最优化方法大作业答案

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最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?答：决策变量、⽬标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。

min f (x)答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x0, j 1,L , p于 X D 均有 f(X *) f(X)则称 X *为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有等。

练习题⼆1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品) 的对偶问题)。

如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1解：确定决策变量对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。

确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。

确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。

因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 35y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18y 1, y 2,y 3 02、研究线性规划的对偶理论和⽅法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：略。

3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：x (k 1) x (k)x (k 1)x (k)x (k) min zx1x2x3minz4x2x3x1 x22x 32x12x2 x32（1） s.t. 2x1x2 x3 3x22x 3x 42 x1x34x2x3x 5 5x 1,x 2,x 3 0x i 0（i 1,2, ,5）解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6min z x 1 x 2x30*x 40* x 5 0* x 6x 1 x 22x 3 x4=22x 1 x 2 x 3x5=3x6=4x1, x2, x3, x4, x5, x6 0因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5作为换出的基变量。

最优化方法(试题+答案)

一、填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足，则它是f 在x 处的一个下降方向。

3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。

2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。

三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。

北航最优化方法有关大作业参考

1流量工程问题重述定一个有向网 G=(N,E) ，此中 N 是点集， E 是弧集。

令 A 是网 G 的点弧关矩，即 N×E 矩，且第 l 列与弧里 (I,j) ，第 i 行元素 1 ，第 j 行元素 -1 ，其他元素 0。

再令b m=(b m1 ,⋯,b mN )T，f m =(f m1,⋯ ,f mE )T，可将等式束表示成：Af m=b m本算例一典 TE 算例。

算例网有 7 个点和 13 条弧，每条弧的容量是 5 个位。

别的有四个需求量均 4 个位的源一目的，详细的源点、目的点信息如所示。

里了，省区了未用到的弧。

别的，弧上的数字表示弧的号。

此，c=((5,5 ⋯,5) 1 )T，×13依据上述四个束条件，分求得四个状况下的最决议量x=((x 12 ,x13,⋯ ,x75)1×13 )。

1 网拓扑和流量需求7 节点算例求解算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转变为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x1=201.2.2 算例 2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0] T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值 c T x2=201.2.3 算例 3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0] T）MinimizeTc x3Subject to Ax3=b3X3>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x3=40算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T ）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0] T对应的最优值 c T x4=601.3 计算结果及结果说明算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例 1 中，由 b1 可知，节点 2 为需求节点，节点 1 为供应节点，由节点 1 将信息传输至节点 2 的最短路径为弧 1。

重庆大学最优化方法习题答案

ax z = x1 + x2 3x1 + x2 ≥ 2
s.t.x1 + 2x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在 A 点取得最优值，最优值 z=5
（2） min z = x1 − 6x2 2x1 + x2 ≤ 1
s.t.− x1 + x2 ≤ 7 x1, x2 ≥ 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z = 3x1 + 2x2
− x1 + x2 ≤ 1 s.t.x1 − 2x2 ≥ −4
x1, x2 ≥ 0
解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z = −3 。
（2） max z = x1 + x2 − 2x3 + x 4 − x5
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 s.t.− x1 + 2x2 + x5 = 4
xi ≥ 0,i = 1,2,3,4,5
解：易知
x1
的系数列向
量
p1
= 1− 1
，
x2
的系数列向
量
p2
=
1
2
，
x3
的系
数列向量
1
1
0
p3
=
0
，
x4
的系数列向量
p4
=
0
，
x5
的系数列向量

最优化方法部分课后习题解答(1-7)

最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。

（2）约束最优点，并求出其最优值。

（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。

*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。

2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。

123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。

最优化方法(试题+答案)

一、填空题
1.若，则， .
2.设连续可微且，若向量满足，则它是在处的一个下降方向。
3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设二次可微，则在处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于二次连续可微，正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意可行域，则
故，从而可行域是凸集。
2.证明：要证是在处的一个可行方向，即证当，时，，使得，
解此线性规划（作图法）得，于是 .由线性搜索
得 .因此， .重复以上计算过程得下表：
0
1
1
2
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注。）
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到即可)：
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. ，（答案不唯一）。4.
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
0
1/2
1
2
2
3.解：取初始可行点求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子

重庆大学最优化方法习题答案

解：引入松弛变量 x 4 ，剩余变量 x 5 和人工变量 x 6 ，把原问题规范化为
max z = x1 + x 2 − 2x 3 − Mx 6 3x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 5 s.t.x1 − 4x 2 + x 3 − x 5 + x 6 = 7 x i ≥ 0,i = 1,2...6 x1 x2 x3 x4 x5 x6
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x (2) = ( ,0, ③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x (3) ④因为 p 2 , p 3 线性无关，可得基解 x
(4)
43 11 ,0) ， z 2 = ； 5 5 11 1 = (− ,0,0, ) ，是非基可行解； 3 6 2 5 = (0,2,1,0) ， z 4 = −1 ；
x1 + 4x 2 + 2x 3 ≥ 8 s.t.3x1 + 2x 2 ≥ 6 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
解：引入剩余变量 x 4 , x 5 和人工变量 x 6 , x 7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划
max w = −x 6 − x 7 max z ' = −2x 1 − 3x 2 − x
①因为 p1 , p 2 线性无关，故有
x 1 + x 2 = 1 − x 3 − x 4 − x1 + 2x 2 = 4 − x 5
，令非基变量为 x 3 = x 4 = x 5 = 0 ，得
x = − 2 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) = (− 2 , 5 ,0,0,0) ，是非基可行解； 3 3 x = 5 2 3
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 7 s.t.2x1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 1 2 3 解：易知 x1 的系数列向量 p1 = ， x 的系数列向量 p 2 = ， x 的系数列向量 p 3 = ， 2 3 2 1 1 4 x 4 的系数列向量 p 4 = 。 2 x1 + 2x 2 = 7 − 3x 3 − 4x 4 ，令非基变量为 x 3 = x 4 = 0 ，得 ① 因为 p1 , p 2 线性无关，故有 + x = 3 − x − 2x 2x 2 3 4 1 x = − 1 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) = (− 1 , 11 ,0,0) 是非基可行解； 3 3 x = 11 2 3

最优化方法与应用大作业(一)最速下降法

最优化方法与应用大作业（一）
---最速下降法部分：
1.问题描述:
用梯度下降法求解以下优化问题
min f(x)=(x1+10*x2)^2+5(x3-x4)^2+(x2-2*x3)^4+10*(x1-x4)^4
2.编程感想：
该算法需要计算Hesse矩阵，C语言在向量运算时没有Matlab方便，所以手工完成了理论计算，再输入，破坏了程序的移植性。

同时，实验表明当初始值离理想点较远且精度要求较高时，最速下降法的收敛速率极慢，迭代几乎不可能完成，这对初值的选取提出了一定限制。

3.结果分析：
编译界面（Mac os X，Xcode环境）
输入参数（设定为(0.1,0.2,0.3,0.4)）：
结果（此处列出每次迭代结果）。

明显的看到，最速下降法的收敛较慢，最终结果接近理论值（F（0，0，0，0）=0）所以该结果可以满意。

4.算法代码见下页
西安电子科技大学电子工程学院020951
李骏昊02095005。

最优化方法试题及答案

最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。

答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。

目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。

2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。

答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。

例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。

三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。

如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。

答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。

这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。

2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。

生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。

工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。

如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。

最优化方法习题答案

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题：（1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

最优化方法大作业

发动机空燃比控制器引言：我主要从事自动化相关研究。

这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。

发动机空燃比控制器设计中的最优化问题AFR =afm m && (1)空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获得最好的动力性能和排放性能。

如果假设进入气缸的空气流量am &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。

由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。

这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。

1110101122211ττττ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦f ff v X x x u x x X x y =x && (2)其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fvm &表示为液化部分燃油、fim &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3）00000011011011114.70ττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦ff v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3)其中()014.7⎰taq =y -m&。

由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *am /&。

《最优化方法》参考答案及评分标准

《最优化方法》参考答案及评分标准1. 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。

该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30 000 kg.已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。

已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸133kg,每打日记本用白坯纸1133kg,每箱练习本用白坯纸2263kg.又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。

试确定：(a)现有生产条件下获利最大的方案；(b)如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工，招多少临时工最合适？解：（a ）分别用123,,x x x 代表原稿纸、日记本和练习本的每月生产量。

(2分) 建立线性规划模型(4分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++++0,3000038034031010030/30/30/32max 32,1321321321x x x x x x x x x x x x （b ）临时工影子价格高于市场价格，故应招收。

用参数规划计算确定招200人为最适宜。

（5分）2. 求解下列产销平衡的运输问题，表中列出的为产地到销地之间的运价。

(1)用左上角法、最小元素法、沃格尔法求初始基本可行解。

(2)由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案需要的迭代次解：3. 用动态规划求解下面的问题解：（1）建立动态规划模型：①阶段变量k=1,2,3。

(1分) ②状态变量s k 表示第k 阶段初各决策变量之积，则s 3=27。

(1分) ③决策变量x k 分别表示第k 阶段的x 的值 (1分) ④状态转移方程s k+1=s k /x k 。

(1分) ⑤指标函数v k (s k ,x k )表示第k 阶段的总成本，即x 1+x 2+…+x k (1分)由已知可得k k k k x x s v =),((1分)⑥基本方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++≤≤0)()}(),({max )(441160s f s f x s v s f k k k k k x k k k (2分) （2）用动态规划的正向或反向推理算法求解可得：（12分）()()9)(min 333321==x f x x x评分标准：以上的推理过程，每一阶段的计算正确得3分（共3个阶段），其中，列写出s 或x 的范围得1分，列写出决策表得1分，列写出最优决策表得1分，每出现一处错误，扣0.5分，至扣完本项分值为止。

最优化方法练习题答案

练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素“答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停顿准则。

答：针对一般优化模型，讨论解的可行域，假设存在一()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===L L D 点，对于均有则称为优化模型最优解，最优解存在；*X D ∈X D ∀∈*()()f X f X ≤*X 迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列，满足，(1)(2)(),,,K X X X L L (1)()()()K K f X f X +≤则迭代法收敛；收敛的停顿准则有，，(1)()k k x x ε+-<(1)()()k k k x x xε+-<，，等等。

()()(1)()k k f x f x ε+-<()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<()()k f x ε∇<练习题二1、*公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购〔可能用于生产附加值更高的产品〕。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？〔该问题称为例2.1的对偶问题〕。

解：确定决策变量对3种资源报价作为本问题的决策变量。

123,,y y y 确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小〞。

确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++*2、研究线性规划的对偶理论和方法〔包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法〕。

答：略。

3、用单纯形法求解以下线性规划问题：〔1〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；〔2〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i 解：〔1〕引入松弛变量*4，*5，*6c j →1-11C B基b*1*2*3*4*5*60*421[1]-21000*532110100*64-101001c j -z j1-11因检验数σ2<0，故确定*2为换入非基变量，以*2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量*4作为换出的基变量。

最优化方法试卷与答案5套

《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。

最优化方法练习题答案

最优化⽅法练习题答案练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、⽬标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。

答：针对⼀般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===L L ，讨论解的可⾏域D ，若存在⼀点*X D ∈，对于X D ?∈均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X L L ，满⾜(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε?<等等。

练习题⼆1、某公司看中了例中⼚家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品）。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例的对偶问题）。

解：确定决策变量对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩”。

确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++*2、研究线性规划的对偶理论和⽅法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：（1）≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引⼊松弛变量x 4，x 5，x 6因检验数σ2<0，故确定x 2为换⼊⾮基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量x 4作为换出的基变量。