12.9频率分布、直方图与概率密度曲线

正 正正 正正正 正正正正正 正正正 正正
[25.475,25.505)
[25.505,25.535)
[25.535,25.565) 合计
频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
与前例子不同的是,这里 的总体可以在一个实数区间 内取值(称为连续型总体).运
25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 用在初中“统计初步”里学
25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 过的方法,可以得到这些数
频率与组距的比值，其相应组距上的频率
等于该组距上的面积
离散型总体
每一个小矩
频率
形的面积恰
组距
好就是其对
应的频率，
这些小矩形
的面积和为
1.
o 25.235
25.295
25.325
25.415
25.475
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
连续型总体
4.画频率分布直方图的步骤
⑴计算最大值与最小值的差(知道这组数据的变动范围)
5.总体密度曲线
所抽取的100件产品中,尺寸落在各个小组内的频率的大小. 样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应 各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那 么频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体 密度曲线.
频率 组距
连接频率分布直方图中 各小长方形上端的中点,
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027
掷两枚骰子的等可能性结果
频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体密
度曲线.
频率
组距
连接频率分布直方图中
各小长方形上端的中点,
得到频率分布折线图.
o 25.235
25.295
25.325
连续型总体
25.415
25.475
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
5.总体密度曲线
样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图 就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线.
得到频率分布折线图.
o 25.235
25.295
25.325
连续型总体
25.415
25.475
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
5.总体密度曲线
所抽取的100件产品中,尺寸落在各个小组内的频率的大小.样
本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各
组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么
解：(1)样本频率分布表：
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
(2) 频率分布直方图
(4)由频率分布表可知,寿命在400h以上的电子元件出现的频 率为0.20+0.15＝0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以 上的概率为0.35.
累计频率 0.01 0.03 0.08 0.20 0.38 0.63 0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
2.频率分布直方图
⑤频率分布直方图:
频率密
小矩形的高：
度
0.01÷0.03 0.02÷0.03
频率 组距 0.03
0.25
每一个小矩形的 面积恰好就是其 对应的频率,这些 小矩形的面积和
统计学中有两个核心问题,一是如何从整 体中抽取样本?二是如何用样本估计总体?
经过前面的学习,我们已经了解了一些常 用的抽样方法:
简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.
本节课,我们在初中学过样本的频率分 布的基础上,研究总体的分布及其估计.
1.频率分布条形图
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图:
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计ຫໍສະໝຸດ Baidu
200
1
(3)由频率分布表可以看出,寿命在100h～400h的电子元件出现 的频率为0.65,所以我们估计电子元件寿命在100h～400h的概率 为0.65．
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
0.05÷0.03 0.12÷0.03 0.18÷0.03 0.25÷0.03
0.18 0.12
为1.
0.16
0.13
连续型:当总体中的 个体所取的数值较多,
0.16÷0.03 0.13÷0.03 0.04÷0.03 0.02÷0.03
0.05 0.02 0.01
甚至无限时,其随机 变量是连续型的.
2.频率分布直方图
从规定尺寸为25.40 mm的一堆产品中任取 100件,测得它们的
实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37
频率分布折 线图无限接 近于一条光 滑曲线.
总体密度曲线 与x轴围成的 面积为1.
连续型总体
5.总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体分布,即反映了总体在各个范围内取值的概率.根据 这条曲线,图中带斜线部分的面积,就是总体在区间（a，b）内取值的概率．
总体密度曲 线与x轴围成 的面积为1.
连续型总体
总体密度曲线通常又叫概率密度曲线,以概率密度曲线为图像的 函数y=f(x)叫做概率密度函数.如图,连续型随机变量落在(a,b)内 的概率为阴影部分面积.即:
6 7 8 9 10 11 12
第 5 6 7 8 9 10 11 二 4 5 6 7 8 9 10
枚3 4 5 6 7 8 9
骰 子
2
3
4
5
6
7
8
12 3 4 5 6 7
离散型:当总体中的个体所 取的不同数值较少时,其随 机变量是离散型的.
条形图要点：
①各直方长条的宽度要相同；
②相邻长条之间的间隔要适当
⑵决定组距与组数(将数据分组)
组数:将数据分组,当数据在100个以内时,按数据多少常分5-12组.
组距:指每个小组的两个端点的距离，
⑶ 决定分点
⑷列出频率分布表. 频率
⑸画出频率分布直方图。
组距
o 25.235
25.295
25.325
25.415
25.475
连续型总体
产品 尺寸 (mm)
25.535 25.565
0.04
0.02
产品
尺寸
(mm)
o 0.02÷0.03
25.235
25.295
25.325
25.415
25.475
25.535 25.565
3.频率分布条形图和频率分布直方图的区别
两者是不同的概念.虽然它们的横坐标表示的
内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴
（矩形的高）表示频率；
频率分布直方图的纵轴（矩形的高）表示
2
2
2
2
2
我们估计总体生产的电子元件的寿命的期望值（总体均值）为365.
2.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
⑸样本的期望为(总体均值) ：
100 200 0.10 200 300 0.15 300 400 0.40 400 500 0.20 500 600 0.15 15140 90 82.5 365.
25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 据的频率分布表和频率分布
25.42 25.47 25.38 25.39
直方图.
①计算极差R:最大值25.56与最小值25.24的差为0.32;
②决定组距与组数:组距为0.03与组数为11;
③决定分点:起点为25.235,终点为25.565.
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本的期望(总体均值).
解：(1)样本频率分布表：
(2) 频率分布直方图
寿命(h)
频数
频率
100～200
频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027
6 频率
36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36
频率分布的条形图 每一个小矩形的高 就是对应的频率
离散型总体
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 点数和
123456 第一枚骰子
③高度就是对应的频率值.
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图：
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
2.频率分布直方图
④列频率分布表:
分组
个数累计
[25.235,25.265)
[25.265,25.295) [25.295,25.325) [25.325,25.355) [25.355,25.385) [25.385,25.415) [25.415,25.445) [25.445,25.475)
个数
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图
连续型总体
(3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；
⑸计算样本的期望(总体均值).
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；
如果把这堆产品中产品 尺寸的全体看作一个总体, 那么左边数据就是从总体 中抽取的一个容量为100的 样本．
25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32
P(a b) S阴影
0, x (,1]
例1.已知随机变量ξ的密度函数是
f
(x)

x 1, 1 x,
x x
(1,0] (0,1]
0, x (1,)
⑴画出ξ的概率密度曲线;
⑵根据所画曲线,求ξ在区间(-0.5,0.5)内取值的概率.
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命(h) 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图 (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
解：(1)样本频率分布表：
(2) 频率分布直方图
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
连续型总体
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；⑸计算样本期望.
解：(1)样本频率分布表：
寿命(h)
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
(2) 频率分布直方图
例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：