微分方程模型建立中的稳定性模型

dN k(K N)N dt
共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两
两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。
当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N 轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
6.1 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及分
析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型
x(t) ~ 渔场鱼量
假设
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
x(t) f (x) rx(1 x ) N
r~固有增长率, N~最大鱼量
• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
证 由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：
高阶f (微x)分 方f (程xo )与高f 阶'(x微o )(分x 方x程o )组 o x xo
xf，(<x故由x)<ox于时0o是，平大理简衡x必o渐从衡家论单点是有进而点有。介的平f(稳xx的兴为绍稳衡单)定>稳趣了一定点减0的定可下下性，，。。性参两两判故从无讨阅节阶别f而(论x论微的微方xo在)单较分需分法=哪增为方要方。0种。；复程，程情若当杂定我组况x，性们平f>下' (xx都oo，时)有则，x0当→又x有o
① λ有两个线性无关的特征向量 当p>0时，零点不 稳定 当p<0时，零点稳定
② 如果λ只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 当p>0时，零点稳定
（2） △<0，此时 1,2 a i (2a p,2 )
若a>0，零点稳定 若a=0，有零点为中心的周期解
综上所述：仅当p<0且q>0时， （3.30）零点才是渐近稳定 的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐 近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。
一般的微分方程或微分方程组可以写成： dx f (t, x) dt
定义 称微分方程或微分方程组
dx f (x) dt
（3.28）
为自治系统或动力系统。
若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称 点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
例 Logistic模型
N=K有着极大的区别。
定义1 自治系统 dx 为坐标 的空间Rn。dt
f (x)的相空间是指以（x1,…,xn）
特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称 为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
图3-17
令p=当a+pd当<, q0p=时>a0d，时-b零c，=点|零A|稳，点定则不稳1,2定 ；12 ( p p2 4q) ，记 p2 4q。 ② 若q<0，λ1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点
③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。
（2） △=0，则λ1=λ2:
f '(xo ) 0 的情况可类似加以讨论。
考察两阶微分方程组：
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
源自文库
g(x1, x2 )
（3.29）
令 x' x，作xo一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡
点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将
f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:
0 稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研 究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救 这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研 究几个与稳定性有关的问题。
b
f
' x2
(0,
0)
c
g' x1
(0,
0)
d
g' x2
(0, 0)
（3.30）
讨记论（A特1）征ac 若值db△与>λ零10、，点λ可2稳为能定A出的的现特关以征系下值情则形λ1、：λ2是方程： ① d若etq（>0A，-λλI）1λ2=>λ02。- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根
dx1 dt
f
' x1
(0,
0)
x1
f
' x2
(0,
0)
x2
o(
x12 x22 )
dx2
dt
g
' x1
(0,
0)
x1
g
' x2
(0,
0)
x2
o(
x12 x22 )
考察（3.29）的线性近似方程组:
dx1 dt
ax1
bx2
其中：
dx2
dt
cx1
dx2
a
f
' x1
(0,
0)
定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，
只要|x(0根)-据x0这|<一δ定，义就，有L|xo(gt)is-txic0方|<ε对所有的t都成立。
程的平衡点N=K是稳定的
（2）且x为0是渐渐近近稳稳定定的的，，而如平果衡它点是稳定的且ltim x(t) 。x0 0
N=0则是不稳定的。
（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。
微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解 析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
解析方法
定理1 设xo是微分方程 dx 的f (平x)衡点：
dt
若 f '(xo ),则 0xo是渐近稳定的 若 f '(xo ),则 0xo是渐近不稳定的
非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面 定理成立:
定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的。
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。