摄影测量学教案(第12-1讲相对定向).doc
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（22）
1
同理可解算连续像对相对方位元素，结果如下：
1 1 f2 by (q2 q4 q6 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3 6 2y f bz (q 4 q6 ) 2y f x (q3 q 4 q5 q 6 ) 2by f 2 (2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 4y 1 k (q1 q 2 q3 q 4 q5 q6 ) 3b （23）
BX x1 x2
BY y1 y2
BZ z1 0 z2
（2）
这便是连续像对系统的共面条件方程。
图2 图 2 表示在以基线坐标系为基础的单独像对系统中的情形， 同样 a1 , a 2 是同名像 点， R1 S1a1 ， R2 S 2 a2 。如果以 X 1、Y1、Z1 和 X 2、Y2、Z 2 表示 R1 , R2 在基 线坐标系中的坐标分量，则（1）式可以用坐标分量的形式表示为：
从重建空 间几何立 体模型的 角度引入 相对定向 的概念
三、共面条件方程
在恢复了像对的相对方位元素时，同名光线在各自的核面内对对相交，这些交 点就构成了一个与实地相似的几何模型。从数学上表述构成这种几何模型的条件为： 所有同名光线与基线共面。表示这个条件的方程便是共面条件方程。 共面条件方程的基本形式是基线向量 B 与左右投影向量 R1 , R2 的混合积等于 零，即：
F F0
其中：
F F F F F d d d x 2 d2 d 2 0 （9） x 2 2 2 提问： DLT
中的 11 个 元素是相 互独立的 吗？
d 0 d 0 0 d x2 x2 x 2
B ( R1 R2 ) 0
共面条件的表达式是不同的。
（1）
为了进行计算，必须使用共面条件的坐标表达式，因此在不同的坐标系统中，
对比共线 条件方程
图1
图 1 表示在以左像空系为基础的连续像对系统中的情形。 图中，a1 , a 2 是同名像 点， R1 S1a1 ， R2 S 2 a2 。如果以 x1、y1、z1 和 x2、y 2、z 2 表示 R1 , R2 在坐标 系中的坐标分量，则（1）式可以用坐标分量的形式表示为：
BX X1 X2
0 Y1 Y2
0 Z1 0 Z2
（ 3）
这便是单独像对系统的共面条件方程。 无论是（2）式还是（3）式，对于相对方位元素而言是非线性的，并且没有直 接表达为相对方位元素的函数形式，为了便于解算相对方位元素，还需要进行线性 化。 回忆空间 后方交会， 如何进行 线性化？
四、连续像对的相对定向方程
将（2）式按第一行元素展开，为：
BX
y1 y2
z1 z2
BY
x1 x2
z1 z2
BZ
x1 x2
y1 y2
0
（4）
（4）式可改化为
y1 z 2 y 2 z1 x z x z 0 （B X BY BZ） 1 2 2 1 x1 y 2 x 2 y1 x1 y1 z2 y2 z1 0 z1 y1 x2 x1 因为 x2 z1 x1 z2 z1 0 x1 y2 、 y1 E y1 以及 0 x1 y2 x2 y1 y1 x1 z2 z1 f x2 x2 y M y ，代入（5） ，得： 2 2 z2 f 0 z （B X BY BZ） 1 y1
q(f
x2 x1 b
用 x 代替 x1 ， （18）变为： （19）
y2 xy ( x b) y ) 1 2 xk1 ( x b)k 2 f f f
f f 0 0 ) ) ) ) 0 by f 0 by f 0 0 by f 0 by f 0 0 b 0 b 0 b
d 2 2 2 d 2 2 2
0 0
d 2 2 2
0
（10）
要 求 出 （ 9 ） 式 中 的 偏 导 数 ， 必 须 先 求 出 偏 导 数
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 z , , , , , , 2 。 k 2 F 以 为例，因为 2
3 1 5
图3 点位的坐标为： 表1 X2 -B 0 -B 0 -B 0
4
标准配置 点取得合 理吗？
b
2 6
1 2 3 4 5 6
X1 0 B 0 B 0 B
Y1、Y2 0 0
Y Y
-Y -Y
图2 1、 计算法相对方位元素解算 解算在像空间进行，适应于解析测图仪和数字摄影测量系统中的相对定向。
y y1 y2
（14）
y1 x 2 c3 z 2 a 3 1 y1 y2 0 y1 y2
0 F B X x1 x2 0 F B X x1 x2
在近似垂直摄影情况下， x 2 , 2 , 2 的值较小， （9）式的系数可近似表示为：
BX F x1 2 0
BY y1 z2
（13）
F 2
BX x1 y 2 sin x 2 x 2 sin x 2
BY y1 z 2 cos x 2
同理可得
BX F x1 x 2 z2 F k 2 BX x1 y 2 c3 z 2 b3
BY y1 0 BY
BZ z1 x2 BZ z1 x 2 b3 y 2 a3 0 z1 z2 1 z1 z2
将标准配置点坐标代入（19）式，组成误差方程组：
v1 ( v 2 v3 ( v 4 v5 ( v 6 ( b 0 q1 q b 2 1 q 0 2 3 q 4 1 q5 b 2 q6 0
计算以上偏导并代入（9）式，得到的一次项近似关系：
2 y2 x2 y2 y2 q dby dbz d x ( f )d x2 d k f f f
（16）
其中 bv bz ， b by , q y1 y 2 。
五、单独像对的相对定向方程
将（3）式按第一行展开，得：
讲 授 内 容 与 时 间 分 配
3 4 5 6 7 8
连续像对相对定向方程 单独像对相对定向方程 相对方位元素的解算 内容总结 下讲内容预习安排
重 点 难 点
重点： 共面条件方程 计算法相对方位元素的解算 难点： 相对定向方程的推导
手方 段法 实 习 实 验
课堂教学采用启发式和讨论相结合的教学方法，使用多媒体教学手段。
y2 f y2 f f y2 f f y2 f f f
（20）
写成矩阵形式： V A q 利用最小二乘法答解，得：
( AT A) 1 AT q
利用（21）式，可得：
（21）
f (2q1 2q 2 q3 q 4 q5 q6 ) 4y2 f 1 (q6 q 4 ) 2by f 2 ( q5 q3 ) 2by
BZ z1 y2
BX F x1 x 2 z2 BX F x1 k 2 y2
0 F B X x1 x2
BY y1 0 BY y1 x2
1 y1 y2
BZ z1 x2 BZ z1 0
0 z1 z2
0 F B X x1 x2
0 y1 y2
1 z1 z2
（15）
和
（5）
z1 0 x1 z1 0 x1
y1 x 2 x1 y2 0 0 z2 y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2
0 z （B X BY BZ ） 1 y1
0
（7）
0 z （1 ） 令F 1 y1
z1
y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2
（8）
设相对方位元素的初值为 取一次项，线性化展开式为：
, 0 ， x 2 , 2 , 2
0 0
0
， 将 （8） 式按泰勒级数展开，
第 14 次课首页
本课主题
相对定向理论
授课 日期
目 的
熟悉掌握共面条件方程的意义和各种表达形式； 了解相对定向方程的推导方法； 理解相对方位元素解算的条件； 掌握相对方位元素计算方法和步骤。
序号
1 2
讲
上讲内容回顾 本次授课内容 共面条件方程
授
内
容
时间
6 4 20 20 10 35 3 2
教 案 正 文
第十四讲 相对定向理论
一、上讲内容回顾与相关知识复习
直接线性变换（DLT）形式的构像方程式 像片纠正 连续像对相对方位元素系统 单独像对相对方位元素系统 共面条件、上下视差、左右视差
备注
二、内容的引出、内容安排、难点重点介绍
共面条件方程（重点） 连续像对相对定向方程（难点） 单独像对相对定向方程（难点） 相对方位元素的解算（重点）
1
1 1 1 f2 (q2 q4 q6 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3b 2b 3 2 y 1 1 1 f2 (q1 q3 q5 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3b 2b 3 2 y
（6）
在近似垂直摄影的情况下
BY B X tan B X BZ B X tan B X
所以（6）式可表示为
0 z （1 ） 1 y1
z1 0 x1
y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2 0 x1
Y1 Y2
Z1 Z2
By X 1 Bx X 2
Z1 Z2
Bz X 1 Y1 0 Bx X 2 Y2
（17）
仿照连续像对相对定向方程的推导，在近似垂直摄影的情况下，角度取一次项， 得：
2 x1 y1 x2 y2 y2 q 1 2 ( f ) x1k1 x2 k2 f f f
a 2 2 b2 2 c 2 2
a3 2 x 2 b3 y 2 2 f c3 2
（12）
对上式分别求导后，分别代入（11）式，得到
F ， 2
BZ z1 y 2 cos x 2
（18）
用改正数的方式表达为：
q
x1 y1 x y y2 d1 2 2 d 2 ( f 2 )d x1dk1 x2 dk2 f f f
（19）
六、相对方位元素的解算
以单独像对相对定向为例，讨论相对方位元素的解算过程。
分析方程（18） ，求解相对方位元素，必须有多少点，点位分布如何？ x 方向和 y 方向，点位数量。为了便于解算，所选择的相对定向点应分别具备影响该 点产生上下视差的元素最少，或者该点的上下视差对某个元素的解算最灵敏。格鲁 伯（Gruber）点又称标准配置点，其在像片（或者模型）上的分布如下：
BX F x1 2 x 2 2
而
BY y1 y 2 2
BZ z1 z 2 2
（11）
x 2 a 1 2 2 y 2 b1 2 2 z 2 c1 2 2
1
同理可解算连续像对相对方位元素，结果如下：
1 1 f2 by (q2 q4 q6 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3 6 2y f bz (q 4 q6 ) 2y f x (q3 q 4 q5 q 6 ) 2by f 2 (2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 4y 1 k (q1 q 2 q3 q 4 q5 q6 ) 3b （23）
BX x1 x2
BY y1 y2
BZ z1 0 z2
（2）
这便是连续像对系统的共面条件方程。
图2 图 2 表示在以基线坐标系为基础的单独像对系统中的情形， 同样 a1 , a 2 是同名像 点， R1 S1a1 ， R2 S 2 a2 。如果以 X 1、Y1、Z1 和 X 2、Y2、Z 2 表示 R1 , R2 在基 线坐标系中的坐标分量，则（1）式可以用坐标分量的形式表示为：
从重建空 间几何立 体模型的 角度引入 相对定向 的概念
三、共面条件方程
在恢复了像对的相对方位元素时，同名光线在各自的核面内对对相交，这些交 点就构成了一个与实地相似的几何模型。从数学上表述构成这种几何模型的条件为： 所有同名光线与基线共面。表示这个条件的方程便是共面条件方程。 共面条件方程的基本形式是基线向量 B 与左右投影向量 R1 , R2 的混合积等于 零，即：
F F0
其中：
F F F F F d d d x 2 d2 d 2 0 （9） x 2 2 2 提问： DLT
中的 11 个 元素是相 互独立的 吗？
d 0 d 0 0 d x2 x2 x 2
B ( R1 R2 ) 0
共面条件的表达式是不同的。
（1）
为了进行计算，必须使用共面条件的坐标表达式，因此在不同的坐标系统中，
对比共线 条件方程
图1
图 1 表示在以左像空系为基础的连续像对系统中的情形。 图中，a1 , a 2 是同名像 点， R1 S1a1 ， R2 S 2 a2 。如果以 x1、y1、z1 和 x2、y 2、z 2 表示 R1 , R2 在坐标 系中的坐标分量，则（1）式可以用坐标分量的形式表示为：
BX X1 X2
0 Y1 Y2
0 Z1 0 Z2
（ 3）
这便是单独像对系统的共面条件方程。 无论是（2）式还是（3）式，对于相对方位元素而言是非线性的，并且没有直 接表达为相对方位元素的函数形式，为了便于解算相对方位元素，还需要进行线性 化。 回忆空间 后方交会， 如何进行 线性化？
四、连续像对的相对定向方程
将（2）式按第一行元素展开，为：
BX
y1 y2
z1 z2
BY
x1 x2
z1 z2
BZ
x1 x2
y1 y2
0
（4）
（4）式可改化为
y1 z 2 y 2 z1 x z x z 0 （B X BY BZ） 1 2 2 1 x1 y 2 x 2 y1 x1 y1 z2 y2 z1 0 z1 y1 x2 x1 因为 x2 z1 x1 z2 z1 0 x1 y2 、 y1 E y1 以及 0 x1 y2 x2 y1 y1 x1 z2 z1 f x2 x2 y M y ，代入（5） ，得： 2 2 z2 f 0 z （B X BY BZ） 1 y1
q(f
x2 x1 b
用 x 代替 x1 ， （18）变为： （19）
y2 xy ( x b) y ) 1 2 xk1 ( x b)k 2 f f f
f f 0 0 ) ) ) ) 0 by f 0 by f 0 0 by f 0 by f 0 0 b 0 b 0 b
d 2 2 2 d 2 2 2
0 0
d 2 2 2
0
（10）
要 求 出 （ 9 ） 式 中 的 偏 导 数 ， 必 须 先 求 出 偏 导 数
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 z , , , , , , 2 。 k 2 F 以 为例，因为 2
3 1 5
图3 点位的坐标为： 表1 X2 -B 0 -B 0 -B 0
4
标准配置 点取得合 理吗？
b
2 6
1 2 3 4 5 6
X1 0 B 0 B 0 B
Y1、Y2 0 0
Y Y
-Y -Y
图2 1、 计算法相对方位元素解算 解算在像空间进行，适应于解析测图仪和数字摄影测量系统中的相对定向。
y y1 y2
（14）
y1 x 2 c3 z 2 a 3 1 y1 y2 0 y1 y2
0 F B X x1 x2 0 F B X x1 x2
在近似垂直摄影情况下， x 2 , 2 , 2 的值较小， （9）式的系数可近似表示为：
BX F x1 2 0
BY y1 z2
（13）
F 2
BX x1 y 2 sin x 2 x 2 sin x 2
BY y1 z 2 cos x 2
同理可得
BX F x1 x 2 z2 F k 2 BX x1 y 2 c3 z 2 b3
BY y1 0 BY
BZ z1 x2 BZ z1 x 2 b3 y 2 a3 0 z1 z2 1 z1 z2
将标准配置点坐标代入（19）式，组成误差方程组：
v1 ( v 2 v3 ( v 4 v5 ( v 6 ( b 0 q1 q b 2 1 q 0 2 3 q 4 1 q5 b 2 q6 0
计算以上偏导并代入（9）式，得到的一次项近似关系：
2 y2 x2 y2 y2 q dby dbz d x ( f )d x2 d k f f f
（16）
其中 bv bz ， b by , q y1 y 2 。
五、单独像对的相对定向方程
将（3）式按第一行展开，得：
讲 授 内 容 与 时 间 分 配
3 4 5 6 7 8
连续像对相对定向方程 单独像对相对定向方程 相对方位元素的解算 内容总结 下讲内容预习安排
重 点 难 点
重点： 共面条件方程 计算法相对方位元素的解算 难点： 相对定向方程的推导
手方 段法 实 习 实 验
课堂教学采用启发式和讨论相结合的教学方法，使用多媒体教学手段。
y2 f y2 f f y2 f f y2 f f f
（20）
写成矩阵形式： V A q 利用最小二乘法答解，得：
( AT A) 1 AT q
利用（21）式，可得：
（21）
f (2q1 2q 2 q3 q 4 q5 q6 ) 4y2 f 1 (q6 q 4 ) 2by f 2 ( q5 q3 ) 2by
BZ z1 y2
BX F x1 x 2 z2 BX F x1 k 2 y2
0 F B X x1 x2
BY y1 0 BY y1 x2
1 y1 y2
BZ z1 x2 BZ z1 0
0 z1 z2
0 F B X x1 x2
0 y1 y2
1 z1 z2
（15）
和
（5）
z1 0 x1 z1 0 x1
y1 x 2 x1 y2 0 0 z2 y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2
0 z （B X BY BZ ） 1 y1
0
（7）
0 z （1 ） 令F 1 y1
z1
y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2
（8）
设相对方位元素的初值为 取一次项，线性化展开式为：
, 0 ， x 2 , 2 , 2
0 0
0
， 将 （8） 式按泰勒级数展开，
第 14 次课首页
本课主题
相对定向理论
授课 日期
目 的
熟悉掌握共面条件方程的意义和各种表达形式； 了解相对定向方程的推导方法； 理解相对方位元素解算的条件； 掌握相对方位元素计算方法和步骤。
序号
1 2
讲
上讲内容回顾 本次授课内容 共面条件方程
授
内
容
时间
6 4 20 20 10 35 3 2
教 案 正 文
第十四讲 相对定向理论
一、上讲内容回顾与相关知识复习
直接线性变换（DLT）形式的构像方程式 像片纠正 连续像对相对方位元素系统 单独像对相对方位元素系统 共面条件、上下视差、左右视差
备注
二、内容的引出、内容安排、难点重点介绍
共面条件方程（重点） 连续像对相对定向方程（难点） 单独像对相对定向方程（难点） 相对方位元素的解算（重点）
1
1 1 1 f2 (q2 q4 q6 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3b 2b 3 2 y 1 1 1 f2 (q1 q3 q5 ) ( 2 )(2q1 2q2 q3 q4 q5 q6 ) 3b 2b 3 2 y
（6）
在近似垂直摄影的情况下
BY B X tan B X BZ B X tan B X
所以（6）式可表示为
0 z （1 ） 1 y1
z1 0 x1
y1 x 2 x1 M y2 0 0 z2 0 x1
Y1 Y2
Z1 Z2
By X 1 Bx X 2
Z1 Z2
Bz X 1 Y1 0 Bx X 2 Y2
（17）
仿照连续像对相对定向方程的推导，在近似垂直摄影的情况下，角度取一次项， 得：
2 x1 y1 x2 y2 y2 q 1 2 ( f ) x1k1 x2 k2 f f f
a 2 2 b2 2 c 2 2
a3 2 x 2 b3 y 2 2 f c3 2
（12）
对上式分别求导后，分别代入（11）式，得到
F ， 2
BZ z1 y 2 cos x 2
（18）
用改正数的方式表达为：
q
x1 y1 x y y2 d1 2 2 d 2 ( f 2 )d x1dk1 x2 dk2 f f f
（19）
六、相对方位元素的解算
以单独像对相对定向为例，讨论相对方位元素的解算过程。
分析方程（18） ，求解相对方位元素，必须有多少点，点位分布如何？ x 方向和 y 方向，点位数量。为了便于解算，所选择的相对定向点应分别具备影响该 点产生上下视差的元素最少，或者该点的上下视差对某个元素的解算最灵敏。格鲁 伯（Gruber）点又称标准配置点，其在像片（或者模型）上的分布如下：
BX F x1 2 x 2 2
而
BY y1 y 2 2
BZ z1 z 2 2
（11）
x 2 a 1 2 2 y 2 b1 2 2 z 2 c1 2 2