平面向量共线的坐标表示-PPT课件

即2i j m( i 4 j) m i 4m j 2 m且 4m 解得： 2 2.
类题通法
向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理，由a b(b 0)推出a // b;
(2)利用向量共线的坐标表达式x1 y2 x2 y1直接求解。
题型二、向量共线在几何中的应用
例4、已知 A(1， 1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断 A，B，C三点之间的位置关系。
问题2：以上几组向量中的a, b共线吗？
思考：两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示 两个共线向量？
向量共线定理的坐标形式
设a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ),b 0,
则a // b x1 y2 x2 y1
如果用坐标表示，可写为（x1,y1）=(x2
,y 2
),
P1
= 1+1λ0uuPur1 + 1λ+λOuuPur2
O
x
=( x1 +λx2 ,y1 +λy2 ) 1+λ 1+λ
∴点P的坐标是( x1 +λx2 ,y1 +λy2 ) 1+λ 1+λ
探究2:
你能根据探究1的结论推导三角形的重心
坐标公式吗？
A
F GE
B
D
C
ABC 的三个顶点的坐标分别为 Ax1, y1, Bx2 , y2 ,Cx3, y3
2.3.4平面向量共线的坐标表示
y P2
P P1
O
x
教学目标 知识与能力：
理解用坐标表示的平面向量 共线的条件。
过程与方法： 能用向量的语言和方法表述和解决数学 和物理中的一些问题，发展运算能力和 解决实际问题的能力。
情感态度与价值观： 在解决问题过程中要形成见数思形、以 形助数的思维习惯,以加深理解知识要点, 增强应用意识.
解 ： 在 直 角 坐 标 系 中 作出A, B,C三 点 ， 观 察 图 形 ， 猜 想A、B、C三 点 共 线 。 证明如下
AB (2，4)，AC (3，6), 又2 6 3 4,
AB // AC .
A
直 线AB、 直 线AC有 公 共 点A,
A、B、C三 点 共 线 。
C B
3
3
3
3
探究1: uur uuur 如图所示，当P1P =λPP2时，点P的坐标是什么？
解:
uuur uuur 若p1p =λpp2,则
uur OP
=
uuur 0P1
+
uur P1P
=
uuur 0P1
+
1λ+λPuu1uPur2
y P2
P
=
uuur 0P1
ห้องสมุดไป่ตู้
+
1λ+λ(0uuPur2
-
uuur 0P1)
教学重难点
重点： 向量共线的坐标表示及其应
用，如三点共线的证明，两直线 平行的证明。 难点：
线段定比分点公式的理解和应用。
一、复习回顾
1.向量共线定理:
a // b(b 0) 存在唯一实数,使a b.
如 ：2008年 全 国 新 课 标 卷 第8题 ： D
平 面 向 量a和b共 线 当 且 仅 当 A、a, b方 向 相 同 B、a, b两 向 量 中 至 少 有 一 个 为零 向 量
答案 AABB 20 13
五、课堂小结
1、平面向量共线定理及其坐标表示
2、利用向量共线证明三点共线。 3、利用向量共线证明两直线平行。 4、了解线段的定比分点公式， 熟记三角形ABC的重心坐标公式。
高考链接
在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 已 知 圆x 2 y 2 12x 32 0 的 圆 心 为Q， 过 点P(0，2)且 斜 率 为k的 直 线 与 圆Q相 交 于 不 同 的 两 点A, B。 （1） 求k的 取 值 范 围. (2)是 否 存 在 常 数k， 使 得 向 量OA OB与PQ共 线 ？ 如 果 存 在 ， 求k的 值 ； 如 果 不 存 在 ， 请说 明 理 由 。
x1 y1
x2 , y2.
消去后得，x1 y2 x2 y1 0.
三、典例精讲
题型一、根据共线求参数
例1、设a 3 ,sin ,b cos, 1 ,且a // b,则锐角为 _______。
2
3
解：由题意知：3 1 sin cos
23
解得sin 2 1
又因 （0， ），所以
2.若A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则AB (x2 x1, y2 y1)
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标
二、新课
问题引入
已知下列几组向量： （1）a (0,2),b (0,4)
(2)a (2,3),b (4,6) (3)a (1,4),b (2,8)
问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？
例5、设向量OA (k,12)，OB (4,5),OC (10, k), 当k为何值时，A, B,C三点共线？
解 ： AB OB OA (4 k,7),
AC OC OA (10 k, k 12) 又 A, B,C三 点 共 线 AB // AC (4 k) (k 12) 7 (10 k) 0 得k 2 9k 22 0 k 2或k 11 当k 2或k 11时 ，A, B,C三 点 共 线 。
类题通法
证明A, B,C三点共线的方法： 1、利用向量 AB与 AC共线，且这两个向量有公共点A。 2、利用k AB k AC 且点A为公共点。
3、求出两点所在直线方程，验证第三点也满足方程。
例6、 已 知 在 直 角 坐 标 系 平面 上 的 四 点A(1，0)，B(4，3)， C(2，4)，D(0，2) 证 明 ： 四 边 形ABCD为 梯 形 。
O
x
(1)
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 )。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
P
P1
y P2
P
P1
O
x
O
x
P(2x1 x2 , 2y1 y2 ) P( x1 2x2 , y1 2y2 )
C、 存 在 R, b a D、 存 在 不 全 为 零 的 实 数1和2，1 a 2 b 0
2.平面向量的坐标运算：
r
r
1.已知 a (x1, y1),b (x2, y2),
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a (x1 ,y1 )
点G为重心，则点G的坐标为 ( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
3
3
例8、已知点A(3，3), B(3，6)，点C在圆x 2 y 2 9上运动， 求ABC的重心G的轨迹方程。
解 ： 设ABC的 重 心G为 （x, y）,C( x0 , y0 )
则
x
y
3 3
3 3
6 3
x0 y0
2
4
例2、已知向量a (1,2),b (3,2),当实数k为何值时， （ka b）//(a 3b)?这两个向量的方向是相同还是相反？
解： a (1,2),b (3,2)
ka b (k - 3,2k 2),a 3b (10,4)
由题意知，(k 3) (4) 10(2k 2)
解 得 ：x0 3x, y0 3 y 9(1)
又 因 点C在 圆x 2 y 2 9上 运 动
所
以x
2 0
y02
9(2)
将 （1） 式 代 入 （2） 式 得 ：
x 2 ( y 3)2 1
所 以ABC的 重 心G的 轨 迹 方 程 为x 2 ( y 3)2 1。
四、当堂达标测试
解 ： 由 题 意AB (4，3) (1，0) (3，3)， CD (0，2) (2，4) (2， 2) 3 (2) 3 (2) 0
AB // CD 又 因AB CD 所 以 四 边 形ABCD为 梯 形 。
类题通法
证明两直线AB // CD的方法： 1、利用向量AB与CD共线，且这两个向量无公共点。 2、利用k AB kCD且两直线不重合。
解得：k 1 3
此时ka b 1 a b 1（a 3b）
3
3
当k 1 时，（ka b）//(a 3b)，且方向相反。 3
例3、已知向量i, j是不共线的两个向量，a 2i j, b i 4 j 且a // b,求的值。
解 ： a // b 存在 实数m,使 得a mb
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 )。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
中点坐标公式：
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
M
y
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)