MATLAB数值分析实例

2016-2017第一学期数值分析
上机实验报告
姓名：xxx
学号：*****…….
学院：土木工程学院
导师：………..
联系电话：…………..
指导老师：………..
第一题
选做的是第（1）小问。
1.1
编出不动点迭代法求根的程序；把 写成至少四种 的形式，取初值 ,进行不动点迭代求根，并比较收敛性及收敛速度。
1.2
1.3
1第一种迭代公式： ；matlab计算结果如下：
（以下为命令行窗口的内容）
2第二种迭代公式： ；matlab计算结果如下：
（以下为命令窗口内容）
3第三种迭代公式： ；matlab计算结果如下：
（以下为命令窗口内容）
4第四种迭代公式： ；matlab计算结果如下：
（以下为命令窗口内容）
上述4种迭代公式，1、4两种由于在x真实值附近|g`(x)|>1,不满足迭代局部收敛条件，所以迭代序列不收敛。对于2、3两种式子，由于在x真实值附近|g`(x)|<=L<1,满足迭代局部收敛条件,所以迭代序列收敛。对于2、3两迭代公式，由于L3<L2,所以第3个迭代公式比第2个迭代公式收敛更快。
3.3
matlab画出的图像如下：
从上图可以清晰的看到，三次样条插值曲线与原始曲线最为接近，作为f(x)的插值函数比较理想。而三次多项式拟合的话，与原始结果偏差很大。
第四题
选择的是第一小问
4
编写Gauss-Legendre求积公式程序，并计算下列积分
（1）
（2）
（3）
（4）
4
4
(a)
（以下为命令行窗口的内容）
第二题
选做的是第（2）小问
2.1
编写有效程序解线性方程组 。
2.
2.
（命令行窗口显示内容）数据太多截取一部分
第三题
3.1
对函数 在区间[-1,1]上取 ，
（a）对函数进行多项式插值和三次样条插值，并画出插值函数及 的函数；
（b）对函数求其三次拟合曲线并画出拟合曲线的图像，与（a）中结果进行比较。
3.2
（以下为命令行窗口的内容）
请输入步长h：0.025
从上面的结果可以看到，由于步长h取值减小,误差变得很小，可以看出其误差限是呈线性增加的。
（以下为命令行窗口的内容）
请输入步长h：0.01
从上面的结果可以看到，当步长取0.01时，误差减小了10多倍。此外，我也尝试了采用更小的步长进行计算，计算所得的相对误差随步长减小也越来越小，限于篇幅，也就不再一一罗列计算结果。所以减小步长，可以很好地提高该算法的精确度，若我们把计算结果看成关于步长h的序列，该序列的收敛速度还比较快。而在这一点上，我们也可以通过理论证明，当步长h趋于零时，计算结果就趋于真实结果，即收敛性。
(b)
（以下为命令行窗口的内容）
(c)
（以下为命令行百度文库口的内容）
(d)
（以下为命令行窗口的内容）
第五题
5.1
给定初值问题
用经典的四阶Lunge-Kutta方法求解，步长分别取为 ，计算并打印 各点的值，并与准确解 作比较。
5.2
5.3
（以下为命令行窗口的内容）
请输入步长h：0.1
从上面的结果可以看到，当步长为0.1时，求解是很不准确的，可能是步长过大导致的，所以应适当减小步长，再尝试进行计算。下面的运算取步长为0.025，再进行试算。
第六题
6.1
编程计算 ,其中 ，给出并观察计算结果，若有问题，分析之。要求逐项相加编程求解，不允许使用matlab中的现有函数。
6.2
6.3
根据我们所学的数学知识，这个关于n的求和序列实际是不收敛的，但是由于计算机计算时的大数吃掉了小数后，数值无法累加。所以显示为上面的收敛结果。
6.4
上面的算法发生了大数吃小数的现象，为了避免大数吃小数，可以第一步设n个数相加，然后把这些数分为两个一组，每组两个数相加，然后再分为两个一组，循环下去。这样应该能避免大数吃小数。