凹凸函数之切线放缩
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中的不等式证明命题角度1 构造函数【典例1】 已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．（1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．命题角度2 放缩法【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++【典例4】 已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e+'+<+.命题角度3 切线法【典例5】 已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为.A .18B .1C .19D - 【变式训练】 设2D a =+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为.A .B .1C .1A【能力提升】 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F '<.【典例8】 已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，【典例9】 已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.【典例10】 已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ， 9. 04B ⎫⎛- ⎪⎝⎭ ，().2 0C - ， ().1 D +∞ ，命题角度5 函数凹凸性的应用【典例11】 已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．【典例12】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.【典例13】 已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【典例14】 函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（1）求a 的值；（2）证明：对于任意正整数n ，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【典例15】 已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.答 案导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
导数与函数放缩问题之切线法放缩
导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全切线放缩公式是微积分中的重要概念之一，它在曲线的切线近似及其应用中起到了关键作用。
本文将为您介绍切线放缩公式的相关内容。
一、切线的定义在微积分中，对于给定函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处，函数的切线是通过该点且与函数图像在该点相切的线。
切线的斜率等于函数的导数在该点处的值，切线的方程可以通过斜率和点的坐标得到。
二、切线的斜率对于函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处的切线斜率可以通过函数的导数在该点处的值f'(x_0)计算得到。
切线的斜率公式如下：k=f'(x_0)三、切线放缩公式切线放缩公式是指通过一个点的切线来近似曲线的局部行为。
在切线放缩公式的推导中，关键是需要利用到函数的导数。
1. 斜率形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，对于点(x_0, y_0)处的切线近似曲线的情况，可以使用切线的斜率和点的坐标来表示切线放缩公式。
切线放缩公式如下：y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)2. 一阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用一阶泰勒展开来近似曲线的局部行为。
一阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)3. 二阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用二阶泰勒展开来更精确地近似曲线的局部行为。
二阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2四、切线放缩公式的应用切线放缩公式在微积分中有广泛的应用，特别是在近似计算、求解极限、曲线的性质分析和图像的绘制等方面。
以下是切线放缩公式的一些应用案例：1. 近似计算通过使用切线放缩公式，可以对函数在某一点附近的取值进行近似计算，避免了对整个函数进行详细计算的复杂性。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔(三)
-1-
②若 a 0 ，如图，总有 x3 x1 ，欲使 x4 x2 ，亦即
1 4a 9 a 1 a 2 2a 9 ， 2 2
所以 4a 9 a a 2 2a 9 ，即 0 4 a 9 a a 2 2 a 9 ， 两边平方，化简可得 4a 9 1 ，所以 a 2 .
命题角度 5
函数凹凸性的应用
【典例 10】（2018 届合肥三模）已知函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，函数 g x x 2 a 1 x 2 有 零点 x3，x4 ，且 x3 x1 x4 x2 ，则实数 a 的取值范围是
结合函数图象，欲使 x3 x1 x4 x2 ，则 2 a 0 ，所以实数 a 的取值范围是 2， 0 .正确答案为 C. 思路 4 ： （特例法）令 a 2 ，则函数 f x x 2 x 有零点 x1 =0，x2 1 ，函数 g x x 2 x 2 有零点
【评注】 同理，g x3 f x3 a 1 x3 0 a 1 x3 ，g x4 f x4 a 1 x4 0 a 1 x4 ， 所以 x3 1 x4 ，
0 . 故 g 1 a 2 0 ，即 a 2 ，所以实数 a 的取值范围是 2，
0 .正确答案为 C. 所以实数 a 的取值范围是 2，
思路 3：因为函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，
所以 x 2 x 2 a 的解分别为 x1，x2 ， 因为函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ， 所以 x 1 a 的解分别为 x3，x4 ， 令 h x x 2 x 2,u x x 1 ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 , 1, 2 , 2,0 ，如图所示，
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
导数中不等式的证明是历年的高考中一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
今天将会通过五个方面系统的介绍一些常规的不等式的证明手段。
总的来说：
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
这五种命题角度，五种解题方法，同学们一定要会呢！导数在高考中占的比重还是挺大的！。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全1.切线放缩公式在数学中，切线放缩公式是一组用于计算图形放缩前后相似性的公式。
这些公式可以用于计算曲线的切线斜率、曲率和其他相关参数。
下面是一些常用的切线放缩公式。
1.1切线斜率放缩公式设曲线方程为y=f(x)，其上特定点(x0,y0)处的切线斜率为m0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的切线斜率为m0'。
切线斜率放缩公式为：m0'=m0*(h/k)这个公式说明了切线的斜率在放缩时也要按比例放缩。
1.2曲率放缩公式曲率是刻画曲线弯曲程度的一个参数。
在进行放缩时，曲线的曲率也会发生变化。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线上特定点(x0,y0)处的曲率为κ0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的曲率为κ0'。
曲率放缩公式为：κ0'=κ0*(1/k)这个公式说明了曲率在放缩时反比于放缩比例。
1.3其他放缩公式除了切线斜率和曲率的放缩公式外，还有一些其他常用的公式可以用于图形的放缩。
比如，如果对一个图形进行放缩，横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则图形的面积会变为原来的k*h倍，周长也会按比例放大。
如果放缩比例为k=h，则图形的面积和周长都会变为原来的k^2倍。
2.应用举例以下是一些切线放缩公式的应用举例：2.1切线斜率放缩应用假设有一曲线方程为y=x^2，点(1,1)处的切线斜率为2、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大3倍，纵坐标放大2倍。
则新的曲线方程为y'=2*(3x)^2=18x^2，对应点(1,2)处的切线斜率为2*(2/3)=4/32.2曲率放缩应用假设有一曲线方程为 y = sin(x)，点(π/2, 1)处的曲率为 1、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大2倍，纵坐标放大3倍。
凹凸函数之切线放缩
凹凸函数之切线放缩很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。
这里特例举几个题目来谈谈它的应用。
例1、()[]23,0,31x f x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++= ，则122010()()()f a f a f a +++ =6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ==== 时，122010()()()f a f a f a +++ =6030对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N *<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++ []12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++= 例2、已知函数2901x f x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，令()0f x '=，解得x a =±（负值舍去），由122a <<，解得144a <<．（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．（ⅲ）当144a <<时， 在12x a <<时，()0f x '>，在2x a <<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a （．（2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=，即22at =或25at =，…①由()2f t t a =-+，有2921t a t at =-+，…②由①、②解得2a =或544a =．（3）当2a =时，29()12x f x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f = ，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方．下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+（），当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ，121414x x x +++= ，1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= ．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立，必须42λ≥．又 当12141x x x ==== 时，满足条件121414x x x +++= ，且1214()()()42f x f x f x +++= ，因此，λ的最小值为42．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设g(x)=211x +,则g´(x)=222(1)x x -+，g´´(x)=2232(31)(1)x x -+，由g´´(x)＜0得-33＜x＜33，g´´(x)＞0得x＞33或x＜-33，∵g(x)在R 上连续，故g(x)=211x +在［-33，33］上是上凸的，在区间(-∞，-33)，(33，+∞)上是下凸的。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。
求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。
典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。
1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。
典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。
1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。
典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。
1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。
典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。
1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转
导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若均为任意实数，且,,x a b ，则的最小值为()()22231a b ++-=()()22ln x a x b -+-.A .18B .1C .19D -【解析】由于均为任意实数，且，所以动点到定点,a b ()()22231a b ++-=(),P a b ()2,3C -的距离为定值1，亦即动点的轨迹是以(),P a b 为圆心，半径的圆，()2,3C -1r =表示与动点(),P a b 的距离，而的轨迹是曲线(),ln Q x x (),ln Q x x，ln y x =如图，，当且仅当共线，1PQ CQ PC CQ ≥-=-,,C P Q 且点在线段上时取等号，以为圆心作半径为的圆P CQ C r 与相切，切点是，此时的公切线与半径ln y x =(),ln Q x x 垂直，，即，结合函数 ln 3112x x x-⋅=-+()()ln 13x x x =--+与的图象可知，所以，ln y x =()()13y x x =--+()1,0Q 11PQ CQ PC CQ ≥-=-≥故的最小值为.正确答案为D .()()22ln x a x b -+-()2119=-【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设，其中2D a =+，则的最小值为2.71828e ≈D.A .B .1C .1A +【解析】表示点与点之间的距离，而(),x P x e (Q a PQ点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线， (),x P x e x y e =(Q a ()240y x y =≥如图所示，又点到直线的距离为， (Q a 0x =a 自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，Q 1x =-结合抛物线的概念可得2D a =+，所以，当且仅当共线，11PQ QH PQ QF =++=++11D PQ QF PF =++≥+,,P Q F又以为圆心作半径为的圆与相切，切点是，此时的公切线与半径垂直，F r x y e =(),x P x e ，即，所以，故.正确答案为C . 11xx e ex ⋅=--0x =min PF =min 1D =【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意，不0,b a R >∈等式恒成立，则实数的最大值为()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦m 【答案】..A .2B .C e .3A B 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数，曲线在点()2ln f x x ax b x =++()y f x =处的切线方程为.()()1,1f 2y x =（1）求实数的值；,a b （2）设分别是函数的两个零点，求()()()()21212,,0F x f x xmx m R x x x x =-+∈<<()F x 证：.0F '<【解析】（1）；1,1a b ==-（2），，， ()2ln f x x x x =+-()()1ln F x m x x =+-()11F x m x'=+-因为分别是函数的两个零点，所以，12,x x ()F x ()()11221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得，1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F mx x -'=+-=-要证明，只需证.0F '<1212ln ln x x xx -<-思路一：因为，只需证.120x x <<1122ln ln ln 0x x x x ->⇔>令，即证.()0,1t =12ln 0t t t-+>令，则，()()12ln 01h t t t t t=-+<<()()22212110t h t t t t -'=--=-<所以函数在上单调递减，，即证.()h t ()0,1()()10h t h >=12ln 0t t t-+>由上述分析可知.0F '<【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把转化为的函数，12,x x t 常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，12,x x 12111222,ln ,,x x x xt t t x x t e x x -===-=可称之为构造比较函数法.思路二：因为，只需证， 120x x <<12ln ln 0x x ->设，则())22ln ln 0Q x x x x x =-<<， ()110Q x xx '====<所以函数在上单调递减，，即证. ()Q x ()20,x ()()20Q x Q x >=2ln lnx x ->由上述分析可知.0F '<【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于（或）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，1x 2x 达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明，只需证0F '<1212ln ln x xx x -<-即证，由对数平均数易得.1212ln ln x x x x ->-【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于，则，其中称之为对0,0,a b a b >>≠2ln ln a b b a b a +->-ln ln b ab a--数平均数.简证如下：不妨设，只需证明即可，即()1b ax x =>112ln x x x+->>（下略）. ()21ln 1x x x -<+【典例8】（A 10联盟2018年高考最后一卷）已知函数.()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈（1）当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值0b =()()0f x g x +=()0,+∞a 范围；（2）当时，设是函数两个不同的极值点，0a b =>12,x x ()()()F x f x g x =-证明：. ()12ln 22x x a +<【解析】（1）因为，所以，即，()()0f x g x +=20xe ax +=2xe a x-=设，则，()()20xe h x x x=>()()32xx e h x x -'=所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()0,2()2,+∞，当时，，当时，，()()224e h x h ≥=0x →()h x →+∞x →+∞()h x →+∞要使方程在区间上有两个不同的实数根，则，解得()()0f x g x +=()0,+∞24e a ->，24e a <-故的取值范围是；a 2,4e ⎫⎛-∞-⎪ ⎝⎭【一题多解】本题也可以变形为，转化为过原点的直线与函数x e ax x =-y ax =xe y x=-图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意，，， ()2x F x e ax ax =--()2x F x e ax a '=--因为是函数两个不同的极值点，12,x x ()()()F x f x g x =-不妨设，，即，12x x <()()120,0F x F x ''==121220,20x x e ax a e ax a --=--=两式相减得.12122x x e e a x x -=-要证，即证明，()12ln 22x x a +<1222x x e a +<只需证，即，亦即. 1212212x x x x e e ex x +-<-12122121x x x x e e x x ---<-()121221210x x x x x x e e ----+>令，只需证当时，不等式恒成立， 1202x x t -=<0t <2210t t te e -+>设，则()()2210t t Q t te e t =-+<，()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-易证，所以，()10t t e t +<<()0Q t '<所以在上单调递减，，即.()Q t (),0-∞()()00Q t Q >=2210t t te e -+>综上所述，成立. ()12ln 22x x a +<【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题. 【典例9】（2018届合肥三模）已知函数有两个极值点 (e 为自然()212x f x e x ax =--12x x ，对数的底数).（1）求实数的取值范围； a（2）求证：.()()122f x f x +>解析：（1）由于，则，()212x f x e x ax =--()x f x e x a '=--设，则. ()()x g x f x e x a '==--()1x g x e '=-令，解得.()10x g x e '=-=0x =所以当时，；当时，. () 0x ∈-∞，()0g x '<()0,x ∈+∞()0g x '>所以.()()min 01g x g a ==-当时，，所以函数单调递增，没有极值点；1a ≤()()0g x f x '=≥()f x 当时，，且当时，；当时，1a >()min 10g x a =-<x →-∞()g x →+∞x →+∞.()g x →+∞此时，有两个零点，不妨设，则， ()()x g x f x e x a '==--12x x ，12x x <120x x <<所以函数有两个极值点时，实数的取值范围是；()212x f x e x ax =--a ()1,+∞【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数()f x ()f x '与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.x y e =y x a =+a ()1,+∞（2）由（1）知，为的两个实数根，，在上单调12x x ，()0g x =120x x <<()g x () 0-∞，递减.下面先证，只需证. 120x x <-<()()210g x g x -<=由于，得，()2220x g x e x a =--=22x a e x =-所以.()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+设，则， ()()20x x h x e e x x -=-+>()120x x h x e e'=--+<所以在上单调递减， ()h x ()0 +∞，所以，，所以.()()00h x h <=()()220h x g x =-<120x x <-<由于函数在上也单调递减，所以. ()f x ()1 0x ，()()12f x f x >-要证，只需证，()()122f x f x +>()()222f x f x -+>即证.222220x x e e x -+-->设函数，则. ()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，()2x x k x e e x -'=--设，则，()()2x x x k x e e x ϕ-'==--()20x x x e e ϕ-'=+->所以在上单调递增，，即. ()x ϕ()0+∞，()()00x ϕϕ>=()0k x '>所以在上单调递增，. ()k x ()0+∞，()()00k x k >=故当时，，则，()0x ∈+∞，220x x e e x -+-->222220x x e e x -+-->所以，亦即.()()222f x f x -+>()()122f x f x +>【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得120x x <-<出.。
不得不看的高考数学导数解题技巧切线放缩
题 型：切线放缩问题解法突破：顾名思义是构造函数不等式的一种常用方法，多用于将指数、对数、无理根式统一到一阶幂函数的形式，用时还需考虑函数的凹凸性（凹凸性过于复杂的函数需慎用），难点是寻找切线放缩的位置？通常于端点处进行放缩，不行的话后移选取特殊点，若还是搞不定则需要待定系数法进行选取。
此法虽误差较大，但效果明显，出师亦多建奇功！例 题：（改编题）求证：2ln x e x x >+（0x >）分析与解：函数左凹右凸，适合切线放缩，但从何处放缩呢？此时不妨用筛法，在你的知识体系中不断搜寻，一一试验，例如：1，1x e x ≥+，x e ex ≥，224x e x e ≥，212x x e x ≥++（为常用不等式，法2）2，1ln x x -≥，2ln ex x -≥，ln x x e≥，…… 但不等式繁多，从来源处一一搜寻则工程浩大，题干中亦未给出更多的提示条件，故不可取，不妨用待定系数为取值创造一些条件。
选取切点()11,x x e 与()222,2ln x x x +，分别构造切线，有 ()11122112ln 12ln x x x e e x x e x x x x x ⎛⎫≥+->++-≥+ ⎪⎝⎭ 即1212x e x =+，()1121ln 1x x e x ->-，不妨取11x =，212x e =-.上述为分析过程，不可以此为解题步骤，需诸君按此编写答案即可，不赘述。
变式训练：（2018·湖北模拟改）若0x >，求证：218224xx e x x -⋅>+++.归纳总结：变式训练需进行224xe x e ≥12x ≥+两处放缩，都不大容易想，希望各位同学，慢慢参悟。
____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________.以下为本人精选或改编的一些练习，陈列于此仅供参考！1，136ln x x e -<；2，()11ln 2x x e x -->-； 3，（2006·港澳竞赛）（此为切线放缩的一个妙用）已知,,,a b c d 是满足1a b c d +++=的正数，求证：()()33332222168a b c d a b c d +++≥++++. 4，若0i x >，（1,2,3i =），且311i i x ==∑，则2221231112711110A x x x =++≤+++.（其他条件不变，若313i i x ==∑，试证明32A ≥.） 5，,,a b c 为实数，证明32a b c b c a c a b ++≥+++. 6，已知,a b 为正实数，且2a b +=，求证：1111ln ln 2a a b b +++≥. 7，若,y,z x 为非负实数，且222y z 1x ++=，证明：2221114x y z x y z ++≤+++.。
高考数学复习考点题型专题讲解41 切割线放缩
高考数学复习考点题型专题讲解专题41 切割线放缩1.切线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用切线y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≥f′(x0)(x－x0)＋f(x)；(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x) ≤f′(x0)(x－x0)＋f(x0).2.割线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用割线y＝f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≤f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a).(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x)≥f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a). 如图类型一切线放缩1.切线放缩证明不等式的原理：f(x)≥(≤)l切≥(≤)g(x).2.利用切线放缩求参数范围：分离参数需找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩. 例1 若e x－2x ln x－kx－1≥0对任意实数x>0都成立，求k的取值范围.解由e x－2x ln x－kx－1≥0，得k≤e x－1x－2ln x，设μ(x)＝e x－1x－2ln x，μ′(x)＝1＋e x（x－1）－2xx2，令μ′(x)＝0，得1＋e x(x－1)－2x＝0，∴e x－2－1x－1＝0，记φ(x)＝e x－2－1x－1，则x>1时φ(x)单调递增，x→1时，φ(x)<0，x＝2时，φ(x)>0. 设其根为x0，则x0∈(1，2)，所以μ(x)的极值点在x＝1附近.因此考虑在x＝1处进行切线放缩，而y＝e x－1x在x＝1处的切线为y ＝x ＋e －2，所以有e x－1x≥x ＋e －2，即μ(x )≥x ＋e －2－2ln x .设h (x )＝x －2ln x ＋e －2，h ′(x )＝1－2x，可得h (x )在x ＝2处取最小值，h (2)＝e －2ln 2，即k ≤e－2ln 2. ∴k 的取值范围为(－∞，e －2ln 2]. 训练1 已知f (x )＝e x ＋cos 2x ＋2x 2＋x －2. (1)求f (x )在x ＝0处的切线； (2)求证：f (x )≥ln(2x ＋1).(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x ＋1，则f ′(0)＝2，而f (0)＝0， 所以f (x )在x ＝0处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .(2)证明 先证f (x )≥2x ，令g (x )＝f (x )－2x ＝e x ＋cos 2x ＋2x 2－x －2， 则g ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x －1，g ″(x )＝e x －4cos 2x ＋4>0恒成立， ∴g ′(x )单调递增，又g ′(0)＝0， 易知g (x )≥g (0)＝0，∴f (x )≥2x . 再证2x ≥ln(2x ＋1)，令h (x )＝2x －ln(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x >－12，h ′(x )＝2－22x ＋1＝4x2x ＋1，令h ′(x )＝0，解得x ＝0. 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当－12<x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，所以h (x )≥h (0)＝0，即2x≥ln(2x＋1)，综上f(x)≥ln(2x＋1).类型二切线类的应用1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线类技巧来解决.2.切线类的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.3.注意数形结合思想的应用.例2(2022·泰安联考)已知函数f(x)＝(x－1)ln(x＋1)，曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝kx＋b.(1)求k，b的值；(2)证明：f(x)≥kx＋b；(3)若函数g(x)＝f(x)＋m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x1－x2|≤1－m－mln 2.(1)解函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(x＋1)＋x－1 x＋1，f′(1)＝ln 2.所以切线方程为y＝ln 2·(x－1)，即k＝ln 2，b＝－ln 2.(2)证明设h(x)＝f(x)－kx－b＝(x－1)ln(x＋1)－x ln 2＋ln 2，h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2.令F(x)＝h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2，则F′(x)＝1x＋1＋2（x＋1）2>0，所以F(x)单调递增，即h′(x)单调递增.又h′(1)＝ln 2－1＋1－ln 2＝0，所以当x∈(－1，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，即h(x)≥0，所以f(x)≥x ln 2－ln 2.(3)证明g(x)＝f(x)＋m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为f(x)＝－m的两根，不妨设x1<x2，由题知，曲线y＝f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x ln 2－ln 2，令h(x)＝x ln 2－ln 2，即h(x)＋m＝0，即h(x)＝－m的根为x2′，则x2′＝1－mln 2，由(2)知，f(x2)≥h(x2)，∴h(x2′)＝f(x2)≥h(x2)，∵h(x)单调递增，∴x2′≥x2.设曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝t(x)，∵f′(0)＝－1，∴t(x)＝－x，设方程t(x)＋m＝0，即t(x)＝－m的根为x1′，则x1′＝m，令T(x)＝f(x)－t(x)，同理由(2)可得T (x )≥0，即f (x )≥t (x )，f (x 1)≥h (x 1)，∴h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)， 又f (x )单调递减， ∴x 1′<x 1，∴|x 2－x 1|＝x 2－x 1≤x 2′－x 1′ ＝1－m －m ln 2.训练2 已知函数f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，若方程f (x )＝m 有两个实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m （1－2e ）1－e.证明 如图，设f (x )在(－1，0)处的切线方程为y ＝h (x )，由f ′(x )＝(x ＋2)e x －1，易得，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，令F (x )＝f (x )－h (x )，即F (x )＝(x ＋1)(e x－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e， 当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ≤－1e<0，当x >－2时，则F ′(x )＝(x ＋2)e x－1e单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x <－1时，F ′(x )<0，当x >－1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故F (x )≥F (－1)＝0，f (x 1)≥h (x 1)， 设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e 1－e，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，又函数h (x )单调递减，故x 1′≤x 1，又设f (x )在(0，0)处的切线方程为φ(x )，易得φ(x )＝x . 令g (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2， 当x ≤－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2单调递增，又g ′(0)＝0， 所以当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 故g (x )≥g (0)＝0，即(x ＋1)(e x －1)≥x ，故f (x )≥φ(x )，则f (x 2)≥φ(x 2)， 设φ(x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，且φ(x 2′)＝f (x 2)≥φ(x 2)， 又函数φ(x )单调递增，故x 2′≥x 2，又x 1′≤x 1，x 2－x 1≤x 2′－x 1′≤m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m （1－2e ）1－e .类型三 割线放缩及割线类1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当的割线放缩.2.割线类本质与切线类类似.例3 已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：cos x ＋tan x >2x . 证明 先证∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，sin x ＋tan x >2x ，设f (x )＝sin x ＋tan x －2x ，0<x ≤π4，f ′(x )＝（cos x －1）（cos 2x －cos x －1）cos 2x >0，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π4上单调递增，f (x )>f (0)＝0，∴sin x ＋tan x >2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤π4.于是当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，有cos x ＋tan x ≥sin x ＋tan x >2x ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，利用y ＝cos x 在x ＝π4和x ＝π2之间的割线，有cos x >－22π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， 利用y ＝tan x 在x ＝π4处的展开，有tan x >1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －π42，于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，有cos x ＋tan x －2x >1＋2－π2＋π28－⎝ ⎛⎭⎪⎫22π＋πx ＋2x 2， 右侧对应的Δ＝8π2＋4π－42－8<0，∴cos x ＋tan x －2x >0恒成立. 综上所述cos x ＋tan x >2x .训练3 已知函数f (x )＝x ln x ，若方程f (x )＝m 有2个根x 1，x 2(x 2>x 1)，求证：x 2－x 1>1＋e m .证明 (割线类)f ′(x )＝1＋ln x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .又当0<x <1时，f (x )<0，x >1时，f (x )>0，∴－1e <m <0时，f (x )＝m 有2个不等的根x 1，x 2(x 2>x 1).当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，可证得：f (x )<－x ，故y ＝m 时，x 1<－m ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，可证得：x －1e －1>f (x )，故y ＝m 时，x 2>1＋(e －1)m ，∴x 2－x 1>1＋e m .一、基本技能练1.已知x ∈(0，e)，求证：（e 2－e 2ln x ＋x ）2ln 2x ＋2ln x ＋2>e 25.证明 原式等价于(e ln x －1－e(ln x －1))2>15(ln 2x ＋2ln x ＋2).令t ＝ln x －1(t <0)， 即证：(e t －e t )2>15t 2＋45t ＋1，取y ＝e t －e t 在t ＝0处的切线，有e t －e t >(1－e)t ＋1，t <0， (e t －e t )2>[(1－e)t ＋1]2＝(e －1)2t 2－2(e －1)t ＋1，当t<0时，有(e－1)2t2>15t2，－2(e－1)t>45t，得证.2.已知x1ln x1＝x2ln x2＝a，且x1<x2，求证：x2－x1<2a＋1＋e－2.证明设函数f(x)＝x ln x，f′(x)＝1＋ln x.取其在x＝e－2和x＝1处的切线，分别为l1：y＝－x－e－2和l2：y＝x－1，如图.直线y＝a与直线l1，函数f(x)的图象和直线l2分别交于x1′，x1，x2，x2′，则有：x1′<x1<x2<x2′，x2－x1<x2′－x1′＝(a＋1)－(－a－e－2)＝2a＋1＋e－2.3.设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0，1].求证：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)34<f(x)≤32.证明(1)因为1－x＋x2－x3＝1－（－x）41－（－x）＝1－x41＋x，由于x∈[0，1]，得1－x41＋x≤11＋x，即1－x＋x2－x3≤11＋x，从而得f(x)≥1－x＋x2.(2)由于x∈[0，1]，得x3≤x(割线放缩).故f(x)＝x3＋11＋x≤x＋11＋x－32＋32＝（x－1）（2x＋1）2（x＋1）＋32≤32.当x＝1时恰好等号能同时满足.再结合第(1)问的结论，得到f (x )≥⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34， 从而得到结论34<f (x )≤32. 二、创新拓展练4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x (1－ln x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a －a ln b ＝a －b ，证明：2<1a ＋1b<e. (1)解 f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，因为f (x )＝x (1－ln x )，则f ′(x )＝－ln x .所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.综上所述，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明 因为b ln a －a ln b ＝a －b ，所以ln a a －ln b b ＝1b －1a， 即1＋ln a a ＝1＋ln b b， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b . 令x 1＝1a ，x 2＝1b， 即f (x 1)＝f (x 2).由(1)可知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则0<x 1<1<x 2<e.要证2<1a ＋1b<e ， 即证2<x 1＋x 2<e.①先证x 1＋x 2>2，法一(对称构造)要证x 1＋x 2>2，即证x 2>2－x 1，转化为f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，即证f (2－x 1)－f (x 1)>0.设g (x )＝f (2－x )－f (x )，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝ln(2－x )＋ln x ＝ln(－x 2＋2x )，当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，1)上单调递减，则g (x )>g (1)＝0， 所以g (x 1)＝f (2－x 1)－f (x 1)>0，即f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，又0<x 1<1，则1<2－x 1<2，且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，2－x 1<x 2，即x 1＋x 2>2.法二(对数均值不等式)⎩⎪⎨⎪⎧ln x >12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（0，1），ln x <12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（1，＋∞），⎩⎪⎨⎪⎧f （x 1）＝x 1（1－ln x 1）<x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1，f （x 2）＝x 2（1－ln x 2）>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2， 且f (x 1)＝f (x 2)，则x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2， 即x 1＋x 2>2.②再证x 1＋x 2<e(切割线放缩).法一(割线处理)由(1)可知，f (x )的极大值点为x ＝1，极大值为f (1)＝1， 设过(0，0)，(1，1)的直线l ：y ＝x ，且f (x 1)＝f (x 2)＝m ， 当x ∈(0，1)时，f (x )＝x (1－ln x )>x ，l ：y ＝x 与y ＝m 交于点(m ，m )，则x 1<m .要证x 1＋x 2<e ，即证x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.设h (x )＝f (x )＋x ＝x (2－ln x )，x ∈(1，e)，则h ′(x )＝1－ln x ，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，e)上单调递增， 则h (x )<h (e)＝e ，所以f (x 2)＋x 2＝m ＋x 2<e ，则x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.法二(切割线处理)设过(0，0)，(1，1)的直线l 1：y ＝x ，当x∈(0，1)时，f(x)＝x(1－ln x)>x；f(x)在(e，0)处的切线为l：y＝－x＋e，2当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝x(1－ln x)<－x＋e，设f(x1)＝f(x2)＝m，l：y＝x与y＝m交于点(m，m)，1则x1<m，l：y＝－x＋e与y＝m交于点(－m＋e，m)，2则x2<－m＋e，所以x1＋x2<m－m＋e＝e.。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全在微积分中，切线是研究曲线性质的重要工具之一。
而切线放缩公式是通过对曲线进行放缩操作，从而求得其切线的一种方法。
下面将介绍常见的切线放缩公式，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、一次函数的切线放缩公式：对于一次函数 y = ax + b，其切线的斜率为 a。
如果我们希望将切线的斜率变为ka，其中 k 是一个常数，那么我们可以使用切线放缩公式：y = k(ax + b)二、二次函数的切线放缩公式：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过放缩系数 k 来改变切线的形状。
切线放缩公式如下：y = k(ax^2 + bx + c)三、指数函数的切线放缩公式：对于指数函数 y = a^x，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。
切线放缩公式如下：y = k(a^x)四、对数函数的切线放缩公式：对于对数函数 y = log_a(x)，其中 a 为底数，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。
切线放缩公式如下：y = k(log_a(x))五、三角函数的切线放缩公式：对于三角函数 y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)等，我们可以通过放缩系数 k 来调整切线的斜率。
切线放缩公式如下：y = k*sin(x)y = k*cos(x)y = k*tan(x)六、其他常见函数的切线放缩公式：除了上述基本函数外，我们还可以使用切线放缩公式来处理其他常见函数的切线问题。
例如：1. 双曲函数：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等2. 指数幂函数：y = e^x，y = ln(x)等3. 傅里叶级数：y = a_0 + Σ(a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))4. 隐函数和参数方程：y = f(x)，(x(t), y(t))等5. 简单和复杂的多项式函数等总结：切线放缩公式是研究曲线切线的重要工具之一。
切线放缩公式
切线放缩公式
切线放缩公式是一种用于测度曲线间距离的数学公式。
它可以被广泛应用于计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域。
切线放缩公式的基本思想是利用切线在一定范围内的长度来近似测量曲线之间的距离。
具体来说，假设有两条曲线A和B，它们在某一点P处相交，并且在该点处的切线分别为T1和T2。
此时，我们可以将曲线A在P点处的一段长度为L1的线段T1作为测量曲线A 和B之间距离的近似值，因为这段线段与曲线A的距离非常接近。
同样地，我们可以将曲线B在P点处的一段长度为L2的线段T2作为测量曲线A和B之间距离的近似值。
切线放缩公式的具体数学形式如下：
d(A,B) ≈ min{L1,L2}
其中，d(A,B)是曲线A和B之间的距离，L1和L2分别是曲线A和B在P点处的切线长度。
需要注意的是，切线放缩公式只是一种近似方法，其精度取决于所选取的切线长度。
当切线长度越长时，公式的精度也会随之提高。
因此，切线放缩公式的应用需要根据具体问题来确定切线长度的选择。
切线放缩公式广泛应用于计算机图形学中的形状匹配问题。
在形状
匹配问题中，我们需要找到两个形状之间的相似性。
切线放缩公式可以用来计算两个形状之间的距离，从而实现形状匹配的目的。
此外，切线放缩公式还可以用于机器人学中的路径规划问题，以及计算机视觉中的图像配准问题。
切线放缩公式是一种在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中广泛应用的数学公式。
它通过利用切线长度来近似测量曲线之间的距离，为这些领域提供了一种有效的数学工具。
导数切线放缩
题 型：切线放缩问题解法突破：顾名思义是构造函数不等式的一种常用方法，多用于将指数、对数、无理根式统一到一阶幂函数的形式，用时还需考虑函数的凹凸性（凹凸性过于复杂的函数需慎用），难点是寻找切线放缩的位置？通常于端点处进行放缩，不行的话后移选取特殊点，若还是搞不定则需要待定系数法进行选取。
此法虽误差较大，但效果明显，出师亦多建奇功！例 题：（改编题）求证：2ln x e x x >+（0x >）分析与解：函数左凹右凸，适合切线放缩，但从何处放缩呢？此时不妨用筛法，在你的知识体系中不断搜寻，一一试验，例如：1，1x e x ≥+，x e ex ≥，224x e x e ≥，212x x e x ≥++（为常用不等式，法2）2，1ln x x -≥，2ln ex x -≥，ln x x e≥，…… 但不等式繁多，从来源处一一搜寻则工程浩大，题干中亦未给出更多的提示条件，故不可取，不妨用待定系数为取值创造一些条件。
选取切点()11,x x e 与()222,2ln x x x +，分别构造切线，有 ()11122112ln 12ln x x x e e x x e x x x x x ⎛⎫≥+->++-≥+ ⎪⎝⎭ 即1212x e x =+，()1121ln 1x x e x ->-，不妨取11x =，212x e =-.上述为分析过程，不可以此为解题步骤，需诸君按此编写答案即可，不赘述。
变式训练：（2018·湖北模拟改）若0x >，求证：2181224xx e x x x -⋅>++++.归纳总结：变式训练需进行224xe x e ≥12x ≥+两处放缩，都不大容易想，希望各位同学，慢慢参悟。
____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________.以下为本人精选或改编的一些练习，陈列于此仅供参考！1，136ln x x e -<；2，()11ln 2x x e x -->-； 3，（2006·港澳竞赛）（此为切线放缩的一个妙用）已知,,,a b c d 是满足1a b c d +++=的正数，求证：()()33332222168a b c d a b c d +++≥++++. 4，若0i x >，（1,2,3i =），且311i i x ==∑，则2221231112711110A x x x =++≤+++.（其他条件不变，若313i i x ==∑，试证明32A ≥.） 5，,,a b c 为实数，证明32a b c b c a c a b ++≥+++. 6，已知,a b 为正实数，且2a b +=，求证：1111ln ln 2a a b b +++≥. 7，若,y,z x 为非负实数，且222y z 1x ++=，证明：222331114x y z x y z ++≤+++.。
高三高考数学复习之凹凸函数之切线放缩
凹凸函数之切线放缩例1、()[]23,0,31xf x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++( )A . 最大值6030B . 最大值6027C 有最小值6027.D . 有最小值6030解析：A ．1()33f =，当12201013a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030 对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N *<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++[]12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++=例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<． （ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]上的最大值为118()24f a =+．（ⅲ）当144a <<时，在12x a <<时，()0f x '>，在2x a <<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=f（2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有2921ta t at=-+，…②由①、②解得2a =或4a =．（3）当2a =时，29()12xf x x=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2221(2)12x x x--=+（）， 当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，121414x x x +++=，1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤恒成立，必须42λ≥．又当12141x x x ====时，满足条件121414x x x +++=，且1214()()()42f x f x f x +++=，因此，λ的最小值为42．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设g(x)= 211x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 2232(31)(1)x x -+，由g ´´(x)＜0得-3＜x＜3，g ´´(x)＞0得x＞3或x ＜- 3， ∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 211x+在［- 3，3］上是上凸的，在区间(-∞，-3)，(3，+∞)上是下凸的。
导数专题之切割线放缩
导数专题之切割线放缩切线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用切线()()()000'y f x x x f x =-+进行放缩． （1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+； （2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+.割线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用割线()()()()f b f a y x a f a b a-=-+-进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a -≤-+-；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a-≥-+-.附 函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则 称()y f x =的图象是上凹/下凸的，函数()y f x =为上凹/下凸函数；二阶导数''()0f x > 2、凸函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则 称()y f x =的图象是下凹/上凸的，函数()y f x =为下凹/上凸函数. 二阶导数''()0f x <1.已知(0,)x e∈，求证：()22222lnln2ln25e e x x ex x-+>++2.求证：1 (1)ln2xx e x-->-练习：(1)ln1xe e x x x≥-++；12ln1xxee xx-+>；233125ln02x xx x x-++-->3.已知,,0a b c>且1a b c++=，求证：4.4.已知,0a b>且1a b+=，求证：3≥.5.已知23()1xf x x +=+，[0,3]x ∈，已知数列{}n a 满足03n a <≤，*n N ∈，且122010670a a a +++=L ，则()()()122010f a f a f a +++L 的最大值为______．(6030)构造[0,3]x ∈上的函数不等式：239131103x x x +⎛⎫≤-⋅-+ ⎪+⎝⎭.6.求函数y =的值域．7.已知,0a b >且1a b +=，求.8.已知,0a b ≥，1a b +=，则______，最小值是_______．9.已知,,a b c 满足1a b c ++=的最值.10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>．13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=L ，则122010()()()f a f a f a +++L = 6030例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f15.已知函数1()x e f x x -=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10xe x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.答 案1.已知(0,)x e ∈，求证：()22222ln ln 2ln 25e e x x e x x -+>++ 解：原式等价于()()2ln 121(ln 1)ln 2ln 25x e e x x x --->++令ln 1 (0)t x t =-<，即证：()2214155te et t t ->++ 取e e t y t =-在0t =处的切线，有(1)1,0te et e t t ->-+<()2222[(1)1](1)2(1)1te et e t e t e t ->-+=---+当0t <时，有22214(1),2(1)55e t t e t t->-->，得证.2.求证：1(1)ln 2x x e x -->-解：① 当1x ≥时用切线放缩 1xe x ≥+1(1)(1)ln (1)(1)(1)(1)2LHS x x x x x x x x ≥-+->-+--=->-② 当01x <<时用割线放缩(1)1x e e x <-+ [][]11(1)(1)1ln (1)(1)1(1)(1)(1)42e LHS x e x x x e x x e x x -≥--+->--+--=--≥->-练习：(1)ln 1xe e x x x ≥-++；12ln 1x xe e x x -+>；233125ln 02x x x x x -++-->3.已知,,0a b c >且1a b c ++=，求证：222233131314.a b c +++++<…解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：2233131 1.323x x x ⎛⎫+-≤+≤+ ⎪⎝⎭加和即得证.4.已知,0a b>且1a b+=，求证：3≥.法一均值不等式=≥≥3≥≥=法二切线法2x≥-，当12x=时取等.()2243a b a b≥-+-=-+=，取等条件：12a b==.5.已知23()1xf xx+=+，[0,3]x∈，已知数列{}n a满足03na<≤，*n N∈，且122010670a a a+++=L，则()()()122010f a f a f a+++L的最大值为______．(6030)构造[0,3]x∈上的函数不等式：239131103xxx+⎛⎫≤-⋅-+⎪+⎝⎭.6.求函数y=的值域．解：定义域：[] 3,5为上凸函数，于是3x≥-)5x≥-)3513222y x x x⎛=---=-+-≥⎝⎭当且仅当3x=时取等.()()2357210x x x x≤-+--+-=当且仅当7235x xx x--=--，即297x=时取等.于是函数值域为.7.已知,0a b>且1ab+=，求.解：设函数()f x=()g x='()f x=，'()g x=取这两个函数平行的切线，有=2240119b a-=与1a b+=联立，解得12,33ab==1233a b⎫⎫--+=⎪⎪⎭⎭8.已知,0a b≥，1a b+=，则______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.1)1a≤+(7b≤等号当,{0,1}ab∈时取得．于是有1)32(7a b≤+++考虑到1)2(7>-，于是当()(),1,0a b =时右边取得最大值．因此所求的最大值为切线放缩处理最小值．)a λ≥-，)b μ≥-等号当(,)(,)a b λμ=时取得．令112,3233λμλμ+=⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩≥= 等号当12(,),33a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得．因此所求的最小值为 法二令()01f x x ==≤≤9.已知,,a b c 满足1a b c ++=的最值.解：设函数()f x =14x ≥-，'()f x =作出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象在13x =处的切线：1733y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，以及函数()f x 的图象过点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭的割线：y x =+，如图．1733x x ⎫≤-+⎪⎝⎭左侧等号当14x =-或32x =时取得；右侧等号当13x =，当13a b c ===，当14a b ==-，32c =时取得．10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.解：设函数()ln f x x x =，()1ln .f x x '=+取其2x e -=在和1x =处的切线，分别为21:el y x -=--和2:1l y x =-，如图．直线y a =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l分别交于1122',,,'x x x x ，则有：1122''x x x x <<<()222121(1)21x x x x a a e a e ''---<-=+---=++注1 类似的，我们还可以用割线y x =-和1(1)1y x e =--来估计21x x -的下界，如图．注2 我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用21(1)12y x x =-+-和2y e =-如图．11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______． 设函数21()2f x x =+，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当[0,1]x ∈时，有：21115419622361319x x x ⎛⎫-+≤≤--+ ⎪+⎝⎭ 且左边不等式等号当0,1x =时取得；右边不等式等号当13x =时取得．左边不等式为：(1)(2)0x x x --≥，右边不等式为：2(176)(31)0x x --≥，容易得证. 所以()135427()16236119x f x x -+≤≤--+∑∑∑222411127322219a b c ≤++≤+++左侧等号当()(),,1,0,0x y z =时可以取得；右侧等号当111(,,),,333x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭时可以取得．因此所求的取值范围是427,319⎡⎤⎢⎥⎣⎦．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>． 解：先证 0,,sin tan 22x x x xπ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭于是当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，有 cos tan sin tan 2x x x x x +≥+> 当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用cos y x =在4x π=和2x π=之间的割线，有cos 2x x ππ⎫>--⎪⎝⎭利用tan y x =在4x π=处的展开，有 2tan 12244x x x ππ⎛⎫⎛⎫>+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有22cos tan 21228x x x x x πππ⎫+->+-++⎪⎪⎝⎭右侧对应的28480ππ∆=+-<，得证.13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______． 根据切割线放缩，有14(1)33a a b =≥+-+，于是433b a +≤进而3143a b a +≥≥+等号当且仅当()(),1,1a b =时取得．因此所求的最小值为4．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．解 切线放缩,2(ln 42)(1)2xx R x x ∀∈⋅≥+-+ ()()112(ln 42)122innx i ii i x x n n==⋅≥++∴-=∑∑当1i x =时取到等号，从而得到所求的最小值为2n ．注 切比雪夫不等式亦可解.例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=L ，则122010()()()f a f a f a +++L = 6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ====L 时，122010()()()f a f a f a +++L =6030 对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N*<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++L []12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++=L例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++， 令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴在上的最大值为18(2)41f a =+． （ⅱ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴在上的最大值为118()24f a =+． （ⅲ）当时，在时，，在时，， 在上的最大值为． （2）设切点为，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩由，有，化简得， 即或， …① 由()2f t t a =-+，有，…②()0f x '=x =122<<144a <<104a <≤()f x 1[,2]24a ≥()f x 1[,2]2144a <<Q 12x a <<()0f x '>2x a <<()0f x '<∴()f x 1[,2]2f (,())t f t ()1f t '=-2229[1]1(1)at at -=-+2427100a t at -+=22at =25at =2921ta tat =-+由①、②解得或． （3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线()y f x =在线下方．下面给出证明：当时，． ，当时，()(4)0f x x --≤，即． ∴，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设21()1g x x =+，则()222'()1xg x x -=+ ，()()232231''()1x g x x -=+， 由''()0g x <得x <<，''()0g x >得x >或x <，故21()1g x x =+在33⎡-⎢⎣⎦是上凸的，在区间,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭是下凸的. 2a=a =2a =29()12xf x x =+4y x =-()y f x =(2)2f =Q ∴(2,(2))f 4y x =-4y x =-1[,2]2x ∈()4f x x ≤-3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++Q 2221(2)12x x x --=+（）1[,2]2x ∈()4f x x ≤-12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++L L 121414x x x +++=Q L 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=L ∴1214()()()f x f x f x λ+++≤L 42λ≥Q 12141x x x ====L 121414x x x +++=L 1214()()()42f x f x f x +++=L λ42由311ii x==∑，则平衡值013x =，由导数知识易求得()g x 在13x =处的切线为27(2)50y x =- ，因013x ⎡=∈⎢⎣⎦，()g x在⎡⎢⎣⎦是上凸的，故()2127()2150g x x x =≤-+恒成立.即()1211272150x x ≤-+，()2221272150x x ≤-+，()3231272150x x ≤-+，三式相加并结合311ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≤2710.若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且313ii x==∑时，解法同理.此时平衡值01x =，而21()1g x x =+在1x =处的切线为112y x =-+,因01x ⎫=∈+∞⎪⎪⎝⎭，()g x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭是下凸的，故211()112g x x x =≥-++恒成立.即12111112x x ≥-++，22211112x x ≥-++，32311112x x ≥-++，三式相加并结合313ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≥32.即得一个新的不等式：若1,2,33i x i >=，且313ii x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≥32.所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1.例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .提示：不妨设0a b c t ++=>，则平衡点是3t x =.x x x f -=1)(在3t x =处的切线()2293x t y t -=-，有()229()3x t f x t -≥-.5、若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x xx f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好.也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数.其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式.15.已知函数1()x e f x x -=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10xe x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.解：（1）2(1)1'()x e x f x x -+=设()(1)1x x e x ϕ=-+，'()xx e x ϕ=⋅ 于是()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，在0x =处取得极小值，亦为最小值(0)0ϕ=，因此()f x 在R 单调递增．（2）12ln 102ln x xe e x x kx k xx ----≥⇒≤-设 1()2ln x e x x x μ-=-，21(1)2'()x e x xx x μ+--=其极值点在1x =附近．因此考虑在1x =处进行切线放缩，有 12x e x e x -≥+-()22ln x x e x μ≥+-- 设()2ln 2h x x x e =-+-，2'()1h x x =-在2x =取最小值，(2)2ln 2h e =-，即2ln 2k e ≤-.。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全切线放缩公式是数学中一个重要的工具，用于对函数进行线性近似。
它在微积分、几何以及物理等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的切线放缩公式的相关内容。
1. 切线方程的一般形式：设函数f(x)在点x=a处可导，则该点处的切线方程可以表示为：y=f(a)+f'(a)(x-a)，其中f'(a)表示函数在点x=a处的导数。
2. 切线拟合：当函数f(x)在点x=a处不可导时，我们可以使用切线拟合方法来近似函数的斜率。
具体做法是取一个足够靠近a的点x=a+h，然后利用该点和x=a处的函数值来计算斜率。
拟合的切线方程可以表示为：y=f(a)+f(a+h)-f(a)/h(x-a)。
3. 切线放缩与局部线性化：切线放缩方法是一种常用的近似方法，可以将函数在某一点附近的行为近似为一条直线。
切线放缩经常用于求函数的上下界、极值、渐近行为等问题。
将函数在点x=a处的切线方程表示为：y=f(a)+f'(a)(x-a)，即可得到切线放缩公式。
4. 切线放缩与泰勒展开：泰勒展开是将一个函数在某一点展开为无限项的幂级数，可以用来近似函数的行为。
切线放缩可以看作是泰勒展开的一种特殊情况，即取展开项为一阶导数。
切线放缩公式可以表示为：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)，其中f'(a)为函数f(x)在点x=a处的导数。
5. 切线放缩与微分：微分是求函数在某一点的导数，也可以看作是切线的斜率。
切线放缩可以通过求导数来近似函数的行为。
利用导数来近似函数的最大值和最小值是切线放缩方法的一个重要应用。
综上所述，切线放缩公式是一个重要的数学工具，用于近似函数的行为。
它可以通过切线方程的一般形式、切线拟合、切线放缩与局部线性化、切线放缩与泰勒展开以及切线放缩与微分等方法来求得。
切线放缩方法在数学建模、优化问题以及物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
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凹凸函数之切线放缩
很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。
这里特例举几个题目来谈谈它的应用。
例1、()[]2
3,0,31x f x x x
+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *
<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030
解析：3)31(f =因为，当1220101
3a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030
对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3
(11)10y x =-，
则()2
2331(11)(3)()01103
x f x x x x x +=
≤-⇔--≤+成立， 所以当03,n a n N *<≤∈时，有()3
(113)10
n n f a a ≤- 122010()()()f a f a f a +++[]1220103
1120103()603010
a a a ≤⨯-+++=
例2、已知函数2
901x
f x a ax =
>+()() ． （1）求f x ()在1
2
2[,]上的最大值；
（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；
（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式
1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．
解析：（1）222222
9[1(1)2]9(1)
()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==
++，
令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<．
（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．
（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1
[,2]2
上的最大值为118()24f a =+．
（ⅲ）当144a <<时，在12x <<时，()0f x '>2x <<时，()0f x '<，
∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a
（
（2）设切点为(,())t f t ，则()1,
()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩
由()1f t '=-，有2
22
9[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有
2
921t
a t at =-+，…②
由①、②解得2a =
或4a =．
（3）当2a =时，2
9()12x
f x x
=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，
根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1
[,2]2
x ∈时，()4f x x ≤-．
3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2
2
21(2)
12x x x
--=+（）， 当1
[,2]2
x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．
∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，
121414x x x +++=，
1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=．
∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤恒成立，必须42λ≥． 又当12141x x x ====时，满足条件121414x x x +++=， 且1214()()()42f x f x f x +++=，因此，λ的最小值为42．
例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
1i i x ==∑，则
2111x ++2
21
1x ++23
11x +≤2710
证明：设g(x)= 211x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 223
2(31)
(1)x x -+，
由g ´´(x)＜0得
＜x
g ´´(x)＞0得x
x ＜
∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 211x +在［
］上是上凸的，在区间(-∞，
)，
(+∞)上是下凸的。
由3
1
1i i x ==∑，则平衡值x 0= 13，由导数知识易求得g(x) = 2
11x +在 x=
13处的切线为y=2750（2-x ）,因x 0= 13∈［
，g(x) = 211x +在［
］上是上凸的，故g(x) = 211x +≤2750（2-x ）恒成立。
即2111x +≤2750（2-x 1）
，221
1x +≤2750
（2-x 2），2311x +≤2750（2-x 3），三式相加并结合3
1
1i i x ==∑即得2111x ++2
211x ++2311x +≤2710。
若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
3i
i x
==∑时，解法同理。
此时平衡值x 0=1，而g(x) =
211x +在x= 1处的切线为y=-12x+1, 因x 0= 1∈
(3
，+∞)，g(x) = 211x +在
(3，+∞)上是下凸的，故g(x) = 211x +≥- 12x+1恒成立。
即2111x +≥- 12x 1+1，2
21
1x +≥- 12x 2+1，2311x +≥- 12x 3+1三式相加并结合3
13i i x ==∑即得2111x ++2
211x ++2311x +≥32。
即得一个新的不等式：若x i
>3,i=1,2,3，且3
13i i x ==∑，则2111x ++2
2
1
1x ++2311x +≥32。
所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。
例4、若实数c b a ,,，证明：2
3
≥+++++b a c c a b c b a 。
提示：不妨设1=++c b a ，则平衡点是31=
x 。
x x x f -=1)(在31=x 的切线4
19-=x y ，有 4
1
9)(-≥
x x f 。
5、若z y x ,,非负，且12
2
2
=++z y x ，证明：43
1112
22≤+++++z
z y y x x 提示：平衡点是33=x 。
2
1)(x x x f +=在3
3
=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f
练习1：已知函数)2()
20()
2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧++=x x f x x x f ，
⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间。
⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；
⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值。
（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）
练习2：若z y x ,,非负，且12
22=++z y x ，证明：4
3111222≤+++++z z y y x x
提示：平衡点是33=
x 。
21)(x x x f +=在3
3
=
x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等
式转化。
此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。
也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。
其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。