14-1——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
华东师大数学分析课件04
二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
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一、平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们首先定义平面图形的面积 所谓一个平面图形 P 是有界的 是指构成这个平面图形的点集是平面 是有界的, 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 P ⊂ R . 的有界点集 设 P 是一平面有界图形 用平行于二坐标轴的某一 是一平面有界图形, 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 图21小闭矩形) 可分为三类: 的网眼 (小闭矩形 ∆ i 可分为三类 小闭矩形 (i) ∆ i 上的点都是 P 的内点 的内点; (ii) ∆ i 上的点都是 P 的外点 即 ∆ i I P = ∅ ; 的外点,
i =1 i =1
n
n
(3) 取极限 当直线网 T 的网眼越来越细密 即分割 取极限: 的网眼越来越细密, T 的细度 || T || = max d i ( d i 为 σ i 的直径 趋于零时 就 的直径)趋于零时 趋于零时, 有
1≤ i ≤ n
∑ f (ξ , η )∆σ
i =1 i i
n
i
→V .
于是由(3)可得 于是由(3)可得 (3)
s P (T ) > I P −
ε
2
, S P (T ) < I P +
ε
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) − s P (T ) < ε . 充分性 设对任给的 ε > 0 , 存在某直线网 T, 使得
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第4章-函数的连续性(1)可编辑全文
则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
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例1 证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄利克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
O
x
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x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
A,
x x0 x x0
在 A g( x0 ) 时，x0 恒为F( x)的一个可去间断点.
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1实数ppt
(3)
.
(3)两边平方得：x-1+2x-1-2
≥3x-2；
化简得-
≥0
∴(x-1)(2x-1)=0；解得x=1或x=1/2.
经检验都不符合原不等式，∴原不等式无解。
3、设a、b∈R， 证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a=b. 证：设a>b，令ε=a-b>0，则|a-b|=ε，与题设不符， 同理可证a<b时，与题设不符，∴a=b.
(3)
.
(2)∵0≤|x-1|<|x-3|，∴
<1；即-1<
<1.
当x-3>0时，-x+3<x-1<x-3；无解.
当x-3<0时，-x+3>x-1>x-3；解得x<2.
∴原不等式的解为x<2 x<2
02
2、求下列不等式的解，并在数轴上表示出来：
(1)x(x2-1)>0；(2)|x-1|<|x-3|；
ak=bk(k=1,2,…j)而aj+1>bj+1， 则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.
2、设x=a0.a1a2…an…为非负实数。 称有理数xn=a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似， 而有理数 =xn+10-n称为实数x的n位过剩近似. 对于负实数x= -a0.a1a2…an…， 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 xn=a0.a1a2…an-10-n与 =a0.a1a2…an.
一、实数集与函数
1. 实数
1、(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数 x=a0.a1a2…an…，y=b0.b1b2…bn…， 其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k=1,2,…）为整数， 0≤ak≤9，0≤bk≤9。 若有ak=bk，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y； 若a0>b0或存在非负整数j，使得
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第7章 实数的完备性
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定理7.1(区间套定理) 若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
或者
[an , bn ], n 1, 2, ,
{ } [an , bn ].
a1a2 anan1
n1
( 注意 : 这并不能说明
lim
n
an
aN .)
x
aN aN aN
令
1, 2
存在N1,
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
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N2( N1 ), n N 2 时,
1
1
an [aN2 22 , aN2 22 ],
§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石.
| an A | | an anK | | anK A | 2 ,
所以
lim
n
an
A.
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定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间
的集合(即 H 中的元素均为形如 ( , ) 的开区间 ).
若对于任意 x S, 都存在 ( , ) H , 使 x ( , ),
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.2数集与确界原理ppt
1、设S为R中的一个数集。 若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)， 则称S为有上界(下界)的数集， 数M(L)称为S的一个上界(下界)。 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。 若S不是有界集，则称S为无界集。
证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。 证：任何一个不大于1的实数都是的N+下界， ∴N+为有下界的数集； ∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+， 且n0> M，∴N+为无上界的数集。
又对任何x∈A，有x∈S=>x≥inf S=>inf A≥inf S； 同理inf B≥inf S，故得inf S≥min{inf A, inf B} ∴inf S=min{inf A, inf B}
若数集S无上界，则 定义+∞为S的非正常上确界，记作sup S=+∞； 若数集S无下界，则 定义-∞为S的非正常下确界，记作inf S= -∞.
又对任何x∈A，有x∈S=>x≤sup S=>sup A≤sup S； 同理sup B≤sup S，故得sup S≥max{sup A, sup B} ∴sup S=max{sup A, sup B}
设A、B为非空数集，S=AUB. 证明： 1) sup S=max{sup A, sup B}； 2) inf S=min{inf A, inf B}. 证：依题意，S为非空有界，sup S，inf S都存在. 2)对任何x∈S，有x∈A或x∈B=>x≥inf A或x≥inf B， 从而有x≥min{inf A, inf B}， 故得inf S≤min{inf A, inf B}
1、用区间表示下列不等式的解： (1)|1-x|-x≥0；(2)|x+ |≤6； (3)sinx≥ ； (4)(x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a<b<c)； 解：(1) 1-x≥x或1-x≤- x；即x≤ ； ∴原不等式的解为：x∈(-∞, ]. (2) -6≤x+ ≤6，且x≠0； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； ∴x∈[3-2 , 3+2 ]∪[-3-2 , -3+2 ]
华东师范大学数学分析第四版
? ? 取 ?n ? min 1/ n, xn?1 ? ? , ? xn ? U o(? ; ?n ) I S;
LL .
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这样就得到一列 {xn }? S.由 ?n 的取法, {xn }两两
互异,并且
0?
??xn来自? ?n?1, n
由此
lim
n ??
xn
? ?.
定义2?? 定义2 由极限的定义可知这是显然的 .
? ? [an , bn ], n ? 1, 2, L ,
或者
?
? {? } ? [an , bn ].
n?1
? ?
??? ???
?? ?????
? ? ?
??????????????????
???????
? ??
????????
????????
?? ??????
?????
?? ????
???
????
(i) [an , bn ] ? [a n?1 , bn?1 ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
? an
?
M 2n?1
?
0;
(iii) 每个闭区间 [an, bn] 均含S 的无限多个点 .
由区间套定理 , 存在惟一的 ? ? [an , bn ], n ? 1, 2, ? .
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由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ? ,存在 N , 使
定理7.2 (魏尔斯特拉斯 Weierstrass 聚点定理 )
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我们再次使用区间套定理来证明聚点定理 , 请务必 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii).
证 因为S为有界点集 , 所以存在正数 M, 使
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
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以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
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例1
证明
lim
n
1 n n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
lim
n
an
.
若 an G,改为 an G 或 an G,则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
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§14.1 幂级数 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容幂级数的一般形式为2010200()()()nnn a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-∑为方便起见, 下面将重点讨论 00x =的情形. ∞==+++++∑20120.(2)nnnn n ax a a x a x a x 0,x x -因为只要把(2)中的 x 换成 就得到(1). 幂级数的收敛区间后退 前进 目录 退出++-+0()(1)nn a x x 即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛, 0x x =≠则对满足不等式 ||||x x >的任何x , 幂级数(2)发散.20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑的任何x , ||||x x <则对满足不等式 x x =时发散, 若幂级数(2)在 幂级数(2)收敛而且绝对收敛;即存在某正数 M , 使得||(0,1,2,).nn a x Mn <=||||,x x x <对任意一个满足不等式的设1,x r x=<则有 ||n n a x 由于级数 0nn Mr ∞=∑收敛,证 0,nn n a x 设级数收敛∞=∑(2)当 ||||x x <时绝对收敛.且有界, {}nn a x 从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数 ||n nn n n n n x x a x a x x x =⋅=.n Mr <设幂级数(2)在 x x =时 0x 0||||x x >如果存在一个, 满足不等式 , 且使 级数 0nn n a x ∞=∑收敛, (2)应该在 x x =时绝对收敛, 与假设矛盾. 切满足不等式 ||||,x x x 的>幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！ 间的长度, 发散, 则由定理得第一部分知, 所以对一 下面证明定理的第二部分. 幂级数这是非常好的性质. 若以2R 表示区 则称R 为幂级数的收敛半径.事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点 的绝对值的上确界. 0R =0x =(i) 当 时, 幂级数(2)仅在 处收敛; (ii) ,(2)(,);R 当时幂级数在上收敛=+∞-∞+∞(iii) 0,(2)(,);R R R 当时幂级数在内收敛<<+∞-x R >x 对一切满足不等式 的 , 幂级数(2)都发散; x R =±至于 , (2)可能收敛也可能发散. 为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑所以有因此称(,)R R -定理14.2对于幂级数(2), 若lim ,(3)nn n a ρ→∞=则当1(i)0,(2);R ρρ<<+∞=时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R ρ==+∞时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R ρ=+∞=时幂级数的收敛半径0ρ<<+∞(i) 当 时, 幂级数(2)收敛半径 1;R ρ=0,||1,x x ρρ=<当时对任何都有(ii) ||1x ρ>当 时, 级数发散. ,0||1,x x x ρρ当时除外的任何都有=+∞=>(iii) 证∞=∑0||,nn n a x 对于幂级数lim ||lim ||||||,nnn n n n n a x a x x ρ→∞→∞==于是 由于 根据级数的根式判别法, ||1x ρ<当时，收敛； 级数 0||nn n a x ∞=∑所以 R= 0.;R =+∞所以注 由定理14.2可知, 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.在第十二章§2第二段曾经指出: 1||lim,||n n na a ρ若+→∞=则有 lim ||.nn n a ρ→∞= 因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径. 一个幂级数的收敛域等于它的2,nx n∑级数由于2121(),(1)n n a n n a n +=→→∞+例1 1R =(1,1)-所以其收敛半径 , 即收敛区间为; ∑21,n 由于级数收敛 所 21nxx n在时也收敛.=±∑以级数 的收敛域为 [1,1].-而当 于是级数 2nx n ∑±=±=22(1)11,,nx n n 时有因此幂级数(4)的收敛区间是 (1,1)-.1x =时发散, 1x =-时收敛, 敛域是半开区间 [1,1)-. !!n n x n xn ∑∑与R =+∞0R =的收敛半径分别为 与 .例2 设有级数2,(4)2nx x x n ++++11lim lim 1,n n n n a n R a n →∞→∞++===由于但级数 (4) 当 照此方法, 容易验证级数 从而得到级数(4)的收*定理14. 3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2), 设lim ||,(5)nn n a ρ→∞=则有1(i)0,;R ρρ<<+∞=当时收敛半径(ii)0,;R ρ==+∞当时(iii),0.R ρ=+∞=当时注 由于上极限(5)总是存在, (5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由*例3 设有级数2342122242121,323232n nn n x x x x x x--+++++++1lim ||,2n n n a →∞=2R =由于 所以收敛半径 . 时, 级数都发散, 因 2x =±(2,2).-故此级数的收敛域为例4 求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.解 (i)先求收敛半径.2z x =方法1 设 , 21lim |3|nnn R n ρ→∞==-29x z =<29x z =>从而 时原级数收敛, 原级数发 2213nn n xn ∞=-∑ 3.R =散, 所以 的收敛半径为幂级数 213nn n zn ∞=-∑的收敛半径为2=9lim 19,3nn n n→∞-=方法2 应用柯西-阿达玛定理 (,0),n n a 奇数时==由于 221lim ||lim 3n n n n n n a n ρ→∞→∞==-22111lim ,3313nn n n →∞==-所以, 收敛半径为3.R =3x =±(ii) 再求收敛域. 当 时, 相应的级数都是 所以原级数的收敛域为 (3,3)-.求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.223lim 13nn n n →∞=-, 因此该级数发散, 由于 , 22133nn n n ∞=-∑定理14. 4若幂级数(2)的收敛半径为 0R >, (,)R R -[,](,)a b R R ⊂-区间内任一闭区间 上, 级数(2)都一致收敛.证=∈-max{||,||}(,),x a b R R 设任一点 x , ||||.n nn n a x a x ≤由于级数(2)在点 x 绝对收敛, 数(2)在 [,]a b 上一致收敛.则在它的收敛 [,]a b 那么对于上由优级数判别法得级 都有定理14. 5[0,]R 则级数(2)在 ([,0])R -或上一致收敛.x R =证 设级数(2)在 时收敛, (){}[0,]n x nn Ra R R 已知级数收敛,函数列在上∑ 若幂级数 (2) 的收敛半径为R > 0, )x R =-时收敛, ().nx n n n n R a x a R =∑∑对于 [0,]x R ∈有递减且一致有界,()21x xRR≥≥≥≥即 且在x R =(或 ()n x R≥≥故由函数项级数的阿贝尔判别法, [0,]R 级数(2)在 上一致收敛.例5 级数22(1)1(1)(1),(6)22222n nn nx x x x n n----=++++⋅∑由于1112(1)(),12(1)22n n n n n n n++=→→∞+所以级数(6)的收敛半径2R =, |1|2x -<(1,3).-从而级数(6)的收敛区间为即(2)1111(1).223nnn n n-=-+-++-+∑当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数211111.223nn n n n==+++++∑∑于是级数(6)的收敛域为[1,3).-1x =- 当 时, 级数(6)为收敛级数定理14. 6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的 (i) 幂级数(2)的和函数是 (,)R R 内的连续函数; (ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得2112323(7)n n a a x a x na x -+++++231120(8)231n n a a a a x x x x n +++++++的收敛区间.定理14. 7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间. 证 只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可， 先来确定幂级数(2) 逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)R R -内逐项求导与 因为 对(8)逐项求导就得到(2).由阿贝耳定理(定理14.1)的 证明知道, 都有||.n nn a x Mr <于是100||||n nn n n na xa x x -=0.nn nr 根据比式判别法可知级数收敛∞=∑较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 0x 绝对 0x (,)R R -由于 为 中任一点, 这就证明了幂级数(7) 在(,)R R -上收敛. 由级数的比收敛(当然也是收敛的!). 设 00(,),0x R R x ∈-≠, 存在正数 M 与 r (r <1), 对一切正整数 n , 0,||n M nr x <>>0,||||.x x x R 使得=x x 时绝对收敛.1||||||,||n n nn n n n na x a x a x x -=≥根据比较原则得幂级数(2)在 x x =处绝对收敛.与所设幂级数(2)的收敛区间为 (,)R R -相矛盾. 幂级数(7)的收敛区间也是(,).R R -其次证明幂级数(7)对一切满足||x R >的x 都不收敛. 如若不然, 幂级数(7)在点 00(||)x x R >收敛, 幂级数(7)在,由阿贝尔定理≥||,n x 但是,取时就有这 于是 则存在2112323(7)n n a a x a x na x-+++++定理14. 8(i) f 在 x 可导, 且11();n n n f x na x ∞-='=∑(ii) f 在区间 [0,]x 上可积, 证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半径 R .(,)x R R ∈-，设幂级数(2)在收敛区间(,)R R -上的和函数为 f , 若 x 为(,)R R -内任意一点, 因此,对任意一个则 10()d .1xn n n a f t t x n ∞+==+∑⎰且 总存在正数 r , 使得 |x | < r < R , 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r , r ]上一致收敛. 再由逐项求导与逐项求积定理, 就得到所要的结论.推论1nn n a x ∞=∑(,)R R -设 f 为幂级数 在收敛区间上的和 则在(,)R R -上 f 具有任意阶导数, 意次逐项求导, 21123()23,n n f x a a x a x na x-'=+++++223()232(1),n n f x a a x n n a x-''=+⋅++-+()1()!(1)(1)2,n n n fx n a n n n a x +=++-+.函数, 即且可任 由本定理立可得幂级数在其收敛区间上可以逐项求导 和逐项求积.推论2(0,1,2,)n a n =0f x =与在处的则级数(2)的系数各阶导数有如下关系:()0(0)(0),(1,2,).!n n fa f a n n ===注 推论2表明, 若幂级数(2)在 (,)R R -上有和函数 f , 则级数(2)由 f 在0x =处的各阶导数所惟一确定. 这是一个重要的结论, 在讨论幂级数展开时要用到.设 f 为幂级数 某邻域内的和函数,0nn a x x =∑在定理14. 9nn n a x ∞=∑0nn n b x ∞=∑0x =若幂级数 与 在 的某邻域内有相同的和函数, (1,2,).n na b n ==这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到. 根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇 (偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.幂级数的运算则它们同次幂项的系数相等, 即定理14. 10nn n a x 与∞=∑0n n n b x∞=∑若 的收敛半径分别为R a 和R b ,00,||,n nn n a n n a x a x x R λλ∞∞===<∑∑0(),||,nnnnn n n n n n ax b x a b x x R ∞∞∞===±=±<∑∑∑000,||,n n nn n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0,min{,},.na b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.则例6 几何级数在收敛域 (1,1)-内有 21()1.(10)1nf x x x x x==+++++-对级数(10)在 (1,1)-内逐项求导得 2121()123,(11)(1)n f x x x nx x -'==+++++--''==+⋅++-+-232!()232(1),(12)(1)n f x x n n x x 将级数(10)在[0,](1)x x <上逐项求积得到 00d d ,1-xx nn t t t t ∞==∑⎰⎰所以2311ln (||1).(13)1231n x x x x x x n +=++++<-+上式对也成立(参见本节习题3). 1x =-111(1)ln 1,223nn-=-+-++111(1)ln21.23n n--=-+++从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 于是有 逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12)或通过 (13)的和函数.例7 求幂级数 121(1)n nn n x ∞-=-∑的和函数.2lim 1nx n →∞=，21n n ∞=∑因为 且级数 121(1)n n n ∞-=-∑与 都发散, 121()(1)n nn S x n x ∞-==-∑()(1,1).x g x x =⋅∈-解 首先求出收敛域. (1,1).-所以收敛域为 设 1211(1)n n n x n x∞--==-∑1211()d (1)d xx n n n g t t ntt ∞--==-∑⎰⎰11(1)n nn nx ∞-==-∑因为 111=(1)n n n x nx∞--=-∑().xh x =所以()1()x x h x +'=2()(())(1)x g x xh x x '⎡⎤'==⎢⎥+⎣⎦23()()(1,1).(1)x xS x xg x x x -==∈-+本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请自行练习.对 ()h x 逐项积分, 111()d (1)d x xn n n h t t n tt ∞--==-∑⎰⎰=∈-+,(1,1).1x x x 得11(1)n nn x∞-==-∑111()=(1)n n n h t nx∞--=-∑21(1);x +=3;(1)xx 1-=+于是复习思考题,nn n a x ∞=∑1,n n n na x∞-=∑101n n n a x n ∞+=+∑1. 幂级数 有相同收敛 试问它们的收敛域之间有什么关系?2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零,3.为什么在幂级数逐项求导中没有要求在收敛区间上4. 逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数的一个有效 半径, 例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法, 称为缺项幂级 数. 还有其他方法吗? 除此以外 请读者总结.一致收敛？请总结出求和函数的常规方法.的方法,。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限可编辑全文
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
解 因为 | x | 1, 1 x2 (1 x) (1 x) 2 (1 x),
所以
0,
取
2
2,
当1
x 1 时, 有
| 1 x2 0 | .
这就证明了 lim 1 x2 0. x1
同理可证 lim 1 x2 0. x 1
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由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
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x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
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例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第9章 定积分
注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在
函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可
积.
例2 求 b xndx. a
解
b xndx xn1 b 1 (bn1 an1 ).
a
n1a n1
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1
例3 求 2
dx
.
0 1 x2
解
1 2
dx
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
F(b) F(a).
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证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0, 当 x, x [a, b], | x x | 时,
| f ( x) f ( x) | .
任取 i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n. 又 F 在 [ xi1, xi ]
S lim
n
i
1
2
1
n i 1
n
n
lim 1
n
i 12
n n 3 i 1
lim
n
n
1n2n
6n3
1
1 3
.
注 这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所
以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点i
i
1. n
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§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难, 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算.
与 i [ xi1, xi ] ( i 1, 2, , n) 如何选取, 都有
于是
n
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第10章-定积分的应用(1)可编辑全文
围立体的体积.
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
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所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
V
8V1 8
9 0
a2 x2
dx 16 a3. 3
以下讨论旋转体的体积.
4
S( A2 ) 1 x ( x 2) dx
2 3
x3
2
x2 2
4
2x
1
14 3
3 2
.
则
S(
A)
S(
A1 )
S(
A2
)
4 3
14 3
3 2
9 2
.
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若把 A 看作为 y 型区域，则
g1( y) y2 (1 y 2), g2( y) y 2 (1 y 2).
体积公式.
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§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
•(4, 2)
A
x y2
O
4x
• (1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1(
x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1 4
,
f2x x ,0 x 4.
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第11章 反常积分
例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
速度 v0 至少要多大？
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重
力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r R 处需作功
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua 1
例4 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1
ln xdx limx l x 1 1dx
0
0
lim
0
0
ln
1
1.
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复习思考题
1. f ( x) 在 [a, )上非负连续, 且 f ( x)dx 收敛, a 是否必有lim f ( x) 0? x
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
§1 反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广.
一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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an xn a0 a1 x a2 x2 an xn .
(2)
n0
因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1).
首先讨论幂级数(2)的收敛性.
除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？
数学分析 第十四章 幂级数
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高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
定理14.2
对于幂级数(2), 若
n
lim
n
an ,
(3)
则当
(i) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 1 ;
(ii) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R ;
(iii) 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 0.
发散, 如果存在一个 x0 , 满足不等式| x0 || x |, 且使
级数 an x0n 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 n0
(2)应该在 x x 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一
切满足不等式 | x || x |的 x, 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质. 若以2R表示区 间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径.
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 的情形. 即
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 设级数 an xn 收敛, 从而数列 {an xn } 收敛于零 n0
且有界, 即存在某正数 M, 使得
| an xn | M (n 0,1,2, ). 对任意一个满足不等式 | x || x |的 x, 设
(i)
当0
时,
幂级数(2)收敛半径
R
1
;
(ii) 当 0 时, 对任何 x 都有 | x | 1, 所以R ;
(iii) 当 时, 除x 0外的任何x都有 | x | 1,
所以 R= 0.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
定理14.1（阿贝尔定理）
若幂级数(2)在 x x 0收敛, 则对满足不等式
| x || x | 的任何x , 幂级数(2)收敛而且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x x 时发散, 则对满足不等式
| x || x |的任何x , 幂级数(2)发散.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 对于幂级数 | an xn |, 由于
n0
lim
n
n
|
an
xn
|
lim
n
n
|
an
|
|
x
|
|
x
|,
根据级数的根式判别法, 当 | x | 1时，级数 | an xn |
n0
收敛；当 | x | 1时, 级数发散. 于是
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例1 级数
xn n2
,由于
an1 an
(n
n2 1)2
1(n ),
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 (1, 1); 而当
x 1 时, 有
(1)n n2
1 n2
,
由于级数
1 n2
收敛,
所
以级数
xn n2
在
x
1 时也收敛.
于是级数
xn n2
r x 1,
x
则有
| an xn
|
an xn
xn xn
| an xn |
xn Mr n .
x
由于级数 Mr n 收敛, 故由优级数判别法知幂级数
n0
(2)当 | x || x | 时绝对收敛.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在 x x 时
敛域是半开区间 [1, 1) . 照此方法, 容易验证级数
xn n!
的收敛域为[1, 1].
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例2 设有级数
x2
xn
x ,
(4)
2
n
由于
R lim an lim n 1 1,
a n n
n
n1
因此幂级数(4)的收敛区间是 (1, 1) . 但级数 (4) 当
x 1 时发散, x 1时收敛, 从而得到级数(4)的收
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点
的绝对值的上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛;
数学分析 第十四章 幂级数
一般项为幂函数
a ( x x )n的函数项级数称
n
0
为幂级数, 这是一类最简单
的函数项级数. 幂级数在级
数理论中有着特殊的地位,
在函数逼近和近似计算中
有重要应用, 特别是函数的
幂级数展开为研究非初等
函数提供了有力的工具.
§1 幂级数
一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算
(ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 (, )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 (R, R)内收敛;
对一切满足不等式 x R 的 x , 幂级数(2)都发散;
至于x R, (2)可能收敛也可能发散. 因此称 ( R, R) 为幂级数(2)的收敛区间.
怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?
收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.
在第十二章§2第二段曾经指出: 若 lim | an1 | ,
n | an |
则有
lim
n
n
|
an
|
.
因此也可用比式判别法来得出
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,
可以参考第十二章的相关说明.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数