6、函数之函数的单调性(教师版)
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
函数的单调性教师版
单调增区间函数y ＝x x+-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞).函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32，＋∞) C.(－1，32) D.[32，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)的定义 域为(－1,4)，又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32，4)上递减， 所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32，4)上递增. 答案：D函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和单调性的应用1.求参数范围(精选考题·抚顺六校第二次模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x >1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.2. 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 解析：由于f (x )＝|log a x |在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23，此即为a 的取值范围． 答案：12<a ≤233. ．已知函数f (x )＝3－ax a －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3. 当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 4. 【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎨⎧ a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎨⎧ a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C5. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，且周期是3，那么下列三个数(lg100)f , f (2π), f (23π)，从大到小的顺序是f (2π)>(lg100)f >f (23π) 例5．函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围． 分析：由函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x +->恒成立． 解：∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a a x x x x +-<+-，即1212()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴1210,a x x +> 121,a x x >- 12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥； 又∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->， 即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．例1 求解方程03x 8x )3x 7(55=++++。
函数的单调性问题教师版
知识点5：函数单调性的定义及应用：定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○112x x <⇔()()12f x f x <,则称()x f y =在区间I 上为增函数； ○212x x <⇔()()12f x f x >,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集； （3）函数单调性的定义中，有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立．（4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根 （ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论 变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。
1.利用单调性的定义证明函数+2()+1x f x x =在(-1,)+∞上是减函数。
解：在(-1,)+∞上任取12x x <， 则121212+2+2()()+1+1x x f x f x x x -=-2121(+1)(+1)x x x x -=因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。
第4讲函数的单调性教师版
第三节 函数的单调性1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x )的单调减区间是________．[0, ]3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：16.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．7. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为_1(,1],[,1]2-∞-____8.求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．变式： 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >． 9．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.，若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；解：x ∈R ，f (x )<b ·g (x ) x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 Δ＝(－b )2－4b >0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．。
(完整word版)中职数学函数的单调性教案
函数的单调性教案一、条件分析1．学情分析函数的单调性是函数这个章节的第三节课，通过前二节课的情景教学，学生对函数的恐惧感有所降低,所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。
2.教材分析教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，将抽象的知识直观化,充分体现了树形结合的思想。
二、三维目标知识与技能目标A层：1.理解函数单调性的概念；2。
掌握判别函数单调性的图像观察法；3。
掌握判别函数单调性的推理证明法；4。
知道函数的单调区间；B层：1.理解函数单调性的概念；2。
掌握判别函数单调性的图像观察法;3.掌握判别函数单调性的推理证明法；4。
知道函数的单调区间；C层：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判别函数单调性的图像观察法;过程与方法目标通过创设情境，让学生观察、合作、探究函数图像的性质，直观感受函数的单调性；通过讲授让学生掌握判别函数单调性的证明方法；通过练习加强对新知识的巩固。
情感态度和价值观目标通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程三、教学重点函数单调性的概念、判断及证明四、教学难点根据定义证明函数的单调性五、主要参考资料：中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。
六、教学进程： 情景导入：礼拜天，同学们就会去青青百货买东西。
那么我们从学校门口去青青百货的这段路程中，是上坡还是下坡呢？那我们把这段路程的简图画在平面直角坐标系中是什么样子呢？同学们仔细观察图形,从左往右图像呈什么变化趋势? （1）图像观察法像这种函数图像从左往右呈上升趋势的函数我们称为增函数（函数值逐渐增加的函数）。
2025高考数学必刷题 第15讲、单调性问题(教师版)
第15讲单调性问题知识梳理知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2、已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性．注：①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数．②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立．因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增．当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤．必考题型全归纳题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2024·全国·高三专题练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当0x <时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当2x >时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.只有C 选项的图象符合.故选：C.【对点训练1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点【答案】BD【解析】先由题中图像，确定()f x '的正负，得到函数()f x 的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当02x <<时，()0f x '<；当2x >，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<；当<2x -时，()0f x '>；即函数()f x 在(),2-∞-和(2,)+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A 错，B 正确；C 错，D 正确.故选：BD.【对点训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中可能是()y f x =图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()y xf x '=的图象知，当(),1x ∈-∞-时，()0xf x '<，故()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,0x ∈-时，()0xf x '>，故()0f x '<，当[)0,1x ∈，()0xf x '≤，故()0f x '≤，等号仅有可能在x ＝0处取得，所以()1,1x ∈-时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0xf x '>，故()0f x ¢>，()f x 单调递增，结合选项只有C 符合.故选：C.【对点训练3】（2024·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]-上的函数()f x 的大致图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()0xf x '>的解集为（）A ．5(2,1)1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(3,2)--C ．5(1,0)1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(3,4)【答案】C【解析】若0x <，则()()0,f x f x '<单调递减，图像可知，()1,0x ∈-，若0x >，则()()0,f x f x '>单调递增，由图像可知51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不等式()0xf x '>的解集为()51,01,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）．题型二：求单调区间【例2】（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22ln x y x x+=+的单调递增区间为（）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】函数的定义域为(0,)+∞.222ln ln x y x x x x x +=+=++，则2222212(2)(1)1x x x x y x x x x +-+-'=-+==.令00y x >⎧⎨>'⎩，解得(1,)x ∈+∞.故选：D【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数ln y x x =（）A ．严格增函数B ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格减函数C ．严格减函数D ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数【答案】D【解析】已知ln y x x =，0x >，则1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+，令0y '=，即ln 10x +=，解得1ex =，当10e x <<时，0'<y ，所以在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当1e x >时，0'>y ，所以在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数，故选：D.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】A【解析】由2410x ->，可得12x <-或12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求导可得()2841x f x x =-'，当()0f x ¢>时，0x >，由函数定义域可知，12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.【对点训练6】（2024·高三课时练习）函数()bf x ax x=+（a 、b 为正数）的严格减区间是（）．A ．,⎛-∞ ⎝B ．,0b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝D ．⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题得0x ≠.由()2b f x a x -'=，令()20b f x a x '=-<解得0x <<或0x <<．所以函数()bf x ax x =+的严格减区间是⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝.选项D ，本题的两个单调区间之间不能用“ ”连接，所以该选项错误.故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求()f x 的定义域（2）求出()f x '．（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln 2x f x x =-在区间1(,3m m +上不单调，则实数m 的取值范围为（）A ．203m <<B ．213m <<C ．213m ≤≤D ．m >1【答案】B【解析】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1(,)3m m +上不单调，所以0113m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得：213m <<故选：B.【对点训练7】（2024·陕西西安·统考三模）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D ．23,e 1⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】因为函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，所以()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x ≤+在区间()1,e 上恒成立，令()()121e g x x x x=+<<，则())22221112120x g x x x x +--'=-==>，所以()g x 在()1,e 上递增，又()13g =，所以3a ≤.所以a 的取值范围是(],3-∞.故选：B【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）若函数()()3log (0a f x ax x a =->且1)a ≠在区间()0,1内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(]1,3C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令()3g x ax x μ==-，则()23g x a x '=-，当x >x <()0g x '<，当x <<()0g x '>，所以()g x在⎫+∞⎪⎪⎭和,⎛-∞ ⎝上递减，在⎛ ⎝上递增，当1a >时，log a y μ=为增函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以101a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨≥，解得3a ≥，此时()g x 在()0,1上递增，则()()00g x g >=恒成立，当01a <<时，log a y μ=为减函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以001a ≤<<⎩，无解，综上所述，a 的取值范围是[)3,+∞.故选：A.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A．1a -B ．1a ≥C．1a >D ．1a ≥-【答案】B【解析】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<，所以1a ≥.故选：B【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）三次函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．0m ≤D ．1m £【答案】A【解析】对函数3()f x mx x =-求导，得2()31f x mx '=-因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则()0f x '≤在R 上恒成立，即2310mx -≤恒成立，当20x =，即0x =时，2310mx -≤恒成立；当20x ≠，即0x ≠时，20x ≥，则213m x ≤，即2min13m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为210x ≥，所以30m ≤，即0m ≤；又因为当0m =时，()f x x =-不是三次函数，不满足题意，所以0m <.故选：A ．【对点训练11】（2024·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数()ln 1af x x x =++.若对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21211f x f x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(],8∞-【答案】A【解析】根据题意，不妨取12x x <，则()()21211f x f x x x ->--可转化为()()2112f x f x x x ->-，即112212ln ln 11a ax x x x x x ++<++++.令()ln 1aF x x x x =+++，则对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x <，都有()()12F x F x <，所以()F x 在(]0,2上单调递增，即()()21101a F x x x '=-+≥+在(]0,2上恒成立，即()31x a x+≤在(]0,2上恒成立.令()()31x h x x+=，02x <≤，则()()()22121x x h x x +-'=，02x <≤，令()0h x '<，得102x <<，令()0h x '>，得122x <≤，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 12724h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以274a ≤，即实数a 的取值范围是27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选:A【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．128⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，D ．()2,-+∞【答案】D【解析】∵2()ln 2f x x ax =+-，∴1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则1()0,22,f x x '>∈⎛⎫⎪⎝⎭有解，故212a x>-，令21()2g x x =-，则21()2g x x =-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1()22g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，故 2 a >-.故选：D.【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以210k -≥，即12k ≥，2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去），因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，所以121212k k -<<+，得4143k -<<，综上，1324k ≤<，故选：D【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x x b =+-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．(-∞【答案】B【解析】 函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调增区间，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得不等式()0f x '>成立．()()212212x bx f x x b x x -+=+-='，设()2221h x x bx =-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B.考点：导数的应用.【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()321132a f x x x x =+++在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],2-∞-C ．10,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由()321132a f x x x x =+++，得()21f x x ax '=++．因为()f x 在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以方程()0f x '=的两个根分别位于区间[]0,1和[]2,3上，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10,110,4210,9310,a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩解得10532a -≤≤-.故选：A ．【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【解析】函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>，则导数()()2361f x mx m x'=+-令()0f x '<，即()23610mx m x +-<，∵0m >，()f x 的单调递减区间是()0,4，∴0，4是方程()23610mx m x +-=的两根，∴()2104m m-+=，040⨯=，∴13m =故选：B.【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型四：不含参数单调性讨论【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；【解析】函数()f x 在()0,∞+上为减函数，证明如下：因为()()()1ln 10x f x x x++=>，所以()()21ln 11xx f x x --++'=，又因为0x >，所以101x>+，ln(1)0x +>，所以()0f x '<，即函数()f x 在()0,∞+上为减函数.【对点训练16】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知()e ln x af x x x+=+若1a =，讨论()f x 的单调性；【解析】若1a =，则()()e 1ln 0x f x x x x +=+>，求导得()()()21e 1x x f x x-+'=，令()0f x ¢>可得1x >，令()0f x '<可得10x >>，故()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,+∞上单调递增.【对点训练17】（2024·贵州·校联考二模）已知函数()ln e 1xf x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 在()0,∞+上的单调性．【解析】（1）()ln 1e x f x x '=+-，∴()11e f '=-，又()11e f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()()1e 1e 1y x -+=--，即()1e y x =-；（2）令()()()0ln 1e xg f x x x x '==+>-，则()1e x g x x ='-在()0,∞+上递减，且1202g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，()11e 0g ='-<，∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()0001e 0xg x x =-='，即00ln x x =-，当()00,x x ∈时，()00g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()00g x '<，∴()f x '在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，∴()()000001ln 1e 1110xf x f x x x x ⎛⎫''≤=+-=-++≤-=-< ⎪⎝⎭，当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立，显然，等号不成立，故()0f x '<，∴()f x 在()0,∞+上是减函数．【对点训练18】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；【解析】（1）由题意知()f x 的定义域为R.①当0x >时，由()0f x ≥得e x a x ≤，设()exm x x =，则()()2e 1x x m x x -'=，当()0,1x ∈时，()0m x '<，故()m x 在(0,1)上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，故()m x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()min 1e m x m ==⎡⎤⎣⎦，因此e a ≤.②当0x <时，若0a <，因为11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意.所以0a ≥，此时()0f x >恒成立.③当0x =时，()010f =>，此时R a ∈.综上可得，a 的取值范围是[]0,e .（2）设()sin n x x x =-，0x >，则()cos 10n x x '=-≤，所以()n x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00n x n <=，即sin x x <在()0,∞+上恒成立.所以ππsin 22x x <.又由（1）知e e x x ≥，所以当0x >时，()2πππππe sin e e 022224xg x x x x x ⎛⎫'=->-⋅=-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln(e 1)ln x f x x =--．判断()f x 的单调性，并说明理由；【解析】e 1e e 1(1)e 1()e 1(e 1)(e 1)x x x x xxx x x f x x x x-+-+'=-==---令()(1)e 1x g x x =-+，()e(1)e e 0xx x g x x x '=+-=>()g x 在(0,)+∞上递增，()(0)0g x g ∴>=，()0f x '∴>，()f x 在(0,)+∞上单调递增.【解题方法总结】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数【例6】（2024·山东聊城·统考三模）已知函数()(1)ln f x m x m x m =+--．讨论()f x 的单调性；【解析】(1)()1m m x mf x m x x+-'=+-=，,()0x ∈+∞，①当10m +=，即1m =-时，1()0f x x'=>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．②当10+<m ，即1m <-时，令()0f x '>，得01m x m <<+，令()0f x '<，得1mx m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．③当10m +>，即1m >-时，若10m -<≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．若0m >，令()0f x '<，得01m x m <<+，令()0f x '>，得1m x m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．综上，1m <-时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减；10m -≤≤时，()f x 在区间(0,)+∞单调递增0m >时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减、在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．【对点训练20】（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数()()22ln 2310f x x a x ax a =-+-≥.讨论函数()f x 的单调性；【解析】()f x 的定义域为()()()()4110,,ax ax f x x∞+-+'=若0a =，则()()1,f x f x x='在()0,∞+单调递增；若0a >，令()0f x '=，解得12110,04x x a a=>=-<（舍去）当10x a <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，【对点训练21】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 11f x x a x a =+-+∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()ln 11f x x a x =+-+，所以()()11f x a x+'=-.因为0x >，若10a -≥，即1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，若10a -<，即1a >时，令()()110f x a x=+->'，得101x a <<-；令()()110f x a x=+-<'，得11x a >-，所以()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.综上，当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.【对点训练22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数()()ln f x x a x -=．讨论()f x '的单调性；【解析】由函数()()ln f x x a x -=，可得()ln ln 1(0)x a af x x x x x x-=+=+->'，设()()ln 1a x f x x x ϕ==+-'，可得221()a x ax x x xϕ+=+='，①当0a ≥时，()0x ϕ'>，所以()f x '在(0,)+∞单调递增；②当a<0时，令()0x ϕ'=，解得x a =-.当0x a <<-时，()0x ϕ'<，()f x '单调递减；当x a >-时，()0x ϕ'>，()f x '单调递增.综上，当0a ≥时，()f x '在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x '在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增.情形二：函数为准一次函数【对点训练23】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax =-.讨论()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0)x ∈+∞，，()ln 1f x x a '=+-．令()0f x '=，解得1e a x -=，则有当10e a x -<<时，()0f x '<；当1e a x ->时，()0f x '>；所以()f x 在1(0e )a -，上单调递减，在1(e )a -+∞，上单调递增．【对点训练24】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数21()e 2x f x k x =-.(1)当1k =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 的单调性；【解析】（1）1k = ，21()e 2x f x x ∴=-，()e x f x x '∴=-，当1x =时，1(1)e 2f =-，∴切点坐标为11e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又(1)e 1f '=-，∴切线斜率为e 1-，∴曲线()y f x =在1x =处切线方程为：()1e 102x y --+=.（2）21()e 2x f x k x =- ，x ∈R ，()()e x g x f x k x '∴==-，x ∈R ，()e 1x g x k '∴=-，x ∈R ，①当0k ≤时，()'0g x <成立，()f x ∴的单调递减区间为R ，无单调递增区间.②当0k >时，令()10ln x g x ke x k '=-=⇒=-，所以当ln x k <-时，()0g x '<，()g x 在(,ln )-∞-k 上单调递减ln x k >-时，()0g x '>，()g x 在(ln ,)-+∞k 上单调递增综上:0k ≤时，()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；0k >时，()f x 的单调递增区间为(ln ,)-+∞k ，单调递减区间为(,ln )-∞-k ；【对点训练25】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()e 1=--∈x f x ax a R .讨论()f x 的单调性；【解析】∵()()e 1=--∈x f x ax a R ，∴()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，此时()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②当0a >时，令()e 0xf x a '=-=，解得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()ln ,a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增.情形三：函数为二次函数型方向1、可因式分解【对点训练26】（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>.讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>，该函数的定义域为()0,∞+，()()()()()2222122x a x a x a x ax a x x xf x -++-'-=+-+==.因为0a >，由()0f x '=得：2ax =或1x =.①当12a=，即2a =时，()0f x '≥对任意的0x >恒成立，且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；②当12a >，即2a >时，由()0f x ¢>得01x <<或2ax >；由()0f x '<得12a x <<.此时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；③当12a <，即02a <<时，由()0f x ¢>得02ax <<或1x >；由()0f x '<得12a x <<.此时函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述：当2a =时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当2a >时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当02a <<时，函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.【对点训练27】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭，其中,R a b ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时，01x <<11x a<<ax a>()f x '-0+-()f x 极小值 极大值②若1a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，③若01a <<时0x a<<a1<<a x 11x >()f x '-0+-()f x 极小值 极大值④若0a ≤时，()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.综上所述，当1a >时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x a f x ∈单调递增，()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时，()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时，()()0,,x a f x ∈单调递减，(),1x a ∈，()f x 单调递增，()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x f x ∞∈+单调递增.【对点训练28】（2024·北京海淀·高三专题练习）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；(2)求()f x 的单调区间．【解析】（1）因为()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()2241e 4143e R x xf x ax a ax a x a x '⎡⎤⎡⎤=-++-+++∈⎣⎦⎣⎦()2212e xax a x ⎡⎤=-++⎣⎦.()()11e f a '=-.由题设知()10f '=，即()1e 0a -=，解得1a =.此时()13e 0f =≠.所以a 的值为1（2）由（1）得()()()()2212e 12e x xf x ax a x ax x '⎡⎤=-++=--⎣⎦．1）当0a =时，令()0f x '=，得2x =，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x(),2-∞2()2,+∞()f x '+-()f x 单调递增极大值单调递减2）当0a ≠，令()0f x '=，得1x a=或2①当0a <时，12a<，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减②当0a >时，（ⅰ）当102a <<即12a >时，x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ⅱ）当12a =即12a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；（ⅲ）当12a >即102a <<时，x(),2-∞212,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上，当0<a 时，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞；当0a =时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞；当102a <<时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()f x 的单调递增区间是R ，无单调递减区间；当12a >时，()f x 的单调递增区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．【对点训练29】（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知函数()22132ln 2f x x ax a x =-+，0a ≠.讨论()f x 的单调区间；【解析】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2x a x a f x x-'-=若0a >，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(),2x a a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.若a<0，则()0f x ¢>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增.综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()2,a +∞，单调递减区间为(),2a a ；当a<0时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间【对点训练30】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()24ln 20f x x a x =-≠.讨论()f x 的单调性；【解析】因为()()24ln 20f x x a x =-≠定义域为()0,∞+，所以())2222144444f x a x a x x x x a a xa a ⎛⎫-+⎛⎫'+ ⎪⎝⎭⎝=+++= ⎭⎭=⎪⎝,若0a <时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若2a =时，则())2202f x x '=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若02a <<时，4a a <，则2216a a <，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当20x a <<或216x a >时()0f x ¢>，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，若2a >时，4a a >，则2216a a >，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当2160x a <<或2x a >时()0f x ¢>，()f x 在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增，综上可得，当0a <或2a =时()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增.方向2、不可因式分解型【对点训练31】（2024·河南驻马店·统考二模）已知函数()()21ln 12f x x ax =+-，()()1sin 01ex xg x ax a x =+-≠+．讨论()f x 的单调性；【解析】由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，且()21111ax ax f x ax x x --'+=-=++．令()0f x '=，则210ax ax --+=，()244a a a a ∆=+=+．当0∆≤，即40a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在()1,-+∞上单调递增．当0∆>，即0a >或4a <-时，()0f x '=有两个根112x =--2122x a=-+．若0a >，11x <-，20x >，则当()21,x x ∈-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；若4a <-，()121,x x >∈-+∞，则当()21,x x ∈-或()1,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()21,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0a >时，()f x 在()21,x -上单调递增，在()2,x +∞上单调递减；当40a -≤<时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当4a <-时，()f x 在()21,x -和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减．【对点训练32】（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数22()ln (R)2x ax af x x a x--+=+∈．讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，求导得222112()222a x x af x x x x -+-'=--=，①当440a -≤，即1a ≥时，()0f x '≤恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当4400a a ->⎧⎨>⎩，即01a <<时，由()0f x '=解得，1x =由()0f x '>解得，11x <<，由()0f x '<解得01x <<1x >，此时()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)++∞上单调递减；③当4400a a ->⎧⎨≤⎩，即0a ≤时，由()0f x '=解得1x =1x =舍)，由()0f x '>解得01x <<+()0f x '<解得1x >此时()f x 在(0,1+上单调递增，在(1)+∞上单调递减，所以当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)+∞上单调递减；当0a ≤时，函数()f x 在(0,1上单调递增，在(1)+∞上单调递减.【对点训练33】（2024·广东·统考模拟预测）已知函数()21eax x f x +=，R a ∈.讨论()f x 的单调性；【解析】依题意()2e 2axax x af x -+=-'.若0a =，则()2f x x '=，故当()0x ∈-∞，时，()0f x '<，当()0x ∈+∞，时，()0f x ¢>.若0a ≠，令22y ax x a =-+，244a ∆=-，令0∆≤，解得1a ≤-或1a ≥.①若1a ≤-，则()0f x '≥.②若1a ≥，则()0f x '≤.③若11a -<<且0a ≠，令()0f x '=，得122x a =，222x a=.若10a -<<，则12x x >，当()2x x ∈-∞，时，()0f x ¢>，当()21x x x ∈，时，()0f x '<，当()1x x ∈+∞，时，()0f x ¢>；若01a <<，则12x x <，当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<，当()12x x x ∈，时，()0f x ¢>，当()2x x ∈+∞，时，()0f x '<.综上所述：若1a ≤-，则()f x 在R 上单调递增；若10a -<<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减；若0a =，则()f x 在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增；若01a <<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增；若1a ≥，则()f x 在R 上单调递减；【对点训练34】（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数21()32ln (R)2f x x ax x a =++∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】易知0x >，又因为2232()3x ax f x x a x x++'=++=，令2()32h x x ax =++，298a ∆=-，①当0∆≤，即289a ≤时，()0h x ≥恒成立，所以()0f x '≥，此时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；②当2980a ∆=->，得到3a >或a <又2()32h x x ax =++，其对称轴为32a x =-，且(0)20h =>，所以，当3a >时，302a x =-<，所以()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，即()0f x ¢>在区间(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当3a <-时，302a x =->，且(0)20h =>，由()0h x =，得到32a x -=或32a x -+=，33(0,(,)22a a x --∈+∞ 时，()0h x >，33(,22a a x --∈时，()0h x <即33(0,)()22a a x --∈+∞ 时，()0f x '>，x ∈时，()0f x '<此时，()f x 在33,22a a ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.综上所述，当3a ≥-时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当a <()f x 在33,22a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.【解题方法总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()e ln axaf x x x x=++，()0,x ∈+∞，其中R a ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】,()0x ∈+∞，211()(1)e (1)(e a a x x a a a f x x x x x x'=--+=-+，当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【对点训练36】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()2211e 12x f x x a ax a x =---+-．（R a ∈）讨论()f x 的单调性；【解析】因为221()(1)e 12x f x x a ax a x =---+-,所以()()()e ()()e x xf x x a a x a x a a '=---=--,若0,e 0,(,)x a a x a ∞≤->∈-时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；若0a >,由()0f x '=得x a =或ln x a =,设()ln (0)g a a a a =->,则11()1a g a a a-'=-=,(0,1)a ∈时,()0,()g a g a '<单调递减,(1,)∈+∞a 时,()0,()g a g a '>单调递增,所以()(1)10g a g ≥=>，所以ln a a >,所以(ln ,)x a a ∈时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,ln )x a ∈-∞，(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.综上得,当0a ≤时,()f x 在(,)a -∞上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,当0a >时,()f x 在(ln ,)a a 上单调递减,在(,ln )a -∞，(,)a +∞上单调递增.【对点训练37】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知()()()()231e 03x a f x x x ax x a =--+>∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】由题知，()()()22()1e 1(1)(1)x xf x x a x x x e a '=---=-+-.当1a ≤时，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x ¢>，()f x \在区间()0,1上是㺂函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，0ln 1a <<；当0ln x a <<或1x >时，()0f x ¢>；当ln 1a x <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()()0,f x f x ≥'∴在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，ln 1a >；当01x <<或ln x a >时，()0f x ¢>；当1ln x a <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数；综上所述，当1a ≤时，()f x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，()f x 在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，()f x 在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数.【对点训练38】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数()()2ln 1ln 1,R f x x a x x a ⎡⎤=-++⋅∈⎣⎦，讨论函数()f x 的单调性；【解析】()()2ln 1ln 1f x x a x x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，()()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1x a f x x x a x x a x a x a x x x +⎡⎤⎡⎤∴=-+-++=+--=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦'令()0f x '=，则两根分别为121e ,eax x ==.1、当1a =-时，()()2ln 10f x x '=+≥在()0,∞+恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；2、当1a >-时，令()0f x ¢>得1ex <或e a x >，令()0f x '<得1e e ax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,,e ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e e a ⎛⎫⎪⎝⎭；3、当1a <-时，令()0f x ¢>得e a x <或1e x >时，令()0f x '<得1e eax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,e ,,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
函数单调性教案(教师版)
课题：函数的单调性(1)教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学过程：一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2xy=和3xy=的图象. 2xy=的图象如图1，3xy=的图象如图2.⒉引入：从函数2xy=的图象（图图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+∞)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取21,xx∈[0，+∞)，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x<2x时，有1y<2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取21,xx∈（-∞，0），得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那当1x<2x时，有1y>2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在(-∞,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，⑴若当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf,则说)(xf在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x<2x时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.例2、证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3、讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.五、课堂练习（2个，基础的或中等难度） 1、判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.2、判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. 解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f.∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.六、拓展探究（2个）1、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．解：f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．2、试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性． 解：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1． f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 三、小结⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.四、作业(这份是教师用的教案，排在二张A4纸上)。
函数的单调性教学设计(完整版)
函数的单调性教学设计（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数的单调性教学设计石嘴山市第十四中学王玲一、大纲分析函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，依据普通高中《数学课程标准》和《数学教学大纲》，教学重点确立为：判断或证明函数单调性的方法步骤。
又因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把函数单调性的定义，判断或证明函数单调性确立为教学难点。
二、教材分析1、教材的地位与作用本课是人民教育出版社高中数学第一册第二章第三节的内容。
函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调性的定义判断某些函数的单调性及单调区间；比较两个数的大小；解方程或不等式；求函数的值域、最值等。
三、教学建议分析研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
四、教学目标（1）知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（2）能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（3）情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．五、教学重点、难点重点：函数单调性的定义；判断、证明函数的单调性.难点：归纳并抽象函数单调性的定义.六、学法、教法分析对学生来说，函数的单调性早已有所了解，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)教学目标：知识目标：让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
能力目标：通过探究函数单调性定义，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过证明函数单调性，提高学生的推理论证能力。
德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维惯，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
教材分析：函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起。
本节课在教材中的作用如下：1）函数的单调性在初中数学中有广泛的应用。
它与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。
本节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。
3）函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
函数的单调性在中学数学中扮演着十分重要的角色，因为它反映了函数的变化趋势和特点。
在解决问题时，利用函数单调性的观点是十分重要的，这为培养创新意识和实践能力提供了重要的途径和方式。
《函数的单调性》说课稿(附教案)
《函数的单调性》说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。
即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，有)()(21x f x f <”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x 、。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。
针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
高一数学寒假作业06 函数的单调性与最值(教师版)
高一数学寒假作业专题06函数的单调性与最值1．定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R，有(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))>0，则有（）A．f(−2)<f(1)<f(3)B．f(1)<f(−2)<f(3)C．f(3)<f(−2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(−2)【答案】A【解析】定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))>0，可得函数f(x)是定义域在R上的增函数，所以f(−2)<f（1）<f（3）．故选：A．2．下列命题是真命题的是（）A．函数f(x)=−3x−2在[2,3]上是减函数最大值为−11B．函数f(x)=−1x 在[1,2]是增函数，最小值为−12C．函数f(x)=−x2+2x在区间[0,2]先减再增，最小值为0D．函数f(x)=x2−2x在区间[0,2]先减再增，最大值为0【答案】D【解析】选项A，由一次函数的单调性知，f(x)=−3x−2在[2,3]上是减函数，最大值为f(2)=−3×2−2=−8，故A错误；选项B，由反比例函数的单调性可知，f(x)=−1x在[1,2]是增函数，最小值为f(1)=−1，故B错误；选项C，函数f(x)=−x2+2x为开口向下的二次函数，对称轴为x=1，故在[0,1)单增，在(1,2]单减，先增再减，故C错误；选项D，函数f(x)=x2−2x为开口向上的二次函数，对称轴为x=1，故在[0,1)单减，在( 1,2]单增，先减再增，最大值为f(0)=f(2)=0，故D正确故选：D3．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上（）A．单调递增且有最大值－5B．单调递增且有最小值－5C．单调递减且有最大值－5D．单调递减且有最小值－5【答案】A【解析】因为f (x )在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f (3)=5．由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f (x )在区间[－7，－3]上单调递增， 且有最大值f (−3)=−f (3)=−5． 故选：A .4．已知函数f (x )=x 2−x +1，函数g (x )=ax −1，对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[−1,1]，使得g (x 2)=f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−4]B ．[4,+∞)C ．(−∞,−4]∪[4，+∞)D ．(−∞,−4)⋃(4,+∞)【答案】C 【解析】因为f(x)=x 2−x +1，则f (x )在 [1,2]上为单调递增函数， 所以 f (x )的值域为 [1,3]，记为A =[1,3]， （1）当a >0时， g (x )在 [−1,1]上为增函数，所以 g (x )的值域为[−a −1,a −1]，记为 B =[−a −1,a −1]， 由题意可得 A ⊆B ， {−a −1⩽1a −1⩾3解得 a ≥4， （2）当 a <0时，g (x )在 [−1,1] 上为减函数，故g (x )的值域为[a −1 ,−a −1]，记为 C =[a −1 ,− a −1 ]， 由题意可知A ⊆B ， {−a −1≥3a −1≤1解得 a ≤−4，综上所述，实数 a 的取值范围是(−∞,−4]∪[4,+∞). 故选：C5．对于每一个实数x ，设f (x )取y =4x +1，y =x +2，y =−2x +4三个函数值中的最小值，则f (x )的最大值为（ ） A ．1 B ．23C ．43D ．83【答案】D 【解析】因为f (x )取y =4x +1、y =x +2、y =−2x +4三个函数中的最小值， 所以可根据y =4x +1、y =x +2、y =−2x +4图像绘出f (x )的图像， 如图：联立{y =x +2y =−2x +4，解得(23,83)，f (x )的最大值为83，故选：D.6．函数f (x )=|x |(2−x )的单调递增区间是（ ） A ．[0,1] B ．[−1,0] C ．[−1,1] D ．[0,2]【答案】A 【解析】当x ≥0时，f(x)=x(2−x)=−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x =1，故其递增区间是[0,1]；当x <0时，f(x)=−x(2−x)=x 2−2x ，开口向上，对称轴为x =1，在x <0时，f(x)单调递减，综上：f (x )=|x |(2−x )的单调递增区间是[0,1]. 故选：A.7．下列函数中为增函数的是（ ） A ．f (x )=1x+1 B ．f (x )=x 13C ．f (x )=(23)xD ．f (x )=lg (x 2+1)【答案】B 【解析】对于A 选项，函数f (x )=1x+1在定义域上不单调； 对于B 选项，函数f (x )=x 13为R 上的增函数；对于C 选项，函数f (x )=(23)x为R 上的减函数；对于D 选项，函数f (x )=lg (x 2+1)的定义域为R ，内层函数u =x 2+1在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，而外层函数y =lgu 为增函数，故函数f (x )的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). 故选：B.8．已知定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：对任意正数a ､b ，都有f (ab )=f (a )⋅f (b )≠0，且当x >1时，f (x )<1，则下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是增函数，且f (x )<0B ．f (x )是増函数，且f (x )>0C．f(x)是减函数，且f(x)<0D．f(x)是减函数，且f(x)>0【答案】D【解析】法一：取f(x)=1x(x>0)，满足题干条件，则f(x)是减函数，且f(x)>0；法二：当x>0时，f(x)=f(√x⋅√x)=[f(√x)]2>0.设x1>x2>0，则x1x2>1，由已知，f(x1x2)<1.所以f(x1)−f(x2)=f(x1x2⋅x2)−f(x2)=f(x1x2)f(x2)−f(x2)=f(x2)[f(x1x2)−1]<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是减函数，故选：D.9．已知函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则下列选项正确的有（）A．b=0B．f(x)在区间(1,+∞)单调递增C．f(x)的最小值为−12D．f(x)的最大值为2【答案】AC【解析】函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则f(0)=0，代入可得b=0，故A正确；由f(x)=x−bx2+1=xx2+1=1x+1x，对勾函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)=1x+1x在(1,+∞)上单调递减，故B错误；由y=x+1x ∈(−∞,−2]⋃[2,+∞)，所以f(x)=1x+1x∈[−12,0)∪(0,12]，所以f(x)min=−12，故C正确、D错误.故选：AC10．已知函数f(x)=|x|−x2，则下列说法正确的是（）A．f(x)的最大值为14B．f(x)在(−1,0)上是增函数C．f(x)>0的解集为(−1,1)D．f(x)+2x≥0的解集为[0,3]【答案】AD【解析】f(−x)=|−x|−(−x)2=|x|−x2=f(x)，所以f (x )是偶函数， 在x ≥0时，f(x)=−x 2+x , 图象为开口向下的抛物线的部分， 对称轴为x =12,在(0,12)内单调递增，在(12,+∞)上单调递减， 最大值为f (12)=−14+12=14,∴函数f(x)=|x|−x 2在R 上的最大值为14, 在(−1,−12)内单调递增，在(−12,0)内单调递减， 故A 正确，B 错误；由于f (0)=0,f (1)=0,f (−1)=0,结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示. 可知f (x )>0的解集为(−1,0)∪(0,1), 故C 错误；f(x)+2x ={−x 2+3x,x ≥0，−x 2+x,x <0 画出图象如图所示：由图象可得不等式f(x)+2x ≥0的解集为[0,3]，故D 正确. 故选：AD.11．对于函数f(x)=x1+|x|(x∈R)，下列判断正确的是（）A．f(−x)+f(x)=0B．当m∈(0,1)时，方程f(x)=m总有实数解C．函数f(x)的值域为[−1,1]D．函数f(x)的单调区间为(−∞,0)【答案】AB【解析】f(−x)+f(x)=−x1+|−x|+x1+|x|=0，故A正确；因为−|x|≤x≤|x|，所以−1<−|x|1+|x|≤x1+|x|≤|x|1+|x|<1，∴f(x)的值域为(−1,1)，因此当m∈(0,1)时，方程f(x)=m总有实数解，故B正确；故C错误；f(x)={x1+x ,x≥0x 1−x ,x<0，x≥0,f′(x)=1(1+x)2>0所以f(x)在[0,+∞)单调递增；由于与f(−x)+f(x)=0知f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(−∞,0)也单调递增，且在x=0时连续，故f(x)的单调增区间为(−∞,+∞)，故D错误；故选：AB．12．已知函数f(x)=−2x+1（x∈[−2,2]），g(x)=x2−2x，（x∈[0,3]），则下列结论正确的是（）A．∀x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,−3)B．∃x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,−3)C．∃x∈[0,3]，g(x)=a，则实数a的取值范围是[−1,3]D．∀x∈[−2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)=g(t)【答案】AC【解析】在A中，因为f(x)=−2x+1(x∈[−2,2])是减函数，所以当x=2时，函数取得最小值，最小值为−3，因此a<−3，A正确；在B中，因为f(x)=−2x+1(x∈[−2,2])减函数，所以当x=−2时，函数取得最大值，最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，g(x)=x2−2x=(x−1)2−1(x∈[0,3])，所以当x=1时，函数取得最小值，最小值为−1，当x=3时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为[−1,3]，由g(x)= a有解，知a∈[−1,3]，C正确；在D 中，∀x ∈[−2,2],∃t ∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[−3,5]，g(t)的值域[−1,3]，D 错误. 故选：AC13．函数f (x )=2xx 2+1，x ∈[−1,1]的最大值是__________．【答案】1 【解析】任取x 1,x 2∈[−1,1]，且−1≤x 1<x 2≤1， 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x12+1−2x 2x22+1=2x 1(x 22+1)−2x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)， ∵−1≤x 1<x 2≤1∴根据不等式的性质可得x 1−x 2<0，x 1x 2<1， ∵x 12+1>0，x 22+1>0∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )=2xx 2+1在[−1,1]上单调递增，∴函数f (x )=2xx 2+1在[−1,1]上的最大值是f (1)=2×112+1=1. 故答案为：1.14．函数f(x)=√x 2−3x +2的单调递增区间是____________． 【答案】[2,+∞) 【解析】x 2−3x +2≥0，x ≤1或x ≥2，y =√u 是增函数，u =x 2−3x +2在(−∞,1]上递减，在[2,+∞)上递增， 所以f(x)的增区间是[2,+∞)． 故答案为：[2,+∞)．15．对任意的x ∈(0,+∞)，不等式(x −a +ln xa )(−3x 2+ax +10)≤0恒成立，则实数a =______. 【答案】√5 【解析】由题可知，x ∈(0,+∞)且ln xa 成立，则a ∈(0,+∞)因为对任意的x ∈(0,+∞)，不等式(x −a +ln xa )(−3x 2+ax +10)≤0恒成立等价于不等式[(x +lnx )−(a +lna )](−3x 2+ax +10)≤0恒成立记f (x )=x +lnx,g (x )=−3x 2+ax +10，则f (x )在(0,+∞)上单调递增当0<x <a 时，f (x )<f (a )，即(x +lnx )−(a +lna )<0恒成立，则−3x 2+ax +10≥0所以{g (0)=10≥0g (a )=−3a 2+a ⋅a +10=−2a 2+10≥0，得0<a ≤√5当x =a 时，不等式显然成立当x >a 时，f (x )>f (a )，即(x +lnx )−(a +lna )>0恒成立，则−3x 2+ax +10≤0 因为函数g (x )=−3x 2+ax +10=−3(x −a 6)2+a 212+10在(a,+∞)上单调递减所以x >a 时，g (x )<g (a )=−2a 2+10≤0，得a ≥√5因为对任意的x ∈(0,+∞)，该不等式恒成立，故应取交集则a =√5 故答案为：√516．若函数f (x )={mx −1,x >1−x +1,x ≤1，满足：对任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则m 的取值范围为____________． 【答案】(−∞,0)∪(0,1] 【解析】依题意知函数f (x )的图象与直线y =a (a ∈R )最多只有一个交点. 当x ≤1时，函f (x )单调递减且f (x )≥0；当x >1时，若m =0，f (x )=−1，此时不合题意； 若m <0时，函数f (x )单调递增且f (x )=m x−1<0，满足题意；若m >0时，当x >1时，函数f (x )=m x−1单调递减，此时只需m −1≤0，即0<m ≤1.综上，m 的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]. 故答案为：(−∞,0)∪(0,1].17．已知函数f(x)=x +1x.（1）判断函数f (x )在[1+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）当x ∈[0,1]时，不等式f (4x )−f (2x )−k ≤0恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数f (x )是[1+∞)上的增函数，证明见解析 （2）k ≥6 【解析】 【分析】（1）任取x 1,x 2∈[1，+∞)，且x 1<x 2，f (x 2)−f (x 1)=(x 2+1x 2)−(x 1+1x 1)=x 2−x 1+1x 2−1x 1=(x 2−x 1)(x 2x 1−1)x 2x 1，∵x 1,x 2∈[1，+∞)，且x 1<x 2，x 2−x 1>0,x 2x 1>1, ∴f (x 2)−f (x 1)>0即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )是[1,+∞)上的增函数 （2）f (4x )−f (2x )−k ≤0⇒4x +14x −(2x+12x)−k ≤0 ⇔4x +14x −(2x +12x)≤k 令t =2x +12x ,x ∈[0,1]⇒t ∈[2,52] 原问题等价于t 2−t −2≤k令ℎ(t )=t 2−t −2,t ∈[2,52]⇒ℎ(t )max =ℎ(52)=74 ∴k ≥74.18．函数f （x ）是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f(x)=2x −1 （1）求f （-1）的值∶（2）用定义证明f （x ）在（0，+∞）上是减函数； （3）求当x <0时，函数的解析式. 【答案】 （1）1；（2）证明见解析； （3）f(x)=−2x −1. 【解析】 【分析】（1）f(−1)=f(1)=1；（2）证明：任取0<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−1−2x 2+1=2(x 1−x 2)x 1x 2，所以x 1x 2>0,x 2−x 1>0 ，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(0,+∞)上是减函数；（3）任取x <0，则−x >0，故f(−x)=−2x −1=f(x)，即x <0时，函数的解析式为f(x )=−2x −1.19．已知函数f (x )=x 2+2x. （1）用定义证明：f (x )在区间[1,+∞)上是增函数；（2）设集合A =[1,2]，B ={x |x 3+x 2−ax +2<0}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）证明见解析 （2）(7,+∞) 【解析】 （1）设x 1>x 2≥1，则f (x 1)−f (x 2)=(x 12−x 22)+(2x 1−2x2)=(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2x 1x 2).因为x 1>x 2≥1，则x 1−x 2>0,x 1+x 2>2,x 1x 2>1，从而0<2x 1x 2<2,x 1+x 2−2x 1x 2>0.所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2).所以f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. （2）因为A ⊆B ，则当x ∈[1,2]时，不等式x 3+x 2−ax +2<0恒成立， 即a >x 2+2x +x 恒成立.设g(x)=x 2+2x +x ，则当x ∈[1,2]时，a >g(x)max 即可.因为f(x)=x 2+2x 和y =x 在[1,2]上都是增函数，则g(x)在[1,2]上是增函数. 所以当x ∈[1,2]时，g(x)max =g(2)=7，故a 的取值范围是(7,+∞). 20．已知f(x)=2x+1−32x −1.（1）判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；（2）若f(x)≥k ⋅2x ，k ＞0在区间[1，2]上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若存在实数b ＞a ＞0，使得函数f (x )在(a ,b )上的值域是(m2a ,m2b )，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）0<k ≤512； （3）0<m <4−2√3. 【解析】 （1）∵f(x)=2x+1−32x −1，即f (x )=2−12x −1在(0,+∞)上单调递增，证明：∀x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)＝2−12x 1−1−(2−12x 2−1)=2x 1−2x 2(2x 1−1)(2x 2−1)， 由0<x 1<x 2，可得1<2x 1<2x 2， ∴2x 1−1>0,2x 2−1>0,2x 1−2x 2<0, 可得2x 1−2x 2(2x 1−1)(2x 2−1)＜0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在(0,+∞)上为增函数； （2）∵f(x)≥k ⋅2x ，k ＞0在区间[1,2]上恒成立， 令t =2x ,t ∈[2,4]，可得2x −1>0，11 / 13 由f(x)≥k ⋅2x 得，2x+1−32x −1≥k ⋅2x 即为2t −3≥kt(t −1)，∴kt 2−(k +2)t +3≤0(k ＞0)在[2,4]上恒成立，∴{4k −2(k +2)+3≤016k −4(k +2)+3≤0，即有{k ≤12k ≤512， 即 k ≤512，又k ＞0，∴0<k ≤512；（3）若存在实数b ＞a ＞0，使得函数f (x )在(a ,b )上的值域是(m 2a ,m 2b )，又函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，可得f(a)=m2a ,f(b)=m2b ，则m ＞0， 可得2a +1−3=m2a (2a −1),2b +1−3=m2b (2b −1)，则方程m2x (2x −1)−2x +1+3=0有两个不等的正根，设t =2x ,t >1，可得mt 2−(m +2)t +3=0有两个大于1的根，设ℎ(t )=mt 2−(m +2)t +3，m ＞0，可得{ Δ>0m+22m >1ℎ(1)>0m >0，即 {(m +2)2−12m >00<m <2m −m −2+3>0 解得0<m <4−2√3，故实数m 的取值范围为0<m <4−2√3.21．设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)=−2．（1）求证：f (x )是奇函数；（2）求f (x )在[−3,3]上的最大值与最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为6，最小值为−6.【解析】（1）令x =y =0，得f (0)=f (0)+f (0)=2f (0)，所以f (0)=0，令y =−x ，得f (x −x )=f (x )+f (−x )=f (0)，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x )是奇函数．（2）设x 1<x 2∈R ，则x 2−x 1>0，所以f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (−x 1)=f (x 2−x 1)<0，可得f (x 2)<f (x 1)，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在R 上是减函数，f (2)=f (1)+f (1)=−4，f (3)=f (2)+f (1)=−4−2=−6，所以f(−3)=−f(3)=−(−6)=6，所以f(x)在[−3,3]上的最大值为f(−3)=6，最小值为f(3)=−6.22．已知函数f(x)=log132−kxx−2为奇函数.（1）求常数k的值；（2）判断并证明函数f(x)在(2,+∞)上的单调性（3）求函数f(x)在[4,+∞)上的值域.【答案】（1）k=−1（2）单调递增，证明见解析（3）[−1,0)【解析】（1）函数f(x)=log132−kxx−2为奇函数，则f(x)+f(−x)=0⇒log132−kxx−2+log132+kx−x−2=0,化简得到log13(2−kxx−2×2+kx−x−2)=log131,即log13k2x2−4x2−4=log131⇒k2x2−4=x2−4⇒k=±1,当k=1时，f(x)=log132−xx−2不符合对数函数的定义，故舍去；故k=−1.（2）由第一问得到f(x)=log13x+2x−2，设ℎ(x)=x+2x−2,x>2，任取x1>x2∈(2,+∞)，ℎ(x1)−ℎ(x2)=x1+2x1−2−x2+2x2−2=4(x2−x1)(x1−2)(x2−2),因为x1>x2∴x2−x1<0,∵(x1−2)(x2−2)>0∴ℎ(x1)<ℎ(x2)，故得到函数ℎ(x)在(2,+∞)上是单调递减的，外层函数y=log13x是单调递减的，由复合函数单调性，得到函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增的.（3）由第二问得到函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增的，故得到函数f(x)在[4,+∞)上也是增的，f(x)=log13x+2x−2，令g(x)=x+2x−2=1+4x−2,x∈[4,+∞),g(x)∈(1,3],12/ 13∴f(x)∈[−1,0)故函数值域为：[−1,0).13/ 13。
函数的单调性及单调区间(预习讲义)(教师版)
函数的单调性及单调区间（预习讲义）考察函数y x =、2y x =、1y x=的图象你能发现每个图象中函数值y 随着x 的变化而变化的情况吗？【答案】对于y x =，y 随着x 的增大而增大；对于2y x =，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而增大；对于1y x=，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而减小．一、函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数．如图所示：知识导引知识讲解3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数．如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率．四、 重要结论1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆五、特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．【答案】不能，反例：取1211x x =-=，，则12(0)(0)x x ∈-∞+∞，，，，且12x x <又12y k y k =-=，， 因为0k >，所以12y y <，与减函数定义矛盾．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2ba--∞上为减函数，在区间 (,)2ba-+∞上为增函数． 0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数；一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；五、函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤; （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）一、我们知道，函数1y x=在(0)-∞，，(0)+∞，上单调递减，函数21y x =+在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，那么函数211y x =+的单调性是怎样的呢？ 【答案】任取12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， 210x x x ∆=->2212121221222222212121()()11011(1)(1)(1)(1)x x x x x x y y y x x x x x x --+∆=-=-==>++++++ 所以211y x =+在(0)-∞，上单调递增； 同理，可证得，211y x =+在(0)+∞，上单调递减． 二、 复合函数的单调性1、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；2、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；3、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；4、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；由上面的探究可知：探究对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数． 当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数;【例1】 如图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】()f x 的单调增区间是(21)-，，(35)， ()f x 的单调减区间是(52)--，，(13)，【例2】 试用函数单调性的定义证明函数1y x =-+，在()-∞+∞，上是减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->212112(1)(1)0y y y x x x x ∆=-=-+--+=-<所以1y x =-+在()-∞+∞，上是减函数． 【例3】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-===>例题精讲所以y =在[0)+∞，上是增函数． 【例4】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-==>所以y =[0)+∞，上是增函数． 【例5】 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性． 【答案】解：任取12(01)x x ∈，，，且12x x < 210x x x ∆=->2121121221211212222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x y f x f x x x x x x x ----∆=-=-==------ 因为1201x x <<<所以120x x -<，110x -<，210x -< 所以0y ∆<所以2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调递减． 【例6】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->3322221212121212121213()()()[()]24x y y y x x x x x x x x x x x x ∆=-=-=-++=-++ 因为12x x <所以210x x ->，221213()024x x x ++>，所以0y ∆>所以3y x =在定义域上是增函数．【例7】 画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：（1）1y x =+ （2）2y x =+【答案】（1）函数1y x =+的单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)-∞，； （2）函数2y x =+的单调递增区间是(2)-+∞，，单调递减区间是(2)-∞-，； 【例8】 如果函数()y f x =是R 上的减函数，证明0k <时，()kf x 在R 上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->2121()()(()())y kf x kf x k f x f x ∆=-=-因为函数()y f x =是R 上的减函数，12x x < 所以12()()f x f x > 所以21()()0f x f x -< 又0k < 所以0y ∆>所以()kf x 在R 上是增函数．【例9】 研究函数11y x =+的单调区间并画出图象． 【答案】函数11y x =+的单调递减区间为(1)-∞-，，(1)-+∞，． 【例10】 求函数212y x x =++的单调区间．【答案】解：2211172()24y x x x ==++++所以函数的定义域为R 令1y u=，22u x x =++ 因为1y u=在(0)+∞，上单调递减，22u x x =++在1()2-∞-，上单调递减，在1()2-+∞，上单调递增． 所以212y x x =++的单调递增区间是1()2-∞-，，单调递减区间是1()2-+∞，． 【例11】讨论函数y =的单调性．【答案】由2230x x +-≥，得1x ≥或3x ≤-．所以函数定义域为(3][1)-∞-+∞，，令y =223u x x =+-，由复合函数单调性判断法则，得y =在(3]-∞-，上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．【例12】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为（ )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a <【答案】D【例13】 已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围 【答案】(3]-∞-，【例14】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <【答案】A【例15】 下列四个函数中，在(0)+∞，上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()1f x x =-+ D ．()f x x =-【答案】C【例16】 若函数211()11x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩，，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围【答案】(01]，【例17】 已知函数()f x 在R 上是减函数，且(21)(2)f a f a +>--，则a 的取值范围是【答案】(1)-∞-，【例18】 已知定义在[23]-，上的减函数()f x 满足(1)(23)f a f a +>+，则a 的取值范围是【答案】(20]-，【例19】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-【答案】D【例20】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【答案】C【例21】 求下列函数的最大值与最小值（1）()1[12]f x x x =-+∈-，， （2）1()[31]f x x x-=∈--，， （3）2()21[03]f x x x x =-++∈，， （4）[]2()114f x x x x =+-∈，， （5）1()[25]1f x x x =∈-，， （6）21()[35]1x f x x x -=∈+，， 【答案】（1）()f x 最大值为2，最小值为1-；（2）()f x 最大值为1，最小值为13；（3）()f x 最大值为2，最小值为2-； （4）()f x 最大值为19，最小值为1； （5）()f x 最大值为1，最小值为14； （6）()f x 最大值为32，最小值为54； 【例22】 讨论下列函数的最大值与最小值（1）2()21[11]f x x ax x =-+∈-，，，a ∈R（2）2()21f x x x =+-，[11]x a a ∈-+，，a ∈R 【答案】（1）当1a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为22a +；当10a -<≤时，()f x 最大值为22a -，最小值为21a -； 当01a <<时，()f x 最大值为22a +，最小值为21a -； 当1a ≥时，()f x 最大值为22a +，最小值为22a -．（2）当2a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为242a a ++； 当21a -<<-时，()f x 最大值为22a -，最小值为2-； 当10a -≤<时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为2-； 当0a ≥时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为22a -．知识总结二、 函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ， 改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数． 如图所示：3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数． 如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、 用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率． 三、 重要结论：1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆ 四、 特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为减函数，在区间(,)2ba-+∞上为增函数．0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数； 一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；6、对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数．当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数．五、 函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤;（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）【题1】 已知函数41 1.()5 1.x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，则()f x 的递减区间是（ ）A ．[1)+∞，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．(1]-∞，【答案】B【题2】函数y =的单调递增区间为（ ） A ．(2]-∞-，B ．[52]--，C ．[21]-，D ．[1)+∞，【答案】B【题3】 求证：函数3()f x x x =--在()-∞+∞，上为减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->33332122111212()()y f x f x x x x x x x x x ∆=-=--++=-+-2222222121122121211221213()()()()(1)()[()1]024x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-=-+++=-+++< 所以3()f x x x =--在()-∞+∞，上是减函数． 【题4】 已知函数()f x 在[2)+∞，上是减函数，试比较(2)f ，2(3)f x +的大小 【答案】(2)f >2(3)f x +【题5】 求函数2()241f x x x =-+-在区间[12]-，上的值域． 课后巩固【答案】[71]-，【题6】 求函数4y x x=+在区间[24]，上的最大值与最小值． 【答案】4y x x=+最大值是5，最小值是4．【题1】 函数223y x x =+-在区间[30]-，上的值域为（ ） A ．[43]--，B ．[40]-，C ．[30]-，D ．[04]，【答案】B【题2】 若函数21()232f x x x =-+在[0]m ，有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____． 【答案】[24]，【题3】 用单调性定义证明函数1()g x x=在(0,)+∞上单调递减． 【答案】证：任取12(0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->1221211211()()0x x y g x g x x x x x -∆=-=-=< 所以1()g x x=在(0,)+∞上是单调递减． 【题4】 已知函数()1xf x x =-． （I ）证明：对于定义域中任意的x 均有(1)(1)2f x f x ++-=；（II ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【答案】（I ）证：1111(1)(1)21111x x x xf x f x x x x x+-+-++-=+=-=+---（II ）证：任取12(1)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->期中对接212121211221212121()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x --+-∆=-=-==------ 因为121x x <<所以120x x -<，110x ->，210x -> 所以0y ∆<所以函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【题5】 已知函数2()41f x ax x =--．（Ⅰ）若2a =时，求当[03]x ∈，时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）若2a =，当(01)x ∈，时，(1)(21)0f m f m ---<恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若a 为非负数，且函数()f x 是区间[03]，上的单调函数，求a 的取值范围．【答案】19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，所以在上单调递减；在上单调递增． 所以的最小值是 又因为，， 所以的值域是（Ⅱ）因为，所以由（Ⅰ）可知：在上单调递减． 因为当时，恒成立，可得解得所以的取值范围是2a =()()2224121 3.f x x x x =--=--()f x []0,1(]1,3()f x ()1 3.f =-()01f =-()35f =()f x []3,5.-2a =()f x []0,1()0,1x ∈()()1210f m f m ---<121,011,0211,m m m m ->-⎧⎪<-<⎨⎪<-<⎩12.23m <<m 12.23m <<（Ⅲ）因为，①当时， 所以在上单调递减．②当时，因为在上的单调函数，可得解得 由①、②可知，的取值范围是揭示星期几的奥秘公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”，规定每一星期为七天，第一天为星期日，尔后星期一、星期二直至星期六，尔后再回到星期日，如此永远循环下去！君士坦丁大帝还规定，宣布的那天日子为星期一．一星期为什么定为七天？这大约是出自月相变化的缘故．天空中再没有别的天象变化得如此明显，每隔七天便一改旧貌！另外，“七”这个数，恰与古代人已经知道的日、月、金、木、水、火、土七星的数目巧合，因此在古代神话中就用一颗星作为一日的保护神，“星期”的名称也因之而起．我想读者一定很想知道历史上的某一天是星期几的奥秘！为了揭开这个奥秘，我们先从闰年的设置讲起．我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒，或365．2422日．为了防止这多出的0．2422日积累起来，造成新年逐渐往后推理．因此我们每隔4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的28天改为29天．这样，闰年便有366天．不过，这样补来也不刚好，每百年差不多又多补了一天．因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！这就是常说的“百年24闰”．但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四百年再补回来一天．因此又规定，公元年数为400倍数者设闰．就这么补来扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被400整除，又要设闰，如此等等．()241f x ax x =--0a =()4 1.f x x =--()f x []0,30a >()224 1.f x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()f x []0,3220,3,0,aa a ⎧≤≥⎪⎨⎪>⎩或20.3a <≤a 20,.3⎡⎤⎢⎥⎣⎦数学文化闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度．为了揭示关于星期几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数：[]y x =．这里[]x 表示不超过数x 的最大整数．利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元x 年第y 天是星期几．这里变量x 是公元的年数；变量y 是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数．历法家已经为我们找到了这样的公式：1111[][][]4100400x x x S x y ---=-+-++ 设上式求出S 后，除以7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余数为几，则为星期几！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日．容易算得：132066x y -=⎧⎨=⎩ 320320320320[][][]664100400S =+-++ 320803066=+-++ 4631(mod7)=≡最后一个式子的符号表示463除以7余1．也就是说，这一天为星期一，这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！又如，我们共和国成立于1949年10月1日：11948274x y -=⎧⎨=⎩ 1948194819481948[][][]2744100400S =+-++1948487194274=+-++26946(mod7)=≡原来，这一普天同庆的日子为星期六．公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是星期几呢？119991x y -=⎧⎨=⎩1999199919991999[][][]14100400S =+-++199********=+-++=≡24846(mod7)计算表明：这一天也是星期六！。
函数的单调性公开课课件
教学目标与要求
教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握函数单调性的定 义、判断方法以及应用。
教学要求
学生能够理解函数单调性的概念，掌握判断函数 单调性的方法，并能够运用所学知识解决与函数 单调性相关的问题。
02
函数单调性的判断方法
导数法
01 导数与函数单调性的关系
当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数 在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该 区间内单调递减。
反函数单调性判断方法
首先确定原函数的单调性，然后根据反函数的定 义和性质判断反函数的单调性。
3
反函数单调性应用
在解决一些涉及反函数的问题时，可以利用反函 数的单调性来简化计算或证明过程。
单调性与连续性的关系
单调性与连续性的关系定理
若函数$y = f(x)$在区间$X$上是单调的，则它在该区间内至多只有第一类间断点。
02 导数的计算
通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表 达式。
03 导数法判断函数单调性的步骤
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 最后根据导数的正负判断函数的单调性。
差分法
01 差分的定义
差分是函数在两个相邻点的函数值之差，即 Δy=f(x+Δx)−f(x)。
02 差分与函数单调性的关系
针对某些复杂的不等式，可以通过构 造辅助函数，利用函数的单调性进行 证明。
在函数值比较中的应用
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可 以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。
确定函数值的范围
通过函数的单调性，可以确定函数在某一区间内的取值范围，进而 对函数值进行比较和估算。
函数的基本性质老师版(部分含答案)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。
4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。
例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习： 判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。
[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1， 所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
一、在高考中函数的单调性的应用
1、函数的单调性应用于判断方程或不等式的解的存在性。
当函数
f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减时，有f(a)≤f(x)≤f(b)，可以得出
f(x)=0的解x在[a,b]上存在。
2、用函数的单调性来判断函数极值问题。
一个函数在[a,b]上单调递
增或单调递减，f(a)≤f(x)≤f(b)。
在[a,b]上存在极值点，即函数取得
最大值或最小值的点。
3、利用函数的单调性求解一元函数最值问题。
若函数f(x)在(a,b)
上连续且单调递增或单调递减，则函数f(x)在(a,b)上一定存在最大值和
最小值，且最大值或最小值一定取得上界或下界处。
4、用函数的单调性解答解析几何问题。
在求解解析几何中，有时要
利用函数f(x)的单调性来解决函数的最值问题。
比如求椭圆上的最小值
问题，由函数的单调性可以知道它的最小值是函数的上界或下界处取得的。
二、单调性在高考中的易错点
1、在判断函数的单调性时，不能仅依靠函数图像进行判断。
例如，
函数f(x)的图像如果在其中一区间内存在拐点，则该区间内函数一定是
不单调的；反之，函数图像上如果没有拐点，函数仍然可能是不单调的。
2、当函数中存在分段函数时，需要对每一段函数都进行单调性的判断。
2020年高一上学期数学人教旧版必修一(全)：函数的单调性-《讲义教师版》
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）【解析】题干解析:∵函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，∴12﹣a＜0，∴a＞12，故选：B．例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0 D．b＜0【答案】B【解析】题干解析:例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．【答案】④【解析】题干解析:①y＝|x|＝，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；②y＝，所以该函数在（﹣∞，0）上是常数函数，不具有单调性；③，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；④y＝x＋，所以该函数在（﹣∞，0）上为增函数；∴在（﹣∞，0）上为增函数的有④．故答案为：④．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）【解析】题干解析:（1）f（﹣x）＝f（x）＝1，故结论正确；（2）定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故假命题；（3）H（﹣x）＝f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）＝﹣H（x），故结论正确；（4）f（|﹣x|）＝f（|x|），函数y＝f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，结论正确；故选C例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）【解析】题干解析:因为奇函数的图象关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），故f（﹣a）＝﹣f （a）．即在f（x）上的点是（﹣a，﹣f（a））．故选C．例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）【解析】题干解析:∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．对于A，g（﹣x）＝﹣x＋f（﹣x）＝﹣x﹣f（x）＝﹣g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x），∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数．故选B．通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，﹣]和[0，）【解析】题干解析:，，当，∴其图象关于y轴对称，作图如下：∴函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是（﹣∞，﹣]和[0，）．故答案为：（﹣∞，﹣]和[0，）．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．【答案】（0，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x|的零点为x＝0，其图象如下，通过图象可知，函数单调递增区间为（0，＋∞）．故答案为：（0，＋∞）．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）【解析】题干解析:由题意y＝x﹣1是一次函数，将图象右边翻折到左边，去掉原来左边图形可得y＝|x|﹣1图象．由图象可知：函数y＝|x|﹣1的减区间为（﹣∞，0），故选A．例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．【答案】[1，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，＋∞），故答案为：[1，＋∞）．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2020春∙沙坪坝区校级期中）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx【解析】题干解析:A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件。
人教版高数必修一第5讲：函数的单调性(教师版)
函数的单调性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
函数单调性教案函数单调性教学设计（6篇）为你细心整理了6篇《函数的单调性教学设计》的范文，但愿对你的工作学习带来帮忙，盼望你能喜爱！固然你还可以在搜寻到更多与《函数的单调性教学设计》相关的范文。
《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6、函数之函数的单调性函数单调性的相关知识点：一：函数的单调性的定义。
（设函数)(x f y =的定义域为I ）。
1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。
当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增函数。
相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。
2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。
当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减函数。
相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。
3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。
二：证明或判断单调性的方法与步骤。
1. 定义法：（1）取值。
（2）作差变形。
（3）定号。
（4）下结论。
2. 导数法：（1）求导。
（2）判断导函数f ′(x )的符号。
若f ′(x ) > 0，则函数为增函数。
若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。
3. 图像法：主要用来判断。
三：函数单调性的有关性质。
若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。
1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。
2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0<a 时，具有相反的单调性。
3. 当函数)(x f 恒不等于0时。
函数)()(1x f x f 与具有相反的单调性。
4. 当函数0)(≥x f 时。
函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。
5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。
6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f •：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。
7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。
8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。
则：()[]0)()()3(0)()()()2()()(1212121212121>-->-⋅-<⇔<x x x f x f x f x f x x x f x f x x10. 若)(x f 在区间D 上为减函数，且D x x ∈21,。
则：()[]0)()()3(0)()()()2()()(1212121212121<--<-⋅->⇔<x x x f x f x f x f x x x f x f x x题型一、判断基本初等函数的单调性1、下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝x x －1答案 D解析 选项D 中，y ＝x x －1＝1＋1x －1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D ．2、下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg x D ．y ＝x 3答案 B解析 y ＝－2x ＋1在定义域R 上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域(0，＋∞)上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域R 上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内不单调，故选B ．3、函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 答案 A解析 由已知易得⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．四：复合函数单调性的判断方法：1. 复合函数的定义：形如：[])(x g f y =的函数称为复合函数。
令：)(x g t =称为内层函数。
)(t f y =为外层函数。
2. 判断方法。
（同增异减）题型二、用定义判断函数的单调性。
1、讨论函数xx x f 1)(+=的单调性（引出对勾函数模型）2、证明：函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
3、判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．题型三、求函数的单调区间。
类型1、数形结合求函数的单调区间。
1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)答案 A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．2、求函数 y ＝－x 2＋2|x |＋1 的单调区间： 解 由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．3、求函数 f (x )＝|x 2－4x ＋3| 的单调区间：解 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．4、32)(2++-=x x x f5、)1()(-=x x x f6、9696)(22++++-=x x x x x f7、如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A ：3-≤a B ：3-≥a C ：5≤a D ：5≥a8、若2)(+-=b x x f 在),0[+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是 0≤b 。
类型2、复合函数单调区间的求法。
1、求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调区间：解 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．2、求函数f (x )＝13－2x －x 2的单调区间：解 ∵3－2x －x 2>0，∴－3<x <1.由二次函数图象(图略)可知f (x )的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．3、函数)4(log )(231x x x f -=的单调递增区间为 。
4、函数)32(log )(221+--=x x x f 的单调递减区间为 。
5、函数xxx f +-=11)(的递减区间是 。
6、函数5422)(++-=x x x f 的递增区间 。
7、函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是类型3、导数法求函数的单调区间。
1、函数42)(23++-=x x x x f 的单调递增区间 。
2、函数x x x f ln 2)(-=的减区间 。
题型四、利用函数的单调性比较大小1、已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案 D解析 由题意知y ＝f (x )图象关于x ＝1对称，且当x >1时，y ＝f (x )是减函数，∵a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (3)，即b >a >c ，故选D ．2、设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)满足f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)＝0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0 答案 C解析 ∵f (x )图象的对称轴为x ＝－12，f (0)＝f (－1)＝a ，∴f (x )的大致图象如图所示．结合图象，由f (m )<0，得－1<m <0，∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.故选C ．3、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( )A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3)C．f(－1)>f(a2－2a＋3)D．f(－1)<f(a2－2a＋3)答案D解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1)<f(a2－2a＋3)，故选D．题型五、利用单调性求参数的值或范围1、若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3B．－2C．－1D．1答案B解析∵f(x)＝(x－1)2＋m－1，∴f(x)在[3，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(3)＝3＋m，∵3＋m＝1，∴m＝－2.2、已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案A解析因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A．3、函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]∪[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案C解析函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4，故选C．4、若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞) D ．(0,1]答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．故选D ．5、已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1答案 C解析 由f (x )在R 上单调递减， 则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <13.6、函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)答案 D解析 ∵函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，∴当x ∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x ＝2时，y ＝0，∴－1≤m <2，故选D ．7、已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C ．8、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x >0时，f (x )的最小值为f (1)，∴当x ≤0时，f (x )的最小值为f (0)，∴⎩⎨⎧a ≥0，a 2≤2＋a ，即⎩⎨⎧a ≥0，a 2－a －2≤0，解得0≤a ≤2.9、设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知m >0，n <0，且f (m )<f (n )，那么一定有( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．f (－m )>f (－n )D ．f (－m )·f (－n )<0答案 B解析 因为m >0，所以－m <0.由函数f (x )为偶函数，得f (m )＝f (－m )，故不等式f (m )<f (n )可化为f (－m )<f (n )．又函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，－m <0，n <0，所以－m <n ，即m ＋n >0.故选B ．10、若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (1)<f (－2)<f (3)答案 B解析 ∵对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴当x ≥0时，函数f (x )为减函数，∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (3)<f (－2)<f (1)．故选B ．11、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)答案 C解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即实数a 的取值范围为[－3，－2]．12、已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.13、是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求a 的范围．a > 114、若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间上都上[1,2]减函数，则实数a 的取值范围是( )A ：)1,0()0,1( -B ：]1,0()0,1( -C ：)1,0(D ：]1,0(15、已知)2log()(ax x f -=在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是（ ） A ：)1,0( B ：)2,1( C ：)2,0( D ：),2[+∞ 16、已知21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 取值范围是 a > 1/2 。