高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总

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求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

4MM6AB?BMAM,相交于，直线．已知线段，求点，且它们的斜率之积是例19的轨迹方程。x ABAB(3,0)B(A?3,0),y，所在直线为垂直平分线为解：以轴，轴建立坐标系，则

y(k?x??3)BMMAM)y(x,的斜，直线，则直线设点的坐标为的斜率AM x?3y(x?3)k?率AM3?x4yy3)???(x?由已知有9?x3x?322yx??1(x??3)M的轨迹方程为化简，整理得点94练习：

Px?4P(10,0)F的轨迹方．1平面内动点，到点则点的距离之比为的距离与到直线2程

是。

22x ABPll4??2yx上满足交于．设动直线两点，垂直于、轴，且与椭圆是2PA?PB?1P的轨迹方程。的点，求点

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线

2．定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

AB30ABCAC?(8,0)B(C?8,0),，2例．若的两顶点，和为两边上的中线长之和是?ABC。

_______________的重心轨迹方程是则．

AB30ABCAC?)(x,yG可得，则由两边上的中线长之和是的重心为和解：设

2?30??CG?20BGG(8,0)8,0),CB(?B,C的轨迹为以，而点为定点，所以点3为焦点的椭圆。

228?20,c?2a?c?a6?a?10,b可得所以由22yx??1(y?0)?ABC的重心轨迹方程是故

10036练习：

22?|x?y?(y?1)x2(?1)2|?表示的曲线是（ 4）．方程

A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线

3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y),B(x,y)x?x，的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得221211x?x2x?x?xyy?yy?AB),yP(x，

的中点等关系式，由于弦，，的坐标满足21212121y?y12y??y2y ABAB中点的轨迹方程。，由此可

求得弦且直线的斜率为21x?x1222yx??1P(1,1)P点平分,则该弦所在直线方程为的弦

恰被例中,过3．椭圆42_________________。

A(x,y)B(x,y)(1,1)P，则有、的直线交椭圆于解：设过点11222222yyxx2112??1??1② ① 4242(x?x)(x?x)(y?y)(y?y)21121122??0?②可得①

242?yx?x?2,y?AB(1,1)P的中点，故有而为线段

2112(x?x)?2(y?y)?2y?y11121122k?????0??所以，即

AB2x?242x211(x?1)y?1??02?y?3x?所以所求直线方程为化简可得2练习：

22ABABM2)P(2,my?2x?的中点交于、．5已知以为圆心的圆与椭圆两点，求弦的轨迹方程。．

2y2?1x?PlB(1,1),AP能否作一条直线使，6．已知双曲线与双曲线交于两点，过点2AB的

中点？为线段4．转移法

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：

P在已知方程的曲线上移动；①某个动点MP的变化而变化；②另一个动点随PM满足一定

的规律。③在变化过程中和22yx??1FF,FFP?PG的重心是以为焦点的双曲线求上的动点，的例4．已知2121169轨迹方程。

P(x,y)F(?4,0),F(4,0)),yG(x，因为解：设重心，点2010?4?4?x?022?xyx?xx?3? ?0003

代入则有，故1???? y?0?0y3y?16900???y? 3?2x92?1(yy?0)?得所求轨迹方程162FABAFl yx4?1)(0,?、再以作直线两点交抛物线的焦点为5．抛物线,,过点、例BFAFBRR的轨迹方程。为邻边作平行四边形，试求动点xy?1)P(,AFBR(0,1)FR(x,y)，∴平

行四边形，的中心为解法一：（转移法）设，∵22204?x?4kx?1y?kx?，代入抛物线

方程,，得将

)(xy,,A(xy),B，则设22112?1?|k|16k??160???????k?4??4kxx??xx①

??2211??4?4?xxxx????2211222xx)?2x(x?xx?2221112y?2?y?4??k∴，

2144．

x?xx?21??2k?x?4k??22?ABPk∵得为∴的中点.，消去

??y?y21y?y?4k?3??2211???2k? 22?22R?4(y?3)(|xx|?4)3)?4(xy?4||?x。的轨迹方程为，由①得，，故动点xy?1),P(AFBR(0,1))FR(x,y，，∵的中心为，∴平行四边形解法二：（点差法）设22)yA(x,y),B(x,设，则有211222?4xyyx4?②①

2211?(x?x)(x?x)?4(y?y)?x?x?4k由①③②得l12211122y?1?1xy?3

2x?x?2??x,k??ABPl1)?(0,代的中点且直线，所以而过点为l21x2x

22?x123y?2x?4?x?4y?12?y?④，化简可得入③可得

x4xy?1xy?122?8(y?4??x)()P(,1)?⑤在抛物线口内，可得由点

22222?12x22?16?|x|??1)?x4x?8(将④式代入⑤可得42R?4(y?3)(|xx|?4)。的轨迹方程为故动点

练习：