中考数学专题复习最值问题
初中数学最值问题 专题
中考数学最值问题【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为 ．【例题2】（2018）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．【例题3】（2019）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋21QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．练 习1.（2018）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ） A.最大值为32 B.最小值为32C.最大值为23D.最大值为23 2.（2018）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
3.（2018）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。
4.（2018）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ．5.（2018）某水果店在两周，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？6.（2018荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R x =+50030，P x =-1702。
2024年中考数学复习 胡不归最值问题(原卷版+答案解析)
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+12BD的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+32.如图，在ΔABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则22AP+PB的最小值是( )A.52B.53C.1033 D.83.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+34.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.355.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.46.在ΔABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则2BP+AP的最小值为( )A.5B.10C.52D.1027.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 ．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 ．11.如图，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 ．12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 ．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 ；17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？19.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(-1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D 处，且DD =2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN⎳y轴交直线OD 于点N，连结CN．当55D N+CN的值最小时，求MN的长．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
中考数学专题复习最值问题费马点
中考数学专题复最值问题费马点学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．33 2B ．23 3C ．33 3D ．43 3评卷人 得分二、填空题 2．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA ＋MD ＋ME 的最小值为______．3．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________4．如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为22，则BC＝_____．5．如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．评卷人得分三、解答题6．如图，∠ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求2253BP AP PC++最小值7．如图，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是∠ABC内一点，求P A＋PB＋PC的最小值．8．【问题提出】（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM ，CM ．若连接MN ，则BMN △的形状是________．（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC +=，求BC 的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD ，6AB BC +=千米，60ABC ∠=︒，公园内有一个儿童游乐场E ，分别从A 、B 、C 向游乐场E 修三条,,AE BE CE ，求三条路的长度和（即AE BE CE ++）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．9．在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=22； （1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ； ∠把图形补充完整（无需写画法）； ∠求2EF 的取值范围； (2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．10．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，30ODB∠=︒，OE为∠BOD的中线，过B、E两点的抛物线236y ax x c=++与x 轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边∠OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为∠ABO内的一个动点，设m PA PB PO=++，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.11．背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC内部，当120APB APC CPB∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC++取得最小值．(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．参考答案：1．D【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，∠将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∠BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∠∠BFG是等边三角形．∠BF=BG=FG，．∠AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∠当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF∠BC交CB的延长线于F，∠∠EBF=180°-120°=60°，∠BC=4，∠BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∠EF2+FC2=EC2，∠EC=43．∠∠CBE=120°，∠∠BEF=30°，∠∠EBF=∠ABG=30°，∠EF=BF=FG，∠EF=13CE=433，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．2．4+33【解析】【分析】【详解】【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边∠ADF、等边∠AMG，连接FG，易证∠AMD∠∠AGF，∠MD＝GF∠ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF过F作FH∠BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．3．229【解析】【分析】如图，将∠MOG绕点M逆时针旋转60°，得到∠MPQ，易知∠MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA∠NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.【详解】如图，将∠MOG绕点M逆时针旋转60°，得到∠MPQ，显然∠MOP为等边三角形，∠，OM＋OG＝OP＋PQ，∠点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∠当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA∠NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∠∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∠MQ＝MG＝42，∠AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，∠NQ＝2222AN AQ+=++=，(46)4229故答案为229.【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.4．62-【解析】【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∠AB=AC，AH∠BC，∠∠BAP=∠CAP，∠PA=PA，∠∠BAP∠∠CAP（SAS），∠PC=PB，∠MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∠∠GAP是等边三角形，∠PA=PG，∠PA+PB+PC=CP+PG+GM，∠当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∠AP+BP+CP的最小值为22，∠CM=22，∠∠BAM=60°，∠BAC=30°，∠∠MAC=90°，∠AM=AC=2，作BN∠AC于N．则BN=12AB=1，AN=3，CN=2-3，∠BC=2222=1(23)=62BN CN++--．故答案为62．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题5．63【解析】【分析】以BM为边作等边∠BMN，以BC为边作等边∠BCE，如图，则∠BCM∠∠BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH∠AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．【详解】以BM为边作等边∠BMN，以BC为边作等边∠BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∠∠MBC=∠NBE，∠∠BCM∠∠BEN，∠CM=NE，∠AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∠AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∠BH∠AE，AH=EH，∠BAH=30°，∠BH=1AB=3，2AH=3BH=33，∠AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．6．36【解析】【分析】将∠APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到∠A P 'C '，将∠A P 'C '扩大324倍，得到∠AP C ''''，当点B 、P 、P ''、C ''在同一直线上时，2253BP AP PC ++=()''''''22PB PP P C ++最短，利用勾股定理求出BC ''即可．【详解】解：如图，将∠APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到∠A P 'C '，将∠A P 'C '扩大，相似比为324倍，得到∠AP C ''''，则32=4AP AP '''，32=4P C P C ''''''，32=4AC AC '''， 过点P 作PE ∠A P ''于E ，∠AE=22PE AP =， ∠P ''E=A P ''-AE=24AP ， ∠P P ''=22104PE P E AP ''+=， 当点B 、P 、P ''、C ''在同一直线上时，2253BP AP PC ++=()''''''22PB PP P C ++最短，此时()''''''22PB PP P C ++=B C ''，∠∠BA C ''=∠BAC +∠CA C ''=90°，AB =6，3232==43244AC AC '''⨯=，∠2222=6(32)36BC AB AC ''''+=+=．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．7．22+62 【解析】【分析】以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接BN ．根据△PAM 、△ABN 都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN ；根据当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA=CB ，NA=NB 可得CN 垂直平分AB ，进而求得PA+PB+PC 的最小值．【详解】证明：如图所示，以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接BN ．由旋转可得，△AMN∠∠ABP ，∠MN=BP ，PA=AM ，∠PAM=60°=∠BAN ，AB=AN ，∠∠PAM 、△ABN 都是等边三角形，∠PA=PM ，∠PA+PB+PC=PM+MN+PC ； （3）当AC=BC=1时，AB=22，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA=CB ，NA=NB 可得CN 垂直平分AB ，∠AQ=12AB=22=CQ ，NQ=62， 此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=22+628．（1）等边三角形；（2）BC 的最小值为52；（3）平行四边形公园ABCD 的面积为932（平方米）．【解析】【分析】（1）由旋转得BN =BM ，∠MBN =60°，可判断出△BMN 是等边三角形即可；（2）设AB =a ，则AC=10-a ，进而根据勾股定理得出()222550BC a =-+即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E ，C 在同一条线上，设BF =x ，进而依次得出AB =2x ，BC =6-2x ，CF =6-x ，再利用勾股定理得出223'4()272A C x =-+，得出x =32是A'C 最小，进而求出A'F ，BC ，利用平行四边形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：BMN △的形状是等边三角形，理由如下;由旋转知，BN =BM ，∠MBN =60°∠△BMN 为等边三角形故答案为：等边三角形；（2）解：设AB=a，∠AB+AC=10，∠AC=10-AB=10a-，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，()2222210BC AB AC a a=+=+-2220100a a=-+()22550a=-+，∠()250a-≥，∠()2255050a-+≥，即250BC≥，∠52BC≥，即BC的最小值为52；（3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∠∠ABE∠∠A'BE'，∠∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∠∠EBE'为等边三角形，∠∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∠AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，过点A'作A'F∠CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，设BF=x，则A'B=2x，根据勾股定理得，A'F=3x，∠AB=A'B，∠AB =2x ，∠AB +BC =6，∠BC =6-AB =6-2x ，∠CF =BF +BC =6-x ，在Rt △A'FC 中，根据勾股定理得，2222223''3(6)4()272A C A F CF x x x =+=+-=-+， ∠当x =32，即AB =2x =3时，2'A C 最小， 此时，BC =6-3=3，A'F =3332x =， ∠平行四边形公园ABCD 的面积为3393322⨯=（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB =BC 时，AE +BE +CE 最小是解本题的关键．9．（1）∠补图见解析；∠2816EF ≤≤；（2）232+【解析】【分析】（1）∠根据要求画出图形即可；∠首先证明∠ECF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，在Rt∠ECF 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将∠ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到∠AFG ，连接EG ，DF ．作FH∠AD 于H ．根据两点之间线段最短可得DF≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，推出AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长；【详解】（1）∠如图∠DCF 即为所求；∠∠四边形ABCD是正方形，∠BC＝AB＝22，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∠AC＝22AB BC＝2AB＝4，∠∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF，∠∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∠∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∠y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，∠2＞0，∠x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∠8≤EF2≤16．（2）如图中，将∠ABE绕点A顺时针旋转60°得到∠AFG，连接EG，DF．作FH∠AD于H．由旋转的性质可知，∠AEG是等边三角形，∠AE＝EG，∠DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∠AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．在Rt∠AFH中，∠FAH＝30°，AB＝22=AF，∠FH ＝12AF ＝2，AH ＝22AF FH -＝6， 在Rt∠DFH 中，DF ＝()2222(226)2FH DH +=++＝232+，∠BE ＋AE ＋ED 的最小值为232+．【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．(1)213 226y x x =-++ (2) 13AE = ；71313AM =或51313AM = （3）m 可以取到的最小值为13．当m 取得最小值时，线段AP 的长为51313【解析】【分析】 （1）已知点B 的坐标，可求出OB 的长；在Rt △OBD 中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD 的长，也就得到了点D 的坐标；由于E 是线段BD 的中点，根据B 、D 的坐标即可得到E 点的坐标；将B 、E 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E 作EG∠x 轴于G ，根据A 、E 的坐标，即可用勾股定理求得AE 的长；过O 作AE 的垂线，设垂足为K ，易证得△AOK∠∠AEG ，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK 的长；在Rt △OMK 中，通过解直角三角形，即可求得MK 的值，而AK 的长可在Rt △AOK 中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM 或AM=AK+KM 即可求得AM 的长； （3）由于点P 到△ABO 三顶点的距离和最短，那么点P 是△ABO 的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE 是等边三角形，那么PA+PO+PB 的最小值应为AE 的长；求AP 的长时，可作△OBE 的外接圆（设此圆为∠Q ），那么∠Q 与AE 的交点即为m 取最小值时P 点的位置；设∠Q 与x 轴的另一交点（O 点除外）为H ，易求得点Q 的坐标，即可得到点H 的坐标，也就得到了AH 的长，相对于∠Q 来说，AE 、AH 都是∠Q 的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP 的长．【详解】（1）过E 作EG∠OD 于G∠∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D ，∠∠BOD∠∠EGD ，∠点B （0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD ＝23；∠E 为BD 中点，∠EG DE GD BO DB OD ===12∠EG=1，GD ＝3∠OG ＝3∠点E 的坐标为(3，1)∠抛物线236y ax x c =++经过()0,2B 、()3,1E 两点， ∠()2313326a =+⨯+. 可得12a =-. ∠抛物线的解析式为213226y x x =-++. （2）∠抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧，∠A 点的坐标为()3,0-.过E 作EG∠x 轴于G∠23,1AG EG ==,∠在△AGE 中，90AGE ∠=︒, ()2223113AE =+=. 过点O 作OK ∠AE 于K ，可得△AOK ∠∠AEG ．∠OK EG AO AE=． ∠1313OK =． ∠39.13OK = ∠2261313AK AO OK =-=.∠∠OMN是等边三角形,∠60NMO∠=︒．∠391313tan133OKKMKMO===∠．∠71313AM AK KM=+=,或51313AM AK KM=-=（3）如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；∠OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∠∠AOE∠∠B′OB；∠∠B′BO=∠AEO；∠∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∠∠POP'=60°，∠∠POP′为等边三角形，∠OP=PP′，∠PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=13如图；作正△OBE的外接圆∠Q，根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∠∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（33，1），则H（233，0）；∠AH=533；由割线定理得：AP•AE=OA•AH，即：AP=OA•AH÷AE=3×533÷13=51313故：m可以取到的最小值为13．当m取得最小值时，线段AP的长为513 13【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．11．(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)62+．【解析】【分析】（1）根据旋转性质得出ABP△∠ACP'△，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据∠ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证∠APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可； （2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ∠△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠P AP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ∠∠AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC =2222213AB AC -=-=，可求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C =()2222327BC BB '+=+=即可； （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ∠AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ∠△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF =112122BB '=⨯=，勾股定理BF =2222213BB B F ''-=-=，可求AF =AB +BF =2+3，再根据勾股定理AB′=()222223162AF B F '+=++=+即可． (1)解：连结PP′，∠ABP △∠ACP '△，∠∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，∠∠ABC 为等边三角形，∠∠BAC =60°∠∠P AP ′=∠P AC +∠CAP ′=∠P AC +∠BAP =60°，∠∠APP′为等边三角形，,∠PP′=AP =3，∠AP′P =60°，在△P′PC 中，PC =5，222223425PP P C PC ''+=+==，∠∠PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，∠∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，∠∠APB =∠AP′C =150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∠∠APB ∠△AB′P′，∠AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，∠∠P AP′=∠BAB′=60°，∠∠APP′和△ABB′均为等边三角形，∠PP′=AP ，∠PA PB PC PP P B PC '''++=++，∠点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∠点P 在CB′上，∠CB '过ABC 的费马点．(3)解：将∠APB 逆时针旋转60°，得到∠AP′B′，连结BB′，PP′，∠∠APB ∠∠AP′B′，∠AP′=AP ，AB′=AB ，∠∠P AP′=∠BAB′=60°，∠∠APP′和∠ABB′均为等边三角形，∠PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，∠PA PB PC PP P B PC '''++=++∠点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∠90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，∠AB =2AC =2，根据勾股定理BC =2222213AB AC -=-=∠BB′=AB =2，∠∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，∠在Rt∠CBB′中，B′C =()2222327BC BB '+=+= ∠PA PB PC ++最小=CB′=7；(4)解：将∠BCE 逆时针旋转60°得到∠CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ∠AB ，交AB 延长线于F ，∠∠BCE ∠∠CE′B′，∠BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，∠∠ECE′=∠BCB′=60°，∠∠ECE′与∠BCB′均为等边三角形，∠EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，∠AE BE CE AE EE E B '''++=++，∠点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′， ∠四边形ABCD 为正方形，∠AB =BC =2，∠ABC =90°，∠∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∠B′F ∠AF ，∠BF =112122BB '=⨯=，BF =2222213BB B F ''-=-=， ∠AF =AB +BF =2+3，∠AB′=()222223162AF B F '+=++=+，∠AE BE CE ++最小=AB′=62+．【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．。
中考数学复习《最值问题》经典题型含答案
中考数学 最值问题一、选择题1．如图，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是( B ) A ．1 B.3 C ．2 D. 5 ,第1题图) ,第2题图)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP ＋EP 最小值的是( B )A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【解析】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，可得点B 和点C 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时BP ＋EP 最小，为CE 的长，故选B.二、填空题3．如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A (2，－4)，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为__(23，0)__．【解析】如图，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结AB ′，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y ＝－x ＋a ，把A (2，－4)代入可得，a ＝－2，∴平移后的直线为y ＝－x －2，令x ＝0，则y ＝－2，即B (0，－2)∴B ′(0，2)，设直线AB ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (2，－4)，B ′(0，2)代入可得，⎩⎪⎨⎪⎧－4＝2k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝2，∴直线AB ′的解析式为y ＝－3x ＋2，令y ＝0，则x ＝23，∴P (23，0)． ,第3题图) ,第4题图)4．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__22__．【解析】连结AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y ＝－34x ＋3时，PQ 最小，∴PQ ＝32－12＝2 2.三、解答题5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是(3，0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上．(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__；(2)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连结EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．解：(2)连结OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD ＝EF .根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由(1)可知，在Rt △A OC 中，∵O C ＝OA ＝3，OD⊥AC ，∴ D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF ＝12OC ＝32.∴点P 的纵坐标是－32.则x 2－2x －3＝－32， 解得x ＝2±102.∴当EF 最短时，点P 的坐标是：(2＋102，－32)或(2－102，－32) 6．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ .过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连结BF .(1)求证：四边形BFEP 为菱形；(2)当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时(如图2)，求菱形BFEP 的边长；②若限定P ，Q 分别在BA ，BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．解：(1)∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝FE ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形(2)①如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5 cm ，CD ＝AB ＝3 cm ，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5 cm ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2，∴DE ＝4 cm ，∴AE ＝AD －DE ＝5 cm －4 cm ＝1 cm ，在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3－PB＝3－PE ，∴EP 2＝12＋(3－EP )2，解得：EP ＝53 cm.∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，如图2，点E 离A 点最近，由①知，此时AE ＝1 cm ；当点P与点A 重合时，如图3，点E 离A 点最远，此时，四边形ABQE 是正方形，AE ＝AB ＝3 cm ，∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2 cm。
中考数学复习《最值问题》
解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的 点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关 于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P， 则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图 ，图3为该长方体的表面展开 图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的 最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通 过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时， 点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题训练(含答案)
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题一、单选题1．已知2()=++≠的对称轴为直线230y ax bx ax=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）函数在14A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值1-，有最大值3C．有最小值3-，有最大值4 D．有最小值1-，有最大值42．若二次函数24＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）y ax x aA．4 B．－1或3 C．3 D．4或－13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5C．当x＝1时，y有最大值5D．该函数的图象与坐标轴有两个交点4．函数2(0)=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）y ax bx c aA．1-B．0C．1D．25．在关于n 的函数2=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，S an bnS > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．代数式22 5-+的最小值为（）a aA．2 B．3 C．4 D．57．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣38．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）A ．2500元B ．2000元C ．1800元D ．2200元二、填空题9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，16AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值是_________10．已知二次函数242y x x =-+，当13x -≤≤时，y 的取值范围内是_______． 11．已知抛物线22(1)1y x =-+，当03x 时，y 的最小值是 __，y 的最大值是 __． 12．当02x ≤≤时，22y x x a =++有最小值为4，则a 为 _____．13．某商品的销售利润y 与销售单价x 的关系为y ＝﹣21(50)10x -+2650，则当单价定价为每件____元时，可获得最大利润____元．14．已知二次函数223y x x =-+的图象经过点()11A x y ， 和点()122B x y +，，则12y y +的最小值是________．15．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）不论a 为何值，该抛物线必经过一定点 _____；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．16．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =－1，下列判断：①b －2a =0；②4a －2b ＋c ＜0；③abc ＞0；④当x =0和x =－2时，函数值相等； ⑤3a ＋c ＜0；⑥a －b ＞m （ma ＋b ）；⑦若自变量x 的取值范围是－3＜x ＜2，则函数值y ＞0．其中正确的序号是________．三、解答题17．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求用x表示S的函数解析式，并写出x的取值范围．(2)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？18．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．20．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．(1)求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；(2)若每个礼盒的售价是a元(a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)若每个礼盒的售价不超过m元(m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．参考答案：1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．A8．C9．3210．27y -≤≤11． 1 912．413． 50 265014．615． （-1，0） 216．①③④⑥17．(1)S 2+(0＜x ≤8)(2)18．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)219．(1)y =40x +160；(2)这种水果每千克降价9元；(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．20．(1)40元(2)2=-+-23008800w a a(3)当75m时，每天的最大利润为2450元；当7075<<时，每天的最大利润为m2-+-m m23008800。
中考数学总结复习专题：最值问题总结 讲义
中考最值问题专题分享知识点一将军饮马【知识梳理】一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A 关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA ，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P 、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．【例题精讲】类型一、【一定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BB此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP 为P’M+MN+NP’’，当P’、M 、N 、P’’共线时，△PMN 周长最小．例1、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．类型二【两定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM+MN+NQ 为P’M+MN+NQ’，当P’、M 、N 、Q’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
2023年中考数学专题《最值问题》
考向35 最值问题（“胡不归”和“阿氏圆”）【考点梳理】模型一：“胡不归”问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．2驿道2MM将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．最值解法：在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．模型二：“阿氏圆”问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA:PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
模型展示：如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC．MFED CB A证明：ABD ACD S BD S CD =V V ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ⨯==⨯V V ，即AB DB AC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下：① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OBA B C DE② 计算出这两条线段的长度比OP k OB=③ 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g ④ 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【题型探究】题型一：胡不归模型1．如图，在ABC V 中，90,60,4BAC B AB ∠=︒∠=︒=，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则PA +2PB 的最小值为 _____．3．抛物线2y ax bx =+x 轴于点()1,0A ，()3,0B -，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ，点M 为线段OC 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，且MN AC ⊥．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN ，NC 在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M ，N 移动的过程中，DM ＋12MC 是否有最小值，如果有，请写出理由．题型二; “阿氏圆”模型4．如图，正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，P 为B e PD -的最大值是______．5．如图所示，60ACB ∠=︒，半径为2的圆O 内切于ACB ∠．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于ACB ∠的两边，垂足为M 、N ，则2PM PN +的取值范围为 ___________．6．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于AB 、两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点，是否存在点P 使四边形ABPC 的面积为16，若存在，求出点P 的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B 作BF BC ⊥交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，2为半径作C e ，点Q 为C e 上的一个动FQ +的最小值．【必刷好题】一、单选题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C ．4D ．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD PD ＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋C ．D ．329．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，=60B ∠︒，2AB =，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值（ ）A ．6+B ．6C 3D ．4二、填空题10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为__________．11．如图，▱ABCD 中60A ∠=︒，6AB =，2AD =，P 为边CD 2PB +的最小值为______．12．如图，在ACE △中，CA CE =，30CAE ∠=︒，半径为5的O e 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，则12OD CD +的最小值为______．13．如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，半径为5的⊙O 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），则OD 12+CD 的最小值为 _____．14．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A ，(4,0)B ，P 是第一象限内一动点，2OP =，连接AP 、BP ，则12BP AP +的最小值是 ___________．15．如图，在O e 中，点A 、点B 在O e 上，90AOB ∠=︒，6OA =，点C 在OA 上，且2OC AC =，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则2CM DM +的最小值为 ___________．16．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．17．如图，在Rt ABC V 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的»EF 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是_____．18．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD ﹣12PC 的最大值为_____．三、解答题19．如图1，抛物线()()2330y ax a x a =+++≠与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点(),0E m （04m <<），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式：(2)设△PMN 的周长为1C ，△AEN 的周长为2C ，若1265C C =求m 的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α（090α︒<<︒），连接E A '、E B '，求23E A E B ''+的最小值．20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，PA +PC 的值最小？求此时PA +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF上一点，当AQ 取最小值时，求∠QAC 的正弦值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．参考答案：1．D【分析】过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，在t R DFC △中，1130,,22()2()22DCF DF DC AD DC AD DC AD DF ∠=︒=+=+=+当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【详解】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在t R DFC △中，30DCF ∠=︒，∴12DF DC =，∵122()2AD DC AD DC +=+＝2()AD DF +，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ︒∠=∠=，∴ABD △是等边三角形，∴4===AD BD AB ，在t R ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，∴8BC =，∴4DC =，∴12,2DF DC ==，∴426AF AD DF =+=+=，∴2()212AD DF AF +==，∴2()AD DC +的最小值为12，故选：D ．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝21 2PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝11301522BAC∠=⨯︒=︒，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12 PA，∴PA+2PB＝212PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4=∴（PA+2PB）最大＝2BF＝故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．3．(1)2y x=(2)NC=，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在Rt AOC V中，OC ，1OA =，根据MN AC ⊥，有90MNC ∠=︒，即可得tan OA MN OCA OC NC∠==，问题得解；（3）先求出30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，即有12MN CM =，则12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即点D 到AC 的垂线段DN 的长，问题随之得解．【详解】（1）把点()1,0A ，()3,0B -代入抛物线2y ax bx =+0930a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：2y x x =+（2）NC =，理由是：如图1，令0x =，则y =(C ，∵()1,0A，(C ，∴，OC =1OA =，在Rt AOC V中，OC =1OA =，∵MN AC ⊥，∴90MNC ∠=︒，∴tan OA MN OCA OC NC ∠==，MN NC=，∴NC =；（3）在M ，N 移动的过程中，12DM MC +由（2）知：tan OA OCA OC ∠===∴30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，∴12MN CM =，∴12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即D 、M 、N 三点共线时，点D 到AC 的垂线段DN 的长，如图2，抛物线解析式为：2y x =∴对称轴是：=1x -，即()1,0D -，∴112AD OA OD =+=+=，在Rt ADN △中，60DAN ∠=︒，∴sin DN AD DAN =⨯∠=即12DM MC DM MN DN +=+==∴在M ，N 移动的过程中，12DM MC +【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．4．2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得)PD PC PD PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭，因为PC PM MC -≤，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =连接MP ，证明BMP V:BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △:BPC △，接着推导出PD -，最后证明BMN V :BCD △，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，∴45PDM ∠=，DM PM ==， 四边形ABCD 正方形∴45BDC ∠=︒，DB DC=又 PDM PDB MDB ∠=∠+，BDC MDB MDC∠=∠+∴PDB MDC∠=∠在BPD △与MPC V 中PDB MDC ∠=∠，DB DP DC DM==∴BPD △:MPCV∴PB MC = 2BP =∴MC =)PD PC PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭PC PM MC-≤∴)2PD PC PM -=-≤=故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2∴=2BP ，BDBP BD在BD 上做点M ，使BM BP BM MP 在BMP V 与BPD △中=MBP PBD ∠∠，=BP BM BD BP∴BMP V :BPD△∴PM PD PD 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ∠∠，=BN BP BP PC∴BNP △:BPC△∴1=2PN PC ，则=2PC PN ∴如图所示连接NM∴)2PD PN PN PM --- PN PM NM-≤∴)PD PN PM --≤在BMN V 与BCD △中=NBM DBC ∠∠，BM BC BN BD∴=BM BN BC BD∴BMN V :BCD△∴MN CD =4CD∴MN∴∴2PD -≤=故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．5．626PM PN -++…【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示，通过代换，将2PM PN +转化为12PN PM PN HP NH +=+=，得到当MP 与O e 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示：PM AC ⊥ ，PN CB ⊥，90PMC PNC ∴∠=∠=︒，360120MPN PMC PNC C ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，18060MPH MPN ∴∠=︒-∠=︒，1cos cos 602HP PM MPH PM PM ∴=⋅∠=⋅︒=，12PN PM PN HP NH ∴+=+=，MF NH = ，∴当MP 与O e 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=+=+在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==+ ⎪⎝⎭；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，由上同理可知：在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=-=-，在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==- ⎪⎝⎭，626PM PN ∴-++…故答案为：626…PM PN-++【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．。
中考数学专题复习最值问题胡不归 (2)
中考数学专题复最值问题胡不归学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（）A．4B．2＋22C．22D．32223+2．如图，在ABC∆中，90A∠=︒，60B∠=︒，2AB=，若D是BC边上的动点，则2AD DC+的最小值（）A．236+B．6C．33+D．4评卷人得分二、填空题3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则32AP PC的最小值是______．5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P 在x轴上运动，则2PC＋PB的最小值为___．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE ＋CE的最小值为___．7．如图，∠ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则∠ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则∠DEF的周长最小值为_．8．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为___．9．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为_____．10．如图，∠ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.11．如图，ABC中，10AB AC==，tan2A=，BE AC⊥于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CD BD+的最小值是__________．12．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E,，且tan ∠EBA=43，有一只蚂蚁从A 出发,先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是________s评卷人 得分三、解答题 13．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，P A +PC 的值最小？求此时P A +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF 上一点，当514AQ CQ -+取最小值时，求∠QAC 的正弦值．14．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt∠BEF绕点B 旋转，BE＝BF＝10，连接AE，CF．(1)求证：∠ABE∠∠CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示∠BCF的面积）(3)如图3，当Rt∠BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G 时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足2MP+PG的值最小时，求MP的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求∠ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋22OP的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 13:33y x =+和直线l 2相交于y 轴上的点B ，分别交x 轴于A 、C 且∠OBC ＝30度．（1）求直线l 2的解析式；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF 最小时，点F 的坐标，并求出此时22PF OP +的最小值．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(23,4)，一次函数33yx b 的图象与边OC 、AB 、x 轴分别交于点D 、E 、F ，30DFO ∠=，并且满足OD BE =，点M 是线段DF 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标；（3）求12OM MF +的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB＋PD的最小值．19．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD1+2OD的最小值．20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．∠过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF∠PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求∠BCF的面积的最大值；∠连接PB，求35PC＋PB的最小值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a=>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B 的左侧)，1OA=，经过点A的一次函数()0y kx b k=+≠的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．22．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠过点(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，=3OC．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM BC⊥，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC∆面积最大时，求点P的坐标；(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF +FP +1/3PC 取得小值时，把点P 向上平移个22单位得到点Q ，连结AQ ，把∠AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到∠AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值．25．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-1x-6交y轴与点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF∠x轴交AC于点F，2交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）∠在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；∠在∠的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为∠E上一动点，求12AM+CM的最小值.26．如图，已知抛物线()()248k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与ｙ轴交于点C ，经过点B 的直线33yx b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少．参考答案：1．A【解析】【分析】过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．根据()22222PD PC PD PC PD PJ⎛⎫+=+=+⎪⎪⎝⎭，求出DP PJ+的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．∠二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∠c＝﹣3，∠二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠A（﹣1，0），B（0，-3），∠OB＝OC＝3，∠∠BOC＝90°，∠∠OBC＝∠OCB＝45°，∠D（0，1），∠OD＝1，BD＝4，∠DH∠BC，∠∠DHB＝90°，设DH x=，则BH x=,∠222DH BH BD+=，∠2224x x+=，∠22x=，∠22DH ＝，∠PJ ∠CB ，∠90PJC ∠︒＝，∠22PJ PC ＝， ∠()22222PD PC PD PC PD PJ ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∠DP PJ DH +≥，∠22DP PJ +≥，∠DP +PJ 的最小值为22，∠2PD PC +的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．B【解析】【分析】作点A 关于BC 的对称点A'，连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E ，易得2DE = CD ，AD= A'D ，从而得出AD+ DE = A'D+ DE ，当A'，D, E 在同一直线上时，AD + DE 的最小值等于A' E 的长是3，进而求出2AD 十CD 的最小值．【详解】如图所示，作点A 关于BC 的对称点A',连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E∠∠BAC = 90o ，∠B = 60o ，AB= 2∠BH=1,AH=3,AA'=23，∠C= 30o∠DE =12CD,即2DE = CD∠A 与A'关于BC 对称∠AD= A'D∠AD+ DE = A'D+ DE∠当A'，D, E 在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt∠AA' E中：A' E= sin60o×AA'=32×23= 3∠AD十DE的最小值为3∠2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．3．5【解析】【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证∠GDI∠∠CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt∠DEF中，G是EF的中点，∠DG＝122EF ，∠点G 在以D 为圆心，2为半径的圆上运动，在CD 上截取DI ＝1，连接GI ，∠DI DG ＝DG CD＝12， ∠∠GDI ＝∠CDG ，∠∠GDI ∠∠CDG ，∠IG DI CG DG=＝12， ∠IG ＝12CG ， ∠BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ， ∠当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ， 在Rt∠BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∠BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．3332+##3332+ 【解析】【分析】作∠OCE =120°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG =32PC ；当A 、P 、G 在同一直线时，AP +32PC = AP +PG = AG 的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∠点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∠OA =3，OC =3，作∠OCE =120°，∠∠OCB =60°，则∠OCB =∠BCE =∠FCE =60°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∠CG=12PC，由勾股定理得PG=32PC，∠AP+32PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∠∠FCG=60°，∠CGF=90°，∠∠CFG=30°，∠CF=2CG，GF=32CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OF A=30°，∠AF=2OA=6，OF=333OA=，∠CF=OF-OC=333-，∠GF=32(333-)=93322-，∠AG=AF-FG=93333362222-+=+，即AP+32PC的最小值为33322+．故答案为：3332+．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+32PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．5．4【解析】【分析】【详解】思路引领：过P作PD∠AB于D，依据∠AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到∠BDP是等腰直角三角形，故PD22=PB，当C，P，D在同一直线上时，CD∠AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD∠AB于D，∠直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∠A（0，﹣3），B（3，0），∠AO＝BO＝3，又∠∠AOB＝90°，∠∠AOB是等腰直角三角形，∠∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∠∠BDP是等腰直角三角形，∠PD22=PB，∠2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD∠AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，∠ACD是等腰直角三角形，又∠点C（0，1）在y轴上，∠AC ＝1+3＝4，∠CD 22=AC ＝22， 即PC +PD 的最小值为22，∠2PC +PB 的最小值为222⨯=4，故答案为：4．6．3【解析】【分析】【详解】思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ．易证ET 12=AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题． 答案详解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝90°，∠tan∠CAB 33CB AB ==， ∠∠CAB ＝30°，∠AC ＝2BC ＝23，在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ． ∠ET ∠AM ，∠EAT ＝30°，∠ET12=AE，∠∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∠CH＝AC•sin6°＝2332⨯=3，∠12AE+EC＝CE+ET≥CH，∠12AE+EC≥3，∠12AE+EC的最小值为3，故答案为3．7．6+23326+【解析】【分析】（1）过点A作AH∠BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到（2）过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长，然后证明∠BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可.【详解】解：∠如图，过点A作AH∠BC于H．∠∠AHB=∠AHC=90°，∠∠BAC＝75°，∠C＝60°，∠∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°∠BH=AH，122HC AC==∠2223AH AC HC=-=∠AH＝BH＝23，∠BC＝BH+CH＝23+2，∠S△ABC＝12•BC•AH＝12•（23+2）3＝6+23．∠如图，过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长．∠BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∠∠MBN＝2∠ABC＝90°，∠∠BMN是等腰直角三角形，∠BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∠21243==334ABCSBJAC+=+△,∠MN的最小值为2BJ＝326+，∠∠DEF的周长的最小值为326+．故答案为：6+23，326+．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．5【解析】【分析】连接AC 、AQ ，先证明∠BCP ∠∠ACQ 得22AQ BP =即AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明∠QAE ∠∠DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可． 【详解】解：如图，连接AC 、AQ ，∠四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∠∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∠∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝22BC AC =，cos∠PCQ ＝22PC QC =， ∠∠ACB =∠PCO ，∠∠BCP ∠∠ACQ ，∠22AQ BP = ∠BP ＝2，∠AQ ＝2，∠Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∠12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∠∠QAE ∠∠DAQ ，∠12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∠12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∠225CE DE CD =+=，∠12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.9．43【解析】【分析】如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H．∠四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠∠DBC＝12∠ABC＝30°，∠MH∠BC，∠∠BHM＝90°，∠MH＝12BM，∠AM+12BM＝AM+MH，∠AT∠BC，∠∠ATB＝90°，∠AT＝AB•sin60°＝43，∠AM+MH≥AT，∠AM+MH≥43，∠AM+1BM≥43，2BM的最小值为43，∠AM+12故答案为：43．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．10．6【解析】【分析】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E AB∠CD，推出PE=12三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∠PE=12PD）=2(PB+PE)，∠2PB+ PD=2（PB+12∠当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∠∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∠PB+PE的最小值=1AB=3，2∠2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.11．45【解析】【分析】过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ，首先通过勾股定理及tan 2A =求出AE,BE 的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM BE =，然后通过锐角三角函数得出55DH BD =，进而可得出55CD BD CD DH +=+，最后利用CD DH CM +即可求值．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ．∠BE AC ⊥，∠90AEB =︒∠，∠tan 2BE A AE==， 设AE a =，2BE a =，222AB AE BE =+∠221004a a =+，∠220a =，∠25a =或25-（舍弃），∠245BE a ==，∠AB AC =，BE AC ⊥，CM AB ⊥，∠45CM BE ==（等腰三角形两腰上的高相等）∠DBH ABE ∠=∠，BHD BEA ∠=∠，∠5sin 5DH AE DBH BD AB ∠===， ∠55DH BD =， ∠55CD BD CD DH +=+，∠CD DH CM +，∠5455CD BD +， ∠55CD BD +的最小值为45, 故答案为：45．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．12．649【解析】【详解】过点E 作EF ∠AB ，过点A 作AH ∠EF 于点H ，交EF 于点D ，易知A （-1，0），B （3，0），又4tan 3EBA ∠=，则4:43BE l y x =-+，所以E （73-，649）， 因为EF ∠AB ，所以∠DEH =∠ABE ，所以4tan 3DEH ∠=，则4sin 5DH DEH DE ∠==，故1.25DE DH =. 蚂蚁从A 到H 所用的时间t =1 1.25AD DE +=1AD DH AD DH AH +=+=. 因为AH =649，所以t 的最小值是649.点晴：本题是一个求最小时间的胡不归问题，解题的关键是化12v DE v =DH ，一般的以目的地E 为角的顶点，以12sin v BEF v ∠=构造直角三角形，得到直角边EF ，再过A 作AH ∠EF 交BE 于点D ，则可解决问题. 13．(1)直线AD 是∠ABC 的自相似分割线；(2)当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)∠QAC 的正弦值为514+ 【解析】【分析】（1）根据定义证明∠DBA ∠∠ABC 即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得PA PC PB PC BC +=+≥，当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小，设BD x =，则1BC x =+ 根据DBA ABC ∽，列出方程，解方程求解即可求得BD ，进而即可求得BC 的长，即PA PC +最小值；（3）过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点Q 作QG BC ⊥于点G ，连接AG ，设CF 与AD 交于点M ，根据已知条件求得514GQ CQ -=，进而转化为514AQ CQ AQ GQ -+=+，则当Q 点落在AG 上时，点G 与点H 重合，此时514AQ CQ -+的值最小，最小值为AH ，进而根据sin sin CH QAC HAC AC ∠=∠=求解即可． (1)∠∠ABC 中，AB =AC =1，∠BAC = 108°∠∠B =∠C =12（180°-∠BAC ）= 36° ∠DE 垂直平分AB∠AD = BD∠∠B =∠BAD = 36°∠∠C =∠BAD又∠∠B =∠B∠∠DBA ∠∠ABC∠直线AD 是∠ABC 的自相似分割线．(2)如图，连接PB ，AD ，DE 垂直平分AB ，PA PB ∴=PA PC PB PC BC ∴+=+≥ 当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小， 72ADC B BAD ∠=∠+∠=︒，72DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒ ADC DAC ∴∠=∠1CD CA ∴==设BD x =，则1BC x =+ DBA ABC ∽ BD AB AB BC∴= 111x x ∴=+ 210x x ∴+-=解得：152x -±=0x x ∴=152-+ 5112BC x +∴=+= ∴P A +PC =512+ ∴当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)如图，过点A作AH BC⊥于点H，过点Q作QG BC⊥于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，AB AC=，15124CH BC+∴==由（2）知，1DC AC==CF平分ACB∠CM AD∴⊥15124DM AM AD-===sinGQMCDCQ∴∠=514DMCD-==514GQ CQ-∴=514AQ CQ AQ GQ AG-∴+=+≥AG AH≥Q∴点落在AG上时，点G与点H重合，即此时514AQ CQ-+的值最小，最小值为AHQAC HAC∴∠=∠,AB AC AH BC=⊥15124CH BC+∴==51sin sin4CHQAC HACAC+∴∠=∠==∴∠QAC的正弦值为514+【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．14．(1)见解析(2)2或6(3)1152- 【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABE ∠∠CBF ；（2）由“SSS ”可证∠ADE ∠∠ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ∠CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∠∠ABE ＝∠CBF ，又∠BE ＝BF ，AB ＝BC ，在∠ABE 和∠CBF 中， AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBF （SAS ）；(2)解：如图2，过点E 作EH ∠AB 于H ，∠∠ABE∠∠CBF，∠S△ABE＝S△CBF，∠AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∠∠ADE∠∠ABE（SSS），∠∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EH∠AB，∠∠EAB＝∠AEH＝45°，∠AH＝EH，∠BE2＝BH2+EH2，∠10＝EH2+（4﹣EH）2，∠EH＝1或3，当EH＝1时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×1＝2，当EH＝3时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×3＝6，∠S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK∠AE于K，由（1）同理可得∠ABE∠∠CBF，∠∠EAB＝∠BCF，∠∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠AGC＝90°，∠∠AGC＝∠ADC＝90°，∠点A，点G，点C，点D四点共圆，∠∠ACD＝∠AGD＝45°，∠PK∠AG，∠∠PGK＝∠GPK＝45°，∠PK＝GK＝22PG，∠MP+22PG＝MP+PK，∠当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+22PG值最小，即2 MP+PG最小，如图4，过点B作BQ∠CF于Q，∠BE＝BF＝10，∠EBF＝90°，BQ∠EF，∠EF＝25，BQ＝EQ＝FQ＝5，∠CQ＝2216511BC BQ-=-=，∠CE＝CQ﹣EQ＝115-，∠MK∠AE，CE∠AE，∠MK∠CE，∠DM MPDC CE=，又∠M是CD的中点，∠DC＝2DM，∠MP＝12CE＝1152-．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．15．（1）S△ABC=23；（2）点F坐标为（1，433）；PF＋22OP的最小值为26232+．【解析】【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣3x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得∠ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG∠l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=22OP，可得FG为PF＋22OP的最小值，过点F作FQ∠x轴，交l3于Q，可得∠FGQ为等腰直角三角形，可得FG=22FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．【详解】（1）∠l1：y＝33x＋3，∠当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，∠A（-3，0），B（0，3），∠点B直线l2：y＝﹣3x＋b上，∠b=3，∠直线l2的解析式为y＝﹣3x＋3，∠当y=0时，x=1，∠C（1，0），∠AC=4，OB=3，∠S△ABC=12AC OB⋅=1432⨯⨯=23．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∠A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∠AB2=（-3）2+（3）2=12，BC2=12+（3）2=4，AC2=42=16，∠AC 2=AB 2+BC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠点C ′在直线l 2上，∠点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∠CC ′=2BC =4，设点C ′（m ，﹣3m ＋3，）∠（m -1）2+（﹣3m ＋3）2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∠点C ′在第二象限，∠m =-1，∠﹣3m ＋3=23，∠FC=FC′，∠EF ＋CF =EF+FC′，∠当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∠2350k b k b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线C ′E 的解析式为35333y x =-+， 联立直线C ′E 与l 1解析式得35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：1433x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠F （1，433）． 如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ∠l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ∠x 轴，交l 3于Q ，∠直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∠∠GOP是等腰直角三角形，∠PG=22OP，∠G、P、F三点共线时，PF＋22OP的值最小，最小值为FG的长，∠∠GOP=45°，∠POE=90°，∠∠EOQ=45°，∠∠FQO=45°，∠∠FGQ是等腰直角三角形，∠FG=22FQ，∠F（1，433），直线l3的解析式为y=-x，∠Q（1，-1），∠FQ=433-（-1）=433+1，∠FG=22FQ=22×（433+1）=26232+，∠PF＋22OP的最小值为26232+．【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．16．（1）33y x=-+；（2）F（1，433），PF+22OP的最小值为22623+；【解析】【分析】（1）求出B（0，3），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K∠y轴交K点，易证△C'KB∠∠COB（AAS），则C'的纵坐标为23，即可求C'（-1，23），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+22OP的值最小，过F作FG∠x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∠B（0，3），∠OB=3，∠∠OBC=30°，∠OC=BO•tan30°=3×313=，∠C（1，0），设直线l2的解析式为y=kx+b，则3bk b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∠33kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∠直线l2的解析式为33y x=-+；（2）令y=0，则3303x+=，∠x=-3，∠A（-3，0），∠OA=3，∠tan∠ABO=333AOBO==，∠∠ABO=60°，∠∠ABC=90°，∠C点关于直线l1的对称点C'在l2上，如图1，过点C '作C 'K ∠y 轴交K 点，∠∠KBC '=∠CBO ，∠C 'KB =∠BOC ，BC =BC '，∠∠C 'KB ∠∠COB （AAS ），∠BK =BO =3，∠C '的纵坐标为23，∠3323x -+=，∠x =-1，∠C '（-1，23），连接C 'E 交l 1于F ，∠EF +CF =EF +C 'F ≥C 'E ，∠当C '、E 、F 三点共线时，EF +CF 的值最小为C 'E ，设直线C 'E 的解析式为y =kx +b ，∠E （5，0），C '（-1，23），则5023k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， ∠33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠35333y x =-+，∠35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得x =1，∠F （1，433）， 作第二、四象限的角平分线l 3，，过点F 作FQ ∠l 3，，交y 轴于点P ，交l 3，于点Q ， 在Rt △PQO 中，∠POQ =45°，∠22OP PQ =， ∠PF +22OP =PF +PQ ≥FQ ， 当P 、F 、Q 三点共线时，PF +22OP 的值最小， 过F 作FG ∠x 轴交l 3，于点G ，∠∠FQG 为等腰直角三角形，∠FQ =22FG ， ∠l 3，的解析式为y =-x ，∠G （1，-1），∠FG =1+433， ∠FQ =22+263， ∠PF +22OP 的最小值为22+263． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将22PF OP 转化为求FQ 的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．17．（1）3b =；（2）237(,)33M ；（3）92 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出ODM △的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN x ⊥轴交于点N ，则12OM MF OM MN +=+，即可转化为求OM MN +的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O '，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，交一次函数于点M ，即OM MN +的最小值为O N ''，算出长度即可．【详解】（1）在33y x b 中，令0x =，则y b =， ∴点D 的坐标为(0,)b ，OD BE =，(23,4)B ，(23,4)E b ∴-，把(23,4)E b -代入33yx b 中得：34233b b -=-⨯+， 解得：3b =； （2）由（1）得一次函数为333y x =-+，(0,3)D ，(23,1)E ， 3OD ∴=，1AE =，23=OA ，11=()(31)234322OADE S OD AE OA ∴+⋅=⨯+⨯=四边形， ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3， ODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，134ODM OADE S S ∴==四边形， 设点M 的横坐标为a ，则1332a ⨯=， 解得：233a =， 把233x =代入333y x =-+中得：73y =， 237(,)33M ∴； （3）如图所示，过点M 作MN x ⊥轴交于点N ， 30DFO ∠=，12MN MF ∴=， 12OM MF OM MN ∴+=+，作点O 关于一次函数的对称点O '，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，OM O M '∴=，12OM MF OM MN O M MN '∴+=+=+，当O '、M 、N 在同一直线时O M MN '+最小，即12OM MF OM MN O M MN '+=+=+的最小值为O N ''，30DFO ∠=︒，60ODF ∴∠=︒，30DOQ ∠=︒，903060O ON ''∠=︒-︒=︒，在Rt ODQ 中，333sin 60322OQ OD =⋅︒=⨯=， 233OO OQ ∴=='，在Rt ON O ''中．39sin 603322O N OO =︒='⨯=''， 12OM MF ∴+的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 18．（1）y =32（x 12-）2938-，（12，938-）；（2）（12，72）或（12，72-）或（12，153+2-）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）334【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案详解：（1）由题意03420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得 32323a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，∠抛物线解析式为y 32=x 232-x 3-， ∠y 32=x 232-x 332-=（x 12-）2938-，∠顶点坐标（12，938-）； （2）设点M 的坐标为（12，y ）．∠A （﹣1，0），B （0，3-）， ∠AB 2＝1+3＝4．∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ， 则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝±72，即此时点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ， 则（12）2+（y 3+）2＝4，解得y 1532=-+或y 1532=--，即此时点M 的坐标为（12，1532-+）或（12，1532--）；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ， 则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y 3+）2，解得y 36=-，即此时点M 的坐标为（12，36-）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）或（12，1532-+）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）如图，连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∠OA ＝1，OB 3=，∠tan∠ABO 33OA OB ==， ∠∠ABO ＝30°， ∠PH 12=PB ， ∠12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ， ∠此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt∠ADH 中，∠∠AHD ＝90°，AD 32=，∠HAD ＝60°， ∠sin60°DHAD=， ∠DH 334=， ∠12PB +PD 的最小值为334． 19．3 【解析】 【分析】【详解】思路引领：(胡不归经典)作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM的长，答案详解：如图，作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，∠CD ′12=OD ′ 所以当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∠在Rt∠OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2 ∠OC ＝1， ∠CM 3=．答：MD 12+OD 的最小值为3．20．（1）241620999x x -++；（2）∠32；∠245【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）∠先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；∠根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ∠AC 于G ，可得PG35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解． 答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∠抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∠D （2，0）， 又∠43CDtan CBD DB∠==， ∠CD ＝BD •tan∠CBD ＝4， 即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5）， 解得 49a =-，∠二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++； （2）∠设P （2，t ），其中0＜t ＜4， 设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∠0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，， 解得 4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∠点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， ∠221244t EF t t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∠∠BCF 的面积12=⨯EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∠当t ＝2时，∠BCF 的面积最大，且最大值为32；∠如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∠35AD sin ACD AC ∠==， 过点P 作PG ∠AC 于G ，则在Rt∠PCG 中，35PG PC sin ACD PC =⋅∠=，∠35PC PB PG PB +=+， 过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ， ∠线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∠11641222ABCSAB CD =⨯⨯=⨯⨯=， 又∠1522ABCSAC BH BH =⨯⨯=， ∠5122BH =， 即245BH =， ∠35PC PB +的最小值为245．21．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.【解析】 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点()1,0A -代入可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)作EMy 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建关。
中考数学复习最值问题 专题03 中考数学专题复习最值问题(将军饮马)练习(原卷版)
中考数学专题复习最值问题（将军饮马）练习一、选择题：1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC 上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4 B．4.5 C．5.5 D．52．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB+最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．3．如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y 关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．73B．33C．83D．3 64．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）A 26B ．3C ．7D ．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（ ）A ．1.5B ．1.2C ．2.4D ．以上都不对6．如图所示，已知A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y 2=x 图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（72，0） C ．（53，0） D ．（52，0）7．如图，矩形ABCD 中，46AB BC ==，，点P 是矩形ABCD 内一动点，且12PAB PCD S S ∆∆=，则PC PD +的最小值是（ ）A ．43B ．5C ．213D ．298．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题9．如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM ∆周长的最小值是_______________．10．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，6AD=，点F是线段AD上的动点，则BF EF+的最小值为______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______．12．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．13．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为___．14．如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．15．如图，在Rt ABC中，90AC BC==，点D在BC边上，且1∠=︒，4ACBCD=，点P是AB上一动点，连接PC、PD，则PC PD+的最小值为______．16．如图，P是AOB∠内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若30∠=︒，AOBOP=，则PMN的周长的最小值为___________.3三、解答题17．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．（1）画出△ABC关于直线MN对称的111△．A B CAA的长度．．（2）若B为坐标原点，请写出1A、1B、1C的坐标，并直接写出1（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN 上画出点D，使AD DC+最小．（保留作图痕迹）18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．19．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC 按如图方法放置，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，已知OA =2，OB =4，点D 在边AC 上，且AD =1．解答下列问题．（1）点C 的坐标为 _______；（2）在x 轴上有一点E ，使得△CDE 的周长最短，求出点E 的坐标及直线CE 的解析式．（3）在平面直角坐标系内是否存在点P ，使得以C 、D 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．问题提出（1）在图1中作出点B 关于直线AC 的对称点'B问题探究（2）如图2，在ABC 中，6AB AC ==，120BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，P 为线段BC 上一点，求AP DP +的最小值.问题解决（3）如图3，四边形ABCD 为小区绿化区，DA DC =，90ADC ∠=︒，663AB =+12BC =，30B ∠=︒，AC 是以D 为圆心，DA 为半径的圆弧.现在规划在AC ，边BC 和边AC 上分别取一点P ，E ，F ，使得DP PE EF PF +++为这一区域小路，求小路长度的最小值.21．如图，在矩形ABCD 中，2AD =，4AB =，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF AC ⊥于点M ，连接AF ，CE ，求AF CE +的最小值．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 为对角线BD 上的动点，且2EF 连接CE 、CF ，求CEF △周长的最小值．23．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 、F 分别是AD 、 AB 上的点，且,AE AB =2AF =，若P 、Q 分别是BC 、CD 边上的动点，求四边形EFPQ 周长的最小值．24．在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．25．已知Rt△ABC 中∠C ＝Rt ∠，且BC ＝9，∠B ＝30°．（1）如图1、2，若点D 是CB 上一点，且CD ＝3，点E 是AB 上的动点，将△DBE 沿DE 对折，点B 的对应点为B ′（点B ′和点C 在直线AB 的异侧），DB ′与AB 交于点H ．①当∠B ′EA ＝20°时，求∠EDB 的度数．②当△B ′HE 是等腰三角形时，求∠DEB 的度数．（2）如图2，若点D 是CB 上一点，且CD ＝3，M 是线段AC 上的动点，以∠MDN 为直角构造等腰直角△DMN （D ，M ，N 三点顺时针方向排列），在点M 的运动过程中，直接写出CN +NB 的最小值．。
中考专题复习——几何最值问题
中考数学专题复习—几何最值问题一、知识点睛在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）二、考点剖析，分类探究（一）线段之和最小问题P A+PB 最小， 需转化， 使点在线异侧B l1. （2014年贵州南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A(1,0)，B(2,0)是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为_____ 。
（二）线段之差最大问题2.（2013年江苏省宿迁市）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0,1），B（1,2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是_____ 。
（三）应用垂线段最短求最值问题3.（2014年葫芦岛）如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是_____ 。
（四）图形周长最值问题4. (2015年盘锦）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为_____ 。
（五）表面展开最值问题5. 如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为_____ 。
（六）图形面积的最值问题6.（2014年湖北省十堰市）如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，求图中阴影部分的面积。
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
专题01 中考数学专题复习最值问题(阿氏圆)练习
中考数学专题复习最值问题（阿氏圆）练习1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．【答案】B【解析】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案解析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴PC CM CA CP=，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴13 PM PCPA AC==，∴PM13=PA，∴13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM==∴13AP +BP ，∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O ＋PB 的最小值为________．【答案】【分析】＋PB （PA PB ）PB 即可解答．【解析】解：设⊙O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB r ＝，取OB PI ，∴OI ＝IB∵OP OI =，OB OP ==，∴OP OBOI OP= ，∠O 是公共角，∴△BOP ，∴PI PB =，∴PI ，∴AP ＝AP ＋PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO ＝∴IE ＝BE ＝1，∴AE ＝AB −BE ＝3，∴AI =∴AP 最小值＝AI＋PB （PA PB ），＋=．故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．3．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【解析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，31232BM BP ==Q ，3162BP BC ==BM BPBP BC\=PBM CBP Ð=ÐQ \BPM BCP△∽△12MP BM PC BP \==12MP PC \=12PD PC PD MD\-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，Q 四边形ABCD 是正方形90C \Ð=°在Rt CDM V 中，152DM ===故答案为：152．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键．4．如图，在V 90,2B AB CB Ð=°==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA +的最小值是___________．【分析】作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC =接着证明△BPD ∽△BCP 得到PD =，所以PAPC ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到PA 的最小值．【解析】解：作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，∵AC 为切线，∴BH 为⊙B 的半径，∵∠90°＝CB ＝2，∴AC =＝∴BH 12=AC∴BP =∵PB BC BD BP ==，而∠PBD ＝∠CBP ，∴△BPD∴PD PC ∴PD =，∴PA ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD =∴PA+即PA【点睛】：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD=．也考查了等腰直角三角形的性质．5．如图，在Rt ABCD中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 E F上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明PAT BAPD D∽，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【解析】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝ABPA，∵∠PAT＝∠PAB，∴PAT BAPD D∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTD中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12 PC的最大值为_____．【答案】5【解析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．解析: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．7．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【解析】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值k OPOB=；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OPOP OB=构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA ＋K *PB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．∴本题求“PA ＋k ·PB ”的最小值转化为求“PA ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．8．如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．【答案】【分析】连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．由题意易证OPC OEP V :V ，即得出2PE PC =，从而得出2PC PD PE PD +=+，由此可知当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长，最后在Rt OED △中利用勾股定理求出DE 的长即可．【解析】如图，连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．∵C 是OA 的中点，∴1122OC OA OP ==．∴在△OPC 和△OEP 中，12COP POE OC OP OP OE Ð=Ðìïí==ïî，∴OPC OEP V :V ，∴1=2PC PE ，即2PE PC =，∴2PC PD PE PD +=+，.∴当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值即为DE 的长，如图，在Rt OED △中，DE ===，∴2PC PD +的最小值为．【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长是解答本题的关键．9．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD 的最小值．【答案】（1）见解析；（21 ；（3【分析】（1）利用SAS ，即可证明△FCA ≌△DCB ；（2）分两种情况当点D ，E 在AB 边上时和当点E ，F 在边AB（3）取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，可证得△DCM ∽△ACD ，可得DM ，从而得到当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，即可求解．【解析】（1）证明： ∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）；（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴sin 45ACAB ==°∵CD ⊥AB ，∴AD AC =´=∴BD ＝1==；②如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD ＝CF ＝sin 452BC ´°==AD∴BD =综上所述，BD 1+（3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，∵CD CM ＝1，CA ＝2，∴CD 2＝CM •CA ，∴CD CA ＝CMCD，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△∴DM AD ＝CD AC ，∴DM ，∴BD ＝BD +DM ，∴当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，最小值BM ==【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接BC ，且tan∠CBD 4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连接PB ，求35PC ＋PB 的最小值．【答案】（1）241620999x x -++；（2）①32；②245【解析】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t æö--ç÷èø，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；②根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ⊥AC 于G ，可得PG 35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解．答案解析：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵43CDtan CBD DBÐ==，∴CD ＝BD •tan∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 49a =-，∴二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++；（2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴0542.k b k b =+ìí=+î，，解得 4320.3k b ì=-ïïíï=ïî即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∴点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t æö=-ç÷èø，即2315244F t t t æö--ç÷èø，，∴221244t EF t t t t æö=--=-ç÷èø，∴△BCF 的面积12=´EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32；②如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴35AD sin ACD AC Ð==，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt△PCG 中，35PG PC sin ACD PC =×Ð=，∴35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∵11641222ABC S AB CD =´´=´´=V ，又∵1522ABC S AC BH BH =´´=V ，∴5122BH =，即245BH =，∴35PC PB +的最小值为245．11．问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD D ∽BCP D ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．【答案】（1；（2（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，即可证明PCD V ∽ACP △，得到13PD AP =，即13AP BP PD BP +=+，所以13AP BP +的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，即可证明OAP △∽OPE V ，得到2EP PA =，即2PA PB EP PB +=+，所以2PA PB +的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．【解析】（1）根据题意可知，当A 、P 、D 三点共线时，12AP BP +最小，最小值AD ====．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，则有13CD CP CP CA ==，∵PCD ACP Ð=Ð，∴PCD D ∽ACP △，得13PD CD AP CP ==，∴13PD AP =，故13AP BP PD BP +=+，仅当B 、P 、D 三点共线时，13AP BP +的最小值BD ====．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，则12OA OP OP OE ==，∵AOP POE Ð=Ð，∴OAP △∽OPE D ，∴12OA OP AP OP OE EP ===，∴2EP PA =，∴2PA PB EP PB +=+，仅当E 、P 、B 三点共线时，13EP PB BE +====，即2PA PB +的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出PCD V ∽ACP △和OAP △∽OPE V 是解题的关键．本题较难．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OB OA =，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【答案】（1）y 13=x 2﹣3；（2）；（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 的3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【解析】（1）由题意A 0），B 0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x（x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2﹣3．（2）在Rt△AOC 中，tan∠OAC OCOA==，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°＝D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2，H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13﹣3）解得m =，∴当时，m ．（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F 0），H （．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC ==2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KHAH HQ=．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.。
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专题复习——求最短路径问题
最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．
类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题
如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？
【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小．
本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．
1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(22，－22)
C ．(－22，－22)
D ．(－12，－12
)
2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10
3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________．
4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据．
类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
(1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．
【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；
(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；
(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE 相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．
1．如下左图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( ) A. 3 B．2 3 C．2 6
D. 6
2．如上中图，在四边形ABCD 中，∠C ＝50°，∠B ＝∠D＝90°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( )A ．50° B ．60° C ．70° D．80°
3．如上右图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为________．
4．如下左图，∠AOB＝30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且OP ＝6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为________．
5．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如上中图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为____________．
6．如上右图，已知抛物线y ＝－1m
(x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．
(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标．
7．如下左图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3x
(k 为常数，且k≠0)的图象交于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
8．如上右图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一动点，
⊙O 的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴
上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y ＝45
x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；。