12.9频率分布、直方图与概率密度曲线
频率分布直方图
100位居民的月均用水量 （单位 ：t )
2.0 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
从上面这些数字，我们很容易发现的居民的月均用水量的最小值 是 0.2 t,最大值是4.3 t.其他在 0.2至4.3之间。很难再发现其他信息。我们 很难从随意记录的数据中直接看出规律。为此，我们需要对统计数据 进行整理与分析。
o
90
100
110
120
130
140
150
次数
频率分布直方图如下：
频率
组距
月均用水量最 多的在哪个区 间?
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t 4.5
思考：频率分布直方图有什么作用？
用频率分布估计总体分布，以面积的 形式反映数据落在各小组内的频率大 小
※ 典型例题 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在 自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品， 称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲： 102，101，99，98，103，98，99 乙：110，115，90，85，75，115，110 （1）这种抽样方法是哪一种？ （2）画出适当的茎叶图表示以上两种数据； （3）根据你所画的茎叶图，简要说明说明哪个车间产品较稳定？
频率分布直方图PPT课件
• 【解】 (1)频率分布表如下：
分组
频数 频率
[－20，－15) 7 0.035
[－15，－10) 11 0.055
[－10，－5) 15 0.075
[－5，0)
Байду номын сангаас
40 0.2
[0，5)
49 0.245
[5，10)
41 0.205
[10，15)
20 0.1
[15，20]
2．2
用样本估计总体
2．2.1 用样本的频率分布估计总体分布
[学习目标] 1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方 法．
2.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、 茎叶图．(重点) 3.能够利用图形解决实际问题．(难点)
服/务/教/师 免/费/馈/赠
• 一、频率分 • 布直方图 • 画频率分布 • 直方图的步骤
服/务/教/师 免/费/馈/赠
• 从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得 分情况是大致对称的，中位数是98；甲同 学的得分情况，也大致对称，中位数是88. 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同 学好．
服/务/教/师 免/费/馈/赠
• 1．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如 本题中数据是两位数，十位数字为“茎”， 个位数字为“叶”；如果是小数时，通常 把整数部分作为“茎”，小数部分为 “叶”，解题时要根据数据的特点合理选 择茎和叶．
• 2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从 数据分布的对称 服/务/教/师 免/费/馈/赠 性、中位数、稳定性等几
• 如图是2015年青年歌手大奖赛中七位 评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶 图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个 最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手 得 分 的 平 均 数 分 别 为 a1 ， a2 ， 则 一 定 有 ()
(学习指导) 频率分布直方图Word版含解析
3.2频率分布直方图学习目标核心素养1.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据．(重点)2．能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．(难点、易混点)1．通过对频率分布直方图画法的学习，培养数据分析素养．2．通过与频率分布直方图有关的计算，培养数学运算素养．频率分布直方图中每个矩形的底边长是该组的组距，矩形的高是该组的频率与组距的比，从而矩形的面积等于这个组的频率，即矩形的面积＝组距×频率组距＝频率．我们把这样的图叫作频率分布直方图．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小．2．频率分布直方图的应用当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示．3．画频率分布直方图的步骤(1)计算极差：即一组数据中最大值和最小值的差；(2)确定组距与组数：当数据在120个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组，在实际操作中，一般要求各组的组距相等．(3)分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4)列表：一般分四列：宽度分组、频数、频率、频率组距．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率组距组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．4．频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．有时也用它来估计总体的分布情况．随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．思考：1.为什么需要用频率分布直方图对原始数据进行整理？[提示]因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．正因为如此我们才用频率分布直方图来整理数据．2．为什么要对样本数据进行分组？[提示]不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．1．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为()A．20B．30C．40D．50B[样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.]2．已知样本10，8，10，8，6，13，11，10，12，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，10，那么频率为0.2的范围是()A．5.5～7.5 B．7.5～9.5C．9.5～11.5 D．11.5～13.5D[由题意知，共20个数据，频率为0.2，在此范围内的数据有20×0.2＝4个，只有在11.5～13.5范围内有4个数据：13，12，12，12，故选D.]3．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70，80)的家庭有________户．1 200[根据频率分布直方图得该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70，80)的家庭有10 000×0.012×10＝1 200(户).]频率分布直方图的绘制【例1】考察某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 160 168 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率折线图．[解](1)最低身高151，最高身高180，它们的极差为180－151＝29.确定组距为3，组数为10，列表如下：(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示．绘制频率分布直方图应注意的问题(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的频率组距为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.[跟进训练]1．如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142) 人数58102233区间界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人数201165(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．[解](1)样本频率分布表如下：分组频数频率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.频率分布直方图的应用【例2】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？[解](1)第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.频率分布直方图的性质(1)因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)样本容量＝频数相应的频率.[跟进训练]2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B．60C．120D．140D[由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.]频率分布与数字特征的综合应用[探究问题]1．什么是一组数据的众数，中位数，平均数？提示：设一组数据为x1，x2，…，x n，则其中出现次数最多的数是众数，把这n个数据按照从小到大的顺序排列，最“中间”的数就是中位数，即当n为奇数时，中间的一个数就是本组数据的中位数；当n为偶数时，中间的两个数的平均数就是本组数据的中位数．本组数据的平均数x＝x1＋x2＋…＋x nn.2．如何利用频率分布直方图估计数据的众数、中位数和平均数？提示：(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧小矩形的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．【例3】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．[思路点拨](1)根据频率分布直方图的数据，最高小矩形的底边中点就是数据的众数，数据的中位数左右两边的面积和相等，都等于0.5；(2)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．[解](1)由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，x＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分．1．利用频率分布直方图估计数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧小矩形的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．1．总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．2．当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．3．绘制频率分布直方图的步骤：(1)计算极差，(2)决定组距与组数，(3)分组，(4)列频率分布表，(5)绘制频率分布直方图．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．()(2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数．()(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.()[提示](1)正确．(2)错误．频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A.6B．8C．12D．18C[志愿者的总人数为20（0.24＋0.16）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12.]3．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分).现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30、0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________．1000.15[设参赛的人数为n，第二小组的频率为0.4，依题意40n＝0.4，∴n＝100，优秀的频率＝0.10＋0.05＝0.15.]4．随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160，165)，[165，170)，[170，175)，[175，180)，[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm以上的学生人数；(2)将身高在[170，175)，[175，180)，[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数．[解](1)由频率分布直方图可知5×(0.01＋0.02＋0.04＋x＋0.07)＝1，解得x＝0.06.身高在170 cm以上的学生人数为100×(0.06×5＋0.04×5＋0.02×5)＝60(人).(2)A组人数为100×0.06×5＝30(人)，B组人数为100×0.04×5＝20(人)，C组人数为100×0.02×5＝10(人)，由题意可知抽样比k＝660＝1 10，故应从A，B，C三组中分别抽取30×110＝3(人)，20×110＝2(人)，10×110＝1(人).。
频率直方图
1 n 2 S S ( X X ) i ． n 1 i1
2
1 n 样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) k （k=1，2，… ) . n i 1
n 1 2 S 显 A1 X B2 n ． 然 ， 它们的观察值分别为
1 n x xi , n i 1
试根据这些数据作出直方图，并根据直方图估计含硅量 X 的分布．
解 1°从n=120个数据中找出最小值 x(1)= 0.64 及最大值 x(120)= 0.95． 2°取 a = 0.635, b = 0.955, 分 k = 16 组，组距
t
0.955 0.635 0.02． 16 3°分组及频数如表 6-1所示．表中的组中值
图6-1
样本分布函数Fn(x)具有以下性质：
1°0≤Fn(x)≤1； 2°Fn(x)是单调不减函数；
3°Fn(x)是处处右连续的． 对于样本观察值 (x1，x2，…，xn)，为了求其对应的样本分布函数 Fn(x)
之值，只须将这 n 个值中小于或等 x 的个数除以样本容量 n 即可．对于给定 的x，Fn(x)是 n 次重复独立试验中事件 {X≤x} 出现的频率，而理论分布函数 F(x)是事件{X≤x}发生的概率，由伯努利定理知，对任意给定的正数ε，有
i 1 n
Xn)的联合概率密度为 f ( xi )．
i 1
n
第二节 统计量及其分布 一、统计量
样本是总体的代表，是统计推断的依 据．在应用时，往往不是直接使用样本本身， 而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行 统计推断． 定义1 设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，t = g(t1, t2,…, tn) 为 t1, t2, …, tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称 T = g(X1,
高考频率分布直方图知识点
高考频率分布直方图知识点高考题频率分布直方图知识点在学生的学习生涯中，高考是一个极为重要的里程碑。
为了能在高考中取得好成绩，学生们不仅要掌握各学科的基础知识，还需要熟悉高考题型和考点。
而对于数学科目来说，直方图是高考频率分布的一个重要知识点。
下面将以直方图为主题，讨论其相关知识点。
直方图是一种用来表示数据分布情况的图形。
它由一系列高度不等的矩形组成，每个矩形代表一个数据区间，高度表示该区间内数据的频数或频率。
首先，我们先来了解一下直方图的构成。
直方图的横轴通常表示数据的取值范围，纵轴表示频数或频率。
每个矩形的宽度可以根据数据的分布情况来确定，它们可以等宽也可以不等宽。
矩形的高度则代表了数据的频数或频率。
直方图的制作需要经过以下几个步骤。
首先，根据给定的数据集，将数据按照一定的区间进行分组。
一般来说，划分区间时需要保证每个区间的宽度相等，并且包含足够多的数据点。
然后，统计每个区间内的数据个数或频率，并将其绘制成对应高度的矩形。
最后，根据实际需要，可以给直方图添加标题和坐标轴标签等。
直方图不仅能够展示数据的分布情况，还可以帮助我们观察和分析数据的特征和规律。
通过观察直方图，我们可以了解到数据的集中趋势、离散程度以及异常值等重要信息。
比如，直方图的峰度可以反映数据的分布形态是平坦还是陡峭，而直方图的偏度可以反映数据的偏斜程度。
在考试中，直方图也被广泛应用于频率分布题目中。
考生需要根据给定的数据分布情况，回答一些与直方图相关的问题。
例如，考生可以根据直方图估计数据的平均值、中位数和众数等统计指标。
同时，直方图还可以帮助考生判断数据是否满足正态分布或其他特定分布形态。
此外，在解答与直方图相关的题目时，考生还需要熟悉直方图的性质和特点。
例如，直方图的面积表示数据的频数或频率总和。
而不同的数据分布形态会对直方图的形状产生影响。
当数据分布近似正态分布时，直方图呈现出钟形曲线，对称分布的数据则呈现出对称形状的直方图。
频率分布与直方图课件
在统计分析中的应用
直方图是统计分析中常用的可视化工具，用于展示数据的分 布特征和规律。
通过直方图，可以直观地比较不同数据集的分布差异，进行 数据分类、聚类等分析，为决策提供支持。
在数据挖掘中的应用
直方图用于数据预处理阶段，帮助数据挖掘人员了解数据 的分布情况，发现异常值和离群点。
在数据挖掘过程中，直方图可以用于可视化聚类结果、关 联规则等，帮助挖掘人员更好地理解数据和挖掘结果。
纵轴
表示频数或频率，通常以 矩形的高度表示。
直条
代表各组频数的矩形条， 宽度表示组距，高度表示 频数。
直方图的绘制方法
01
02
03
04
数据整理
将数据按照数值大小进行排序 ，并确定数据分组的组距和组
数。
计算频数
根据数据分组和组距计算各组 的频数。
绘制矩形条
在横轴上标出各组的组中值， 以纵轴为频数绘制矩形条，矩
根据频数绘制直方图，展 示工资的分布情况。
对数据进行整理，统计每
分析直方图，了解工资的
•·
个工资段的频数。
集中趋势和离散程度。
实例三
降雨量数据的频率分布与 直方图分析
收集某地区一段时间内的 降雨量数据。
根据频数绘制直方图，展 示降雨量的分布情况。
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对数据进行整理，统计每
分析直方图，了解降雨量
频率分布的作用
阐述频率分布的重要意义。
频率分布是数据分析中不可或缺的环节，它可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和分布形态，从而为进一步的数据 分析和挖掘提供基础。
频率分布的分类
对频率分布进行分类说明。
中位数平均数众数方差
A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．
解析：
＝303.6.
答案：B
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差 为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.
B.
C．3
D.
解析：由标准差公式计算可得．
答案：B
4．( ·湖北卷)如图是样本容量为200的频率 分布直方图． 根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在[6,10)内的频数为________， 数据落在[2,10)内的概率约为________． 解析：200××4＝64；(0.02＋0.08)×4＝0.4. 答案：64
C．丙地：中位体数为方2，差众是数为反3映总体的波动情况的一个量，二者反映的角度不同，不可相
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；
A．甲地：总体互均值比为较3，，中位但数有为4些问题在总体期望值差距不大时，可考虑用总体方差进一
根据样本的频率分布直方图估计，
4．众数、中位数、平均数
(1)在一组数据中，出现次数 较多 的数据叫做这组数据的众数．
(2)将一组数据按大小依次排列，把处在中间 位置的一个数据(或中间两个数据的平
均数)叫做这组数据的中位数．
(3)如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 5．标准差和方差
叫做这n个数的平均数．
(1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ．
思维点拨：已知一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为 ，方差为
平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准
频率分布直方图课件
由于频率分布直方图是基于数据的近似离 散化，因此无法准确地反映数据的分布情 况，特别是对于具有复杂分布的数据。
无法表示数据间的相关性
无法进行参数估计和假设检验
频率分布直方图只能展示单个变量的分布 情况，无法表示两个或多个变量之间的相 关性。
频率分布直方图主要用于数据的描述性分 析，无法进行参数估计和假设检验等推断 性分析。
于反映数据的中心趋势。频率பைடு நூலகம்布直方图可以直观地展示数据在不同区
间的分布情况，从而更好地理解数据的分布特征。
03
众数
众数是数据中出现次数最多的数值。频率分布直方图可以清晰地展示众
数所在区间的数据分布情况，帮助我们更好地理解众数的含义和作用。
与箱线图、折线图等其他图形的比较
要点一
箱线图
要点二
折线图
箱线图是一种用于展示一组数据分散情况的统计图，它包 括数据的最大值、最小值、中位数和异常值等统计量。频 率分布直方图和箱线图各有优缺点，箱线图可以展示数据 的分散情况和异常值，但无法展示数据的具体分布情况； 频率分布直方图可以清晰地展示数据的分布情况，但无法 很好地展示数据的分散情况和异常值。
数据中心位置与离散程度判断
确定数据的中位数和众数
频率分布直方图可以显示数据的频数分布，从而确定数据的 中位数和众数，了解数据的中心位置。
评估数据的离散程度
通过观察频率分布直方图中数据的分散程度，可以评估数据 的离散程度，进一步了解数据的稳定性。
数据异常值检测
识别异常值
频率分布直方图可以显示数据的频数分布，通过观察直方图的形状和异常的数据点，可 以识别出异常值。
纵轴
表示频数或频率，即落在每个数 据范围内的数据点的个数。
频率分布直方图第二课时
每个数据集都有其独特的特征，通过 频率分布直方图可以识别这些特征， 如分布的偏态、峰度等。
辅助决策制定过程
数据可视化支持
频率分布直方图作为一种 数据可视化工具，可以为 决策者提供直观的数据支 持。
数据驱动决策
通过对频率分布直方图的 分析和解读，决策者可以 基于数据制定更科学、合 理的决策。
风险评估与预测
不能展示原始数据
与散点图等图表类型相比，频率分布直方图不能直接展示 原始数据点，因此可能无法揭示数据中的某些特定模式或 关系。
适用场景探讨
描述性统计
在描述一组数据的分布情况时， 频率分布直方图是一种常用的工 具。它能够直观地展示数据的形
状、中心趋势和分散程度。
探索性数据分析
在数据分析的初步阶段，可以使用 频率分布直方图来探索数据的分布 情况，为后续的分析提供基础。
优点总结
直观性
频率分布直方图能够直观地展示 数据的分布情况，使得观察者可 以一目了然地看出数据的中心趋 势、分散程度以及可能存在的异
常值。
易于理解
相比于其他复杂的统计图表，频 率分布直方图的构造简单明了， 使得非专业人士也能够快速理解
数据的基本特征。
适用于连续变量
对于连续型数据，频率分布直方 图能够很好地展示其分布情况， 特别是当数据呈现出偏态或峰态
频率分布直方图第二课时
目
CONTENCT
录
• 频率分布直方图基本概念与性质 • 绘制频率分布直方图步骤与技巧 • 频率分布直方图在数据分析中应用 • 案例分析：频率分布直方图在实际
问题中运用 • 频率分布直方图优缺点及适用范围
讨论 • 课堂互动环节与课后作业布置
01
频率分布直方图基本概念与性质
频率分布直方图 PPT
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布
折线图．
【解】 以 4 为组距，列表如下：
分组
频率累计
[41.5，45.5)
[45.5，49.5)
[49.5，53.5)
[53.5，57.5)
[57.5，61.5)
[61.5，65.5)
[65.5，69.5)
频数 2 7 8 16 5 4 2
示，但第 3 组被墨汁污染，则第三组的频率为( )
组号
1
234
5
6
78
频数 10 13
14 15 13 12 9
A．0.14
B．0.12
C．0.03
D．0.10
解析：选 A.第三组的频数为 100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)
＝14.故第三组的频率为11040＝0.14.
(2019·四川省绵阳市教学质量测试)某高速公路移动雷达测速检 测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进行检测，根据检 测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估 计 400 辆汽车中时速在区间[90，110)的约有____________辆．
【解】 (1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组 内的频率大小，因此第二小组的频率为2＋4＋17＋4 15＋9＋3＝ 0.08.
第二小组的频数 又因为第二小组的频率＝ 样本量 ， 所以样本容量＝第第二二小小组组的的频频率数＝01.028＝150.
(2) 由 直 方 图 可 估 计 该 校 高 一 年 级 学 生 的 达 标 率 为 2＋147＋＋1715＋＋159＋＋93＋3×100%＝88%. (3)由(1)(2)知达标率为 88%，样本量为 150，不达标的学生频率 为 1－0.88＝0.12. 所以样本中不达标的学生人数为 150×0.12＝18(人)． (4)第三小组的频率为2＋4＋171＋715＋9＋3＝0.34. 又因为样本量为 150， 所以第三组的频数为 150×0.34＝51.
频率分布折线图与总体密度曲线
频率分布折线图与总体密度曲线
【典型例题】 解： (1)频率分布表为：
分组 [12.5,15.5) 累计频数 3 频数 3 频率 0.06
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
11
20
8
9
0.16
0.18
[21.5,24.5)
[24.5,27.5) [27.5,30.5) [30.5,33.5) 合计
0.08 0.06
0.04
0.02
150.5 153.5 156.5 159.5 162.5 165.5 168.5 171.5 174.5 177.5 180.8
31
41 46 50
11
10 5 4 50
0.22
0.20 0.10 0.08 1.00
频率分布折线图与总体密度曲线
【典型例题】
(2)频率分布直方图为：
(3)数据频率折线图为:
频率分布折线图与总体密度曲线
【变式训练】 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个 容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm).试作出该样本的 频率分布直方图和折线图. 168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162 160 170 168 164 174 171 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166
正态分布曲线和概率密度曲线
正态分布曲线和概率密度曲线标题：深度解读：正态分布曲线和概率密度曲线正文：1. 引言在统计学和概率论中，正态分布曲线和概率密度曲线是非常重要的概念。
它们不仅在自然界和社会生活中普遍存在，而且在科学研究和商业决策中也有着广泛的应用。
本文将从深度和广度两个方面来探讨正态分布曲线和概率密度曲线的相关概念，帮助读者全面理解这一重要的统计学概念。
2. 正态分布曲线的基本概念正态分布曲线，又称为高斯分布曲线，是一种连续型概率分布，它具有钟形曲线的特征。
在正态分布曲线中，均值、标准差和方差是非常重要的参数，它们决定了曲线的中心位置和形状。
正态分布曲线具有许多重要的性质，例如68-95-99.7法则和标准化等，它们在统计分析和质量控制中有着重要的应用。
3. 概率密度曲线的基本概念概率密度曲线是描述连续型随机变量分布规律的函数曲线。
在概率密度曲线中，曲线下的面积表示了一定范围内的概率。
概率密度曲线具有非负性、归一性和局部区分度的特点，它在描述和分析随机变量的分布特征时有着重要的作用。
正态分布曲线是最常见的概率密度曲线之一，它在自然界和社会生活中有着广泛的应用。
4. 正态分布曲线与概率密度曲线的关系正态分布曲线和概率密度曲线之间存在着密切的关系。
在统计学中，正态分布曲线常常被用来描述连续型随机变量的分布规律，而概率密度曲线则是对这一规律的数学描述。
正态分布曲线和概率密度曲线的理论基础是相同的，它们都源于大数定律和中心极限定理，具有统计学的普适性和稳健性。
5. 个人观点和理解我个人认为，正态分布曲线和概率密度曲线是统计学中非常重要的概念，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，而且在实际问题的分析和解决中也具有重要的意义。
深入理解正态分布曲线和概率密度曲线，有助于我们更好地理解自然界和社会生活中的现象规律，提高统计分析和决策能力，并推动科学研究和社会发展取得更大的进步。
6. 总结正态分布曲线和概率密度曲线是统计学中两个重要的概念，它们在理论研究和实际应用中有着广泛的意义。
12.9频率分布、直方图与概率密度曲线
x 1, 1 x,
x x
(1,0] (0,1]
0, x (1,)
⑴画出ξ 的概率密度曲线;
⑵根据所画曲线,求ξ 在区间(-0.5,0.5)内取值的概率.
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命(h) 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
正 正正 正正正 正正正正正 正正正 正正
[25.475,25.505)
[25.505,25.535)
[25.535,25.565) 合计
频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
总体密度曲 线与x轴围成 的面积为1.
连续型总体
总体密度曲线通常又叫概率密度曲线,以概率密度曲线为图像的 函数y=f(x)叫做概率密度函数.如图,连续型随机变量落在(a,b)内 的概率为阴影部分面积.即:
P(ab)S阴影
0, x (,1]
例1.已知随机变量ξ
的密度函数是
f
(x)
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
⑸样本的期望为(总体均值) ：
1 0 0 2 0 0 0 . 1 0 2 0 0 3 0 0 0 . 1 5 3 0 0 4 0 0 0 . 4 0 4 0 0 5 0 0 0 . 2 0 5 0 0 6 0 0 0 . 1 5 1 5 1 4 0 9 0 8 2 . 5 3 6 5 . 22 2 2 2
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2
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2
我们估计总体生产的电子元件的寿命的期望值（总体均值）为365.
2.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 据的频率分布表和频率分布
25.42 25.47 25.38 25.39
直方图.
①计算极差R:最大值25.56与最小值25.24的差为0.32;
②决定组距与组数:组距为0.03与组数为11;
③决定分点:起点为25.235,终点为25.565.
123456 第一枚骰子
③高度就是对应的频率值.
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图：
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
5.总体密度曲线
所抽取的100件产品中,尺寸落在各个小组内的频率的大小. 样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应 各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那 么频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体 密度曲线.
频率 组距
连接频率分布直方图中 各小长方形上端的中点,
频率分布折 线图无限接 近于一条光 滑曲线.
总体密度曲线 与x轴围成的 面积为1.
连续型总体
5.总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体分布,即反映了总体在各个范围内取值的概率.根据 这条曲线,图中带斜线部分的面积,就是总体在区间（a，b）内取值的概率．
总体密度曲 线与x轴围成 的面积为1.
连续型总体
总体密度曲线通常又叫概率密度曲线,以概率密度曲线为图像的 函数y=f(x)叫做概率密度函数.如图,连续型随机变量落在(a,b)内 的概率为阴影部分面积.即:
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
⑸样本的期望为(总体均值) ：
100 200 0.10 200 300 0.15 300 400 0.40 400 500 0.20 500 600 0.15 15140 90 82.5 365.
频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027
6 频率
36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36
频率分布的条形图 每一个小矩形的高 就是对应的频率
离散型总体
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 点数和
累计频率 0.01 0.03 0.08 0.20 0.38 0.63 0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
2.频率分布直方图
⑤频率分布直方图:
频率密
小矩形的高：
度
0.01÷0.03 0.02÷0.03
频率 组距 0.03
0.25
每一个小矩形的 面积恰好就是其 对应的频率,这些 小矩形的面积和
与前例子不同的是,这里 的总体可以在一个实数区间 内取值(称为连续型总体).运
25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 用在初中“统计初步”里学
25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 过的方法,可以得到这些数
2.频率分布直方图
从规定尺寸为25.40 mm的一堆产品中任取 100件,测得它们的
实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
(3)由频率分布表可以看出,寿命在100h～400h的电子元件出现 的频率为0.65,所以我们估计电子元件寿命在100h～400h的概率 为0.65．
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
连续型总体
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
解：(1)样本频率分布表：
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
(2) 频率分布直方图
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
统计学中有两个核心问题,一是如何从整 体中抽取样本?二是如何用样本估计总体?
经过前面的学习,我们已经了解了一些常 用的抽样方法:
简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.
本节课,我们在初中学过样本的频率分 布的基础上,研究总体的分布及其估计.
1.频率分布条形图
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图:
⑵决定组距与组数(将数据分组)
组数:将数据分组,当数据在100个以内时,按数据多少常分5-12组.
组距:指每个小组的两个端点的距离，
⑶ 决定分点
⑷列出频率分布表. 频率
⑸画出频率分布直方图。
组距
o 25.235
25.295
25.325
25.415
25.475
连续型总体
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本的期望(总体均值).
解：(1)样本频率分布表：
(2) 频率分布直方图
寿命(h)
频数
频率
100～200
得到频率分布折线图.
o 25.235
25.295
25.325
连续型总体
25.415
25.475
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
5.总体密度曲线
所抽取的100件产品中,尺寸落在各个小组内的频率的大小.样
本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各
组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么
2.频率分布直方图
④列频率分布表:
分组
个数累计
[25.235,25.265)
[25.265,25.295) [25.295,25.325) [25.325,25.355) [25.355,25.385) [25.385,25.415) [25.415,25.445) [25.445,25.475)
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
解：(1)样本频率分布表：
(2) 频率分布直方图
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
6 7 8 9 10 11 12
第 5 6 7 8 9 10 11 二 4 5 6 7 8 9 10
枚3 4 5 6 7 8 9
骰 子
2
3
4
5
6
7
8
12 3 4 5 6 7
离散型:当总体中的个体所 取的不同数值较少时,其随 机变量是离散型的.
条形图要点：
①各直方长条的宽度要相同；
②相邻长条之间的间隔要适当
频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体密
度曲线.
频率
组距
连接频率分布直方图中
各小长方形上端的中点,
得到频率分布折线图.
o 25.235
25.295
25.325
连续型总体
25.415
25.475
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
5.总体密度曲线
样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图 就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线.
解：(1)样本频率分布表：
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
பைடு நூலகம்
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计