高等数学曲线积分和曲面积分课件

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《高等数学》第十章曲线积分与曲面积分

x2
dS y2

z2

2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz

4
lim
a1

D1
(1

z
2
1 )
1
x2
dxdz

4
lim
a1
01dz
a
0
(1

1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1

2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z

1
其中是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算

x2
dS y2

z2
,
其中是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2

(
y1 z
)2
dxdz

1 dxdz. 1 x2

1
x2
dS y2

z2

Dxz
1 1 z2

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面右向 xoz 面投影，得

高等数学II第十章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若()():x x tL a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L af x y ds f x t y t=⎰⎰ 若()()():x x t L y y t a t b z zt =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,b Laf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰ 注意：上限一定要大于下限计算下列对弧长的曲线积分（1）ds yx L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+；解：法一：222()Lx yds +=⎰ 22()Lads ⎰4La ds =⎰45(2)2a a a ππ== 法二：cos:02sin x a L y a θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩，222()Lx y ds +⎰ ()()222[cos sin ]a a πθθθ=+⎰25502a d a πθπ==⎰（2）ds eLy x ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；解：()L OAABBO=++⎰⎰⎰⎰ ，其中:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩， cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩，:0x x BO x y x =⎧≤⎨=⎩aoA=⎰⎰01ax a e dx e ==-⎰a ABABe ds =⎰⎰ 4aa ABaee ds π==⎰（或AB⎰4πθ=⎰404aaae e ad ππθ==⎰）BO=⎰1ae ==- 故(2)24a Le a π=+-⎰（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；解：由2:0121x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰32122(116)332x +==（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ；解：[]22(1cos )Ly ds a t π=-⎰⎰5232(1cos )t dt π=-⎰52322(2sin)2tdtπ=⎰2358sin2ta dtπ=⎰令2tθ=）3516sina dπθθ=⎰353324225632sin325315a d a aπθθ==⨯⨯=⎰（5）dsxyL⎰，其中L为圆周222ayx=+；解：利用对称性14L Lxy ds xy ds=⎰⎰，其中1cos:0sin2x aLy aθπθθ=⎧≤≤⎨=⎩1144L L Lxy ds xy ds xyds==⎰⎰⎰204(cos)(sina aπθθθ=⎰3323224cos sin2sin2a d a aππθθθθ===⎰（6）dszyx⎰Γ++1，其中Γ为曲线tex t cos=，tey t sin=，t ez=上相应于t从0变到2的弧段；解：2221dsx y zΓ++⎰=⎰22)te dt e--==-⎰（7）dsy⎰Γ，其中Γ为空间圆周：⎪⎩⎪⎨⎧==++Γxyzyx2:222.解：由2222x y zy x⎧++=⎨=⎩，得2222x z+=，令cos02xzθθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩故cos:cos02xyzθθθπθ⎧=⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩。

第十七讲曲线积分与曲面积分

第十七讲曲线积分与曲面积分17 . 1 曲线积分与曲面积分的概念一、第一型曲线积分1 ．物理意义一条可求长的空间曲线L ，其密度为()(),,,,,x y z x y z L ρ∈，，试求L 的质量．显然取曲线的弧长微元dl ，其长度记为ds ，则对应的质量微元为(),,dm x y z ds ρ=，那么整个曲线L 的质量为(),,Lm x y z ds ρ=⎰·这种类型的积分称为第一型的曲线积分． 2 ．定义设L 是空间中可求长的曲线段，函数(),,f x y z 定义在 L 上，对 L 作分割 T ，将 L 分成n 个小曲线段 ()1,2,...,,i i L i n L =的弧长记为 i s ∆，记1m a x i i nT s ≤≤=∆，，任取(),,i i i i L ξηζ∈，若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξηζ→=∆=∑，且极限J 与分割 T 无关，与介点(),,i i i i L ξηζ∈的取法无关，则称函数 f 在曲线 L 上可积，并称这种积分为第一型的曲线积分，记为(),,LJ f x y z ds =⎰．又称对弧长的积分．注：当1f ≡ 时，Lds L =∆⎰（L ∆表示曲线儿的弧长）第一型曲线积分性质同定积分，这里不赘述． 3 ．计算转化为定积分．( l ）若曲线()()()():x x t L y y t t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,LJ f x y z ds f x t y t z t βα==⎰⎰( 2 ）若曲线()(),,0:,,0F x y z LG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，则一般要将它转化成参数方程（ 1 ）的形式，有时可用特殊方法解决．例 17 . 1 计算下列曲线积分：( 1 ) ()222Lx y z ds ++⎰其中()cos :sin 02x a t L y a t t z bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩( 2 ）2Lx ds ⎰，其中：2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩解： ( 1 ) ()()()222222220322cos sin 823Lxy z dsa t a tb t b a πππ++⎡=++⎣⎫=+⎪⎭⎰⎰（ 2 ）（方法1：特殊方法），由对称性知222LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰，所以有()23222212333L L L a a x ds x y z ds ds π=++==⎰⎰⎰（方法 2 ：一般方法）将 L 的方程化为参数方程．为此，将()z x y =-+代入2222x y z a ++=，化简后得2222a x y xy ++=，将坐标轴旋转4π得))x X Y y X Y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，新坐标系下方程为2223X Ya +=令(),02sin X t t Y a t π⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩，则得 L 的参数方程为(),02x t t y t t t z t π⎧=⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩所以有32223La x ds t t ππ⎫==⎪⎭⎰⎰注：方法 2 虽然麻烦，但它十分重要，希望读者一定要掌握这一方法．例 17 · 2 若平面曲线以极坐标()()12ρρθθθθ=≤≤表示，试给出计算(),Lf x y ds ⎰的公式，并计算曲线积分Lxds ⎰，其中():0k L ae k θρ=>在圆a ρ=内的部分解：令()()()12cos ,sin x y ρθθθθθρθθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()()()()''''cos sin sin cos x y θρθθρθθθρθθρθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，于是有()()()(12,cos ,sin Lds f x y ds f θθθθρθθρθθθ===⎰⎰下面计算Lxds ⎰。

高数课件11曲线积分曲面积分

L L1 L2
f (x, y ) ds.
(2) 若积分曲线 L 关于 y 轴对称, y 轴两侧的区域分别记为 L1 , L2 . i. 若 f (x, y ) 关于 x 为奇函数, 则 ˆ f (x, y ) ds = 0.
L
ii. 若 f (x, y ) 关于 x 为偶函数, 则 ˆ ˆ ˆ f (x, y ) ds = 2 f (x, y ) ds = 2
È
如果曲线方程为 x = φ(y ), y ∈ [a, b], 则曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = φ(y ),
a ≤ y ≤ b,
y = y, ˆ
b a
因此,
ˆ f (x, y ) ds =
L
8 > > > > > < > > > > &+ φ′2 (y ) dy.
ˆ 例 4 计算分.
L
(x2 + y 2 ) ds, 其中 L 是以原点为圆心, 半径为 R 的圆周的左半部
y R
R
O
x
−R
6
解: 显然, 曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = R cos θ, y = R sin θ, ˆ
π 3π ≤θ≤ . 2 2
因此,
ˆ (x + y ) ds =
y
1
B
Mn−1
F (ξi , ηi ) Mi (ξi , ηi ) Mi−1 A M1 M2
O
x
#» 解: 首先, 如果力 F 是恒力, 且移动路线是从 A 沿直线到 B, 则所作的功为 #» # » W = F · AB. 其次, 在曲线 L 上依次插入 n−1 个分点 M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), · · · , Mn−1 (xn−1 , yn−1 ), 将此曲线段分割为 n 个小段曲线, 以 AM1 , M1 M2 , · · · , Mn−1 B 9

第10章-曲线积分与曲面积分高等数学教学课件

f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有

曲线积分和曲面积分

第八章曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１．第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分【优质PPT】

(2)抛物线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧 ; (3) 有向折线 OAB，这里O, A, B依次是(点0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为x对的积. 分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0 4 1 x3dx 1. 0 2021/5/27
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
y)dy ,其中L
为圆周
x 2 y 2 a 2(按逆时针方向饶行)；
3、 dx dy ydz,其中为有向闭折线 ABCA,这里
32
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
2021/5/27
33
格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系 .
2021/5/27
34
y
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
2021/5/27
13
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.

数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分

k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
2020/6/1
例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z x ,y )1 z x 2 x ,y z 2 y x ,y d x d y
S
D x y
2020/6/1
当 S : x x ( u , v ) ,y y ( u , v ) , z z ( u , v ) , ( u , v ) D 时
第二十一章曲线积分与曲面积分
2020/6/1
i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为xxy,z,y,zDyz或 y yz,x, z,xDzx 时公式如何
3）当 f(x,y,z)1时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x x u ,v ,y y (u ,v ),z (u ,v ),u,vD
时面积元素 ds EGF2dudv 这时
f( x ,y ,z ) d s f( x ( u ,v ) ,y u ,v ,z u ,v )E G F 2 d u d v

第十四章曲线积分与曲面积分PPT课件

第十四章曲线积分与曲面积分
§14.1 曲线积分 §14.2 曲面积分
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
§14.1 曲线积分
• 一、第一型曲线积分
• 定义设f (x, y)在 x y 平面上一条可求长曲线
• C ( A, B)有定义. 用任意分法 T 将曲线 C 依次
6
二、第二型曲线积分
• 定义设f (x, y)在平面上有光滑曲线 C ( A, B)
• 有小弧定弧Ak义1AA0k在.A用1 ,x 任A轴1A意与2,分 y 轴法An上 T1A将的n，曲投A0线影A区,CAn依间B次.的设分长Ak(n带1 A个k的有
符号)分别为 x k 与y k .
在
Ak 1
则
• C ( A ,B )P d x Q d y u ( x 2 ,y 2 ) u ( x 1 ,y 1 ) u ( x ,y )( ( x x 1 2 ,,y y 1 2 ) )
16
§14.2 曲面积分
• 一、第一型曲面积分
定义设函数 f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的
•
分n
个小弧
A
0A
1
,A1A2,An1An.其中A0A,An B.
• 设它们的弧长分别为s1,,sn. 在小弧
• 上任取一点 Pk(k,k) k1,,n .作和数
n
•
f (k ,k )sk
（1）
k 1
3
• 令(T)ma s1 x , ,s0.若当 (T) 时0二元函数

【精品】课件---曲线积分和曲面积分PPT18页

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
【精品】课件---曲线在我们的后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。

高数课件第十章曲线积分与曲面积分

Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分物质曲线质量）（物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分变力作功）（变力作功） 3. 第一类曲面积分曲面薄板质量）（曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分通量）（通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L

曲线积分与曲面积分复习课件

z z 面积元素 dS 1 x y dxdy 2dxdy
求 D yz
求 Dxy
求 Dxz
2 2 I f [ x, y, z( x , y )] 1 z x z2 I f [ x( y, z ), y, z ] 1 x 2 y dxdy y x z dxdz
Dyz
Dxy
2 I f [ x , y( x, z ), z )] 1 y x yz2 dxdz Dxz
第十章曲线积分与曲面积分
习题课（三）
对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义:
f ( x, y, z )dS lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)S i
2．物理意义:
M ( x , y , z )dS

表示面密度为 ( x, y, z )的曲面的质量。
五、对面积的曲面积分的应用
1．几何应用求曲面的面积： S dS

2．物理应用质量 M ( x , y , z )dS 质心 1
1 z M
1 x x( x , y, z )dS y M M
y( x, y,

z )dS
z( x, y,

从而 ( z 2 x

4 y )dS 3
D xy
4
61 dxdy 3
4 61 1 2 3 4 61 3 2
注：本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。
【例2】计算曲面积分 ( xy yz zx )dS，其中为锥面

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周 ; ( 2) 从点 A( a,0) 沿 x 轴到点 B( a,0) 的直线段.
x a cos , 解 (1) L : y a sin
从 0 变到，
原式 a 2 sin2 ( a sin )d

z k的一段. ( 0 2)
解 I a 2 cos sin k a 2 k 2 d 0
1 2 2 2 ka a k . 2
2
例3 求I x 2ds,

x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0.
（可以推广到空间曲线上）
思考题
当曲线 L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如 L： x a cos t ， y a sin t ， t [0,2]， a 是正常数），试问如何表示 L的方向（如 L表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定.
例如 L ： x a cos t ， y a sin t ，t [0,2 ]中
x a (cos t t sin t ) y a (sin t t cos t )
L
(0 t 2 ) ；
练习题答案
1、 e ( 2 a ) 2； 4
a
2、9；
3. 2 a (1 2 ) ；
2 3 2
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义:
函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线积分
2 0
1
B(1,1)
0.
在 AB 上, x 1, y 从 0 变到 1 ,

第八讲曲线积分与曲面积分(1)

L
P(y, z, x)dy Q(y, z, x)dz R(y, z, x)dx
L
P(z, x, y)dz Q(z, x, y)dx R(z, x, y)dy
L
例1 计算
(1) (x x2 y4)ds ,其中x2 y2 a2 (a 0)
;L
[2xy 3x2 4y2 sin ( x2 y2 )]ds，
所以它的参数方程为
x y

acost ，t a asint
[0,2
]
将其代入 z x2 y2 得
z (acost)2 (a asint)2 2a2(1 sint)，t [0,2 ]
所以 Γ 的参数方程为
x acost
Γ： y a asint ,t [0,2 ]
cz z
c

[
cz cost]2 [ cz sin t]2 cz
cz sin t tan t tan z
cz cost
c
令
tz c
即得以z为参数的L2的参数方程.
(3)以y为参数,得 x y2 , z y2 y4 , y y
a
a2
二、曲线积分的计算
1. 注的意，到因曲此线它积的分自的变被量积应函满数足积分f (曲x,线是y)方定程义，在所积以分计曲算线曲上
e ds y-x
AB

1
e2 1-2 x
0
2dx
2 (e 1) 2
BE
:

y
x 1
x
，x x
[-
1 2
,0],
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投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有

D

Q x

P y
dxdx

L
Pdx

Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy

ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：
解：
11-4 对面积的曲面积分
解：
11-5 对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的计算是本节的重要知识点，
其计算方法如下：
（1）若光滑曲面S表示为z=z(x,y),S在xOy面上的
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
第二类: 下始上终
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .