湖南省长沙市2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(理科) 有答案

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湖南省十三校2014届下学期高三年级第二次联考数学试卷(理科有答案)

湖南省十三校2014届下学期高三年级第二次联考数学试卷（理科）总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共：10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．（一，t）B．（0，1] C．[0，1）D．（0，1）2．已知“∈R，则“a=2”是“复数z=（a2—a—2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．4 B．5C．6 D．74．等差数列{}n a的前n项和为S n，且S2=l0，S4=36，则过点的直线的斜率是A．一1 B．2C．4 D．1 45．若函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(1-x)的图象大致为6．若某棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该棱锥的体积等于A．10 cm3B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm37．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A．12 B．13 C．15 D．168．若实数a,b,c成等差数列，点P（—1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N（3，3），则|MN|的最大值是9．已知双曲线2212221(0,0),,x ya b A Aa b-=>>是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1-2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是10、已知点G是△ABC的重心，且，则实数的值为二、填空题：本大题共6 IJI、题，考生作答5 IJI、题，每小题5分。

共25分。

（一）选做题（请考生在11、l 2、心三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11、如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF＝CF＝AF＝2BF，若CE与圆相切，且CE＝，则BE＝＿＿＿＿＿212、在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则l与C 的交点的直角坐标为＿＿＿＿之最小值为＿＿（二）必做题（14～16题）14、定积分的值为＿＿＿＿15、在D是BC的中点，（1）那么（2）若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任意一点，则的取值范围是＿＿＿16、给定有限单调递增数列{x n}（n∈N*，n≥2）且x i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x i，x j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{x n}具有性质P．（Ⅰ）给出下列四个命题，其中正确提＿＿＿＿（填上所有正确有命题的序号）（II）若数列只有2014项且具有性质P，x1=-1，x3=2，则{x n}的所有项和S2014＝＿＿三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分l 2分）已知△ABC的三内角分别为A，B，C，B＝记函数f（A）＝（1）若f（A）＝0，b＝2，求△ABC的面积；（2）若关于A的方程f（A）＝k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围。

2014年高考理科数学湖南卷(含答案解析)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值；（Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面，所以11111O O A B C D ⊥底面，于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面，进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②，由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③，因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==，所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=，所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++，当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--，令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。

湖南省长沙市雅礼中学2014届高考模拟卷(二)数学(理)试题

湖南省长沙市雅礼中学2014届高考模拟卷（二）数学（理）试题1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q P （B ）A ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（D ）（A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π=+x y（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6π=-y x3．抛物线24y x =-的准线方程是（D ） A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的（A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若()0m a n b m n→→+≠与 →→-b a 2共线，则nm等于( A ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；6. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（D ） A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387、已知样本容量为30，在样本频率分布直方图（如图）中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为（ A ） A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,128、曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（ D ）A ．1B ．12C ．22D ．139. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ C ）A ．12B ．16C ．24D ．3210、一只蚂蚁从长方体1111ABCD A BC D -的顶点A 出发，沿着长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（ C ） A ．24 B．C．D．11. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则OE =_________. 答案.9512、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x tt y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．【答案】13、已知集合{}349,R A x x x =∈++-≤()146,0,R B x x t t t⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B =________.【答案】{|25}x x -≤≤14、已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为答案：1215、设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-则满足()1f x <的x 的集合为___________. 答案：(0, 2)(16,)+ U16、设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（1）曲线sin y x =的“上夹线”方程为（2）曲线)0(sin :>-=n x n mx y S 的“上夹线”的方程为答案：（1）1y =；（ 2）y mx n =+\令'()cos F x m n x m =-=，得：22x k ππ=±（k ÎZ ）17、已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22223a b c ab +-=。

2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见

数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １０． C １１． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９分０ ( 二㊁填空题 : 每小题５分 , 共２０分) ２ n １３．㊀㊀１４．３２．８; ㊀㊀１５．４; ㊀㊀１６．．－２; n ＋１ ( 三㊁解答题 : 共７０分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有１７． Ⅰ) E C 中, ．＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝７, ３３ B E ��s i n B ２２１ ʑ s i n øB C E＝．＝＝ C E １４７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２３５７２ ʑc o s øD E A ＝１－s i n øD E A ＝１－＝．２８１４第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分) ６． C; １２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２＝ C E２＋D E２－２ C E��D E�� c o s øC E D ＝７＋２８－２ˑ ７ ˑ２７ ˑ ( －
当 x ＝５７０时, ３ˑ５７０＋４３３．２＝６０４．２． y ＝０．
��１０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第㊀共５页) １页(
��１特征量 y 的估计值为６ ʑ 当 x ＝５７０时, ０４．２．２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ．１９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝＝＝． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ��４分 ʑGM ��E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形． ʑG E ʊ MF ．又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ��６分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F．以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１２, ０, ０) , B (３, ０, ４３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝９００ E B ＝ (３, ４３) ．－４, 设平面 E B F 的法向量n１＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１＝０ n ��E F ＝０, ９由１得． ң ３ x１－４ z１＝０ �� y１＋４３ n１ E B ＝０ ��８分取 y１＝３ , 得 n１＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４３) ．－４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２＝ ( x２ , z ． y２２ ң ３ x ４ �� －＝０２２ y n F C ＝０, 由２得． ң x２－４ z２＝０－６ y２＋４３ n２ ��F B ＝０ ��１取 x２＝４, 得 n２＝ (４, ０分３, ３３) ． n１ �� n２０ˑ４＋３ ˑ３＋１ˑ３３６３３３９ ʑ c o s＜ n１ , n２＞＝．＝＝＝ n１ | n２ | ２６ | | ２ˑ １６＋９＋２７２ˑ２１３ ��１１分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,

2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷

2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，集合，，那么集合等于A. B.C. D.2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是A. B.C. D.3. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.4. 已知复数，则“”是“为纯虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 已知向量，，若，则A. B. C. D.6. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. B. C. D.7. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第组的频率和频数分别为A. ，B. ，C. ，D. ，8. 如图所示，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），其面积是A. B. C. D.9. 某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左、右均有空位，那么不同的坐法种数为A. B. C. D.10. 一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿着长方体的表面到达顶点的最短距离为，则长方体体积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，切于点，割线经过圆心，弦于点，已知的半径为，，则．12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为．13. 已知集合，，则集合．14. 已知平面区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为．15. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为．16. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．（）曲线的“上夹线”方程为；（）曲线的“上夹线”的方程为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知中，角，，所对的边分别是，，，且；（1）求；（2）若，求面积的最大值．18. 某地去年月份曾发生流感，据统计，月日该地区流感病毒的新感染者有人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加人；但从月日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少人．（1）分别求出该地区在月日和月日这两天的流感病毒的新感染者人数；（2）该地区月份（共天）该病毒新感染者共有多少人?19. 如图，已知面，，；（1）在线段上找一点，使面．（2）求由面与面所成角的二面角的正切值．20. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得分，否则得分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知函数．（1）当时，证明：；（2）当且时，不等式恒成立，求实数的值．答案第一部分1. A 【解析】，，故．2. D3. D 【解析】整理抛物线方程得，所以，因为抛物线方程开口向下，所以准线方程是．4. A 【解析】当时，复数，是一个纯虚数，当复数是一个纯虚数时，且，，故不能推出，故“”是“为纯虚数”的充分非必要条件．5. D6. D 【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环循环前第一圈是第二圈是第三圈是第四圈是第五圈是第六圈否此时．7. A 【解析】因为小长方形的高的比等于面积之比，所以从左到右各组的频率之比为，因为各组频率之和为，所以第二组的频率为．因为样本容量为，所以第二组的频数为．8. C 【解析】联立得解得或设曲线与直线围成的面积为，则．9. C 【解析】将个座位从到编号，则符合题意的为，，，，共类情况，每一类有种坐法，则共有种坐法．10. C【解析】由题意，设正方体的三条棱长分别为：，，，不妨设：最短距离为，所以，所以，设，则，所以在处取最大值，所以体积的最大值为．第二部分11.【解析】因为切圆于点，圆的半径为，，所以，所以，又，所以，所以由等面积可得．所以．12.【解析】表示椭圆（且）；表示抛物线．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．13.【解析】集合，所以；集合，，，当且仅当时取等号，所以，所以．14.【解析】构成试验的全部区域为为图中的三角形，，，，面积为．基本事件点落在区域为图中的，面积为，代入几何概率的计算公式可得．15.【解析】①当时，即时，；②当时，即时，，所以，当时，，此时：，当时，，此时：，综上不等式的解集为：．16. ，【解析】（）因为，要使直线与曲线相切且至少有两个切点且对任意都有，则需要，故曲线的“上夹线”方程为．（）推测的“上夹线”的方程为，①先检验直线与相切，且至少有两个切点．设，则，令，得，当时，，故过曲线上的点的切线方程为，化简得：，即直线与曲线相切且有无数个切点．不妨设，因为，所以，所以直线是曲线的“上夹线”．第三部分17. （1）因为，所以，因为，所以．（2）因为，且，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，面积取最大值，最大值为．18. （1）由题意知，该地区月份前天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以月日的新感染者人数为（人），所以月日的新感染者人数为（人）．（2）月份前天流感病毒的新感染者人数和为：（人），月份后天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以后天新感染者人数和为（人），所以该地区月份流感病毒的新感染者共有人．19. （1）为的中点，设中点为，则，且，所以，，所以为平行四边形，所以，又，，所以，又，与交于点，所以面，所以面；（2）延长，，交于，连接，因为，，所以，所以，又所以，又与交于点，所以面，所以为二面角的平面角；在中，，；所以．20. （1）记" 次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件．由题意，得答：次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由题意的可能有取值为．我们设“甲投中”为事件，“乙投中”为事件，则：所以的分布列为：的数学期望：．21. （1），，，所以；所以椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆方程，得，因为，所以，所以，所以，所以（定值）．（3）设存在满足条件，则，，，则由得，从而得，所以存在满足条件．22. （1）令，所以，时，，所以在上是增函数，故，即：．从而，时，得证．（2）不等式可化为：，令，则，，①时，有，令，则，故在上是减函数，即，所以在上是减函数，从而，，所以时，对于，有，②时，有，令，则，故在上是增函数，即：．所以在上是减函数．从而，．所以当时，对于，有．综合①②，当时，在且时，有．。

2014二模理科数学答案-推荐下载

§21.2 二次根式的乘除（三）
一、1.D
二、１． x
三、１.（１）1 （２）10
§21.3 二次根式的加减（一）
一、1.C 2.A
2.A
2 ２.
3.C
3
3
,
3.B
3 2x ,
2. x 3 3
二、１.（答案不唯一，如： 20 、 45 ）２. 3 ＜ x ＜ 3 3 ３. 1
三、１.（１） 4 3 （２） 16 2 （３）2 （４） 3 3
一、1.B
二、1. 1
2.D
2. -3 3. -2
3.B
∴
x1
三、1.（1） x1 5 ， x2 5 （2） x 1 2 （3） x1 x2 1 （4）没有实数
根
2.（1） 2x 1 4, 2x 1 4 4x. x 1 . 经检验 x 1 是原方程的解.
（3） y1 1，y2 13 （6） x1 9 ， x2 2
2m 112 4m 1 3m2 2 ，整理得 3m2 6m 0
（2） x1 2- 1，x- 12 2
（4） x1 7，x2 2
2.∵ x1 x2 2 ∴ m 2 原方程为 x2 2x 3 0 解得 x1 3 ， x2 1
（2）∵ x1 x2 k ， x1 x2 1，又 x1 x2 x1 x2 ∴ k 1 ∴ k 1 §22.3 实际问题与一元二次方程（一）
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为（） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，1z i zi +=-，11i z i -+==+(1)(1)(1)(1)i i i i -+--+i =．考点：复数的运算.2．设随机变量X ～N(2，32)，若P(X ≤c)＝P(X>c)，则c 等于（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由正态曲线的对称性，得x c =是对称轴，故2c =．考点：正态分布. 3．二项式6(x的展开式中常数项为（） A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：二项展开式的通项为616(kkk k T C x-+=3626(1)k k kC x -=-，令3602k -=，得4k =，故常数项为4615C =．考点：二项式定理.4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈，命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的（）A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，,p q q p ≠>Þ，故,p q q p ⌝⌝⌝⌝≠＞Þ，所以q ⌝是p ⌝的充分非必要条件．考点：1、交集和并集的概念；2、充分必要条件.5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是（）A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】试题分析：由已知得，直线()y k x b =-过点,0b （），故当[]3,3∈-b 时，k R ∀∈，M N ≠∅，则(,3)(3,)-∞-∞∈+b 时，k R ∃∈，使得M N =∅成立，选B ．考点：直线和椭圆的位置关系.6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A,B 是图象与x轴的交点，若cos 5APB ∠=-，则ω的值为（）A ．4π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】C 【解析】试题分析：过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，则在Rt APE ∆中，14tan 4PAE T T ∠==；在Rt BPE∆中，14tan 34PBE T ∠==，故t a n A P B P A E PBE∠=-∠+∠t a n t an 1t a n taP A E P B P A E P B ∠+∠=--∠⋅∠216316T T =--，又cos 5APB ∠=-sin 5APB ∠=tan 2APB ∠=-，2162316T T =-，解得24T πω==，所以2πω=．考点：1、三角函数的周期性；2、诱导公式.7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为（）A ．4-B ．4C ．3D ．3- 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为133zx -y=，要使得z ，只需直线133zx -y=的纵截距最小，即过点(2,2)C --时，z 取到最大值，最大值为max 264z =-+=．考点：线性规划.8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是（） A ．32 B ．3 C ．32- D ．3-【答案】C 【解析】试题分析：因为//BA DE ，故12D E D F A B B F ==，即133DF BD ==，所以FD DE ⋅33cos324π=A32=-．考点：向量的数量积.9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（） A ．12对 B ．18对 C ．24 对 D ．30对【答案】C 【解析】A'A试题分析：与'A D 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',ACD B ；与'AD所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'B C 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'BC 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',AC D B ；与'A B 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ；与'AB 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ；与'D C 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ;与'DC 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ,综上所述：“黄金异面直线对”共有24对．考点：异面直线.10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．'()21a f x x x =-+，即211a x x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥．考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B,C 两点，1PA PB ==，则PAB ∠=_________.【答案】030 【解析】试题分析:因为PA 是圆O 的切线，由切割线定理得，2=PA PB PC ⋅，则2==3PA PC PB，故2BC =.连接OA ，则PA OA ⊥，在Rt PAO ∆中，tan POA ∠=060POA ∠=，所以030PCA ∠=，又因为PAB ∠ =PCA ∠，所以PAB ∠=030．考点：1、圆的切割线定理；2、圆的弦切角定理；3、圆的切线的性质. 12．不等式43x x a -+-≤有实数解的充要条件是_____. 【答案】1a ≥．【解析】试题分析：记()43f x x x =-+-，则不等式43x x a -+-≤有实数解等价于min ()f x a ≤，因为434(3)x x x x -+-≥---1=，故1a ≥考点：绝对值三角不等式.13．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()x t t y =-=⎧⎪⎨⎪⎩为参数. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2430COS ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 距离为______.【答案】d =【解析】试题分析：直线l 0y -+=，圆C 的直角坐标方程为22x +y -4x+3=0，配方得，221y +=(x-2)，故圆心C 到直线l 距离为d =考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、点到直线的距离公式. 14．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>-与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点，其中F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为______.[来【解析】试题分析：由已知得，12F F 是圆2222x y a b +=+的直径，故12PF PF ⊥，由勾股定理得，222124PF PF c +=，又122PF PF =，所以2PF =，1PF =，又212P F P F a -=，故2a =，所以c e a ==．考点：1、双曲线的标准方程和圆的标准方程；2、勾股定理；3、双曲线的定义.15．已知数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-,，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值为 .【答案】11n =．【解析】试题分析：程序在执行过程中，,n S 的值依次为1,1n S ==；2,3n S ==；3,18n S ==；4,30n S ==；5,57n S ==；6,11n S ==；7,236n S ==；8,484n S ==；9,987n S ==；10,2001n S ==；11,2014n S =>，故输出的11n =考点：程序框图．16．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、 b 、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、b 、c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则（1）“好集” P 中的元素最大值为；（2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 【解析】试题分析：因为若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则112abc+=且a + c =2b ，则2,4a b c b =-=，故满足条件的“好集”为形如{}2,,4b b b -(b 0)≠的形式，则201442014b -≤≤，解得503503b -≤≤，且b 0≠，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P 的个数为1006个，且P 中元素的最大值为2012．考点：推理.17．已知函数22()(sin cos )f x x x x =++. （1）求函数f (x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足2cos 2a C c b +=，求f(B)的取值范围．【答案】（1）π；（2）1(B)3f < 【解析】试题分析：（1）利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数()f x 的解析式化为()sin()f x A x b ωφ=++是形式，再利用2T πω=求周期；（2）三角形问题中，涉及边角混合的代数式或方程，应考虑边角转化，或转化为角的关系式，或转化为边的关系式处理．本题利用余弦定理，将2cos 2a C c b +=变形为222b c a bc +-=，从而可求出3A π=，从而可求得203B π<<，进而确定f(B)的取值范围．（1）由已知得，1cos 2()12sin cos 2xf x x x -=++1sin 2x x =+2sin(2)13x π=-+，故最小正周期为22T ππ==．（2）由2cos 2a C c b +=得，222222a b c a c b ab +-⋅+=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，得3A π=，故203B π<<，233B πππ-<-<，故s i n (2)23B π-<-≤，故1(B)3f <≤．考点：1、正弦的二倍角公式；2、正弦的降幂公式；3、余弦定理.18．在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，1AC BC ==，90,22ACB AE CD ∠===．（1）证明：DF ∥平面ABC ；（2）求二面角A BD E --的大小的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取AB 中点G ，连接FG ，则//FG AE ，且1=2FG AE ，由已知得，//CD AB 且1=2CD AE ，故//CD FG ，则四边形DFGC 是平行四边形，可证明//DF CG ，进而证明DF ∥平面ABC ，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线DF 的方向向量垂直于平面ABC 的法向量即可；（2）先求半平面ABD 和BDE 的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角A BD E --是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角A BD E --的大小的余弦值的正负，从而求解．（1）因为ABC EA 平面⊥，CD ∥AE ，所以⊥CD 平面ABC ．故以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,1)D ， (1,0,2)E ， 11(,,1)22F ．所以11(,,0)22DF =，因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，所以0DF m ⋅=，又因为DF Ë平面ABC ，所以//DF 平面ABC ． 6分（2）由（1）知，(0,1,1)BD =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,2)BE =-．设1111(,, )n x y z =是平面ABD 的一个法向量，由110,0n BD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得 11110y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取11x =，得111y z ==，则1(1,1,1)n = 设2222(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，由220,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 22222020y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，取21x =-，则221y z ==，则2(1,1,1)n =- 设二面角A BD E --的大小为θ，则21211co s 3n n n n θ⋅==⋅，故二面角A BD E --的大小的余弦值为13．考点：1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01)P P <<，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求0P ；（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】（1）013P =；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，依题意，两人累计得分的可能值为0,2,3,5，故事件“X 3≤”的对立事件为“X 5=”，所以所求事件的概率()1()5P A P X ＝－＝；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，则累计得分的期望为E(2X 1)，E(3X 2)，从而比较大小即可. （1）由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，因为()5P X ＝＝23×0P ，所以()1()5P A P X ＝－＝＝1－23×0P =79，所以013P = . 6分（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)．由已知可得，X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2×0P ，从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝60P .若2)(3)E E X >1（2X ，即0863P >，所以0409P <<；若2)(3)E E X <1（2X ，即0863P <，所以0419P <<；若2)(3)E E X =1（2X ，即0863P =，所以049P =．综上所述：当0409P <<时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当0419P <<时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当049P =时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等. 12分考点：1、对立事件；2、二项分布的期望.20．某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为(*)m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf(x)，其中log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩】，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．. （1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 【答案】（1）8天；（2）[6,9]【解析】试题分析：（1）由已知得，经过x 天该药剂在水中释放的浓度 y=mf(x)是关于自变量x 的分段函数，渔场的水质达到有效净化，只需6y ≥，当m=6时，()1f x ⇔≥，相当于知道函数值的取值范围，求自变量x 的取值范围，即可持续的天数确定；（2）由题意知，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，只需在这8天内的每一天均有6()18,m 0mf x ≤≤>恒成立即可，转化为求分段函数求值域问题，使其含于[6,18]即可.（1）由题设：投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化．．．．6()6f x ⇔≥ ()1f x ⇔≥305log (4)1x x <≤⎧⇔⎨+≥⎩或5612x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 05x ⇔<≤或58x <≤，即：08x <≤，所以如果投放的药剂质量为6m =，自来水达到有效净化．．．．一共可持续8天 . 6分（2）由题设：x (0,8]∀∈，6()18,m 0mf x ≤≤>，∵3log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，∴x (0,5],6()18mf x ∀∈≤≤，且x (5,8],6()18mf x ∀∈≤≤，∴3log 46218m m ≥⎧⎨≤⎩且6218m m ≥⎧⎨≤⎩，所以69m ≤≤，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]．考点：分段函数.21．已知A 、B 为抛物线C ：y 2= 4x 上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限l 1、l 2分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为l 1、l 2的交点.（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设C 、D 为直线l 1、l 2与直线x = 4的交点，求PCD 面积的最小值. 【答案】（1）1x =-；（2）9【解析】试题分析：（1）设211()4y A y ，， 222()4y B y ，（120y y >>），1l 方程为2111()4y y y k x -=-，与抛物线方程联立，利用直线1l 与抛物线y 2= 4x 相切，故0∆=，求112k y =，故切线1l 的方程11212y x y y =+。

2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ．（3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ．解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二：问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分．（11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O的半径等于．【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ．【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是．【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==，当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====，且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==．（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=，于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠．（19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ，由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ．（2）解法一：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --．解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=．（2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=．由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>，所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的．综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的．（2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---．令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>．综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。

湖南省2014届高三.十三校二联理数试题及答案纯word版(16k)

湖南省2014届高三·十三校联考第二次考试理科数学试卷考试时间:2014年4月12日15:00～17:00得分:一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.已知集合1{|1},{|ln 0}1A xB x x x =≥=≤-,则A B = ( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D.2.已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2410,36S S ==,则过点(,)n P n a 和*2(2,)()n Q n a n N ++∈的直线的斜率是( )A. 1B. 2C. 4D.145.若函数()y f x =的图象如图,则函数(1)y f x =-的图象大致为( )6.(2013•嘉兴一模)如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( )A. 12B. 13C. 15D. 167.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( )A. 10cm 3B. 20cm 3C. 30cm 3 B. 40cm 3 8.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12i PA A ∆构成以12A A 为斜边的 A B C 正视图侧视图俯视图直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. )+∞B. )+∞C.D. 9.(2013•金山区一模改编)若实数a ,b ,c 成等差数列,点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ,点(3,3)N ,则||MN 的最大值是( )A. 5B. 5C. 5+D. 5-10.已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为( ) A. 13 B. 12 C.3 D. 2二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(2011•天津卷改编)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点,F E 是AB 延长线上一点,且2DF CF AF BF ==,若CE 与圆相切,且CE =,则BE = .12.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=.则l 与C 的交点直角坐标为 .13.设,,,2280x y z R x y z ∈+++=,则222(1)(2)(3)x y z -+++-的最小值为 .（二）必做题（14 ～16题）14.定积分2101sin e dx xdx xπ-⎰⎰的值为 .15.(2013•昌平区一模)在Rt ABC ∆中,90,4,2,C AC BC ∠=== D 是BC 的中点,(1)()AB AC AD -⋅=.(2)E 是AB 的中点,P 是ABC ∆(包括边界)内任意一点,则AD EP ⋅的取值范围是 . 16.(2013•石景山区一模改编)给定有限单调递增数列*{}(n x n N ∈,数列{}n x 至少有两项)且0(1)i i x x n ≠≤≤,定义集合*{(,)|1,,,}i j A x x i j n i j N =≤≤∈且.若对任意点1A ∈A ,存在点2A ∈A 使得12OA OA ⊥(O 为坐标原点),则称数列{}n x 具有性质P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) ①数列{}:n x -2,2具有性质P ; ②数列{}n y :-2,-1,1,3具有性质P ;③若数列{}n x 具有性质P ,则{}n x 中一定存在两项,i j x x ,使得0i j x x +=; ④若数列{}n x 具有性质P ,121,0x x =->且1(3)n x n >≥,则21x =.(2)若数列{}n x 只有2014项且具有性质13,1,2P x x =-=,则{}n x 的所有项和2014S = .ACEB F D三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知ABC ∆的三内角分别为,,,3A B C B π=,向量(1cos2,2sin ),A C =+-m (tan ,A =ncos )C ,记函数()f A =⋅m n .(Ⅰ)若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积;(Ⅱ)若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.18. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且2AD CD BC PA ====, 点M 在PD 上. (Ⅰ)求证:AB PC ⊥;(Ⅱ)若二面角M AC D --的大小为45 ,求BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.AB D M P20. (本小题满分13分) 如图,矩形ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点A 在坐标原点,O B D 、分别为x 轴、y 轴,3AD =(百米),AB a =(百米)(34a ≤<)观光区中间叶形阴影部分MN 是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数2(12)y x x=≤≤的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段MPN 相切(切点记为P ),并把该观光区分为两部分,且直线l 左下部分建设为花圃. 记点P 到AD 的距离为,()t f t 表示花圃的面积. (Ⅰ)求花圃面积()f t 的表达式; (Ⅱ)求()f t 的最小值.21.(本小题满分13分)已知12,F F 分另为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C与2C 在第二象限的交点, 且15||.3MF =(Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.22.(本小题满分13分)设x a =和x b =是函数21()ln (2)2f x x x m x =+-+的两个极值点,其中,a b m R <∈.(Ⅰ)求()()f a f b +的取值范围; (Ⅱ)若2(m e ≥-为自然对数的底数),求()()f b f a -的最大值.2014年湖南省十三校联考二理数参考答案一、选择题D C A C A C B D A B二、填空题11. 12.12. (1,2).13. 9 .14. 0 .15. (1) 2 ,(2) [-9,9] .16. (1) ①③④ ,(2)201322-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由()(1cos2)tan 2sin cos ,f A A A C C =⋅=+-m n 即2()2cos tan 2sin cos sin 2sin 2f A A A C C A C =⋅-⋅=-,又因为23A C π+=,所以23C A π=-代入上式得,41()s i n 2s i n 2s i n 2s i n (2)i n 2c o s 2s i n (2323f A A C A A AA ππ=-=--=+=+由()0f A =,得sin(2)03A π+=,又20,32A A ππ<<≠且,所以52333A πππ<+<,且4233A ππ+≠………………………5分也所以2A ππ+=,即3A π=,从而ABC ∆为正三角形, 所以2ABC S ∆=8分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)3f A A π=+,令4452,(,)(,)33333x A x πππππ=+∈ ,则方程()f A k =有两个不同的实数解等价于sin k x =在445(,)(,)3333x ππππ∈ 上有两上不同实根,作出445sin ,(,)(,)333y x x ππππ=∈ 草图如右, 1k <<或1k -<<时,直线y k =与曲线 s i n y x =有两个交点,符合题意,故实数k 的取值范围为 (1,k ∈- .…………………………………………………………………12分 18.【解】(Ⅰ)设乙答题所得分数为X ,则X 的可能取值为15,0,15,30-.…………………1分且31155533101015(15),(0),1212C C C P X P X C C =-===== 21355533101051(15),(30)1212C C C P X P X C C ======………5分乙的得分的分布列如右表,且1510515530115()122E X -⨯+⨯+⨯+⨯==……………8分(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的事件分别为,A B ,则由(Ⅰ)知,511()12122P B =+=,X -15 0 15 30 P 112 512 512 112又甲回答3题可以视为独立重复试验,故223332381()()()555125P A C =+=,于是甲、乙至少有一人入选的概率4411031()1P P A B =-⋅= 19.【解】(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE , 则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 故AE BC ⊥,又AE BE EC === 所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥,又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥, 且PA AC A = ,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥ (Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,(0,0,2)A E B C D P -,设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,易得,22)M λ-,设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则110(22)0AC AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n, 令y 得21t x z t ==-,即12()1tt =-n .又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ,由题知1212122|||||cos ,|cos45||||λ⋅<>===⨯n n n n n n ,解得12λ=, 即(M BM =- ,而AB =-是平面PAC 的一个法向量,设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则sin |cos ,|BM AB θ=<>== . 故直线BM 与平面PAC .…………………………………12分 20.【解】(Ⅰ)由题意可设2(,),12P t t t ≤≤,又因22y x'=-,所以过点P 的切线方程为222()y x t t t -=--,即224(2)y x i t t t=-+≤≤, 切线l 与x 轴交于点(2,0)F t ,与y 轴交于点4(0,)E t ,①当2,43,1t a tt ≤⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即432a t ≤≤时,切线左下方区域为直角三角形.所以14()242f t t t=⨯=;②当2,43,1t a tt >⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即2a t <≤2时,切线左下方区域为直角梯形.所以22214424()()2t a at a f t a t t t --=+=; ③当2,43,1t a t t ≤⎧⎪⎪>⎨⎪≤≤2⎪⎩,即413t ≤<时,切线左下方区域为直角梯形. 所以221439()(2)36224t t t f t t t -=+⨯=-; 综上有,222946,1,434()4,,324,2t t t a f t t at a at t ⎧-≤<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪-<≤2⎪⎩…………………………………………………………7分(Ⅱ)①当413t ≤<时,22994()6()4443t f t t t =-=--+,当1t =时,min 15()44f t =<;②当22at <≤时,22442(2)(),()0at t at a t f t f t t t --'==<, 所以()f t 在(,2]2a上递减,所以2min ()(2)244a f t f a ==-<,下面比较224a a -与154的大小,由于2215815(3)(5)(2)04444a a a a a a -+----==≤,所以可知min 15()4f t =即求.………………………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)由题知1(0,1)F ,所以221a b -=,又由抛物线定义可知1513M MF y =+=,得23M y =,于是易知2()3M ,从而273MF =, 由椭圆定义知1224a MF MF =+=,得2a =,故23b =,从而椭圆的方程为22134x y +=……………………………………………………………6分(Ⅱ)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知,12012,x x x y y y λλ+=+=,且2200134x y +=,……①又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,1=,由0k ≠,可得22(1,0)1tk t t t=≠±≠-……② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-= 且0∆>恒成立,且2221212226312,4343k t k t x x x x k k -+=-=++, 所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++…………8分代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以2222443k t kλ=+ 又将②式代入得,22224,0,11()1t t t tλ=≠≠±1++,……………………………………10分易知2222221111()11,()13t t t t ++>++≠且,所以244(0,)(,4)3λ∈ ,所以λ的取值范围为{|22,0,}3λλλλ-<<≠≠±且且…………………………13分22.【解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1'()(2)x m x f x x m x x-++=+-+=.依题意,方程2(2)10x m x -++=有两个不等的正根,()a b a b <,故有2(2)40,20m m +->⎧⎨+>⎩,解得0m >,且2,1a b m ab +=+=,所以221()()ln ()(2)()2f a f b ab a b m a b +=++-++,22211[()2](2)(2)122a b ab m m =+--+=-+-，又210,(2)132m m >-+-<-,所以()()f a f b +的取值范围是(,3)-∞-.……………6分(Ⅱ)由221()()ln ()(2)()2b f b f a b a m b a a -=+--+-,221ln ()()()2b b a b a b a a =+--+-2222111ln ()ln ln ()222b b b a b b ab a a a ab a a b-=--=-=--令1b t a =>,所以11()()()ln ()2f b f a g t t tt-==--,又因为2122(2)2m m m e e ≥-⇔+≥⇔+≥++, 所以221()111()2222a b a b e e t e e ab e t e++≥++⇔≥++⇔++≥++,可化为()(1)0t e te te --≥,因为1te e >>,所以得t e ≥,求11()ln ()2g t t t t=--在t e ≥上最大值,由222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<,所以()g t 在[,e +∞)上递减,所以1()()122e g t g e e ≤=-+,故()()f b f a -的最大值为1122e e-+.…………………13分。

2014年高考理科数学湖南卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共45页）数学试卷第2页（共45页）数学试卷第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷第4页（共45页）数学试卷第5页（共45页）数学试卷第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值；（Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷第10页（共45页）数学试卷第11页（共45页）数学试卷第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面，所以11111O O A B C D ⊥底面，于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷第34页（共45页）数学试卷第35页（共45页）数学试卷第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。

2014年高三数学二模试卷(理科含答案)

1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2014年湖南省长沙市雅礼中学高考数学二模试卷(理科)

2014年湖南省长沙市雅礼中学高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.设集合P={x|-1＜x≤2}，Q={x|x-1＞0}，则P∩Q=（）A.{x|-1＜x＜1}B.{x|1＜x≤2}C.{x|-1＜x≤2}D.{x|x＞-1}【答案】B【解析】解：根据集合Q中的不等式x-1＞0，解得x＞1，然后把两个解集画在数轴上如图所示：则P∩Q={x|1＜x≤2}故选B求出集合Q中的不等式的解集，然后利用数轴求出两集合的交集即可．本题是以数轴为工具，考查了两集合交集的求法，是一道基础题．2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A．将代入可得y=≠±1，排除A；B.≠π，排除B．C．将代入，y=≠±1，排除C．故选D．根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的对称性．属基础题．3.抛物线y=-4x2的准线方程是（）A. B.x=1 C.y=1 D.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得x2=-y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=故选D先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4.已知复数z=（a2-1）+（a-2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数．当复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i是一个纯虚数时，a2-1=0且a-2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．5.已知向量=（2，3），=（-1，2），若m+n与-2共线，则等于（）A.-B.C.-2D.2【答案】A【解析】解：∵m+n=（2m-n，3m+2n），-2=（4，-1），m+n与-2共线，∴（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，∴-14m=7n，则=-，故选A．求出m+n与-2的坐标，根据m+n与-2共线可得（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，化简求得的值．本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，是解题的关键．6.阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/112第一圈是123第二圈是235第三圈是358第四圈是5813第五圈是81321第六圈否此时=故答案为：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为（）A.0.4，12B.0.6，16C.0.4，16D.0.6，12【答案】A【解析】解：∵小长方形的高的比等于面积之比∴从左到右各组的频率之比为2：4：3：1，∵各组频率之和为1∴第二组的频率为1×=∵样本容量为30∴第二组的频数为30×=12故选A因为直方图中各个小长方形的面积即为各组的频率，且频率之和为1，故由已知比例关系即可求得第二组的频率，乘以样本容量即为频数本题考查了用样本估计总体的分布的方法，频率分布直方图的意义和运用，频率、频数的概念和计算8.如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（-x2）dx=故选：C联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．9.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A.12B.16C.24D.32【答案】C【解析】解：将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33=6根据分步计数可得共有4×6=24故选C．由题意知将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2，空位无差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，最后进行三个人排列．此题类似于“5位女生与3位男生站成一排，要求女生左右两边都有男生”这道题，故用插空法．但又不完全相同，因为5个空位没有什么不同，无须把5个空位全排列．10.一只蚂蚁从长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（）A.24B.6C.12D.9【答案】C【解析】解：由题意，设a＞b，c时最短距离为=6，∴36-a2≥4bc，∴V=abc≤，设f（a）=（a＞0），则f′（a）=9-a2，∴f（a）在x=2处取最大值，∴体积的最大值为12．故选：C．利用沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，建立函数关系，即可长方体体积的最大值．本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是得出V=abc≤，是中档题．二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)11.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ______ ．【答案】【解析】解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．12.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为______ ．【答案】（1，）【解析】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．13.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B=，，，则集合A∩B= ______ ．【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解：集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，所以A={x|-4≤x≤5}；集合，，，，，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥-2}，所以A∩B={x|-4≤x≤5}∩{x|x≥-2}={x|-2≤x≤5}，故答案为：{x|-2≤x≤5}．求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14.已知平面区域，，，，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为______ ．【答案】【解析】解：构成试验的全部区域为Ω为图中的三角形ABC，A（-1，0）B（1，0）C（1，2），面积为基本事件点P落在区域M为图中的△ABM，面积为代入几何概率的计算公式可得P=故答案为：先利用线性规划的知识作出平面区域Ω，M，根据图象分别计算面积，然后代入几何概率的计算公式可求本题考查了与面积有关的几何概率的求解，还考查了不等式表示平面区域及平面区域的面积求解，属于综合试题．15.设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个，若函数f（x）=min{3-log2x，log2x}，则满足f（x）＜1的x的集合为______ ．【答案】（0，2）∪（16，+ ）【解析】解：①当3-log2x＜log2x时即x＞4时f（x）=3-log2x②当3-log2x＞log2x时即x＜4时f（x）=log2x∴f（x）＜1当x＞4时f（x）=3-log2x＜1此时：x＞16当x＜4时f（x）=log2x＜1此时：0＜x＜2，综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+ ）．故答案为：（0，2）∪（16，+ ）．先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．本题是一道新定义题，首先要根据定义求得函数，再应用函数解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．16.设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）曲线y=sinx的“上夹线”方程为______（2）曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为______ ．【答案】y=1；y=mx+n【解析】解：（1）∵y=sinx≤1，要使直线l与曲线S相切且至少有两个切点且对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则需要g（x）=1，故曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1．（2）推测y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，①先检验直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点．设F（x）=mx-nsinx，则F′（x）=m-ncosx，令F′（x）=m，得x=2kπ±，（k∈Z），当x=2kπ-时，F（2kπ-）=m（2kπ-）+n，故过曲线F（x）上的点（2kπ-，m（2kπ-）+n）的切线方程为y-[m（2kπ-）+n]=m[x-（2kπ-）]，化简得：y=mx+n，即直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切且有无数个切点．不妨设g（x）=mx+n，∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0），∴g（x）≥F（x）∴直线y=mx+n是曲线y=mx-nsinx的“上夹线”．故答案为：y=1，y=mx+n（1）根据y=sinx≤1即夹线的定义推断曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1并加以检验．（2）先推测出y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，利用导函数和错差法分别对直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点和g（x）≥F（x）进行检验．本题主要考查了函数与方程的综合运用．考查了学生推理和分析的能力．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2-c2）=3ab；（1）求；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）∵a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵A+B=π-C，∴===；（2）∵a2+b2-c2=ab，且c=2，∴a2+b2-4=ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab-4，∴ab≤8，∵cos C=，∴sin C===，∴S△ABC=absin C≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．【解析】（1）利用余弦定理表示出cos C，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cos C 中，化简即可求出cos C的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cos C的式子，把cos C的值代入即可求出值；（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sin C的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式．要求学生熟练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问题．18.某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10人．（Ⅰ）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；（Ⅱ）该地区9月份（共30天）该病毒新感染者共有多少人？【答案】解：（Ⅰ）由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，所以9月10日的新感染者人数为a10=40+（10-1）×40=400（人），所以9月11日的新感染者人数为a11=400-10=390（人）．（Ⅱ）9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：（人），9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，所以后20天新感染者人数和为=5900（人），所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200+5900人．【解析】（Ⅰ）该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，由此能求出求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数．（Ⅱ）9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，由此能求出该地区9月份流感病毒的新感染者人数．本题考查数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的灵活运用．19.如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°；（1）在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．【答案】解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=CD，且MN∥CD，∴MN=AB，MN∥AB∴ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又PA=AD，∠PAD=90°∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD，（2）延长CB交DA于E，∵AB=CD．AB∥CD∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；在△PCD中，PD=AD，CD=2AD；∴tan∠CPD=．【解析】（1）令M为PC的中点，设PD中点为N，通过证明BM∥AN，AN⊥面PCD，即可在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）延长CB交DA于E，说明∠CPD为二面角C-PE-D的平面角，在△PCD中，求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．本题考查空间直线与平面垂直，二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力．20.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．由题意，得．即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，∴，，，．∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望．【解析】（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．（2）用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．21.已知椭圆＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=-，∴，∴，∴，（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分），，，（12分）则由得，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）【解析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，，，，再由得，由此可知存在Q（0，0）满足条件．本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．22.已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞-1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．【答案】解：（1）令h（x）=ln（1+x）-，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kxg″（x）=-2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+ ）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+ ）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②-1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（-1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（-1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于-1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞-1且x≠0时，有f（x）＜．【解析】（1）令h（x）=ln（1+x）-，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kx，从而g″（x）=-2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②-1＜x＜0时，从而证出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。

2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足1z i z+=（i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p ==3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则(1)(1)f g +=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++- C 、pq D 、(1)(1)1p q ++-9、已知函数发()sin(x )f x ϕ=-，且230()0xf x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数21()-(0)2xf x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象在存在关于y 轴对称点，则a的取值范围是A 、-e ∞（，）B 、-e ∞（，）C 、-e e （，） D 、-e e（，）二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a=+⎧⎨=+⎩（a 为参数）交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。

2014年高考理科数学湖南卷有答案

2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测(二)数学试卷(理工类)附答案

2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积，其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（）．（A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（）．（A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（）．（A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +|=|AB –|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（）．（A ）98 （B ）910（C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

2014年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A．+i B．﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算即可得到结论．解答：解：∵=i，∴z+i=zi，即z===﹣i，故选：B．点评：本题主要考查复数的计算，比较基础．2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3考点：简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．解答：解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．点评：本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．4．（5分）（2014•湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20 B．﹣5 C．5D．20考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．解答：解：由二项式定理可知：T r+1=，要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，所以r=3，所求系数为：=﹣20．故选：A．点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖南）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．解答：解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4考点：球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．解答：解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．点评：本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．D．﹣1考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论．解答：解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，解得1+x=，即x=﹣1，故选：D．点评：本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．10．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）（﹣∞，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a 个单位得到，可发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a 个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．解答：解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线C：（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，故直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1 故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．12．（5分）（2014•湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于 1.5．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；立体几何．分析：设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．解答：解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（2014•湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．解答：解：显然，a=0不满足条件．当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（二）必做题（14-16题）14．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a ＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解答：解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．16．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．考点：参数方程化成普通方程；向量在几何中的应用．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|=．根据4cosθ+2sinθ的最大值为=2，可得|++|的最大值．解答：解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|==．∵4cosθ+2sinθ的最大值为=2，∴|++|的最大值是=+1，故答案为：+1．点评：本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X 0 120 100 220P（x）则数学期望E（X）==140．点评：本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．18．（12分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．解答：解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．（12分）（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD为菱形，又∵AC∩BD=O，故O为BD的中点，同理O1也是B1D1的中点，又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴O1O⊥底面ABCD；解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵O1O⊥底面ABCD，∴OB，OC，OO1两两垂直，如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．设AB=2，∵∠CBA=60°，∴OA=OC=1，OB=OD=，则O（0，0，0），B1（），C1（0，1，2）易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：cosθ=|cos＜，＞|=||==，故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（13分）（2014•湖南）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．21．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q 两点时，求四边形APBQ面积的最小值．考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，，且．∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．∴，且．解得：．∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．∵直线AB不垂直于y轴，∴设AB的方程为x=ny﹣1，联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，．则==．∵M在直线AB上，∴．直线PQ的方程为，联立，得．解得，代入得．由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．∴P，Q的坐标分别为，则P，Q到AB的距离分别为：，．∵P，Q在直线A，B的两端，∴．则四边形APBQ的面积S=|AB|．∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．点评：本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．22．（13分）（2014•湖南）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．点评：本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．。

湖南省十三校2014届高三数学第二次联考试题理(含解析)新人教A版

某某省2014届高三·十三校联考第二次考试理科数学试卷得分:【试卷综析】本套试卷是某某省13校第二次联考试题，试卷在题型、题量、分值、难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。

从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。

试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的考查。

例如第6题，第8题，9题都很好地考查了学生的数学能力。

在学生熟悉的背景下进行命题，进行创新，这是高考的要求，也是中学教学的要求。

在本套试卷中，有所体现，这是一大亮点。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合1{|1}1A x x =≤-，{|ln 0}B x x =≤,则A B =( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1) 【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。

【答案解析】D {|1A x x =<或2}x ≥，{|01}B x x =<<，所以AB =(0,1)【思路点拨】解分式不等式时，要时刻注意，移项通分。

利用数轴求集合的交集。

2.已知a R ∈,则“”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。

【答案解析】C 复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数的充要条件是22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，所以2a =。

【思路点拨】复数为纯虚数，必须保证实部等于0，虚部不等于0.求出充要条件，然后再把充要条件的X 围放大或缩小。

3.(2013·某某二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7【知识点】程序框图问题。

数学_2014年湖南省某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1. 复数1+√3i与复数−√3+i在复平面上的对应点分别是A，B，O为坐标，则∠AOB等于（）A π6 B π4C π3D π22. 命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定是（）A ∀x∈M，f(−x)≠f(x)B ∃x∈M，f(−x)≠f(x)C ∀x∈M，f(−x)=f(x) D ∃x∈M，f(−x)=f(x)3. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程y=b x+a中b̂的值为1，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为（）A 80分钟B 90分钟C 100分钟D 1l0分钟4.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3, 4)，则此双曲线的方程为()A x216−y29=1 B x23−y24=1 C x29−y216=1 D x24−y23=15. 已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥的外接球的表面积为（）A 24πB 6πC √6πD 3π6. 某社区四支篮球队参加比赛，现任意将这四支队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则所有可能的比赛情况共有（）A 3种B 6种C 12种D 24种7. 当0<x≤12时，4x<log a x，则a的取值范围是（）A (0, √22) B (√22, 1) C (1, √2) D (√2, 2)8. 定义全集U的子集P的特征函数f P(x)={1,x∈P0,x∈∁U P，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知P ⊆U ，Q ∈U ，下列四个命题中，其中的假命题是（）A 若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有f P (x)≤f Q (x)B 对于任意x ∈U ，都有f∁UP (x)=1−f P (x)C 对于任意x ∈U ，都有如f P∩Q (x)≤f P (x)⋅f Q (x)D 对于任意x ∈U ，都有f P∪Q (x)≤f P (x)+f Q (x)二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．） 9. 函数f(x)=sin 2x +cos2x 的最小正周期为________．10. 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是________．11. 设某算法流程图如图所示，其输出结果A =________．12. 积分∫e |x|2−1dx 的值是________．13. 设z =3x +y ，其中x ，y 满足不等式组{x +y ≥0x −y ≤00≤y ≤k ，若z 的最大值为8，则z 的最小值是________．14. 设G 是△ABC 的重心．（1）若从△ABC 内任取一点P ，则点P 落在△GBC 内的概率是________．（2）若点Q 落在△GBC 内（不含边界），且AQ →=λAB →+μAC →，则λ+μ的取值范围是________．15. 如表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i+j ，则（1）a n =________(n ∈N ∗)；（2）表中的数82共出现________次．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若2sinAcosC ＝sinB ，求ac 的值；（2）若sin(2A +B)＝3sinB ，求tanA tanC 的值．17. 某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等•且各项测试合格的概率分别为12，12，13．（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；（2）求学生甲测试合格的项数X 的分布列和数学期望．18.在如图所示的几何体中，ABCD 为平行四边形，∠ACB =π2，EA ⊥平面ABCD ，EF // AB ，FG // BC ，EG // AC ，AB =2EF ．（1）在线段AD 上是否存在点M ，使GM // 平面ABFE ？并说明理由；（2）若AC =BC =2AE ，求二面角A −BF −C 的大小．19. 在一段笔直的斜坡AC 上竖立两根高16米的电杆AB ，CD ，过B ，D 架设一条10万伏高压电缆线．假设电缆线BD 呈抛物线形状，现以B 为原点，AB 所在直线为Y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD 恰与电缆线相切于点D(m, n)．（1）求抛物线BD 的方程；（2）根据国家有关规定，高压电缆周围10米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？20.如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC 中，|OA|=2，|OC|=√3，点P ，Q 满足OP →=λOA →，AQ →=1(1−λ)AB →(λ∈R)，点D 是C 关于原点的对称点，直线DP 与CQ 相交于点M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若过点F(−1, 0)且斜率不为零的直线与点M 的轨迹相交于G ，H 两点，直线AG 和AH 与定直线l:x =−4分别相交于点R ，S ，试判断以RS 为直径的圆是否经过点F ？说明理由． 21. 已知函数f(x)=xsinx ．（1）判断方程f(x)=1在(0, π)内实根的个数，并说明理由；（2）设函数f(x)在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…a n …，求证：π2<a n+1−a n <π(n ∈N ∗)．2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. C5. B6. C7. B8. D9. π 10. 10 11. 6312. e 2+e −2 13. −4 14. 13；(23,1)．15. （1）n 2+1，（2）5．16. ∵ 2sinAcosC ＝sinB ，∴ 2sinAcosC ＝sin(A +C)＝sinAcosC +cosAsinC ，于是sinAcosC −cosAsinC ＝0，即sin(A −C)＝0．因为A ，C 为三角形的内角，所以A −C ∈(−π, π)，从而A −C ＝0，所以a ＝c ，故ac =1．∵ sin(2A +B)＝3sinB ，∴ sin[(A +B)+A]＝3sin[(A +B)−A]，故sin(A +B)cosA +cos(A +B)sinA ＝3sin(A +B)cosA −3cos(A +B)sinA ，故 4cos(A +B)sinA ＝2sin(A +B)cosA ，∴ tanA =12tan(A +B)=−12tanC ，∴ tanA tanC =−12．17. 解：（1）记学生甲被录取的事件为A ，学生甲通过这三个项目的事件分别为B ，C ，D ，由题设知P(B)=12，P(C)=12，P(D)=13，由于事件B ，C ，D 相互独立，∴ 甲被录取的概率为：P(A)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=12×12×13=112，∵ 学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等， ∴ 乙被录取的概率为P 1=112，∴ 学生甲和乙到少有一人被录取的概率P =1−C 22 (1112)2=23144．（2）由题设知，学生甲测试合格的项数X 的取值为0，1，2，3，则P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=12×12×23=16，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)+P(B ¯C ¯D) =12×12×23+12×12×23+12×12×13=512，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD) =12×12×23+12×12×13+12×12×13=13， P(X =3)=P(BCD)=12×12×13=112，∴ X 的分布列为：EX =0×16+1×512+2×13+3×112=43． 18. 解：（1）存在点M ，且点M 是线段AD 的中点， ∵ EF // AB ，FG // BC ，EG // AC ，∠ACB =π2，∴ ∠EGF =90∘，且△ABC ∽△EFG ， ∵ AB =2EF ，∴ BC =2FG ，连结AF ，∵ FG // BC ，FG =12BC ，在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AD 的中点，∴ AM // BC ，且AM =12BC ，∴ FG // AM ，且FG =AM ，∴ 四边形AFGM 为平行四边形，∴ GM // FA ，又∵ FA ⊂平面ABFE ，GM 不包含于平面ABFE ， ∴ GM // 平面ABFE ．（2）∵ ∠ACB =90∘，∴ ∠CAD =90∘，又EA ⊥平面ABCD ，∴ AC 、AD 、AE 两两垂直，分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC =BC =2AE =2，由题意得A(0, 0, 0)，B(2, −2, 0)， C(2, 0, 0)，E(0, 0, 1)，∴ AB →=(2, −2, 0)，BC →=(0, 2, 0)，又EF →=12AB →，∴ F(1, −1, 1)，BF →=(−1,1,1)，设平面BFC 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则m →⋅BC →=0，m →⋅BF →=0，∴ {2y 1=0−x 1+y 1+z 1=0，取x 1=1，得m →=(1, 0, 1)，设平面ABF 的法向量为n →=(x,y,z)， mjn →⋅AB →=0，n ¯⋅BF →=0，∴ {2x −2y =0−x +y +z =0，取x =1，得n →=(1,1,0)，∴ cos <m →，n →>=1√2⋅√2=12， ∴ 二面角A −BF −C 的大小为π3．19. 解：（1）设抛物线BD 的方程为y =ax 2+bx ，则∵ 点D(m, n)，∴ 抛物线在点D 处切线的斜率为k =2am +b ， ∵ AD 的斜率为n+16m，∴ 2am +b =n+16m，即2am 2+bm =n +16，① ∵ 点D(m, n)在抛物线上， ∴ n =am 2+bm ，② 由①②可得a =16m 2，b =n−16m，∴ 抛物线方程为y =16m 2x 2+n−16mx ；（2）斜坡AC 所在直线方程为y =nm x −16，作直线EF // y 轴且分别与抛物线及AC 相交于E ，F ，则 |EF|=(16m 2x 2+n−16mx)−(n m x −16)=16m 2(x −m2)2+12≥12，∴ 高压电缆与斜坡AC 的垂直距离的最小值为12米，大于11.8米， ∴ 这根高压电缆不会对这个人的安全构成威胁．20. 解：（1）设点M 的坐标为(x, y)，A(2, 0)，B(2,√3)，C(0, √3)，D(0,−√3)．由OP →=λOA →，得点P 坐标为(2λ, 0)，由AQ →=(1−λ)AB →，得点Q 的坐标为（2, √3(1−λ)）．于是，当λ≠0时，直线DP 的方程为：y +√3=√32λx ，① 直线CQ 的方程为：y −√3=√3λ−2x ．② ①×②得，y 2−3=−34x 2，即x 24+y 23=1．当λ=0时，点M 即为点C ，而点C 的坐标(0, √3)也满足上式，故点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1；（2）设过点F(−1, 0)且斜率不为0的直线CH 的方程为x =my −1，且设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，由{x =my −1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0 ③由于方程③的判别式△=(−6m)2+36(3m 2+4)>0， ∴ y 1，y 2是方程③的两根，且y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4．又A(2, 0)，∴ 直线AG 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，因此点R 的坐标为(−4,−6y 1x 1−2)．同理可得，直线AH 的方程为y =y 2x 2−2(x −2)，因此点S 的坐标为(−4,−6y 2x 2−2)．∴ FR →⋅FS →=(−3,−6y 1x1−2)⋅(−3,−6y 2x 2−2)=9+36y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)．又(x 1−2)(x 2−2)=(my 1−3)(my 2−3)=m 2y 1y 2−3m(y 1+y 2)+9 =m 2⋅−93m 2+4−3m ⋅6m3m 2+4+9=363m 2+4．于是FR →⋅FS →=9+36y 1y 2(x1−2)(x 2−2)=9+36×(−9)3m 2+4×3m 2+436=0．故点F 在以RS 为直径的圆周上． 21. 解：（1）∵ f(x)=xsinx ．∴ 由f(x)=xsinx=1得sinx=1x，在坐标系中分别作出函数f(x)=sinx，和g(x)=1x的图象如图：∵ y=1x 在(0, π)上得到递减，y=sinx在(0, π2]上递增，在(π2, π)上单调递减，且当x=π2时，f(π2)=1，g(π2)=2π<1，∴ f(x)与g(x)在(0, π)上有两个交点，即方程f(x)=1在(0, π)内实根的个数为2个．（2）f′(x)=sinx+xcosx，由f′(x)=0得sinx=−xcosx，即x=−tanx，设x0>0是f′(x)=0的任意正实根，则存在一个非负整数k，使x0∈(π2+kπ,π+kπ)，即x0在第二或第四象限内，则满足f′(x)=0的正根x0都是f(x)的极值点．设函数f(x)在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1<a2<...<a n…，∴ π2+(n−1)π<a n<π+(n−1)π，π2+nπ<a n+1<π+nπ，则π2<a n+1−a n<3π2，∵ a n+1−a n=−(tana n+1−tana n)=−(1+tana n+1⋅tana n)tan(a n+1−a n)，∵ tana n+1−tana n>0，∴ tan(a n+1−a n)<0，∴ a n+1−a n必在第二象限，即a n+1−a n<π，综上π2<a n+1−a n<π(n∈N∗)．。

数学_2014年湖南省长沙市某校高考数学模拟试卷一(理科)(含答案)

2014年湖南省长沙市某校高考数学模拟试卷一（理科）一、选择题（每小题5分）1. 函数f(x)={x +c(x ≥0)x −1(x <0)是增函数，则实数c 的取值范围是（）A [−1, +∞)B (−1, +∞)C (−∞, −1)D (−∞, −1] 2. 设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则（）A ∃x 0∈A ，使得x 0∉B B ∀x ∈A ，有x ∈BC ∃x 0∈B ，使得x 0∉AD ∀x ∈B ，有x ∈A3. 已知(1−x −x 8)=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 21x 22，则a 1+a 2+...+a n 的值为（） A −1 B 1 C 0 D −24. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是（）A 4πB 4(π+1)C 5πD 6π5. 如图，A(e, 1)，B(1, 0)是曲线y =lnx 图象上的两点，点A 在y 轴上的射影为C ，O 为坐标原点，则曲线梯形OBAC 的面积为（） A e B 1 C e −1 D e −26. 给出30个数：1，2，4，7，11…，其中第i +1个数是在第i 个数的基础上增加i(i =1, 2, 3…)，如图的框图是求这30个数的和，则判断框①与执行框②应分别填入（）A i ≤30？，p =p +i −1B i ≤29？，p =p +i +1C i ≤31？，p =p +iD i ≤30？，p =p +i 7. 设椭圆x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为（） A 3 B 3或32 C 32 D 6或38. 已知a ，b 为正数，则“a +b ≤2“是“√a +√b ≤2“成立的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件 9. 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则cosB 的取值范围是（） A (0, 12] B (0, √5−12] C [12, 1) D [12, √5−12)10. 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0, 0)，O 2(2, 0)，O 3(4, 0)，O 4(0, 2)，O 5(2, 2)，O 6(4, 2)．记集合M ={⊙O i |i =1, 2, 3, 4, 5, 6}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称 (A, B) 为一个“有序集合对”（当A ≠B 时，(A, B) 和 (B, A) 为不同的有序集合对），那么M 中“有序集合对”(A, B) 的个数是（） A 50 B 54 C 58 D 60二、填空题（每小题5分）（一）选做题，请考生在11、12、13题任选两题，如果全做，则按前两题给分（几何证明选讲）11. 如图，圆O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，BC =4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为________．12. 已知曲线C 的参数方程为：{x =1−cosθy =2sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)直线l 的极坐标方程为：kρcosθ+ρsinθ+1=0，如果直线l 与曲线C 有交点，则k 的取值范围为________． 13. 已知x ，y ，z 是实数，x +2y +3z =1，则x 2+2y 2+3z 2的最小值为________． 14. 把复数z 的共轭复数记作z ¯，i 为虚数单位，若z =1+i ，则(1+i)⋅z ¯=________． 15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3≤a 4≤6，4≤a 5≤8，则S 5的取值范围是________．16. 已知函数f(x)={x +12，0≤x ≤122(1−x),12<x ≤1，定义f n (x)=f(f(f(…f(x)…)))⏟n 个f ，集合A ={x|f 10(x)=x, x ∈[0, 1]}，集合B ={215, 23, 0, 12, 1}，则(1)A ∩B =________；(2)集合A 中元素的个数为________．三、解答题（共75分）17. 在本次安徽“6+2”联谊学校联考中数学科试卷共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，考生答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出一个答案，且已确定其中有7道题的答案是正确的，而其余题中有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜．试求该考生：（1）选择题得50分的概率；（2）选择题所得分数ξ的数学期望．18.已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2√3的正方形，平面ACC 1⊥ABCD ，BC 1=CC 1，直线DB 与平面BCC 1B 1成30∘角，（1）求证：平面BC 1D ⊥平面ABCD ；（2）求四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积．19. 已知向量a →=（1, cos(ωx −π6)），b →=（√3, √3sin(ωx −π6)），其中ω为常数，且ω>0(1)若ω=1，且a → // b →，求tanx 的值；(2)设函数f(x)=(a →−b →)2−(√3−1)2，若f(x)的最小正周期为π，求f(x)在x ∈(0, π2)时的值域．20. 如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口√13a （a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中tanα=13，cosβ=2√13．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m(m >73a)海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．（1）求S 关于m 的函数关系式S(m)；（2）应征调m 为何值处的船只，补给最适宜． 21. 已知双曲线T:x 2−y 24=1（1）过点P(1, −1)能否作双曲线T 的弦AB ，使得点P 为弦AB 的中点？（2）我们称横、纵坐标都为整数的点为格点，试求出所有格点M 的集合，使得过M 任意弦，都不以M 为中点．2014年湖南省长沙市某校高考数学模拟试卷一（理科）答案1. A2. B3. D4. B5. C6. D7. C8. A 9. C 10. B 11. 4 12. (−∞,32] 13. 1314. 215. [−10, 40] 16. {215, 23}8917. 解（1）得分为50，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为12，有1道题答对的概率为13，还有1道答对的概率为14，所以得分为50分的概率为：P =12⋅13⋅14=124．（2）依题意，该考生得分的范围为{35, 40, 45, 50}．得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，所以概率为P 1=12⋅23⋅34=624=14，得分为40分的概率为：P 2=12⋅23⋅34+12⋅13⋅34+12⋅23⋅14=1124．同理求得得分为45分的概率为：P 3=624．，得分为50分的概率为：P 4=124．所以得分ξ的分布列为：数学期望Eξ=35×14+40×1124+45×624+50×124=4851218. （1）证明：设AC ，BD 交于点O ，连结C 1O ，取BC 中点E ，AB 中点F ，连结C 1E ，OE ，C 1F ，OF ，∵ 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2√3的正方形，平面ACC 1⊥ABCD ，BC 1=CC 1， ∴ C 1E ⊥BC ，OE ⊥BC ，OF ⊥AB ，又OE ∩∩C 1E =E ，∴ BC ⊥平面C 1OE ，∴ BC ⊥C 1O ， ∵ OF // BC ，∴ OF ⊥C 1O ，∵ 平面ACC 1⊥ABCD ，∴ C 1O ⊥平面ABCD ， ∵ C 1O ⊂平面BC 1D ，∴ 平面BC 1D ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵ ABCD 是边长为2√3的正方形，设OC 1=t ，则B(0, √3, 0)，D(0, −√3, 0)，C 1(0, 0, t)，C(−√3, 0, 0)， BD →=(0, −2√3, 0)，BC 1→=(0, −√3, t)，BC →=(−√3, −√3, 0)，设平面BCC 1的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC →=−√3x −√3y =0˙，取x =1，得n →=(1, −1, −√3t)， ∵ 直线DB 与平面BCC 1B 1成30∘角， ∴ sin30∘=|cos <n →，BD →>|=|2√3⋅|=12，解得t =√62或t =−√62（舍） ∴ C 1O =√62， ∴ S 正方形ABCD =2√3×2√3=12，∴ 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =S 正方形ABCD ×C 1O =12×√62=6√6．19. 解：向量a →=（1, cos(ωx −π6)），b →=（√3, √3sin(ωx −π6)），其中ω为常数，且ω>0 (1)ω=1，向量a →=（1, cos(x −π6)），b →=（√3, √3sin(x −π6)）， ∵ a → // b →，∴ √3sin(x −π6)−√3cos(x −π6)=0，∴ tan(x −π6)=1，∴ tanx =tan[(x −π6)+π6]=1+√331−1×√33=√33−√3=2+√3．(2)f(x)=(a →−b →)2−(√3−1)2=(1−√3)2+（cos(ωx −π6)−√3sin(ωx −π6)）2−(√3−1)2=2−2sin(2ωx −π6)，∵ f(x)的最小正周期为π，∴ ω=1，f(x)=2−2sin(2x −π6)，∵ 0<x <π2， ∴ −π6<2x −π6<5π6，∴ −12<sin(2x −π6)≤1， ∴ 0≤2−2sin(2x −π6)<3，故值域为[0, 3)，20. 解：以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ 的方程为y =3x①，（1）设A(x 0, y 0)，∵ cosβ=cosβ=√13，∴ sinβ=√13，则x 0=√13asinβ=3a ，y 0=√13acosβ=2a ，∴ A(3a, 2a)．又B(m, 0)，则直线AB 的方程为y =2a 3a−m(x −m)②由①、②解得，C(2am3m−7a , 6am3m−7a )，∴ S(m)=S △OBC =12|OB||y c |=12×m ×6am3m−7a =3am 23m−7a (m >73a)．（2）S(m)=3am 23m−7a =a[(m −73a)+49a 29(m−73a)+143a]≥28a 23当且仅当m −73a =49a 29(m−73a)，即m =143a 时，等号成立，故当m =143a 海里时，补给最适宜．21. 解：（1）假设P 为弦AB 的中点，则设A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，①4x 12−y 12=4，②4x 22−y 22=4，③ ③-②，得4(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(y 1−y 2)(y 1+y 2)，代入①，得k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−4，则有AB:y +1=−4(x −1)，即为y =−4x +3，代入双曲线方程，可得12x 2−24x +13=0，由于判别式为242−4×12×13=−48<0，则方程无实数解，则这样的弦AB 不存在；（2）设以M(m, n)为中点的弦的方程为y −n =k(x −m)，即为y =kx +n −km ，代入双曲线方程，消去y ，得，(4−k 2)x 2−2k(n −km)x −(n −km)2−4=0，设弦的端点的坐标为(x 3, y 3)，(x 4, y 4) 则x 3+x 4=2k(n−km)4−k 2，=2m，由中点坐标公式可得，2k(n−km)4−k2化简得，kn=4m，当k为任意的实数时，有m=n=0，即有过(0, 0)的任意弦，都以M为中点，则点M满足集合{(x, y)|x≠0或y≠0, 且x∈Z, y∈Z}，使得过M任意弦，都不以M为中点．。