高数 空间曲面讲解
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中展开的曲面，可以用方程来描述其在坐标系中的位置和形状。
空间曲面广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，并且在计算机图形学中也扮演着重要角色。
本文将介绍空间曲面的概念和方程，并通过几个具体的示例进行说明。
一、空间曲面的概念空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用数学方程表示。
与平面相比，空间曲面具有曲率和弯曲性，可以是任意形状的曲面，如球面、锥面、柱面等。
空间曲面可以通过参数方程或隐式方程来描述。
二、参数方程表示空间曲面空间曲面的参数方程使用参数来表示曲面上的点的位置。
例如，球面可以用参数方程表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球体的半径，θ为极角（取值范围为0到π），φ为方位角（取值范围为0到2π）。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
三、隐式方程表示空间曲面空间曲面的隐式方程是通过将曲面上的坐标点代入方程中，得到满足该方程的点的集合。
例如，球面的隐式方程可以表示为：x² + y² + z² = r²其中，r为球体的半径。
通过满足这个方程的点的集合，可以得到球面的几何形状。
四、示例：球面和圆锥面1. 球面球面是以一点为中心，半径相等的点构成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示球面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球面的半径，θ为极角，φ为方位角。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
2. 圆锥面圆锥面是由一条直线绕着一个点旋转所形成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示圆锥面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = a * u * cosφy = a * u * sinφz = b * u其中，a和b为常数，u为参数，φ为方位角。
空间曲线和曲面的方程和性质
空间曲线和曲面的方程和性质空间曲线和曲面是我们学习高等数学时接触到的一个重要概念。
在三维空间中，任何一条曲线都可以用一条参数方程来表示，而曲面则可以用一个或者多个方程来表示。
在本文中，我们将会探讨空间曲线和曲面的方程及其性质，为我们更好地理解和应用它们打下基础。
一、空间曲线的方程和性质1. 参数方程一条曲线可以用一个或多个函数的参数形式来表示，这种表示方式叫做曲线的参数方程。
以抛物线为例，其参数方程可以表示为：x = ty = t²z = 0其中t就是参数。
2. 长度公式曲线的长度公式是通过对曲线上的每一段微小线段求长然后求和得到的。
对于弧长可微的平面曲线，其长度公式可以表示为：L = ∫ab sqrt(1 + [f'(x)]²) dx对于空间曲线，则是对其弧长进行积分：L = ∫ab sqrt([dx/dt]² + [dy/dt]² + [dz/dt]²) dt3. 曲率公式曲线的曲率代表了曲线扭曲的程度。
对于空间曲线，其曲率公式可以表示为：k = |dT/ds|其中，T是切向量，s是曲线长度。
二、空间曲面的方程和性质1. 方程的类型空间曲面可以分为三类：点，直线和曲线。
具体来说，一般来说，地球的表面就是一个曲面，可以用数学公式表示。
在三维空间中，曲面的方程可以表示为一个或多个方程的形式。
例如，球面可以用方程x² + y² + z² = r²来表示。
2. 面积公式对于曲面而言，其面积公式是通过对曲面微元面积求和得到，可表示为：A = ∫∫D |N| dS其中D是曲面的投影区域，N是微元面积的法向量，dS是微元面积。
3. 曲率公式曲面的曲率代表了曲面弯曲的程度。
在数学上，曲面的曲率函数是由曲面上每一点的两个主曲率（即最大和最小曲率）所定义的。
曲面的平均曲率可以表示为这两个主曲率之和的一半。
总之，空间曲线和曲面的方程和性质在不同的数学领域中都有广泛应用。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
高等数学_空间曲面和曲线
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
(1) z z1
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
谢谢观看！ 2020
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
பைடு நூலகம்
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
曲面高数知识点总结
曲面高数知识点总结第一章曲面参数化1.1 曲面的定义在解析几何中，曲面是一个连续的二维流形；或者说，它是一个可以用二元实值函数的映射定义的连续函数。
这个映射把参数值的一个范围映射到一个参数的曲面上，比如(x, y)到f(x, y)。
参数的范围通常是一个矩形或者圆盘。
1.2 曲面参数化的意义曲面参数化是数学分析中常用的方法，通过参数化可以将曲面上的点表示为参数的函数，从而方便对曲面进行研究和分析。
曲面参数化的意义在于将曲面上的点与参数表示关联，使得曲面的性质和特征可以通过参数来描述和控制。
这为曲面的计算和应用提供了便利。
1.3 参数化公式一般来说，一个曲面的参数化可以写为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)是曲面上的点的位置矢量，(u, v)是参数，x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)分别是参数u和v的函数，i，j，k 是空间直角坐标系向量的基底。
1.4 参数化曲面的例子以球面为例，球面可以通过参数化方程表示为：r(θ, φ) = (Rsinθcosφ)i + (Rsinθsinφ)j + (Rcosθ)k其中，(θ, φ)是球面上的点的参数，R是球面的半径。
通过参数化方程可以很容易地描述球面上的任意点的位置。
第二章曲面切线和法线2.1 曲面的切线曲面上的每一点都有一个切平面，这个切平面与曲面在该点相切。
切平面可以用曲面的切线方向向量来描述，这个向量正是切平面的法线向量。
在参数化曲面上，切线方向向量可以通过对参数u和v分别求偏导数来得到。
2.2 曲面的法线曲面上的法线是垂直于曲面的一个向量，可以用曲面的梯度来表示。
在参数化曲面上，法线可以通过对参数u和v求叉积得到。
2.3 曲面切线和法线的计算计算曲面上某一点的切线和法线可以通过计算曲面参数化方程对参数的偏导数，并利用偏导数的性质和几何关系来确定切线和法线的方向。
通过切线和法线可以描述曲面的局部性质和特征，对于曲面上的微分几何和曲面的应用有很大的作用。
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
空间曲面知识点总结
空间曲面知识点总结一、曲面的概念及分类1. 曲面的概念曲面是指在三维空间中的一种特殊的曲线形态，它是由平面或曲线在空间中移动所生成的一种特殊几何体。
曲面具有无限多个点，并且在每一点处都具有切平面。
2. 曲面的分类根据曲面的性质和特征，曲面可以分为以下几类：① 圆柱面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向垂直。
② 圆锥面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向夹角不垂直。
③ 椭球面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。
④ 双曲面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。
⑤ 抛物面：由一条抛物线绕其焦点旋转形成的曲面。
二、曲面的参数方程1. 曲面的参数方程概念曲面的参数方程是用参数形式来描述曲面上的所有点，其表达形式为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，u和v分别是曲面上的参数。
通过选取合适的参数u和v取值范围，可以描述出曲面上的所有点。
2. 曲面的常见参数方程2.1 圆柱面圆柱面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = z其中，r和z为常数，θ为参数。
2.2 圆锥面圆锥面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = kz其中，r和k为常数，θ为参数。
2.3 椭球面椭球面的参数方程为：x = acosucosvy = bcosusinvz = csinv其中，a、b、c为椭球的半轴长，u、v为参数。
2.4 双曲面双曲面的参数方程为：x = asinhucosvy = asinhusinvz = bvcosv其中，a、b为常数，u、v为参数。
2.5 抛物面抛物面的参数方程为：x = ucy = uvz = au^2+bv^2其中，a、b、c为常数，u、v为参数。
三、曲面的方程1. 曲面的一般方程曲面的一般方程一般为三元二次方程形式，表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。
高等数学,空间曲面与曲线讲解
O
y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
Oy
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
O
准线为xOy 面上的抛物线.
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面.
x
z
y
Cl
z
x y 0 表示母线平行于
O
O
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
x
y x
y
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一般地,在三维空间 方程 F(x, y) 0 表示柱面,
O
x
y
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3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c 为正数)
xO
y
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见 P28 )
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高等数学：第十二讲 空间曲面及其方程--柱面、旋转曲面 二
曲面方程的定义
如果曲面S与三元方程F(x, y, z) =0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z) =0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x, y, z) =0; 那么,方程F(x, y, z) =0就叫做曲面S的方程, 曲面S 就叫做方程F(x, y, z) =0的图形.
常见的曲面方程
球面
z
球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程为：
M0
(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2
M
o
y
x
注：当球心在原点O(0,0,0)、半径为R时，球面方程为：
x2y2z2R2
常见的曲面方程 线段的垂直平分面
与点A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)距离相等的点的集合称为线 段AB的垂直平分面.
例题
例 1 写出球心为点A(1,2,-3)、半径为2的球面方程. 解：所求球面方程为：(x1)2(y2)2(z+3)24
例题
例 2 已知点A(1,2,3)、 B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分面方程.
解：设所求动点为M(x,y,z),根据题意得 |MA|=|MB|
(x1)2(y2)2(z3)2(x2)2(y+1)2(z4)2 即 2x-6y+2z-7迹时, 建立这曲面的方程；
已知坐标x、y、z间的一个方程时, 研究这方程所表示 的曲面的形状.
旋转曲面
yOz平面上曲线f(y, z)0绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.
z不变 y
x2 y2
旋转曲面的方程为 f x2 y2 , z 0
旋转曲面
旋转曲面
当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一条坐标轴旋转时， 为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程 保留和旋转轴同名的坐标，而用其他两个坐标平方和的平方根来 代替方程中的另一坐标即可.
高数 空间曲面讲解
称为准线.（图6.1）
z
下面建立柱面方程.
设有一柱面, 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于z轴, 点P(x, y, z)
o
L
y
为柱面上任一点, 当该点 x 平行于z轴上下移动时,它 仍保持在柱面上,也就是说,
图6.1 C
不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程.
因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:
若球心在坐标原点,则球面方程为:
x2 + y2 + z2 = R2
将上述方程展开得
x2
y2
z2
2x0 x
2 y0 y
2z0z
x2 0
y2 0
z2 0
R2
即 x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0
其中
a
x0
,b
y0
,c
z0
,d
x2 0
|x| ≤α ，|y|≤b ，|z|≤c
椭球面关于每个坐标面都是对称的，从而关
于每个坐标轴及坐标原点也是对称的.特别地，当
a = b = c 时，方程变为
x2 y2 z2 a2
这是一个以原点为圆心，半径为α的球面.
如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为
x2 a2
y2 b2
1,
的柱面,它的一条准线为
G( x, y
y
)
0 0
方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于y轴
的柱面,它的一条准线为
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
高数讲义第五节 曲面及其方程(二)
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
（1）将球面 x2 y2 z2 a2
沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z a z, 得旋转椭球面：
a
c
x2
y2
a2 c2
z2
a2,
或
x2 a2
y2向伸缩 b 倍： y a y,
a
b
即得椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
y2 b2
z
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
（三）双曲面
（1）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到
（2）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到
（四）椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
又称二次锥面
倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
第五节 曲面及其方程（2）
四、二次曲面
了解一般空间曲面形状的两种常用方法： （1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
高数大一下知识点总结曲面
高数大一下知识点总结曲面在大一下学期的高等数学课程中，我们学习了曲面这一重要的数学概念。
曲面在数学中扮演着重要的角色，它们是三维空间中的图形，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
在本文中，我将为大家总结曲面的相关知识点，并提供一些例子来帮助理解。
一、曲面的定义和性质1. 曲面的定义：曲面可以定义为空间中满足特定条件的点的集合。
一般情况下，曲面可以由一个或多个方程表示。
2. 曲面的性质：曲面具有很多特征，如对称性、凸性、切平面等。
这些性质是我们研究曲面的重要依据。
二、常见的曲面类型1. 长方形曲面：长方形曲面是一个矩形，它的两个相对的面都是平行于坐标轴的。
2. 球面：球面是一个由与球心距离相等的点组成的曲面。
球面在几何学中具有很多重要的性质，如表面积和体积计算公式。
3. 圆柱面：圆柱面是由平行于某一直线的曲线无限延伸而成的曲面。
圆柱面也应用广泛，例如在建筑和工程设计中。
4. 锥面：锥面是由一条直线沿着其一个端点旋转一周而生成的曲面。
锥面同样在建筑和工程设计中有重要的应用。
5. 椭球面：椭球面是一个椭球体被一个平面切割而得到的曲面。
椭球体在物理学和天文学中经常出现。
三、曲面的方程表示1. 参数方程：曲面可以用参数方程表示，其中曲面上的每个点都可以由参数的取值得到。
参数方程的形式可以根据曲面的形状来确定。
2. 隐函数方程：曲面也可以用隐函数方程表示，其中曲面上的点由方程中的变量满足而得到。
隐函数方程通常是多项式方程或代数方程。
四、曲面的投影1. 平行投影：平行投影是指将一个三维曲面映射到一个平面上，映射过程中保持投影前后的平行线仍然平行。
2. 透视投影：透视投影是指将三维曲面映射到一个平面上，映射过程中平行线不再保持平行。
这种投影方式常常用于透视绘画和计算机图形学中。
五、曲面的应用曲面作为一种数学概念，在科学和工程领域具有广泛的应用。
1. 物理学：曲面在物理学中常常用于描述电场和磁场的分布，或者表达物体的几何形状。
空间曲面认识空间曲面的特征与方程
空间曲面认识空间曲面的特征与方程空间曲面是指在三维空间中由曲线无限延伸而成的图形。
它是几何学中一个重要的研究对象，具有丰富的特征和方程。
本文将围绕空间曲面的特征与方程展开论述。
一、空间曲面的特征空间曲面的特征主要包括形状、表达方式和性质等方面。
1. 形状：空间曲面可以有各种形状，如平面、球面、圆柱面、锥面等。
其中，平面是一种特殊的曲面，它是无限大的、无弯曲的。
而球面是一种曲率相等的曲面，它的每一点到球心的距离都相等。
2. 表达方式：空间曲面可以通过方程、参数方程和隐函数方程等方式来表示。
其中，方程法是最常用的表达方式之一。
通过将空间曲面的特征用数学方程表达出来，可以更直观地描述曲面的几何性质。
3. 性质：空间曲面具有各种几何性质，如曲率、切平面和法向量等。
曲率是描述曲面弯曲程度的量，切平面是与曲面相切且与曲面法线垂直的平面，法向量是垂直于曲面的一个向量。
二、空间曲面的方程类型根据空间曲面的特征不同，可以将空间曲面的方程分为若干类型，常见的有点法向式方程、参数方程和球面方程等。
1. 点法向式方程：点法向式方程是一种常用的描述曲面的方式。
它通过给出曲面上的一点和该点的法向量来表示曲面方程。
例如，对于球心在坐标原点、半径为r的球面，其点法向式方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标。
2. 参数方程：参数方程是把曲面上的点用参数的形式表示出来。
通常，参数方程是由两个参数u和v的关系所决定的。
例如，对于圆柱面，其参数方程可以表示为x = r*cos(u), y = r*sin(u), z = v，其中r为圆的半径，(u,v)为参数。
3. 球面方程：球面方程是一种特殊的曲面方程，用于描述球面的几何性质。
球面方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球的半径。
三、空间曲面的方程应用空间曲面的方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
高等数学空间曲面各种类型及方程
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，其中涵盖了许多复杂的数学概念和理论。
其中，空间曲面是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将系统地介绍高等数学中空间曲面的各种类型及其方程。
一、空间曲面的定义空间曲面指的是三维空间中的曲线的集合，也就是说，它是由参数方程或者隐函数方程所描述的。
在数学中，空间曲面通常可以用下面的方程形式来表示：1. 参数方程形式：$P(x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)), \alpha < t < \beta$2. 隐函数方程形式：$F(x, y, z) = 0$二、曲面的分类根据曲面的性质和方程的形式，空间曲面可以分为多种类型。
下面将分别介绍常见的曲面类型及其方程。
1. 锥面锥面是一种由一条直线（母线）绕着一个固定点（顶点）旋转而成的曲面。
它的方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = at \\y = bt \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
2. 圆锥曲面圆锥曲面是由一条固定直线（母线）和一个固定点（焦点）相对应的点所生成的曲面。
其方程可以用隐函数方程表示为：$x^2 + y^2 = z^2$3. 圆柱面圆柱面是由一条曲线（母线）沿着平行于一条直线轴线运动而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
4. 圆锥面圆锥面是由一条圆锥曲线绕着其中心轴旋转而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$其中，a、b为常数。
5. 双曲面双曲面是一种具有双曲线截面的曲面。
高数讲义第五节 曲面及其方程(一)
o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
高教五版高数经济类空间曲面及其方程多元函数随堂讲解.ppt
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
高等数学§7.4.1-3空间曲面和空间曲线
它 在 x面 oy上 (0 ,0 ,0 是 )为 圆 心 以 ， 2为 半 径 的 圆 。
例 8 ． 求 曲 L ： 线 x x 2 2 y y 2 2 8 z y 2 6在 4 x、 o yo y 面 上 z 的
方 程 表 示 以 ( 1 ,2 ,3 ) 为 球 心 ， 3 为 半 径 的 球 面 。
动 直 线 L 沿 给 定 曲 线 C 平 行 移 动 所 形 成 的 曲 面 ， 称 为 柱 面 。 动 直 线 L 称 为 柱 面 的 母 线 ， 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 。
z
现 在 来 建 立 以 x 面 上 o 的 曲 线 y
7 . 4 . 2 （ 一 ） 空 间 曲 线 的 一 般 方 程
空 间 曲 线 L 可 以 看 作 两 个 曲 面 1 与 2 的 交 线 。 若曲面 1 与 2 的方程分别为 F( x, y, z)0 与 G( x, y, z)0 ，则其交线 L 的方程为
F(x, y,z)0 G( x, y,z)0
一 般 地 方 程 F (x ,y ) 0 表 示 母 线 平z 行 轴于 的 ； 方 程 H (y ,z) 0表 示 母 线 平x 行 轴于 的 ； 方 程 G (x ,z) 0 表 示 母 线 平y 行 轴于 的 。
方 程 x 2 y 2 a 2 表 示 圆 柱 面 ； z
方 程 y 2 2 P 表 示 抛 物 柱 面 ； x
oP
P Q
y
x r cos t
y r sin
t
z vt
此方程称为圆柱螺旋线方程。
若 令 t ， 则 螺 旋 线 方 程 为
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二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做 柱面，这些 平行的直线称为柱面的 母线，在柱面上与各母线 垂直相交的一条曲线称为柱面的 准线，通常用垂 直于母线的平面去截柱面就得到 一条准线L，准 线不是唯一的 .柱面也可以看成由一条动直线 L沿
定曲线C平行移动所得到的曲面， L称为母线，C
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
x2 + y2 + z2 = R 2
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 小结
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0
? 表示空间曲面，而
F ?x G?x
, ,
y, y,
z z
?? ??
0 0
则表示空间曲线
.
本节主要讨论一些常见的曲面 . 研究空间曲面方
程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状 .
所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平
因此该柱面方程中不含有 z , 可设柱面方程为 :
F (x , y) = 0
它与 xoy 面的交线 就是它的一条准线 .
? F (x, y) ? 0
? ?
z
?0
一般地,在空间直角坐标系中 ,方程 F (x , y) = 0
(不含z), 表示母线平行于 z轴的柱面 ,它的一条准线
为
? F (x, y) ? 0
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 x1 ? x 0 y1 ? y0 z1 ? z0
同时点 P1(x1, y1, z1) 满足:
F1(x1, y1, z1) = 0, F 2(x1, y1, z1) = 0
由上面四个等式消去参数 x1, y1, z1可得一个
三元方程 :
F (x, y, z) = 0
o
y
面.
x 图6.7
下面建立锥面的方程 .
已知锥面的顶点为 A(x0, y0, z0) , 准线为
L:
???
F1( x , F2 ( x ,
y, z) y, z)
? ?
0 0
,设
P(
x,
y,
z)
为锥面上任一点
,
母线AP交准线于点 P1(x1, y1, z1) , 则由直线的两 点式方程知母线 AP的方程为 :
表示什么曲面 ?
?1? y2
b2
?
z2 பைடு நூலகம்2
? 1;
?2?x 2
?
y2
? 1;
?3?x 2
?
y?
0;
?4?x 2 ? z2 ? 1;
a2 c2
?5?x ? y ? 0
解 (1) 椭圆柱面:母线平行于 x轴, 准线是 yoz面上的椭圆 (图6.2) ;
(2)圆柱面:母线平行于 z轴, 准线是xoy面上的单 位圆 (图6.3) ;
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
这个方程的特点为 :
(1) 它是三元二次方程 ;
(2)平方项的系数都相等且不为零 (可设为1);
(3)不含有交叉项 xy, yz , zx.
一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总
是一个球面 .事实上 , 通过配方法 ,每一个这样的方
程都可以化为 :
面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，
然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌 .
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面 .下面
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? k
当 k ＞0 时,表示球心在 P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 k 的球面方程 ; 当 k = 0 时,球面缩为一点 ;当 k ＜0 时, 无图形(通常称为虚球面 ).
例如，方程 x 2 ? y2 ? z2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 配方后得 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? z2 ? 4
o
x
z 图6.5
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做 锥面.
这些直线叫做它的 母线，定点叫做它的 顶点.在
锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条
准线， 准线不是唯一的，通常可取在一个平面
上的截线作为其准线（图 6.7）.
如果准线是一个圆， z
顶点在通过圆心且垂直
于此圆所在平面的直线
上，这样的锥面叫 圆锥
这就是以A为顶点L为准线的锥面方程 .
一般地, 方程
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
0 ?a
?
b?
0,c ?
0?
表示一个顶点在原点的锥面 ,用平面 z = c 去截它,
就得到一条准线
? ? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? c
这是一个椭圆 , |c|由0逐渐增大,椭圆的半轴也
由0逐渐增大 .用x = x0 去截,当 | x0 | = 0 时,截线是一 对相交直线 ,当| x0 | 从0增大到+∞时,截线是半轴单
称为 准线 .（图 6.1）
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)
o
L
y
为柱面上任一点 , 当该点 x 平行于z轴上下移动时 ,它 仍保持在柱面上 ,也就是说,
C 图6.1
不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程 .
(3)抛物柱面 :母线平行于 z轴, 准线是 xoy面上的
抛物线(图6.4) ;
(4)双曲柱面 :母线平行于 y轴, 准线是xoz面上的
椭圆(图6.5) ;
(5)过z轴的平面:母线平行于 z轴, 准线是xoy面上
的直线(图6.6) ;
z
y
图6.3
图6.2 z
x
y
x
z z
o
y
x 图6.4
y
o y
x 图6.6
? ?
z
?0
方程 G ( x , z) = 0(不含y), 表示母线平行于 y轴
的柱面 ,它的一条准线为
? ? ?
G(x, y
y)
? ?
0 0
方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于 y轴
的柱面 ,它的一条准线为
? H ( y,z) ? 0
? ?
x
?0
例10 说明下列方程在空间直角坐标系中各