高等固体物理-第五章-晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质的界面扩散行为
晶格振动与晶体的热学性质的界面扩散行为晶格振动是指晶体中原子或离子在平衡位置附近做微小振动的现象。
这种振动不仅是晶体材料中热学性质的重要来源，还对材料的热传导和界面扩散等过程起着重要的影响。
本文将探讨晶格振动与晶体的热学性质之间的关系，以及晶体界面扩散行为的影响因素。
一、晶格振动与热学性质晶格振动是晶体中原子或离子在平衡位置附近做的微小振动。
晶体的热学性质主要与晶格振动有关，包括热容、热导率等。
晶格振动可分为声子振动和自由电子振动两个部分。
1. 声子振动声子是晶体中的一种集体振动模式，它描述了晶体中原子或离子之间的相互作用。
晶体中原子或离子的振动可以看作是声子的叠加，因此声子振动是晶体中晶格振动的主要形式。
由于晶体中原子或离子之间的相互作用，声子的能量和动量分布在一定的能带范围内。
不同的能带对应着不同的振动频率和波长。
晶体的声子谱确定了晶体的热学性质，例如热容和热导率等。
2. 自由电子振动自由电子振动是指晶体中自由电子在晶格场中的振动。
自由电子在晶体中的运动不受束缚，因此其振动形式与声子振动有所不同。
晶体中的自由电子振动主要与金属材料的导电性能有关。
在金属中，自由电子可以自由地在晶格中传导热能和电流。
因此，自由电子振动对材料的导电性和热导率有着重要的贡献。
二、界面扩散行为界面扩散是指两个不同材料之间的原子或分子在界面区域的有序交换。
界面扩散行为在材料加工、催化反应和电子器件等领域中具有重要的应用价值。
晶体的界面扩散行为主要受晶格振动和界面能等因素的影响。
1. 晶格振动的影响晶格振动通过扩散势垒的降低和原子或分子的振动能量促进界面扩散行为。
晶格振动的频率和振幅可以调控扩散行为的速率。
当晶体的振动频率与界面上的振动频率相吻合时，晶体原子或分子容易穿过界面，从一个材料迁移到另一个材料中。
此时，扩散行为将得到促进。
2. 界面能的影响界面能是指两个不同材料之间的接触面上的能量。
界面能的大小直接影响着界面扩散行为。
固体物理：晶格振动与晶体的热学性质
5. k空间中点的分布密度
k 点在 k 空间中均匀分布，其分布密度为
k
b1 N1
1
b2 N2
b3 N3
N
(2 )3
V
/ (2 )3
简约布里渊区内 k 点的总数等于原胞的数目，即
N
(2 )3
(2 )3
N
相应的简正模式的数目等于体系的自由度数，为
N[(3n 3) 3] 3nN
五、离子晶体中的长光学波
解： 原子的平均平方位移为（计及相位因子的任意性）
un2
j
1 2
a
2 j
每个格波的平均能量为
Ej
N
1 2
a2j
1 2
Nm
a2 2
jj
由于 Ej kT ，所以
a
2 j
2kT
Nm
2 j
从而
un2
j
kT
Nm
2 j
四、三维晶格的振动 1. 原子位移的表示方法
第 l 个原胞的位置 R(l) l1a1 l2a2 l3a3
l s
k
动力学方程
ms2 As
s ',
D ,
k
s,
s
'
As
'
该方程共有 3n 个解，其中 3 个为声学模式，其余 3n-3 个为光学模式。
4. K的取值与倒格矢及布里渊区
玻恩-卡门边界条件要求
u(Rl N1a1) u(Rl ) u(Rl N2a2 ) u(Rl ) u(Rl N3a3 ) u(Rl )
I m / 1 2 (M M ') / M
M ' M
当 M’> M 时，就会出现一种所谓的共振模式，这是一种准局域模 式，其频率位于原来的频带之中。这种模式虽然不是局域的，但在 杂质附近表现的特别强。
晶格振动与晶体的热学性质
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4
M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq
2
2
M m
1 2
aq
2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致
当q0时
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之一维单原子链
1 能量本征值 nq nq q 2
2 本征态函数 nq (Qq ) q / exp H nq ( ) 2
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程 波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
2 第一布里渊区的线度 a
2 / a N 第一布里渊区状态数 2 / Na
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的色散关系
aq 2 sin( ) m 2
格波相速度 — 不同波长的格波传播速度不同
色散关系
频率是波数的偶函数
03_02_一维单原子链 ——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ晶格振动与晶体的热学性质
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图 向上箭头 —— 代表 原子沿X轴向右振动 向下箭头 —— 代表 原子沿X轴向左振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度 不同原子间相差 相邻原子的相差
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限下
相邻两个原子振动相位差
—— 晶格可看作是连续介质
—— 相邻原子的相位差取值
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动和晶体的热容量之间存在着密切的关系。
晶体是由原子或分子组成的，而这些原子或分子之间通过化学键相互连接。
晶体中的原子或分子在平衡位置周围会围绕着振动，形成了晶格振动。
而晶格振动又会对晶体的热容量产生影响。
本文将对晶格振动与晶体的热容量之间的理论关系进行分析和讨论。
1. 晶格振动的基本理论晶格振动是指晶体内的原子或分子在平衡位置附近进行的振动。
晶格振动可以分为弹性振动和非弹性振动两种类型。
弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的小范围振动，其能量是守恒的；非弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的较大范围振动，其能量有耗散。
晶格振动可以用简谐振动模型进行描述。
简谐振动模型假设原子或分子在平衡位置附近的振动是线性且稳定的。
根据简谐振动模型，晶体中的原子或分子可以看作是质量为m的质点，其位置记作x，势能记作V(x)。
根据胡克定律，晶体中的原子或分子在位移为x时所受的力可以表示为F(x) = -dV(x)/dx，其中dV(x)/dx代表势能关于位移的导数。
根据牛顿第二定律可以得到运动方程：m(d^2x/dt^2) = -dV(x)/dx。
2. 晶体的热容量晶体的热容量是指单位质量晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
晶体的热容量可以分为等压热容量和等容热容量两种类型。
等压热容量是在等压条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量；等容热容量是在等容条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
根据热力学理论，晶体的热容量与晶体内部的能量转移有关。
晶体的热容量可以通过振动模型来解释。
晶体的热容量主要与晶体中的振动模式和振动频率有关。
因为晶格振动与原子或分子之间的相互作用有密切关系，不同的振动模式会对应不同的能量转移方式，从而影响晶体的热容量。
3. 晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动与晶体的热容量之间存在着一定的关系。
晶格振动会改变晶体内部的能量传递方式，进而影响晶体的热容量。
晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
p&i
H Qi
正则动量
pi
L Qi
Qi
Q&&i i2Qi 0, i 1, 2, 3,L 3N —— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1,
i1
Q3N )
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格的热传导
e
D T
D 为德拜温度， 为一常数。 其中，
除声子间的相互碰撞外，实际固体中的缺陷也可能成为限 制自由程的原因。如晶体的不均匀性、多晶体的晶界和杂质 都可以散射格波，从而影响声子的自由程。
03_11_晶格的热传导 —— 晶格振动与晶体的热学性质
06 / 06
。因此，晶格的热传导可以看成是声子扩散运动的结果，其热 导率可写成如下形式：
1 cv v0 3
03_11_晶格的热传导 —— 晶格振动与晶体的热学性质
cv 是定容热容， v0 是声子的运动速 式中， 是声子运动 度，通常取为固体中的声速， 的平均自由程。因此，热导率从根本上取 决于声子的平均自由程。
03_11 晶格的热传导
—— 如果在晶体中存在温度梯度 能流密度 —— 单位时间内通过单位面积的热能 —— 为晶体的热导系数 —— 不考虑电子对热传导的贡献 晶体中的热传导主要依靠声子来完成
03_11_晶格的热传导 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的 密度分布是不均匀的，平均声子数为：
n
1 e
q k BT
1
—— 温度较高的 区域将有 产生较多 的振动模 式 具有较大的振动幅度 —— 即有较多的声子被激发，声子密度高
03_11_晶格的热传导 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 与气体热传导相类似，声子在无规运动的基础上发生 定向运动，使得温度较低的区域具有同样的“声子”密度
q1 q2 q3 Gn
G n 0 对应正规过程， G n 0 对应翻转过程。
03_11_晶格的热传导 —— 晶格振动与晶体的热学性质
由碰撞决定的声子平均自由程密切依赖于温度，温度升
晶格振动对晶体热学性质的影响分析
晶格振动对晶体热学性质的影响分析晶格振动是指晶体中原子或离子围绕其平衡位置进行的微小振动。
这种振动对晶体的热学性质有着重要的影响。
本文将对晶格振动对晶体热学性质的具体影响进行分析，探讨其在热导率、热膨胀系数以及热容等方面的作用。
1. 晶格振动与热导率晶格振动与热导率之间存在密切的关系。
晶体的热导率主要由晶格振动引起的热传导贡献，以及电子的热传导贡献两部分组成。
晶格振动通过传递能量来引发热传导。
在晶体中，晶格振动以声子的形式传递热能。
声子的传播与晶格结构以及晶体的弹性性质密切相关。
因此，晶体的结构、晶格常数以及键的强度等都会对晶格振动与热导率产生影响。
2. 晶格振动与热膨胀系数晶格振动也会对晶体的热膨胀系数产生影响。
热膨胀系数是指物体由于温度变化而引起的长度、体积等物理量的变化比例。
晶体在受热后，晶格振动会引起原子或离子间距的变化，使晶体的体积发生变化。
晶体中原子或离子的质量、键的强度以及振动模式等因素都会影响晶格振动与热膨胀系数之间的关系。
3. 晶格振动与热容晶格振动还会对晶体的热容产生影响。
热容是指物体在吸热或放热过程中温度变化单位下的热量变化。
晶格振动会影响晶体中原子或离子的平均动能，从而影响晶格的热容。
晶格振动的能量传递会改变晶体原子或离子的能级分布，进而导致晶体的热容发生变化。
4. 晶格振动对热学性质的调控晶格振动对晶体的热学性质有着重要的调控作用。
通过调控晶格振动，可以有效地改变晶体的热导率、热膨胀系数以及热容等性质。
研究表明，通过控制晶体的晶格结构、晶格缺陷以及晶格畸变等方式，可以调控晶格振动的传播行为，从而实现对晶体热学性质的调控。
这对于材料的设计与应用具有重要的意义。
结论综上所述，晶格振动对晶体热学性质的影响是不可忽视的。
晶格振动通过影响热导率、热膨胀系数以及热容等参数，调控晶体的热学性能。
深入理解晶格振动对晶体热学性质的影响，有助于材料科学领域的研究与应用。
晶格振动对晶体热学性质的影响
晶格振动对晶体热学性质的影响晶体是由大量晶格点排列而成的凝聚态物质。
在晶体中，晶格振动（也称为晶体振动）是指晶格点相对于它们的平衡位置进行的小振动。
这种振动不仅导致晶体的机械性质，还对晶体的热学性质产生了重要影响。
本文将探讨晶格振动对晶体热学性质的具体影响。
1. 热容量的影响晶格振动是晶体中原子的振动，这种振动将导致整个晶体具有能量。
晶格振动的能量会以热量的形式储存，因此晶格振动对晶体的热容量有直接影响。
晶体的热容量与振动能量的大小成正比。
晶格振动引起的热容量的增加，将导致晶体对热量的吸收能力增强。
2. 热导率的影响晶格振动也对晶体的热导率产生影响。
热导率是指热量在物质中传播的能力，它与热传导速率成正比。
晶格振动会导致晶体中原子之间的相互作用增强，从而提高晶体的热导率。
振动较大的晶格点之间的相互作用将更加紧密，使热量更容易从一个晶格点传导到另一个晶格点上。
3. 热膨胀系数的影响晶格振动还会影响晶体的热膨胀系数。
热膨胀系数是指物质在温度变化时的膨胀程度。
晶格振动会使晶体中原子的平均距离发生变化，从而导致晶体的体积发生变化。
因此，晶格振动越剧烈，晶体的热膨胀系数就越大。
4. 热导电性的影响晶格振动对晶体的热导电性能也有重要影响。
热导电性是指物质对热量和电流传导的能力。
晶格振动将改变晶体中的电子态密度分布，从而影响电子的运动性质。
这些影响将影响晶体的电导率和热导率。
例如，在某些材料中，振动较弱的晶格点可以提高电子的传导能力，从而提高热导电性。
综上所述，晶格振动对晶体的热学性质产生了重要影响。
它对晶体的热容量、热导率、热膨胀系数和热导电性能都具有显著影响。
通过深入研究晶体中晶格振动的性质和行为，我们可以更好地理解晶体的热学特性，并为材料科学的发展提供基础。
注：以上文章属于晶格振动对晶体热学性质的影响的讨论性文章，可能不符合合同或作文格式的要求。
请根据具体需求进行适当调整。
固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格振动模式密度剖析
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量
给定晶体 —— 总的振动模数目是一定的 按振动频率分布 —— 用晶格振动模式密度来描述
振动模式密度 —— 研究晶体热容、电学和光学性质
晶格振动模式密度 g() lim n —— 单位频范霍夫奇点 —— 晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
ds
(2 )3 q(q)
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 最大频率 振动模式密度 一维情况下
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
考虑到一个频率可以有 两个值 振动模式密度
g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
q空间 —— 振动模是均匀分布的，状态密度
根据
做出一个等频率面
两个等频率面 和
之间的振动模式数目
—— 频率是q的连续函数
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
之间振动模式数目
g() lim n 0
g() V
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度 g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比
g()
V
2 2c3
2
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析晶体是由周期性排列的原子或分子构成的固体物质，其热学性质与晶格振动之间存在着相互的联系和相干性。
本文将对晶体的热学性质和晶格振动的相干性进行分析和探讨。
一、晶体的热学性质晶体的热学性质是指晶体在温度变化下所表现出的性质和特点。
其中，热容、导热性、热膨胀等是最常见的晶体热学性质。
下面将对这些性质进行详细介绍。
1. 热容热容是指单位质量的晶体在温度变化下吸收或释放的热量。
晶体的热容受到晶格振动和晶格缺陷的影响。
晶格振动包括晶格的弹性振动、声子振动等，它们会影响晶体内部的能量传递和分布。
晶格缺陷包括点缺陷、面缺陷等，它们会散射热子和声子，影响晶格的热传导性能。
2. 导热性导热性是指晶体在温度梯度下传导热量的能力。
晶体的导热性与晶格振动的相干性密切相关。
晶格振动的相干性越高，晶体的热导率就越高。
晶体的导热性还受到晶体的宏观结构和缺陷等因素影响。
3. 热膨胀热膨胀是指晶体在温度变化下的尺寸变化。
晶体的热膨胀与晶体中原子的振动有关。
当温度升高时，晶体内原子的振动增强，原子之间的相互作用减弱，晶体的体积就会扩大。
晶体的热膨胀系数与晶格振动的相干性强弱密切相关。
二、晶格振动的相干性晶格振动是晶体中原子或分子围绕平衡位置做小幅振动而引起的能量传递和分布现象。
这些振动以声子的形式进行传递，其相干性对晶体的物理性质有重要影响。
晶格振动的相干性决定了晶格对热量和声波的传递情况。
当声子的相干性较高时，晶体的热导率会增加。
而当声子的相干性较低时，晶体中的散射会增加，导致热传导能力变弱。
因此，晶格振动的相干性是晶体热学性质的重要影响因素。
晶体中振动的相干性主要受到以下因素的影响：1. 晶格结构：不同晶体的晶格结构会影响振动的传播和相干性。
晶格结构越有序，振动的相干性越高。
2. 晶体缺陷：晶体中的缺陷会散射声子，降低振动的相干性。
例如点缺陷、面缺陷等都会对声子的传播和相互作用产生影响。
3. 温度：温度的变化会影响晶格振动的相干性。
第五章 晶格振动和晶体热学性质(三)(课堂)
dU E d ln ω P=− + γ , 其中γ = − 是格临爱森常数。 dV V d ln V
2 ω± = βH
n N N aq = π ,− < n ≤ N 2 2
V = 2 Na
ω = βH V = 2 Na
2 ±
dU E d ln ω + γ ,γ = − P=− dV V d ln V
（2）热膨胀原因分析
均为0。
d ln ω d ln β γ =− =− d ln V 2d ln a
（2）热膨胀原因分析
简谐近似 当γ=0时，不发生热膨胀现象。 时 不发生热膨胀现象。
非谐效应
实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 可见，实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的
设2个原子中有1个固定在 个原子中有1 原点， 原点，而另一个原子平衡 位置为a 位置为a，δ为其离开平衡 位置的距离，如图示， 位置的距离，如图示，现 将2原子的相互作用势能
② 若考虑 以上高次项，如 项，则： 以上高次项， 1 d 2 u 2 1 d 3u 3 u (r ) = u (a) + δ + 3 δ 2 2 dr ！ 3! dr a 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A、B 曲线所示，可以想见，随着温度的升高， 曲线所示，可以想见，随着温度的升高，原子振动加 原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 强，原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 1 d 2u 1 d 3u 令： − =g 2 = f 2 dr a 3! dr 3 a 则：
第五章 晶格振动与热学性能
当k很小且趋于0，或是波长很长时， (A/B)1=1, 实际上代
表原胞（异质原子组成）质心的振动；
光学波中相邻两种原子的振幅比为：
度无关；
圆频率为ω2的格波称为光频支格波，简称光频支或光学波，
可用光波来激发。
声学波在k=±π/2a时，圆频率有最大值为(2β/M)1/2 , 在
k=0时，圆频率有最小值0； 光学波在k→0时；圆频率具有最大值(2β/μ)1/2, μ是复合质 量，μ=mM/(m+M)，在k=±π/2a时，圆频率有最小值为 (2β/m)1/2 ； 因M>m，因而声学波中最大圆频率也比光学波的最小值 小。圆频率在[ω1(max)，ω2(min) ]之间的格波不存在，称为 频率间隙，利用频率间隙可制备带通滤波器。
连续介质的弹性 波 产生电 偶极矩， 发射电 磁波
相反
快
异号原 子相对 振动
轻
长光学波与电磁波的作用
长波极限下，对于典型μ和β值
电磁波频谱（Hz）：
无线电波：<109
微波：1×109～3×1011 远红外：3×1011～6×1012 中红外：6×1012～1.2×1014 近红外：1.2×1012～3.8×1014
边界。
3. 色散关系（晶格的振动谱）
色散关系：频率(决定颜色)和波矢的关系。
2( / m )
1/ 2
| sin( ak / 2 ) | max | sin( ak / 2 ) |
主值范围的ω-k图
讨论：
高二物理竞赛晶格振动和晶体的热学性质课件
面心立方中的(111)晶面上可以看到六角密堆的排列 方式。面心立方可以由原子的一种六角密堆方式 (ABCABC…)形成。每个原子有12个近邻，晶格中基 元包含1个原子。
原子六角密堆(ABABAB…)排列形成六方结构，每个 原子由12近邻，晶体基元有2个原子。
晶格振动的特征
研究对象：N个原胞、每个原胞有s个不同的原子，d维晶体
需要注意电子的加速度方向并不一定与外场力的方向一 致，这是由倒有效质量张量的性质所决定的。
Bloch电子在外场中的运动，可视为 质量为 m* 、速度为Vn(k)的粒子在电磁场中的运动， 且遵从经典力学规律 准粒子
3、导体、半导体、绝缘体的能带论解释 空穴
4、准经典运动 Hall 效应 电子回旋共振
kBT
1
g d
m
g d 3N
0
如果某种晶体的晶格振动模式密度g()已知，我们
即可根据上式求出晶格热容来。
Einstein 模型
g() 3N ( 0)
Debye 模型
g
3V2 2 2c3
g j
V
8 3
dS
qj (q)
光学支 声学支
A-——Drude 模型
传导电子密度
Drude模型的假设 1 除电子碰撞之外，忽略电子——离子的相互作用，以 及
晶格振动和晶体的热学性质
第一部分 晶体结构和X射线衍射 第二部分 晶格振动和晶体的热学性质 第三部分 金属的自由电子理论 第四部分 能带理论基础 第五部分 准经典运动
与金刚石结构类比： C(1) —— ● C(2) —— ●
布拉菲格子：f. c. c. 基元：Zn+S
7. 闪锌矿结构
面心立方中的(111)晶面
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一个质点的运动是它参与的所有简正模的叠加； 简正模式之间是彼此相互独立的； 若质点系统的自由度为N，则有N个简正模和N个
相应的简正频率。
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* 简谐近似和简正坐标
考虑由N个原子组成的晶体
)0
0,V0
0
则系统的势能函数
V1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
系统的动能函数
T
1 2
3N i1
mi (i )2
系统的哈密顿量 H T V1 23 iNm i(i)21 2i,3 jN 1( i2 Vj)0 i j
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* 简谐近似和简正坐标
两个耦合质点的振动问题可化为两个独立变量q1和q2的振 动方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动，即简正模。
0
简正频率：
k
m
k
2K
m m
它们对应的频率为简正频率，这两个独立变量q1和q2称为
简正坐标。
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* 简正坐标和简正频率
简正模式
第n个原子的平衡位置的位置矢量 R n
设它偏离平衡位置的位移矢量 n(t)
( Rn l1a1 l2 a2 l3a3 )
则原子的位置矢量
R
'n
R n
n (t)
N个原子的位移矢量共有3N个分量 i (i 1, 2, 3, ..., 3 N )
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V(R'1,R'2,...,R'N)V(1,2,...,N)V(1,2,3...,3N) V 03 i N 1( V i)0i1 2i,3 jN 1( i2 Vj)0i j 高 阶 项
)q2
qq12
A1cos(0t 1) A2 cos(t 2)
0
k, m
m k 2m K
xa xb
12A1cos(0t1)12A2cos(t2) 12A1cos(0t1)12A2cos(t2)
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* 简正坐标和简正频率
简正模和简正频率
简正坐标：qq12xxaaxxbbA A12ccooss((0tt21))
为了使系统的势能函数和动能函数具有简单的形式，即化为 平方项而无交叉项，使哈密顿方程得到简化，引入简正坐标，
光滑桌面
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* 简正坐标和简正频率
设两轻质弹簧的模量分别为k和K，则耦合振动的两质点运动
方程：
m mxxba
kxa kxb
K(xb xa) K(xb xa)
由这两个方程可看出，每个振子的加速度都与另一振子的
位置有关，它们的运动彼此相关联，即两振子之间存在着耦合
北京航空航天大学研究生课程
高等固体物理
Advanced Solid State Physics
11/1/2020
授课人：
前言
1907年，爱因斯坦发表了题为“普朗克辐射理论与比热的理论 ”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学 的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，彼得·德拜认识到，爱因斯坦提出的比热公式在极低 温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率 不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频 率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，波恩和卡门发表了题为“论空间点阵的振动的论文” 。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形式存在，是点阵动 力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导 、电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结 在波恩和黄昆的书“晶格动力学理论”中（1954年出版）。 1950年前后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子散射。
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* 简谐近似和简正坐标
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V V 0 3 i N 1( V i)0i 1 2 i,3 jN 1 ( i2 V j)0i j 高 阶 项
忽略高阶项,作为简谐近似处理，
即在平衡位置( V i
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2 xb) mk (xa xb)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
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* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基
础。
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经典力学中，将力学体系自平衡位置产生微小偏移 后发生的运动称为小振动问题。 晶格振动就是典型的多质点小振动问题。
处理小振动问题可以采用简谐近似（忽略能量三阶 以上的微分项）。
经典力学中，对于多质点振动问题，在简谐近似下 引入简正坐标，可以将其转化为单质点振动问题。
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* 简正坐标和简正频率
从经典力学的观点，晶格振动是典型的小振动问题，凡是 力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是 小振动。这里以平面耦合振动推导晶格振动物质波在简正空间 的运动方程，作为晶格振动在这部分的理论基础。
耦合振动问题
目录（contents）
晶格振动与晶体的热学性质
1、简谐近似与简正坐标 2、一维单原子链 3、一维双原子链 4、确定晶格振动的实验方法 5、晶格的热传导
§5。1 简谐近似与简正坐标
知识铺垫
晶体中的格点表示原子的平衡位置。 晶格振动就是指原子在格点附近的振动。
晶格振动与晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
高等固体物理
教学要求与目的：掌握一维链的振动（单原子链 、双原子链）、声学支、光学支、色散关系；掌 握格波、简正坐标、声子、声子振动态密度、长 波近似等概念；；熟练掌握固体热容：爱因斯坦 模型、德拜模型的推导过程及其物理涵义。
课程教材及主要参考书：
1、黄昆原著，韩汝琦改编 ,《固体物理》，高教出版社，1988