(完整版)梁的内力计算
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1.2平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..
称面（如图4—2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本
的弯曲Hale Waihona Puke Baidu题。
1.3梁的简化一一计算简图的选取
辊轴
枢轴
a活动铰支座
Ya
支承垫板
I
[r|ya
b固定铰支座
mA
AXaa
1飞—
Ya
c固定端支座
图4-3三种典型支座
1.4梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：
(1)简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰(如图4—4(a))；
(2)外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外(如图4—4(b),(c));席自由(如图4—4(d))。
承面，用YA表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4—3（b）所示。这种支座限制梁在 支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分 力，用XA、YA表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4—3（c）所示。这种支座限制梁端 的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量XYA及mA来表示。 图4—1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样， 较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进
行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。
图4-2梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
(4-2-1)
YaQ10
3
得QiYaqa
4
由Mj0YAa M1m 0
232q2
得Mrm YAa qa qa a
4 4
求得的Q结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M结果为正
值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q和弯矩M均设为
第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4—
i中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结
构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中
（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
(如图4—6(c)、(d))。
根据如上符号规定，图4—5中m-n截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4—1外伸梁如图4—7(a)，已知均布荷载q和集中力偶m qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
所求反力无误。
(2)求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力为正，如图4-7(b)所示
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
(a)为例，梁在外力(荷载P和反力W、Yb)作用下处于平衡状态。在需求梁 的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。 由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。 从图4-5(b)可知， 左脱离体A端原作用有一向上的支座反力X,要使它保持平衡，由丫0和
M0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M内力分量Q位于横截面上，称为剪力.；内力偶矩M位于纵向
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
qa
2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：
的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1梁的受力与变形特点
综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面
内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受
弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
q
HIU{<TTT
(i)两端外伸梁
p
IJ
(i)悬臂梁
(3)
梁的支座为一端固定,
0
()一端外伸梁
悬臂梁
()简支梁
图4-4梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个， 可由静力平衡条件全部求得，故也称 为静定梁。
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4—5
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..
称面（如图4—2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本
的弯曲Hale Waihona Puke Baidu题。
1.3梁的简化一一计算简图的选取
辊轴
枢轴
a活动铰支座
Ya
支承垫板
I
[r|ya
b固定铰支座
mA
AXaa
1飞—
Ya
c固定端支座
图4-3三种典型支座
1.4梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：
(1)简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰(如图4—4(a))；
(2)外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外(如图4—4(b),(c));席自由(如图4—4(d))。
承面，用YA表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4—3（b）所示。这种支座限制梁在 支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分 力，用XA、YA表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4—3（c）所示。这种支座限制梁端 的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量XYA及mA来表示。 图4—1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样， 较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进
行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。
图4-2梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
(4-2-1)
YaQ10
3
得QiYaqa
4
由Mj0YAa M1m 0
232q2
得Mrm YAa qa qa a
4 4
求得的Q结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M结果为正
值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q和弯矩M均设为
第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4—
i中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结
构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中
（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
(如图4—6(c)、(d))。
根据如上符号规定，图4—5中m-n截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4—1外伸梁如图4—7(a)，已知均布荷载q和集中力偶m qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
所求反力无误。
(2)求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力为正，如图4-7(b)所示
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
(a)为例，梁在外力(荷载P和反力W、Yb)作用下处于平衡状态。在需求梁 的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。 由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。 从图4-5(b)可知， 左脱离体A端原作用有一向上的支座反力X,要使它保持平衡，由丫0和
M0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M内力分量Q位于横截面上，称为剪力.；内力偶矩M位于纵向
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
qa
2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：
的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1梁的受力与变形特点
综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面
内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受
弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
q
HIU{<TTT
(i)两端外伸梁
p
IJ
(i)悬臂梁
(3)
梁的支座为一端固定,
0
()一端外伸梁
悬臂梁
()简支梁
图4-4梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个， 可由静力平衡条件全部求得，故也称 为静定梁。
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4—5