -++--=，所以函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 选项正确.C 选项，对于函数()22y f x =-，以2x -替换x 得()()()22222y f x f x =--=-+，所以函数()22y f x =-与()22y f x =-+的图象关于直线1x =对称，C 选项错误.D 选项，对于函数()322y f x =--，以1x -替换x ，以3y -替换y 得：()()33212y f x -=---，即()()332,2y f x y f x -=--=-，所以函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：ABD10．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数12，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比､黄金分割不仅仅体现在诸如绘画､雕塑､音乐､建筑等艺术领域，而且在管理､工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC 中，点D 为线段BC 的黄金分割点(),2,3,60BD DC AB AC BAC ∠>=== ，点E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（）A ．1322AD AB AC-=+B ．AD AB AC=+ C ．CE 在AC 上的投影向量为56AC- D ．AP BP ⋅ 的取值范围是1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】对于A 和B ，利用12AD AB BD AB BC -=+=+，利用向量的加法，即可判断B 对，A 错；对于C ，求出CE 和cos ,AC CE ，根据投影向量公式，cos ,AC CE AC CE AC⋅⋅，即判断C对；对于D ，利用极化恒等式，即可计算判断，得到D 正确.【详解】如图，BD BC =BD BC = ，AD AB BD AB =+= )AB AC AB =+- AB AC =，故A 错，B 对；由于E 为中点，故2222cos 607CE AC AE AC AE =+-=，222cos2AC CE AE ACE AC CE +-∠=⋅⋅，故cos ,14AC CE =- ，CE 在AC 上的投影向量为cos ,AC CE AC CE AC ⋅⋅56AC =- ，故C 对；AP BP PA PB⋅=⋅ ()()PE AB PE AB =-⋅+22PE AE =-= 21PE - ，明显可见，当PE AC ⊥时，PE 取最小值，当P 与C 重合时PE 有最大值2PE ≤21164PE -≤-≤ ，可得D 对；故选：BCD11．从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A 为“三名学生都是女生”，事件B 为“三名学生都是男生”，事件C 为“三名学生至少有一名是男生”，事件D 为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（）A ．()18P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．()()P C PD ≠D ．事件A 与事件C 对立【正确答案】ABD【分析】由独立乘法公式求()P A ，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B 、C 、D 即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为12，则311()(28P A ==，A 正确；,A B 两事件不可能同时发生，为互斥事件，B 正确；C 事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为A ，D 正确；D 事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与C 事件含义相同，故()()P C P D =，C 错误；故选：ABD12．下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4B ．()12x f x x +=+图象关于点()2,1-成中心对称C ．函数1y x=的单调递减区间是()(),00,∞-+∞U D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1【正确答案】BD【分析】计算抽象函数定义域得到A 错误；根据平移法则得到B 正确；计算单调区间得到C 错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为满足022x ≤≤，解得01x ≤≤，故定义域为[]0,1，错误；对选项B ：()11122x f x x x +==-++，函数可以由奇函数1y x=-，向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，故()f x 图象关于点()2,1-成中心对称，正确；对选项C ：函数1y x=的单调递减区间是(),0∞-和()0,∞+，错误；对选项D ：幂函数()()23433m f x m m x -=-+，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当2m =时，()2f x x =在()0,∞+上为增函数，排除；当1m =，()1f x x -=，满足条件，故1m =，正确.故选：BD 三、填空题13．在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足340OA OB OC λ=++(0λ≠)，则λ＝________.【正确答案】7【分析】法一：将340OA OB OC λ=++ 变为34OA OB OC λλ=--，再结合三点共线表示出111t OA OB OC t t=+-- ，由此可得方程组，求得答案;法二：将340OA OB OC λ=++整理变形为(7)680OA OM ON λ-++= ，利用三点共线继而可变为(7)(68)0OA p ON λ-++=，由此可得方程，求得答案.【详解】法一:由已知得34OA OB OC λλ=--，①由M ，O ，N 三点共线，知R t ∃∈，使OM tON =，故22OM tON =，故()OA OB t OA OC +=+ ，整理得111t OA OB OC t t=+--，②对比①②两式的系数，得31141t t t λλ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩,解得437t λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,故7法二：因为M 是AB 的中点，所以1OM (OA OB)2=+，于是2OB OM OA =- ，同理2OC ON OA =- ，将两式代入340OA OB OC λ=++，整理得(7)680OA OM ON λ-++=，因为M ，O ，N 三点共线，故R p ∃∈，使得OM pON =，于是(7)(68)0OA p ON λ-++=，显然,OA ON不共线，故7680p λ-=+=，故λ＝7，故714．已知函数)()ln21f x x =+-，正实数a ，b 满足(24)()20f a f b -++=，则2212a b ab b a+++的最小值为________．【正确答案】32##1.5【分析】)()ln21f x x -=-+-，得()()2f x f x =---，得()f x 关于()0,1-对称；又()f x 在()0,∞+单调递增，由对称性可得()f x 在(),0∞-单调递增，即在(),-∞+∞单调递增.故由(24)()20f a f b -++=可得24a b -=-，代入化简所求表达式结合均值不等式即可求最值.【详解】))()ln21121f x x x -=--=-=-+-，∴()()2f x f x =---，∴()f x 关于()0,1-对称.()f x 在()0,∞+单调递增，由对称性得()f x 在(),0∞-单调递增，∴()f x 在(),-∞+∞单调递增.∴4(24)()20,24,1224b a bf a f b a a b --++=⇒=+=+=，∴()2421212111111132112244222428442ba b a b a b a b ab ab b a a b b a b a b a b a b a-+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++=+++-=++≥= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭当且仅当44a bb a=，即43a b ==时，等号成立.故答案为.3215．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于_________．【正确答案】12##0.5【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到,,A B C 三家医院接种新冠疫苗的情况有,,ABC ACB BAC ，,,BCA CAB CBA ，共6种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有3种，故概率为3162P ==故1216．已知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【正确答案】a b c<<【分析】由544567,117<<两边取对数可比较,b c 的大小，做差利用对数的运算、基本不等式可比较,a b 的大小，从而得到答案.【详解】由544567,117<<得7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<，b c ∴<，又267lg 5lg 6lg 5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7⋅--=-=-<⋅a b 22lg 5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅，lg5lg 7lg35lg36+= <，lg5lg 7lg 62+∴<，22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故a b c <<．四、解答题17．我校为了解高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生第二学期期末考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按[90,100),[100,110),,[140,150] 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求m 的值及这50名学生数学成绩的中位数；(2)该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在[)130140,内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在[)130140,内的学生中男女比例为2:1，求至少有1名女生参加座谈的概率.【正确答案】(1)0.008m =；122.5(2)35【分析】（1）根据频率之和为1，设中位数为x 计算即可；（2）列举法解决即可.【详解】（1）由题知，(0.0040.0120.0240.040.012)101m +++++⨯=，解得0.008m =，设这50名学生数学成绩的中位数为x ，所以0.004100.012100.024100.04(120)0.5⨯+⨯+⨯+-=x ，解得122.5=x .所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5（2）由频率分布直方图知，成绩在[)130140,内的学生有0.01210506⨯⨯=名，因为成绩在[)130140,内的学生中男女比例为2:1，所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为,,,A B C D ，女生分别为,a b ，所以从6名学生中任选2名情况有,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 共15种，其中至少有1名女生的有,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ，共9种，所以至少有1名女生参加座谈的概率为93155P ==.18．现给出一位同学在7月和8月进行的50米短跑测试成绩（单位：秒）：7月9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.78月10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5记7月､8月成绩的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .附：①统计量2122s F s =可在一定程度上说明两组成绩的差异（当 2.050F >时，可认为两组成绩有显著差异）；②若满足x y -≥.(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；(2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.【正确答案】(1)没有显著差异，理由见解析；(2)有显著提高，理由见解析.【分析】（1）由已知，根据题意给出的数据，分别计算出样本平均数x ，y ，样本方差21s ，22s ，然后代入2122s F s =计算，将计算结果与2.050比较即可判断；（2）根据第（1）问计算出的x ，y ，21s ，22s ，代入x y -≥断.【详解】（1）由已知，根据图表可知，9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.所以21220.0360.9 2.0500.04s F s ===<，所以，该同学的两组成绩没有显著差异.（2）依题意，0.320.152y x -==⨯==y x -≥所以该同学的成绩是有显著提高.19．已知幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，集合{}131A x a x a =-<≤+.(1)求m 的值；(2)当,22x ⎤∈⎥⎣⎦时，()f x 的值域为集合B ，若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2m =(2)1a ≥【分析】（1）根据幂函数的定义可得2331m m -+=，求出m 的值，再检验即可得出答案.(2)先求出函数()f x 的值域，即得出集合B ，然后由题意知B A ⊆，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.【详解】（1）由幂函数定义，知2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去，当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称，因此2m =.（2）当[]1,2x ∈-时，()f x 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则集合1,42B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意知B A ，得131112314a a a a -<+⎧⎪⎪-<⎨⎪+≥⎪⎩，解得1a ≥.20．已知向量1224a e e =+ ，124b e e =+，其中1(=1,0)e ，2(=0,1)e .(1)求a 与b的夹角θ的余弦值；(2)若向量c 满足()c b - a ⊥，|c b - c的坐标.【正确答案】(1)85(2)=(0,3)c 或=(8,1)c -【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得(2,4)a =，(4,1)b = ，再分别求出,a b a ⋅ 与||b ，根据cos a ba bθ⋅=⋅即可求解；（2）设=(,)c x y ，则=(4,1)c b x y --- ,根据()c b - a ⊥与|c b - .【详解】（1）1224(2,4)a e e =+=，124(4,1)b e e =+= ，a .244112b =⨯+⨯=，||a =||b =cos 85||a b a b θ⋅∴==⋅ ，故a 与b 的夹角θ（2）设=(,)c x y ，则=(4,1)c b x y --- ,∵()c b - a ⊥，|c b -∴()()24+41=0x y ⎧--=解得03x y =⎧⎨=⎩或81x y =⎧⎨=-⎩，所以=(0,3)c 或=(8,1)c -.21．已知函数()()2210f x mx x m =-+>，()1g x x x=+．(1)若函数()f x 在区间[]0,1上的最小值为12，求实数m 的值；(2)对于任意实数()12,3x ∈，存在实数[]21,2x ∈，不等式()()12f x g x <恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2(2)50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）对m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 值.（2）对m 进行分类讨论，根据()f x 在区间()2,3上的“最大值”以及()g x 在区间[]1,2上的最大值求得m 的取值范围.【详解】（1）函数()()2210f x mx x m =-+>的开口向上，对称轴2102x m m-=-=>，当101m<≤时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为：21111111211,2,22f m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合.当11m>时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为：()131211,22f m m m =-+=-==，123m =，不符合.综上所述，m 的值为2.（2）依题意，对于任意实数()12,3x ∈，存在实数[]21,2x ∈，不等式()()12f x g x <恒成立，所以()f x 在区间()2,3上的“最大值”小于()g x 在区间[]1,2上的最大值，对于()1g x x x=+，任取1212x x ≤<≤，()()12121211g x g x x x x x -=+--()()1212121212121x x x x x x x x x x x x ---=--=，由于1212120,10,0x x x x x x -<->>，所以()()()()12120,g x g x g x g x -<<，所以()g x 在区间[]1,2上递增，最大值为()152222g =+=.函数()()2210f x mx x m =-+>的开口向上，对称轴2102x m m-=-=>，当1520,25m m <≤≥时，()()396195f x f m m <=-+=-，则515595,9,226m m m -≤≤≤，所以2556m ≤≤.当152,025m m ><<时，()()244143f x f m m <=-+=-，则5111143,4,228m m m -≤≤≤，所以205m <<.综上所述，m 的取值范围是50,6⎛⎤⎥⎝⎦.含参数的二次函数最值问题，要对参数进行分类讨论，分类标准的制定是关键，分类标准要做到不重不漏，可以考虑二次函数的开口方程、对称轴等方面来制定分类讨论.22．已知函数()221g x ax ax b =-++(),0a b ≥在[]1,2x ∈时有最大值1和最小值0，设()()g x f x x=.(1)求实数,a b 的值；(2)若不等式()22log 2log 0f x k x -≤在11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmf m -+--=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1,0a b ==(2)8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦(3)12m >-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得,a b 的值.（2）结合换元法、分离常数法化简不等式()22log 2log 0f x k x -≤，结合二次函数的性质求得k 的取值范围.（3）利用换元法化简方程()22131021xxmf m -+--=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【详解】（1）函数()()222111,0g x ax ax b a x b a a =-++=-++-=时不合题意，所以为0a >，所以()g x 在区间[]1,2上是增函数，故()()211110g b g b a ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩.（2）由已知可得()221g x x x =-+，则()()12g x f x x x x==+-，所以不等式()22log 2log 0f x k x -≤，转化为2221log 22log 0log x k x x +--≤在11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，设2log t x =，则[]3,2t ∈--，即1220t kt t +--≤，在[]3,2t ∈--上恒成立，即[]22121111211,3,2,,23k t t t t t ⎛⎫⎡⎤≤+-=-∈--∴∈--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，∴当113t =-时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为2116139⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则1629k ≤，即89k ≤.所以k 的取值范围是8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.（3）方程()22131021xxm f m -+--=-可化为：()()2213321120x x m m --+-++=，210x -≠，令21x t -=，则方程化为()()233120t m t m -+++=，()0t ≠，∵方程()22131021xxmf m -+--=-有三个不同的实数解，∴画出21xt =-的图象如下图所示，所以()()233120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()23312h t t m t m =-+++，则()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=--<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>-⎩，此时12m >-，或()()()012011033012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=--=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得121113m m m ⎧>-⎪⎪=-⎨⎪⎪-<<-⎩，此时m 无解，综上12m >-.研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=M∪N={1,2，3，4，5}，M∩∁U N={2,4}，则N=()A. {1,2，3}B. {1,3，5 }C. {1,4，5}D. {2,3，4}2.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,1)，则a⃗+b⃗ =()A. (−2,1)B. (4,3)C. (2,0)D. (3,2)3.若函数f(x)=a x在区间[0,1]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为()A. 2B. √22C. 2或12D. √22或√24.某校对高三年级1200名学生进行健康检查，按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本．已知女生抽到了55人，则该校男生的人数是()A. 65B. 550C. 600D. 6505.计算lg4+lg25=()A. 2B. 3C. 4D. 106.设A={x|−2≤x≤2}，B={x|0≤x≤2}，函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，下列四个图象，不可以作为函数y=f(x)的图象的是()A. B. C. D.7.若命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则()A. 甲是乙的充分非必要条件B. 甲是乙的必要非充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件8.已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，f(−5)=17，则f(5)的值是()A. 19B. 13C. −19D. −139.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a10.函数与y=1x的图象交点的横坐标所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 有一批种子，每一粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为A. 0.914B. 1−0.914C. C 1514×0.914×(1−0.9)D. C 1514×0.9×(1−0.9)14 12. 在△ABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. y =3x B. x =3y C. y =−3x D. x =−3y二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ___________．14. ，x 2−a ≥0是真命题，则实数a 的最大值为______ ．15. 函数f(x)=x 2−3|x |+2的单调减区间是_________16. 某高三学生在高三一轮复习生物学科的22次考试中，所得分数如茎叶图所示，则此同学生物考试分数的极差与中位数之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|1<x <6}，B ={x|2<x <10}，C ={x|x <a}．(1)求(∁R A)∩B ；(2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．18.向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,2)，c⃗=(4,1)：(1)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m，n；(2)若(a⃗+k c⃗ )//(2b⃗ −a⃗ )，求实数k．19.已知函数f(x)=x+1，x(1)求f(x)的定义域；(2)求f(−1)，f(2)的值；(3)当a≠−1时，求f(a+1)的值．20.襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．21.已知函数f(x)=x2+2ax−a+2．(1)若对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意x∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意a∈[−1,1]，x2+2ax−a+2>0恒成立，求实数x的取值范围．22.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n 年的总收入−前n年的总支出−投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：全集U=M∪N={1,2，3，4，5}，M∩∁U N={2,4}，则N={1,3，5}．故选：B．根据全集、并集、交集和补集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：解：向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,1)，则a⃗+b⃗ =(4,3)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查平面向量的坐标运算，基本知识的考查．3.答案：C解析：本题考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．利用指数函数的单调性对a分类讨论，由单调性列出方程求解即可．解：当a>1时，f(x)=a x在[0,1]上单调递增，则f(1)=2f(0)，即a=2；当0<a<1时，f(x)=a x在[0,1]上单调递减，．则f(0)=2f(1)，即1=2a，解得a=12综上可得，a=2或a=1．2故选：C．4.答案：D解析：先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解答本题的关键．解：分层抽样的抽取比例为1201200=110，又女生抽到了55人，∴女生数为550，∴男生数为1200−550=650．故选D．5.答案：A解析：本题考查了对数运算性质、lg2+lg5=1的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用lg2+lg5=1即可得出．解：lg4+lg25=lg22+lg52=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.故选A.6.答案：C解析：本题考查了函数的定义及函数的图象，属于基础题．根据函数的定义，逐一分析判断即可．解：根据图象，选项C中，当x=−2时，对应有y=0和y=2，出现一对多，不满足函数关系，A，B，D均满足题中函数条件，故选：C．7.答案：B解析：本题考查将判断一个命题是另一个命题的什么条件转化为判断命题的真假、考查互为逆否命题的真假一致．写出命题“若甲则乙”和“若乙则甲”的逆否命题，判断出逆否命题的真假；据互为逆否命题的真假一致，判断出甲是否推出乙；乙是否推出甲，判断出甲是乙的什么条件．解：∵“x =2且y =3则x +y =5”是真命题所以其逆否命题“x +y ≠5则x ≠2或y ≠3”为真命题即命题乙成立能推出命题甲成立又“x +y =5则x =2且y =3”假命题，例如x =1，y =4满足x +y =5所以其逆否命题“x ≠2或y ≠3则x +y ≠5“是假命题即甲成立推不出乙成立故甲是乙的必要不充分条件故选B8.答案：D解析：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值的求解等有关知识，属于基础题．设g(x)=x 5−ax 3+bx ，利用函数g(x)为奇函数得g(5)=−15，进而求出f(5)的值．解：∵g(x)=x 5−ax 3+bx 是奇函数，∴g(−x)=−g(x)，∵f(−5)=17=g(−5)+2，∴g(−5)=15，∴g(5)=−15，∴f(5)=g(5)+2=−15+2=−13，故选D ．9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a<c<b．故选：B．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系和函数零点存在性定理，属于基础题．利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数f(x)的零点，再利用函数零点存在性定理计算得结论．，解：令函数f(x)=ln(x+1)−1x>0，因为，f(2)=ln3−12所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2)．故选B．11.答案：C解析：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，求得15粒种子中，恰有14粒发芽的概率．解：每一粒种子发芽的概率都为0.9，那么播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为C1514×0.914×(1−0.9)，故选C．12.答案：D解析：本题考查向量的运算，属于基础题．根据平面向量基本定理计算即可．解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 是BC 的中点． 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E 为AD 的中点，所以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =34，y =−14，所以x =−3y ．故选：D13.答案：√2解析： 解析：本题考察平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，利用向量数量积的定义求解即可．解：所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.故答案为√2． 14.答案：1解析：根据全称命题的含义：，x 2−a ≥0是真命题⇔x ∈[1,2]时，x 2−a ≥0恒成立⇔a ≤(x 2)min.本题考查了全称命题的本质含义，利用转化思想是关键，属于基础题．解：，x 2−a ≥0是真命题⇔x ∈[1,2]时，x 2−a ≥0恒成立⇔a ≤(x 2)min ，又∵x ∈[1,2]时(x 2)min =1，∴a ≤1，则实数a 的最大值为1．故答案为1．15.答案：(−∞,−32)和(0,32)解析：本题以二次函数为载体，考查了函数图象的变化和函数单调性等知识点，属于中档题．根据函数奇偶性的定义，可以得出函数为偶函数．再结合图象，研究函数在y 轴右侧图象，得到单调区间，而在y 轴左侧的就关于原点对称的区间上的单调性与右侧的单调性相反的，由此不难得出正确结论． 解：化简函数为：f(x)={ x 2−3x +2 x ≥0x 2+3x +2 x <0 当x >0时，函数在区间(0,32)为减函数，在区间(32,+∞)上为增函数 再根据函数为偶函数，由y 轴右边的图象，作出y 图象位于轴左侧的部分 由图象不难得出，函数的单调减区间为(−∞,−32)和(0,32)故答案为(−∞,−32)和(0,32). 16.答案：118解析：本题考查茎叶图，属于基础题．从茎叶图中读出数据，求极差，并找到中位数．解：极差为98−56=42，中位数为76，则极差与中位数之和为42+76=118．故答案为118．17.答案：解：(1)∵A ={x|1<x <6}，B ={x|2<x <10}，∴∁R A ={x|x ≤1或x ≥6}，∴(∁R A)∩B ={x|6≤x <10}；(2)∵A ={x|1<x <6}，C ={x|x <a}，且A ⊆C ，∴a ≥6．解析：(1)由全集R 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可；(2)由A 为C 的子集，确定出a 的范围即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.答案：解：(1)由题意得，m b ⃗ +n c ⃗ =m(−1,2)+n(4,1)=(−m +4n,2m +n)，∵a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，∴(3,2)=(−m +4n,2m +n)，即{3=−m +4n 2=2m +n，解得m =59，n =89， (2)由题意得，a ⃗ +k c ⃗ =(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k)，2b ⃗ −a ⃗ =2(−1,2)−(3,2)=(−5,2)，∵(a ⃗ +k c ⃗ )//(2b ⃗ −a ⃗ )，∴2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k =−1613．解析：(1)由题意和向量的坐标运算求出m b ⃗ +n c ⃗ 的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m 和n 的值；(2)由题意和向量的坐标运算求出a ⃗ +k c ⃗ 和2b ⃗ −a ⃗ 的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出k 的值．本题考查了向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的条件，属于基础题．19.答案：解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x ≠0，∴f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)．(2)f(−1)=−1+1−1=−2，f(2)=2+12=52．(3)当a≠−1时，a+1≠0，∴f(a+1)=a+1+1a+1．解析：本题考查函数的定义域，求函数值，属基础题目．(1)根据函数解析式可求得函数的定义域，分式的分母不为0；(2)把x=−1，2分别代入函数解析式，求得结果；(3)由a≠−1得a+1≠0，代入函数解析式求得结果．20.答案：(1)设初赛成绩的中位数为x，则：(0.001+0.004+0.009)×20+0.02×(x−70)= 0.5…(4分)解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…(6分)(2)该校学生的初赛分数在[110,130)有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130,150)有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…(10分)故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=815…(12分)解析：(1)根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；(2)利用频率分布直方图计算分数在[110,130)和[130,150)的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概概率的计算，属于基础题．21.答案：解：(1)若对于任意x∈R，f(x)=x2+2ax−a+2≥0恒成立，则有△=4a2−4(−a+2)≤0，解得−2≤a≤1．(2)由于对于任意x ∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，故f(x)min ≥0．又函数f(x)的图象的对称轴方程为x =−a ，当−a <−1时，f min (x)=f(−1)=3−3a ≥0，求得a 无解；当−a >1时，f min (x)=f(1)=3+a ⩾0，求得−3≤a <−1；当−a ∈[−1,1]时，f min (x)=f(−a)=−a 2−a +2⩾0，求得−1≤a ≤1．综上可得，a 的范围为[−3,1]．(3)若对于任意a ∈[−1,1]，x 2+2ax −a +2>0恒成立，等价于g(a)=(2x −1)a +x 2+2>0，∴{g(−1)=x 2−2x +3>0g(1)=x 2+2x +1>0, 求得x ≠−1，即x 的范围为{x|x ≠−1}．解析：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．(1)由题意利用二次函数的性质可得△=4a 2−4(−a +2)≤0，由此求得求得a 的范围．(2)由于对于任意x ∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，故f(x)min ≥0.利用二次函数的性质，分类讨论求得a 的范围．(3)问题等价于g(a)=(2x −1)a +x 2+2>0，再由g(−1)、g(1)都大于零，求得x 的范围．22.答案：解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)=50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72,(1)纯利润就是要求f(n)>0，∴−2n 2+40n −72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润=f(n)n =40−2(n +36n )≤16.当且仅当n =6时取等号．故此方案先获利6×16+48=144(万美元)，此时n =6，②f(n)=−2(n −10)2+128.当n =10时，f(n)max =128．故第②种方案共获利128+16=144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．解析：(1)弄清纯利润就是纯收入大于零的关系，将纯收入表示为年份n的表达式，注意等差数列知识的运用，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；(2)通过比较法得出哪种方案最合算，关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系，用到求函数最值的思想和方法．本题考查函数模型的建立问题，关键要理解题意，通过相应的数学知识建立数学模型，通过不等式工具、函数最值的思想和方法达到求解的目的．考查转化与化归的思想．。
2023沈阳市数学高一上册期末试卷
2023沈阳市数学高一上册期末试卷一、选择题1．已知集合{}05A x N x =∈≤≤，集合{}1,3,5B =，则A B = A ．{}0,2,4B ．{}2,4C ．{}0,1,3D ．{}2,3,42．已知函数()ln(3)f x x =+()f x 的定义域为（ ） A ．(3,)+∞ B ．()3,3-C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞3．若sin 0α<，且cos 0α>，则角α是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角4．若角θ的终边经过点P ⎛ ⎝⎭，则tan θ=（ ） AB．C ．1- D．5．函数2()ln 8f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米·度），T ∆为室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ） A ．A 型B ．B 型C ．C 型D ．D 型7．设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦8．函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>图像上一点()(),22P s t t -<<向右平移2π个单位，得到的点Q 也在()f x 图像上，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，且满足()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为（ ）A ．(2,-B ．2,⎡-⎣C ．)2D ．2⎤⎦二、填空题9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[3.2]4-=-，[2.3]2=.已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 在R 上是减函数 C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-10．“不等式2304kx kx ++>对一切实数x 都成立”的充分不必要条件是（ ） A ．0k <或3k >B ．0k ≤<3C ．03k <<D ．0k =11．下列说法正确的有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若a b >，则2a b b +> C ．若a b >，则22log log a b >D ．若a b >，则22a b >12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()sin sin f x x x =+，函数()() g x f x =⎡⎤⎣⎦，则（ ）A ．函数()g x 的值域是{}0,1,2B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根三、多选题13．设集合{1,2,3}A =，集合{}B xx a =∣，若A B 有两个元素，则a 的取值范围是_____________.14．关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________.15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．5730002(tN N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)四、解答题17．已知函数()()()34f x x m x m =-++. （1）若1m =，求不等式()12f x >-的解集；（2）记不等式()0f x ≤的解集为A ，若4A -∉，求m 的取值范围．18．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，P 为该图像的最高点.（1）若2πω=，求cos APB ∠的值；（2）若PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2，求()f x 的解析式. 19．已知函数()()01axf x bx a x =+≠- （1）若1a b ==，求()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值； （2）若0b =，试讨论函数()f x 在()1,1-上的单调性．20．已知某海滨天然浴场的海浪高度y (单位：米)是时间t (单位：小时，0≤t ≤24)的函数，记作y =f (x ).如下表是某口各时段的浪高数据：t (时)0 3 6 912 15 18 21 24 y (米)1.5 1.00.51.01.51.00.51.01.5（1）从,,,0,0()y at b y at bt c y Acos t b A ωω=+=++=+>>中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者，若海滨浴场全天二十四小时营业，对游客，请依据（1）的结论求出一天内共有多长时间可供冲浪爱好者进行活动. 21．某同学用“五点法”画函数()() sin ωϕ=++f x A x B (其中A >0，0>0，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表： ωx +φ 0π2π 3π22πxπ35π6A sin(ωx +φ)+B3-1f (x )的解析式；（2）若定义在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数g (x )=af (x )+b 的最大值为7，最小值为1，求实数a ，22．函数2()1ax b f x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且12()25f =. （1）求实数,a b 的值.（2）用定义证明在(1,1)-上是增函数；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）【参考答案】一、选择题 1．A 【分析】求得集合{0,1,2,3,4,5}A =，结合集合的补集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}050,1,2,3,4,5A x N x =∈≤≤=，集合{}1,3,5B =， 所以A B ={}0,2,4. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的运算，其中解答中正确表示集合，集合的补集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2．A 【分析】要使函数()ln(3)3f x x x =+-3030x x +>⎧⎨->⎩，解出即可.【详解】要使函数()ln(3)3f x x x =+-3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数()f x 的定义域为(3,)+∞ 故选：A 3．D根据任意角的三角函数的定义判断即可； 【详解】解：因为sin 0α<，且cos 0α>，所以角α是第四象限的角 故选：D 4．C 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得； 【详解】解：角θ的终边经过点P ⎛ ⎝⎭，所以tan 1θ==- 故选：C 5．B 【分析】先判断()f x 的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且为定义域上的增函数，()()()170,2ln 240,3ln310f f f =-<=-<=+>， ()()230f f ⋅<，故零点所在区间是()2,3.故选：B 6．D 【分析】依题意可得3410||162T q l d -⨯⨯∆=+，所以转化为求162l d +的最大值即可得到答案.【详解】 1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭334410||41022.510T l d ---⨯⨯∆=⨯+⨯3410||162T l d -⨯⨯∆=+，固定||T ∆，可知162l d +最大时，q 最小，保温效果最好，对于A 型玻璃，16216320.448.8l d +=⨯+⨯=， 对于B 型玻璃，16216216420.364.6l d l d +=+=⨯+⨯=，对于C 型玻璃，16216320.549l d +=⨯+⨯=， 对于D 型玻璃，16216420.464.8l d +=⨯+⨯=， 经过比较可知， D 型玻璃保温效果最好. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题. 7．D 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行化简，结合函数的单调性得到关于x 的不等式，再求出x 的范围. 【详解】 由101xx->+，且110x +-≠，得11x -<<，且0x ≠， 故函数的定义域为()()1,00,1-⋃，故函数()2112lg lg lg 111111x x x f x x x x x x x --⎛⎫=-=-=-+- ⎪++-++⎝⎭， 在1,0和0,1单调递减，由()()12102g x f x f ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭得，()1212f x f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以112112x -<-≤<且210x -≠， 解得102x <<或1324x <≤， 故选：D. 8．A 【分析】首先根据已知条件分析出22PQ T π==，可得2ω=，再由()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得()y f x =对称轴为8x π=，利用()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭可以求出符合题意的一个ϕ的值，进而得出()f x 的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可. 【详解】如图假设()0,0P ，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，则2PQ π=， 所以由分析可得22PQ T π==，所以T π=， 可得222T ππωπ===， 因为()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以488f x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以8x π=是()f x 的对称轴，所以()282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()4k k Z πϕπ=+∈，()()2sin 2sin 02sin 2f f ππϕϕϕ⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭， 所以sin 0ϕ<，可令1k =-得34πϕ=-， 所以()32sin 24x x f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令332,444x t πππ⎡⎤-=∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin f x t =，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦作()f t 图象如图所示：当34t π=-即0x =时3y =2t π=-即8x π=时，2y =-，由图知若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为(2,2-， 故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点()0,0P 便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出()f x 的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.二、填空题9．AD 【分析】利用奇偶性的定义判断选项A ，C ，由函数单调性的结论，判断选项B ，由函数单调性求出f （x ）的取值范围，结合定义可得g （x ）的值域，即可判断选项D ． 【详解】解：因为函数11()112221122x x x f x =-=--=++＝11212x -+， 所以()121()1221221x x xf x f x ---=-=-=-++， 则函数f （x ）为奇函数， 故选项A 正确； 因为()11212xf x =-+所以f （x ）在R 上单调递增， 故选项B 错误； 因为()11212xf x =-+，则()()11g f ==⎡⎤⎣⎦110212⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦， ()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦1111212⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦， 因为()()11g g -≠所以函数g （x ）不是偶函数， 故选项C 错误； 又121x +>，所以11()22f x -<<，故g （x ）＝[f （x ）]的值域为{﹣1，0}， 故选项D 正确． 故选：AD ． 10．CD 【分析】先求命题的充要条件，当0k =时，不等式等价于304>，恒成立，满足条件；当0k ≠时，若使2304kx kx ++>对一切实数x 都成立，则应满足0k >，2234304k k k k ∆=-⨯=-<，解得k 的范围，从而判断原命题的充分不必要条件即可. 【详解】当0k =时，不等式等价于304>，恒成立，满足条件； 当0k ≠时，若使2304kx kx ++>对一切实数x 都成立， 则应满足0k >，2234304k k k k ∆=-⨯=-<， 解得03k <<；综上所述，“不等式2304kx kx ++>对一切实数x 都成立”的充要条件是0k ≤<3， 根据充分不必要条件的定义，CD 满足条件， 故选：CD 11．ABD 【分析】根据不等式的性质和指对数函数的性质对选项一一判断即可． 【详解】对于A ，由22ac bc >，知20c >，所以a b >，故A 正确； 对于B ，由a b >得2a b b b b +>+=成立，故B 正确； 对于C ，取1,1a b ==-，则22log log a b >不成立，故C 错； 对于D ，由a b >，根据指数函数的单调性知22a b >成立，故D 正确． 故选：ABD 12．AD 【分析】先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断选项ABC 的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.【详解】由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=； 当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=；当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项A 正确； 由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，()[()]g x f x ππ+=+=故选项B 不正确；由函数()g x 的图象得到函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项C 不正确；对于方程()2g x x π⋅=， 当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根； 当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根；故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数()()f x g x ，的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.三、多选题13．[2,3)【分析】根据A B 有两个元素，由{}1,2A B =求解. 【详解】因为集合{1,2,3}A =，集合{}B xx a =∣，且A B 有两个元素， 所以a 的取值范围是[2,3)， 故答案为：[2,3) 14．2 【分析】由题意转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，求导得()'cos 10f x x =+≥，从而()f x 在R 上递增，且()20f <，502f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得结果. 【详解】由题意得，关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点， ()'cos 10f x x =+≥，()f x ∴在R 上递增，由()2sin 223sin 210f =+-=-<，且5555511sin 3sin302226222f π⎛⎫=+->+-=-= ⎪⎝⎭， 由函数的零点存在定理可得()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，又因为方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，所以2k =.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：方程sin 30x x +-=的解转化为函数()sin 3f x x x =+-的零点问题，求导得()f x 的单调性，再结合函数的零点存在定理. 15．10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由()()13log 2e xf x x -=+-，令()0f x = 所以1x =，又已知函数()()13log 2e xf x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x x a +-=在02x <<有解，令()1224x xh x +-=，又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当112t =时max 12y =当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.16．12【分析】把5730t =代入573002tN N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围． 【详解】 ∵57302t N N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-， 6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间． 故答案为：12；6876． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.四、解答题17．（1）{1x x >或}3x <-；（2）403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）当1m =时，代入整理得2230x x +->，解之可得解集． （2）由题意得() 40f ->，解之可求得m 的取值范围. 【详解】解：（1）当1m =时，()12f x >-，即（()()35120x x -++>，整理得2230x x +->，解得 >1x 或3x <-，所以()12f x >-的解集为{} 13x x x ><-或．（2）因为4A -∉，所以() 40f ->，即()430m m -->．所以()340 m m +<，解得403m -<<．即m 的取值范围为403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．18．（12）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【分析】 (1) 由2πω=，则2242AB πππω===，由周期可分别求出,AQ BQ ,进一步求出,AP BP ，由余弦定理可得答案.(2)由条件可得2AQ QP ==，即8T =，所以4πω=，又(1)2sin()24f πϕ=+=可得答案.【详解】解析：（1）由题设可知，由2πω=，则2242AB πππω===在APB △中，max ()2PQ f x ==，则14T AQ ==,334T BQ == 所以222145AP AQ PQ =+=+=，222223213BP PQ BQ =+=+=，由余弦定理可得：2225131665cos 2652513AP PB AB APB AP BP+-+-∠===⋅⋅⨯⨯.（2）由PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2,所以在APQ ，2AQ QP == 易知24T=，8T =，所以4πω=， 又(1)2sin()24f πϕ=+=，则2,42k k Z ππϕπ+=+∈又02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.19．（1）4；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a b ==时，将函数解析式变形为()()1121f x x x =-++-，利用基本不等式可求得()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值；（2）任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，通过通分、因式分解，然后分0a <、0a >两种情况讨论()()12f x f x -的符号，由此可得出结论.【详解】（1）当1a b ==时，且1x >时，10x ->， ()()()11111112212411111x x f x x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++≥-⋅=-----，当且仅当2x =时，等号成立，因此，当1a b ==时，函数()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值为4； （2）当0b =时，()1axf x x =-， 任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，即1211x x -<<<， 则()()()()()()()()()122121121212121211111111ax x ax x a x x ax ax f x f x x x x x x x -----=-==------， ①当0a <时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<， 所以，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 此时，函数()f x 在()1,1-上为增函数；②当0a >时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<， 所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 此时，函数()f x 在()1,1-上为减函数.综上所述，当0a <时，函数()f x 在()1,1-上为增函数； 当0a >时，函数()f x 在()1,1-上为减函数. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.20．（1）应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，0.5cos 16y t π=+，(024t ≤≤)；（2）一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【分析】（1）表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，根据函数的最值求出A 和b ，根据周期求出ω，根据0的函数值求出ϕ可得函数解析式； （2）由0.5cos 1 1.256t π+>，解不等式可得结果.【详解】（1）由表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++. 则 1.5(1.5)0.52A -==， 1.50.512b +==，212π=ω，6π=ω.∴0.5cos 16y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当0x =时， 1.5y =，∴0.5cos 1 1.5ϕ+=，得cos 1ϕ=，则2k ϕ=π，k Z ∈.∴0.5cos 210.5cos 166y t k t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，(024t ≤≤).（2）由0.5cos 1 1.256t π+>，得1cos62t π>， ∴22363k t k πππππ-<<+，即122122k t k -<<+，k Z ∈.又024t ≤≤，∴02t <<，或1014t <<，或2224t <<. 故一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【点睛】关键点点睛：利用表格中的数据求出函数解析式是解题关键.21．（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2,1a b ==或2,7a b =-=. 【分析】（1）由表中数据可得周期及A 、B 、ϕ的值；（2）()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，讨论a 的正负，根据()g x 的最大值、最小值可得答案.【详解】（1）由题，函数()f x 的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 所以22Tπω==， 由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，得21A B =⎧⎨=⎩，故()2sin(2)1f x x ϕ=++， 由表可知，23πϕπ⨯+=，得3πϕ=，所以()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 由44x ππ-≤≤，得52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭；当0a >时，()g x 的最大值是37a b +=，最小值是1b =， 解得2,1a b ==；当0a <时，()g x 的最大值是7b =，最小值是31a b +=， 解得2,7a b =-=，综上，2,1a b ==；或2,7a b =-=. 【点睛】本题考查了由三角函数图象上的点求解析式及利用单调性参数的问题，要正确分析表中数据，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，考查了学生的计算能力. 22．（1）0b =， 1a = （2）见解析 (3)单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞； 当1x =-时，min 12y =-；当1x =时，max 12y =.【详解】本题主要考查了奇函数的性质的应用，f （0）=0，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的应用．①由函数f （x ）是奇函数可得f （0）=0可求b ，由12()25f = 可求a ，进而可求f （x ）②由①可得f(x)= 2()1ax bf x x +=+，利用单调性的定义设0＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)-f(x 2)作差，变形定号下结论得到．（3）在上一问的基础上可知，函数的最值． 解：（1）∵2()1ax bf x x +=+是奇函数，∴()()f x f x -=-∴2211ax b ax bx x -++=-++ ∴0b =故2()1axf x x =+ 又 ∵12()25f =， ∴ 1a = ∴2()1x f x x =+ （2）任取1211x x -<<<，1212121222221212()(1)()(),11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1211x x -<<< ∴1211x x -<<，120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>∴12())0(f x f x -<即12()()f x f x <∴在(1,1)-上是增函数.(3)单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞；当1x =-时，min 12y =-；当1x =时，max 12y =.。
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A . [0，π）B . [0，]∪[ π，π）C . [0， ]D . [0，]∪（，π）2. （2分）若，且， OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是（）A . 且方向相同B .C . OB与O1B1不平行D . OB与O1B1不一定平行3. （2分） (2016高二上·万州期中) 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 6B . 8C . 2+3D . 2+24. （2分）已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+6）y﹣8=0，且l1⊥l2 ，则直线l1的一个方向向量是（）A . （1，﹣）B . （﹣1，﹣）C . （1，﹣1）D . （﹣1，﹣1）5. （2分） (2017高二上·四川期中) 如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．其中一定正确的选项是（）A . ①③B . ②③C . ②③④D . ①③④6. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知实数x ， y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（）A . 3B . 5C . 9D . 257. （2分）(2017·杭州模拟) 如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且P到直线BC与直线C1D1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·汕头期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）若圆x2+y2+4x+2by+b2=0与x轴相切,则b的值为（）A .B .C .D . 不确定11. （2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当=20时，点C的轨迹为（）A . 线段B . 圆弧C . 抛物线一段D . 椭圆一部分12. （2分）(2019·湖北模拟) 如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·大丰期中) 点M（﹣1，2，﹣3）关于原点的对称点是________．14. （1分） (2018高一上·湘东月考) 若直线“ ”与直线“ ”平行，则________；15. （1分） (2019高三上·吉林月考) 若椭圆：与圆：和圆：均有且只有两个公共点，则椭圆的标准方程是________.16. （1分） (2020高一下·滕州月考) 如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，则线段的长度为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．18. （10分） (2017高一上·滑县期末) 根据下列条件，求直线方程：（1）过点（2，1）且与直线y=x平行；（2）过点（1，5），且与直线y=2x垂直．19. （15分） (2019高二上·杭州期中) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：；（2）求证：平面PCD；（3）求证：平面平面PCD．20. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示图形为圆．（1）若已知曲线关于直线x+y﹣4=0的对称圆与直线6x+8y﹣59=0相切，求实数k的值；（2）若k=15，求过该曲线与直线x﹣2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．21. （10分）(2016·江苏模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．22. （10分）(2017·广州模拟) 已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中| |=| ﹣ |？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一下·普宁期中) 若集合M={x∈R|﹣3＜x＜1}，N={x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N=（）A . {0}B . {﹣1，0}C . {﹣1，0，1}D . {﹣2，﹣1，0，1，2}2. （2分） (2017高二下·河北期末) 已知函数（）的图像的相邻两对称轴间的距离为，则当时，的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知幂函数的图像经过点，则f(4)的值等于（）A . 16B .C . 2D .4. （2分） (2017高三上·九江开学考) 在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），将向量绕点O 按顺时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（）A . （，）B . （，）C . （，）D . （，）5. （2分）偶函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2)，且在时，则关于x的方程,在上解的个数是（）A . lB . 2C . 3D . 46. （2分） (2018高一上·深圳月考) 已知函数，、、，且，，，则的值（）A . 一定等于零．B . 一定大于零．C . 一定小于零．D . 正负都有可能．7. （2分） (2017高一上·湖州期末) tan 等于（）A . ﹣1B . 1C . ﹣D .8. （2分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . ,D . ，9. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A .B .C .D .10. （2分）对于集合M和N，定义M-N={x|x M,且x N}，M N=，设，，则A B=（）A .B .C .D .11. （2分）设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·江西模拟) 设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6．若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且，则a=（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·赤峰月考) 已知扇形弧长为 ,圆心角为 ,则扇形的面积为________.14. （1分）函数的定义域是________15. （1分） (2016高一下·永年期末) 已知菱形ABCD边长为2，，点P满足=λ ，λ∈R，若 =﹣3，则λ的值为________．16. （1分）(2013·安徽理) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ= 时，S为等腰梯形③当CQ= 时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知：，，α，β∈（0，π）．（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最值．18. （10分） (2018高一下·商丘期末) 已知:是同一平面上的三个向量，其中（1）若，且 ,求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角。
辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷
辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D． {0，1，2} 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5）C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5） 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（） A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D． 2x��y=05．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）2222xD．（1，2）6．（5分）圆C1：x+y+4x+4y+4=0与圆C2：x+y��4x��2y��4=0公切线条数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7．（5分）由函数y=lg（1��2x）的图象得到函数y=lg（3��2x）的图象，只需要（） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（） A． 42+6B． 30+6C． 66D． 449．（5分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（��2）的值为（） A． 16 B． 8 C．��16 D．��8 10．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β??????? ??? B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β? C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α?????????????? ?????? D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+2x，若f（2��a）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A．（��∞，��1）∪（2，+∞）B．（��2，1） C．（��1，2） D．（��∞，��2）∪（1，+∞）12．（5分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1��x2|+|y1��y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）22A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则x=．14．（5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m��2）x+（m+2）y��3=0互相垂直，则m的值为． 15．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5分）已知f（x）=在区间（m��4m，2m��2）上能取得最大值，2则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（），��4≤x≤0}．x（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m��6≤x≤4m}且B?C，求m的取值范围．18．（12分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x+y��2x��2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC的面积S的最小值． 19．（12分）如图，在三棱锥A��BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A��BCD的体积．2220．（12分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC��A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x��1被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（��3≤t≤��1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D．{0，1，2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集的定义运算求解即可．解答：解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查． 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的关系，求解函数值即可．解答：解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5） C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，空间直角坐标系中，点A（x，y，z）关于平面xOz对称点的坐标为（x，��y，z），直接写出对称点的坐标即可．解答：解：空间直角坐标系O��xyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（��3，4，5）．故选：D．点评：本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题，是检查出题目． 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（）A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D．2x��y=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：求出直线方程的斜率，然后利用多项式方程求解即可．解答：解：与直线2x��y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x��2）．即2x��y��8=0．故选：B．点评：本题考查直线方程的求法，直线的平行关系的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．xD．（1，2）分析：由题意可判断函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续，从而由零点判定定理判断即可．解答：解：易知函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续， f（0）=1+0��3＜0， f（1）=3+1��3＞0；x故函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（0，1）；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．xx感谢您的阅读，祝您生活愉快。
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题及参考答案
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022—2023学年度上学期期末高一年级试题数 学第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则B A ⋃=U （ ） A ．()4,+∞ B ．(),4-∞ C ．[)4,+∞ D ．(],4-∞-2．若a 、b 均为实数，则“ln ln a b >”是“a b e e >”的什么条件（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．从高一某班抽三名学生参加数学竞赛，记事件A 为“三名学生都是女生”，事件B 为“三名学生都是男生”，事件C 为“三名学生至少有一名是男生”，事件D 为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）A ．()18P A =B ．()()PC PD ≠C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件C 对立 4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率（ ）A ．14B ．38C ．512D ．58 5．如图，已知函数()13x f x -=，则它的反函数()1y f x -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第一代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）（ ） A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子7．已知2log 0.50.2a b a ==，则（ ）A ．a ＞b ＞1B ．b ＞a ＞1C ．b ＞1＞aD ．a ＞1＞b 8．设()11f x x =--，关于x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（ ）①存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根．A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：℃）依次为36.0、36.2、36.1、36.4、36.3、36.1、36.3，则该组数据的（ ）A ．极差为0.4℃B ．平均数为36.2℃C ．中位数为36.1℃D ．第75百分位数为36.3℃10．设a ，b 是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）A ．若a b a b +=-，则存在实数0μ>，使得a b μ=B ．若a 垂直于b ，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a ，b 反向D ．若a b ∥，则a ，b 一定同向11．下列命题正确的有（ ）A ．命题“1x ∀>，210x ->”的否定“1x ∀≤，210x ->”；B ．函数()212()log 62f x x x=+-单调递增区间是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．函数()()13221a x x f x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．函数23()log f x x x=-的零点所在区间为()2,3且函数()f x 只有一个零点 12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（ ）A ．平均数3x ≤B ．标准差2s ≤C ．平均数3x ≤且极差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数，则m ＝______．14．已知函数()()e e 2,(0)x x f x a bx ab -=-++≠，若()2019f h =-，则()f h -=______．15．已知ABC △中，14AN NC =，M 为线段BN 上的一个动点，若AM x AB y AC =+（x 、y 均大于0），则15x y+的最小值______． 16．已知函数()22()ln f x x e =+（e 为自然常数， 2.718e ≈），2()21g x ax x a =+++，若1x ∀∈R ，总[)20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．求值：（1）622110332127(3)233π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）7log 2252log 8(lg 4lg 25)log 8log 57-+-⋅+．18．设p ：24x ≤<，q ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>．（1）若a ＝1，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．平面内给定三个向量()3,2a =，()1,2b =-，()4,1c =．（1）求满足c ma nb =+的实数m ，n ；（2）设(),d x y =，满足()()d c a b -+∥．且1d c -=，求向量d ．20．某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110~120分的学生数有14人．（1）求总人数N 和分数在120~125的人数n ；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现在从分数在115~120分的学生（男女生比例为1:2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．21．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为25．且各场比赛互不影响．（1）若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．22．若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”．已知函数()22x x f x k -=+⨯，其中k 为常数． （1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式()32f x >的解集； （2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[)(]3,11,3--⋃上是“局部偶函数”，()()[]()[)(],1,1,3,11,3f x x F x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈--⋃⎪⎩．（i ）求函数()F x 的值域；（ii ）对于[]3,3-上的任意实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()1235F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度下学期沈阳市重点高中联合体期末考试高一数学参考答案一、单项选择题：1B 2A 3B 4A 5C 6C 7D 8C二、多选题：9ABD 10ACD 11BD 12CD三、填空题：13 2 14 2023 15 36 16 〔0,1〕四、解答题：17【解析】（1）()622211203233323127(3)23331239914271253π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯=+-+⨯=+-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ..................................(5分） （2）()7log 22522l 03og 8lg4lg25log 8log 57lg100log 823232-+-⋅+=--+=--+=.. ................................(10分）18【解析】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<， 解得13x ， ...............(2分）又由命题p 为真命题，则24x ≤< . ...............(4分）所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤< ...............(6分）（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件，即集合 {}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足 2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥，所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.........(12分） 19【解析】()1()()()3,2,1,,24,1a b c ==-=且c ma nb =+()()4,13,22m n m n =-+∴ ..........................(2分） 34221m n m n -=⎧∴⎨+=⎩ ..................................(4分）9858m n ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩..................................(6分）()2()()4,1,2,4d c x y a b -=--+= ..................................(8分）又()()//d c a b -+，1d c -=， ()()()()2244210411x y x y ⎧---=⎪∴⎨-+-=⎪⎩， ..................................(10分）解得4515x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或4515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4d ⎛=++ ⎝⎭或4d ⎛= ⎝⎭....................(12分）20【解析】（1）分数在110120-内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，∴该班总人数为14400.35N ==． ...................(2分） 分数在120125-内的学生的频率为：21(0.010.040.050.040.030.01)50.10P =-+++++⨯=，分数在120125-内的人数为400.104n =⨯=． ...................(4分） （2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105110107.52+=． ...................(6分）设中位数为a ，0.0150.0450.0550.50⨯+⨯+⨯=，110a ∴=．∴众数和中位数分别是107.5，110． ...................(8分）（3）由题意分数在115-120内有学生40(0.035)6⨯⨯=名，其中男生有2名．............(9分） 设女生为1A ，2A ，3A ，4A ，男生为1B ，2B ，从6名学生中选出2名的基本事件为： 1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，4)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，2(A ，3)A ，2(A ，4)A ， 2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，3(A ，4)A ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，3(A ，1)B ，4(A ，1)B ，3(A ，1)B ，4(A ，2)B ，3(A ，1)B ，1(B ，2)B ，共15种， ...................(10分） 其中至多有1名男生的基本事件共14种， ...................(11分） ∴其中至多含有1名男生的概率为1415P =． ...................(12分） 21【解析】解:设()1,2,3,4,5i A i =表示甲队在第i 场比赛获胜()1所求概率为:()()()221212312323244 2555125P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ...................(6分）()2所求概率为:()()()312341234123423162355625P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫++=⨯⨯= ⎪⎝⎭... ...........(12分）（过程分判卷老师可以酌情给分）22.解：（1）()()f x f x -=-对[3,3]x ∈-上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=-， . ..................(1分）所以()22x x f x -=-，故3()222x x f x -=->等价于132022x x -->， 令2x t =，即23102t t -->，解得2t >或21t <-， ...................(2分） 又20x t =>，22x ∴>，1x ∴>，又[3,3]x ∈-3()2f x ∴>的解集为{}13x x <≤. ...................(4分） （2）（i ）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩...................(5分） ①当[1,1]x ∈-时，令2x t =，1[,2]2t ∈，由反比例函数与一次函数的单调性得函数1y t t=-在[1,1]-上单调递增，所以33[,]22y ∈-； ...................(6分） ②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =，1y t t =+为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃，所以.,] ...................(7分）()F x ∴的值域为,],] ...................(8分）（ii ）①当0m >时，min max 2()5()F x mF x +>， 3652()528m ⨯-+>⋅，16065m ∴<< ...................(9分） ②当0m =时，min 2()50F x +>， 32()5202⨯-+=>成立，0m ∴=...................(10分）③当0m <时，min min 2()5()F x mF x +>， 332()5()22m ⨯-+>-，403m ∴-<<...................(11分） 综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭...................(12分）。
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在下列选项中，能正确表示集合A ={−2,0，2}和B ={x |x 2+2x =0}关系的是( )A. A =BB. A ⊇BC. A ⊆BD. A ∩B =⌀【答案】B 【解析】解：解方程x 2+2x =0，得：x =0或x =−2，B ={−2,0}，又A ={−2,0，2}，所以B ⊆A ，故选：B ．解一元二次方程x 2+2x =0，得：x =0或x =−2，可得B ={−2,0}，所以B ⊊A ，可得解 本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2. 若b <a <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2B. ab <b 2C. 1a <1bD. |a |+|b |>|a +b |【答案】D 【解析】解：A ：∵b <a <0，∴a 2−b 2=(a −b )(a +b )<0，故A 正确，B ：∵b <a <0，∴ab −b 2=b (a −b )<0，故B 正确，C ：∵b <a <0，两边同除以ab ，可得1a <1b，故C 正确， D ：a |+|b |=|a +b |，故D 错误，故选：D ．利用作差法证明A 、B 正确，根据不等式证明C 正确，D 错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3. 设函数f (x )= 3x−2,x ≥21+log 3(3−x ),x <2，则f (log 39)=( ) A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】A【解析】解：f(log39)=f(2)=32−2=1．故选：A．可求出log39=2，而将x=2带入f(x)=3x−2即可求出f(2)的值，即得出f(log39)的值．考查对数的运算，已知函数求值的方法．4. 若x>2，则x+1x−2的最小值是()A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】解：∵x>2，∴x−2>0，则x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2(x−2)⋅1x−2+2=4，当且仅当x−2=1x−2即x=3时，取得最小值4，故选：D．由题意可知x+1x−2=x−2+1x−2+2，利用基本不等式即可求解最值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．5. 函数f(x)=2x+log2x−3的零点所在区间()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B【解析】解：∵f(1)=2+log21−3=−1<0，f(2)=22+log22−3=5−3=2>0，根据零点存在性定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)故选：B．通过计算x=1，x=2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6. 条件p：关于x的不等式(a−4)x2+2(a−4)x−4<0(a∈R)的解集为R；条件q：0<a<4，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】解：条件p ：关于x 的不等式(a −4)x 2+2(a −4)x −4<0(a ∈R )的解集为R ， 当a =4时，−4<0恒成立，当a ≠4时，则 △=4(a −4)2+16(a −4)<0a−4<0，解得0<a <4，综上所述p 中a 的取值范围为0≤a <4，所以则p 是q 的必要不充分条件，故选：B ．先由二次函数的性质求出条件p 中a 的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7. 函数f (x )=2a x +2−1(a >0且a ≠1)图象恒过的定点是( ) A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,−1)D. (−1,1)【答案】B 【解析】解：函数f (x )=2a x +2−1(a >0且a ≠1)，令x +2=0，解得x =−2，∴y =f (−2)=2×a 0−1=2−1=1，∴f (x )的图象过定点(−2,1)．故选：B ．根据指数函数的图象恒过定点(0,1)，求得f (x )的图象所过的定点．本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. m //α，n //α，则m //nB. m ⊂α，n //α，则m //nC. m ⊥α，n ⊥α，则m //nD. α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m //n【答案】C【解析】解：A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题．9. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−x，则函数f(x)在R上的解析式是()A. f(x)=x2+xB. f(x)=x(|x|−1)C. f(x)=|x|(|x|−1)D. f(x)=|x|(x−1)【答案】C【解析】解：设x<0，则−x>0，∵x≥0时，f(x)=x2−x，∴f(−x)=(−x)2+x=x2+x，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴f(x)=x2+x，∴f(x)=|x|2+|x|=|x|(|x|+1)，故选：C．先设x<0，则−x>0，然后根据x≥0时函数的解析式及f(x)为偶函数f(−x)=f(x)即可求解．本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题．10. 在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为()A. 8π+6+62B. 6π+6+62C. 8π+4+62D. 6π+4+62【答案】C【解析】解：剩余几何体的底面积为：2(π−12× 2× 2)=2π−2，剩余几何体的侧面积为：(2 2+2)×3+2π×3=6 2+6+6π，∴剩余几何体的表面积为：8π+4+6 2，故选：C ．底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解． 此题考查了柱体表面积，难度不大．11. 设a =( 2)1.2，b =log 335，c =ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. a >c >b 【答案】D【解析】解：∵a =( 2)1.2=20.6>20=1，b =log 335<log 31=0，0<c =ln 32<ln e =1， ∴a >c >b ．故选：D ． 利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题．12. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b = a ,a −b <1.b ,a−b≥1设f (x )=(x 2−1)⊗(4−x )，若函数y =f (x )+k 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−2,1)B. [0,1]C. [−2,0)D. [−2,1)【答案】D 【解析】解：当(x 2−1)−(x +4)<1时，f (x )=x 2−1，(−2<x <3)，当(x 2−1)−(x +4)≥1时，f (x )=x +4，(x ≥3或x ≤−2)，函数y =f (x )= x +4,(x ≤−2,或x ≥3)x 2−1,(−2<x <3)的图象如图所示：由图象得：−2≤k<1，函数y=f(x)与y=−k的图象有3个交点，即函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D．化简函数f(x)的解析式，作出函数y=f(x)的图象，由题意可得，函数y=f(x)与y=−k的图象有3个交点，结合图象求得结果..本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 2723−2log23⋅log218+lg5×log510=______．【答案】19【解析】解：原式=(33)23−3×log22−3+lg5⋅lg10lg5=33×23−3×(−3)+1=9+9+1=19故答案为：19利用有理指数幂及对数的性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．14. 已知函数f(x)=(2m−1)x m+1为幂函数，则f(4)=______．【答案】16【解析】解：函数f(x)=(2m−1)x m+1为幂函数，∴2m−1=1，解得m=1，∴f(x)=x2，∴f(4)=42=16，故答案为：16．根据幂函数的定义求出m的值，写出f(x)的解析式，计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15. 已知f(x)=loga x,x≥1(2a−1)x+a,x<1是定义在(−∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是______．【答案】[13,1 2 )【解析】解：∵f(x)是定义在R上的减函数；∴2a−1<00<a<12a−1+a≥log a1；解得13≤a<12；∴实数a的取值范围是[13,12 )．故答案为：[13,12 )．分段函数f(x)是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出2a−1<00<a<12a−1+a≥0，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．16. 若正四棱锥P−ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．【答案】3−52πa2【解析】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OE=OF=r，EN=NF=a2，PE=a，PN=52a，∴OP=a−r，PF=52a−12a=5−12a，在△OFP中，(a−r)2=r2+(5−12a)2，得r=5−14a，∴内切球表面积为4πr2=4π×(5−14a)2=3−52πa2，故答案为：3−52πa2．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，难度不大．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x−4<0}，集合B={x|x−2x+1≤0}．(Ⅰ)求集合A，集合B；(Ⅱ)求A∩B，A∪B，(∁U A)∩B．【答案】(本题满分10分)解：(Ⅰ)由全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x−4<0}={x|−4<x<1}，-------------(2分)集合B ={x |x−2x +1≤0}={x |−1<x ≤2}.--------------(4分)(Ⅱ)A ∩B ={x |−1<x <1}，--------------(6分)A ∪B ={x |−4<x ≤2}，--------------(8分)∁U A ={x |x ≤−4或x ≥1}，(∁U A )∩B ={x |1≤x ≤2}.--------------(10分)【解析】(Ⅰ)解不等式能求出集合A 和集合B ．(Ⅱ)利用交集、并集、补集定义能求出A ∩B ，A ∪B 和(∁U A )∩B ．本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18. 已知定义域为R 的函数f (x )=−3x −b 3x +1+a 是奇函数，且a ，b ∈R ． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)设函数g (x )=23f (x )+1，若将函数g (x )的图象作关于y 轴的对称图形后得到函数k (x )的图象，再将函数k (x )的图象向右平移一个单位得到函数 (x )的图象，求函数 (x )的解析式．【答案】解：(Ⅰ)∵定义域为R 的函数f (x )=−3x −b 3x +1+a 是奇函数，∴ f (−1)=−f (1)f (0)=0，即 −30+b 31+a =0−3−1−b 3−1+1+a =−−31−b 31+1+a ， 解得 b =−1a =3； (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=−3x +13x +1+3=13(23x +1−1)． ∵g (x )=23f (x )+1，∴g (x )=3x +1．∵函数g (x )的图象作关于y 轴的对称图形，得到k (x )的图象，∴k (x )=3−x +1．∵将k (x )的图象向右平移一个单位得到 (x )的图象，∴ (x )=3−(x−1)+1．【解析】(Ⅰ)利用f (0)=0，f (−1)=−f (1)列方程组解得；(Ⅱ)先由(1)求f (x )代入得g (x )=3x +1，然后关于y 轴对称，把x 换成−x 即可得k (x )=3−x +1，最后按照左加右减平移可得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19. 在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼−20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹.假设一台歼−20战斗机的制造费用为1250百万元.已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x 表示飞机使用年限(取整数)，则在x 年中(含第x 年)飞机维修费用总和为x (1+x )2百万元，记飞机在x 年中维修和制造费用的年平均费用为y 百万元，即y =(飞机制造费用+飞机维修费用)÷飞机使用年限．(Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ)求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？【答案】解：(Ⅰ)由题意可得y =1250+x (1+x )2x =1250x +x 2+12(x ∈N ∗)-------------(6分)(不写x 范围或写错扣2分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，y =1250x +x 2+12≥2 1250x ×x 2+12=50.5，--------(9分) 当且仅当1250x =x 2，即x =50时，等号成立.---------(11分)答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元.---------(12分)【解析】(Ⅰ)由y =(飞机制造费用+飞机维修费用)÷飞机使用年限.可得y 关于x 的函数关系式； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，y =1250x +x 2+12≥2 1250x ×x 2+12=50.5即可． 本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题．20. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠PCD =90∘，∠BAC =∠CAD =60∘，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点．(Ⅰ)求证：CD ⊥AC ；(Ⅱ)求证：PB //平面CEF ；【答案】(本小题满分12分)证明：(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵∠PCD=90∘，∴PC⊥CD.…………………(2分)∵PA∩PC=P，∴CD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC.…………………(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ACD=90∘．在直角三角形ACD中，∠CAD=60∘，CF=AF，∴∠ACF=60∘，∴CF//AB.…………………(6分)∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CF//平面PAB.…………………(8分)∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF//PA，又∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EF//平面PAB．∵CF∩EF=F，∴平面CEF//平面PAB.…………………(10分)∵PB⊂平面PAB，∴PB//平面CEF.…………………(12分)【解析】(Ⅰ)推导出PA⊥CD，PC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AC．(Ⅱ)推导出CF//AB，CF//平面PAB，EF//PA，EF//平面PAB，从而平面CEF//平面PAB，由此能证明PB//平面CEF．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b是实数)，x∈R，若f(−1)=4，且方程f(x)+4x=0有两个相等的实根．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[12,t](t>12)上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，二次函数f(x)=ax2+bx+1，若f(−1)=4，则a−b+1=4，即b=a−3，又由方程f(x)+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+(a+1)x+1=0有两个相等的实根，则有△=(a+1)2−4a=0，解可得：a=1，b=−2，则f(x)=x2−2x+1；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，f(x)=x2−2x+1，则f(x)对称轴为x=1，当12<t≤1时，f(x)在[12,t]单调递减，∴f(x)最小值为f(t)=t2−2t+1；当t>1时，f(x)在[12,1]单调递减，在(1,t]上单调递增，∴f(x)最小值为f(1)=0．【解析】(Ⅰ)根据题意，由f(−1)=4可得a−b+1=4，即b=a−3，又由方程f(x)+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+(a+1)x+1=0有两个相等的实根，分析可得△=(a+1)2−4a=0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；(Ⅱ)由二次函数的解析式求出f(x)的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式．22. 已知函数f(x)，对任意a，b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且当x>0时，有f(x)>1．(Ⅰ)求f(0)；(Ⅱ)求证：f(x)在R上为增函数；(Ⅲ)若关于x的不等式f[2(log 2x)2−4]+f(4t−2log2x)<2对于任意x∈[18,12]恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，在f(a+b)=f(a)+f(b)−1中，令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，则有f(0)=1；(Ⅱ)证明：任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2−x1>0，f(x2−x1)>1，又由f(a+b)=f(a)+f(b)−1，则f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−1>1+f(x1)−1=f(x1)，则有f(x2)>f(x1)，故f(x)在R上为增函数．(Ⅲ)根据题意，f[2(log2x)2−4]+f[4t−2log2x]<2，即f[2(log2x)2−4]+f[4t−2log2x]−1<1，则f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<1，又由f(0)=1，则f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<f(0)，又由f(x)在R上为增函数，则2(log2x)2−2log2x+4t−4<0，令m=log2x，∵x∈[18,12]，则−3≤m≤−1，则原问题转化为2m2−2m+4t−4<0在m∈[−3,−1]上恒成立，即4t<−2m2+2m+4对任意m∈[−3,−1]恒成立，令y=−2m2+2m+4，只需4t<y最小值，而y=−2m2+2m+4=−2(m−12)2+92，m∈[−3,−1]，当m=−3时，y最小值=−20，则4t<−20．故t的取值范围是t<−5．【解析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，变形可得f(0)的值，(Ⅱ)任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2−x1>0，结合f(a+b)=f(a)+f(b)−1，分析可得f(x2)>f(x1)，结合函数的单调性分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<f(0)，结合函数的单调性可得2(log2x)2−2log2x+4t−4<0，令m=log2x，则原问题转化为2m2−2m+4t−4<0在m∈[−3,−1]上恒成立，即4t<−2m2+2m+4对任意m∈[−3,−1]恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f(0)的值．。
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辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分)
1. （2分）集合A={x|0≤x＜4，且x∈N}的真子集的个数是（）
A . 16
B . 8
C . 15
D . 4
2. （2分） (2020高一下·惠山期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（）
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 4条
3. （2分） (2016高一上·延安期中) 下列给出四组函数，表示同一函数的是（）
A . f（x）=x﹣1，g（x）= ﹣1
B . f（x）=2x+1，g（x）=2x﹣1
C . f（x）=|x|，g（x）=
D . f（x）=1，g（x）=x0
4. （2分）设a=0.60.6 ， b=0.61.5 ， c=1.50.6 ，则a，b，c的大小关系是（）
A . a＜b＜c
B . a＜c＜b
C . b＜a＜c
D . b＜c＜a
5. （2分） (2019高一上·东台期中) 设 , , ,则下列选项中正确的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）与直线平行，且到l的距离为的直线方程为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·辽宁模拟) 直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为（）
A . 1
B . ﹣1
C . +
D . +1
8. （2分）(2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分） (2016高一上·虹口期末) 下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（）
A . y=|x|
B . y=﹣x3
C . y=（）x
D . y=
10. （2分） (2020高二下·河南月考) 已知函数（），若方程
恰有3个不同的根，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2017高一上·辽源月考) 已知函数的定义域为[0,1],则的定义域为________
12. （1分） (2018高一上·大石桥期末) 给出下列命题，其中正确的序号是________（写出所有正确命题的序号）
①函数的图像恒过定点；
②已知集合，则映射中满足的映射共有1个；
③若函数的值域为，则实数的取值范围是；
④函数的图像关于对称的函数解析式为
13. （1分）已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
14. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：
①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题 (共5题；共55分)
15. （10分） (2019高一上·西宁月考) 设，，求：
（1）；
（2）
16. （10分） (2019高一上·鸡泽月考) 已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．
17. （10分） (2016高一下·包头期中) 已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2 时，求直线l的方程．
18. （15分） (2016高二上·德州期中) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中点．
（1）求证：FH∥平面BDE；
（2）求证：AB⊥平面BCF；
（3）求五面体ABCDEF的体积．
19. （10分） (2020高二下·东莞月考) 设函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分) 1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共5题；共55分)
15-1、15-2、
16-1、
16-2、17-1、
17-2、18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
第11 页共11 页。