万有引力与航天 典型例题

万有引力与航天--例题

考点一 天体质量与密度的计算

1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即

G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T 2 (2)在中心天体表面或附近运动时,万有引力近似等于重力,即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度).

2.天体质量与密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 与天体半径R 、

由于G Mm R 2＝mg ,故天体质量M ＝gR 2G

, 天体密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3g 4πGR 、 (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 与轨道半径r 、

①由万有引力等于向心力,即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ,得出中心天体质量M ＝4π2r 3

GT 2; ②若已知天体半径R ,则天体的平均密度

ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3πr 3GT 2R 3; ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r 等于天体半径R ,则天体密

度ρ＝3πGT 2、可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ,就可估算出中心天体的密度.

例

1 1798年,英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ,因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人.若已知万有引力常量G ,地球表面处的重力加速度g ,地球半径R ,地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期),一年的时间T 2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离L 1,地球中心到太阳中心的距离L 2、您能计算出( )

A.地球的质量m 地＝gR 2G

B.太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22

C.月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21

D.可求月球、地球及太阳的密度

1.[天体质量的估算]“嫦娥一号”就是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200

km 的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟.已知引力常量G ＝6、67×10

－11 N·m 2/kg 2,月球的半

径为1、74×103 km 、利用以上数据估算月球的质量约为( )

A.8、1×1010 kg

B.7、4×1013 kg

C.5、4×1019 kg

D.7、4×1022 kg

2.[天体密度的计算]“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分,在西昌卫星发射中心成功发射.“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆与月面巡视勘察,并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测.已知月球半径为R 0,月球表面处重力加速度为g 0,地球

与月球的半径之比为R R 0＝4,表面重力加速度之比为g g 0＝6,则地球与月球的密度之比ρρ0

为( ) A 、23 B 、32 C.4 D.6

估算天体质量与密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只就是中心天体的质量,并非环绕天体的质量.

(2)区别天体半径R 与卫星轨道半径r ,只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ;计算天体密度时,V ＝43

πR 3中的R 只能就是中心天体的半径. 考点二 卫星运行参量的比较与计算

1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

2.极地卫星与近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖.

(2)近地卫星就是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径,其运行线速度约为7、9 km/s、

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.

例

2(2013·广东·14)如图1,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M与2M的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的就是()

图1

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

3.[卫星运行参量的比较](2013·海南·5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星与倾斜同步卫星组成.地球静止轨道卫星与中轨道卫星都在圆轨道上运行,

它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍与3、4倍.下列说法正确的就是( )

A.静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C.静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1

7

D.静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1

7

4.[同步卫星问题的有关分析]已知地球质量为M ,半径为R ,自转周期为T ,地球同步卫星质量为m ,引力常量为G 、有关同步卫星,下列表述正确的就是( )

A.卫星距地面的高度为 3GMT 2

4π2

B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度

C.卫星运行时受到的向心力大小为G Mm R

2 D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

同步卫星的六个“一定”

考点三卫星变轨问题分析

1.当卫星的速度突然增大时,G Mm

r2

v2

r,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离

原来的圆轨道,轨道半径变大,当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM

r

可知其运行速度比原轨道时减小.

2.当卫星的速度突然减小时,G Mm

r2>m

v2

r,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,脱

离原来的圆轨道,轨道半径变小,当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM

r

可知其运行速度比原轨道时增大.

卫星的发射与回收就就是利用这一原理.

例