七年级数学思维探究(17)实数(含答案)

克莱因（18491925-），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在1872年就提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在20世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为19世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪． 17．实数

人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张． 理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：

1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数q

p

的形式（这里p 、q 是互质的整数，

且0p ≠）；

2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3．澄清一些模糊认识； 4．明确无理数的真实性． 问题解决

例1 已知实数x 、y 满足50x -，则代数式()2006

x y +的值为________．

试一试运用非负数性质，求出x ，值． 例2下面有3个结论：

①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；

③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数． 其中，正确的结论有（）个．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 试一试看是否能构造出符合要求的数．

例3 若实数a 、b 、c ，试确定c 的值．

试一试观察发现()199a b -+、()199a b --互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口． 例4设x 、y 都是有理数，且满足方程1π1π4π02332x y ⎛⎫⎛⎫

+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，求x y -的值．

试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值．

例5设12211112S =++，22211123S =++，32211134

S =++，…，()221111n S n n =+++． 的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．

解法一：311111222⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，

7111116623⎛⎫

=+=+- ⎪⎝⎭，

1311111121234⎛⎫

=+=+- ⎪⎝⎭

， 1

1

11n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭

．

∴原式111111

111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

212111

n n

n n n +=+-=++．

解法二：()()()()22

2

1

111111212111111n S n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+-+⨯=++⨯=+⎢⎥⎢⎥ ⎪

+++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦

∵，

()11

11111n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，

∴原式2111111

11211111122334111n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++-=+-

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

． 本质追寻：设实数x ，y ，z 满足0xyz ≠，且0x y z ++=

111x y z

=++或

111

x y x y =+-+．

n 为正整数）． 公元前5世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果”．直到19世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯·戴德金、康托的杰出贡献，为无理

数、实数理论的建立打下坚实的基础．

例6 （1

1

122+

+

+

（2）纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？

印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①），对折1次，分为两半，每一张都是原来的1

2

，称为对开

（即2开）；对折2次，得224=张，每一张都是原来的1

4

，称为4开；对折3次，得328=张，每一张

都是原来的18，称为8开……对折5次，得5232=张，每一张都是原来的1

32

，称为32开．

一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：①它的面积为21m ；②经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等）．这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到1毫米）

用列方程组的方法，设标准纸长为x 米，宽为y 米（如图②），则它的长与宽之比为:x y ，对开后的长

与宽之比为1

:2y x ．于是，由条件②，得

1

::2

x y y x =，即222x y =．①

另一方面，因为x 与y 都大于零，且由条件①可得 1x y ⋅=，所以221x y =．② ①×②，可得

222221x x y y ⨯=⨯，即()2

22x =．

所以2 1.414213562373x =

代入②，得1

0.8408964152537y x

=≈（米）．

由此可见，国际标准纸的长为1189毫米，宽为841毫米，面积为1平方米，长与宽之比为 :1189:8417:5x y =≈

我国32开用的标准纸长为1168毫米，宽为850毫米，面积为11688500.993⨯≈（平方米）1=平方米，长与宽之比为1168:8507:5≈．这就是说，我国32开用的标准纸与国际标准纸是相符的．