指数函数应用举例专题总结
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数函数应用知识点总结
指数函数应用知识点总结一、指数函数的基本概念和性质1.1 指数函数的定义指数函数是具有x为独立变量的函数，其定义域为实数集合，通常表示为y = a^x，其中a 为底数，x为指数，a为正实数且不等于1。
1.2 指数函数的基本性质指数函数的基本性质包括：（1）当底数a大于1时，指数函数呈增长趋势；当底数a小于1且大于0时，指数函数呈现下降趋势。
（2）指数函数的图像是以点(0,1)为对称轴的。
（3）当x=0时，指数函数的值始终为1。
（4）指数函数是连续且严格递增或递减的。
1.3 指数函数的导数和积分指数函数的导数为其自身的基数乘以lna，即f'(x)=a^x*lna；而指数函数的不定积分为其自身的函数值除以lna再加上常数项，即∫a^xdx=a^x/lna+C。
1.4 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^x=y，当且仅当x=loga(y)。
指数函数和对数函数之间可以相互转化。
1.5 指数函数的极限性质当x趋向无穷大时，指数函数a^x的极限为正无穷；当x趋向负无穷大时，指数函数a^x 的极限为0。
二、指数函数在现实生活中的具体应用2.1 指数函数在金融领域的应用（1）复利计算：复利是利息按期计算并加到本金中再计算利息的计息方式。
其数学模型即为指数函数，为A=P*(1+r/n)^(nt)其中，P为本金，r为年利率，n为计息次数，t为存款年限，A为本金加利息后的总额。
（2）经济增长模型：指数函数也常用于描述国民经济的增长趋势，GDP增长率等指标都可以用指数函数来描述其增长趋势。
2.2 指数函数在生物学领域的应用（1）细菌繁殖模型：细菌在合适的环境条件下，其繁殖数量会呈指数增长。
这种繁殖数量可以用指数函数来描述。
（2）人口增长模型：在一个封闭的系统中，人口增长也可以通过指数函数来描述。
2.3 指数函数在物理学领域的应用（1）放射性衰变模型：放射性元素的衰变可以用指数函数来描述。
指数函数与对数函数的应用知识点总结
指数函数与对数函数的应用知识点总结一、指数函数的应用指数函数是一类具有形式为f(x) = a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的实数常数。
指数函数在很多领域有广泛的应用，以下是几个常见的应用知识点。
1.复利计算在金融领域中，复利是非常重要的概念。
复利是指利息按照一定的周期计算，然后再将利息加到本金上，下一个周期继续计算利息。
复利的计算可以用指数函数来描述，其中a表示本金，x表示时间，指数函数f(x) = a(1+r)^x中的r表示利率。
2.人口增长模型指数函数也可以用来描述人口增长的模型。
在一个封闭的系统中，人口增长速度与当前人口数量成正比，可以使用指数函数来描述这一关系。
人口增长的指数函数模型为f(x) = a * e^(kx)，其中a表示初始人口数量，k为增长率。
3.物理学中的衰减过程在物理学中，衰减过程是常见的现象，可以通过指数函数来描述。
例如，放射性元素的衰变过程、物体的冷却过程等都可以使用指数函数来建模。
4.经济增长模型经济学中的经济增长模型可以使用指数函数来描述。
常见的经济增长模型有凯恩斯经济增长模型和索洛经济增长模型等，这些模型中的经济增长率可以使用指数函数来表示。
二、对数函数的应用对数函数是指以某个正数为底数的对数运算的逆运算。
对数函数常用的底数有10和e，对应的函数分别称为常用对数函数和自然对数函数。
下面列举几个对数函数的应用知识点。
1.音量的测量声音的强度是以分贝(dB)为单位进行测量的，分贝的计算需要使用对数函数。
分贝的计算公式为L = 10log(I/I0)，其中L表示分贝数，I 表示声音强度，I0为参考强度。
2.信号处理在信号处理领域，信噪比的计算经常使用对数函数。
信噪比是信号强度与噪声强度的比值，通常以分贝为单位表示。
3.数据压缩对数函数可以用于数据压缩。
在某些情况下，原始数据的分布范围非常广，通过对数函数的变换可以将数据压缩到较小的范围内，方便存储和处理。
4.指数增长模型的线性化在某些情况下，直接处理指数增长模型的数据可能会比较困难，通过取对数可以将指数增长模型线性化，从而方便进行数据分析和建模。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是数学课本上的一个章节。
本文将从定义、性质、图像、运算等方面对指数函数的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握指数函数的相关内容。
一、定义指数函数是以一个正常数b（b>0,b≠1）为底的幂函数，函数公式为f(x)=b^x，其中b称为底数，x称为指数，f(x)称为指数函数。
指数函数在生活中的例子有人口增长、细菌繁殖等。
二、性质1.定义域：指数函数的定义域是所有实数。
2.值域：对于b>1的指数函数，值域为(0,+∞)；对于0<b<1的指数函数，值域为(0,+∞)。
3.奇偶性：指数函数当底数为奇函数时为奇函数，当底数为偶函数时为偶函数。
4.单调性：对于b>1的指数函数，其在定义域上是增函数；对于0<b<1的指数函数，其在定义域上是减函数。
5.渐近线：指数函数没有水平渐近线，但有垂直渐近线x=0。
6.交点与性质：当x=0时，指数函数的值为1，表示该点在y轴上；当b>1时，指数函数经过(1,b)点，当0<b<1时，指数函数经过(1,1/b)点。
三、图像1.b>1的指数函数的图像：在x轴左侧（负半轴）逐渐趋于0，在x轴右侧（正半轴）逐渐增大，图像位于y轴的上方。
2.0<b<1的指数函数的图像：在x轴左侧（负半轴）逐渐减小，在x轴右侧（正半轴）逐渐趋于0，图像位于y轴的下方。
四、运算1.指数函数的乘法法则：b^m*b^n=b^(m+n)，底数相同的指数函数相乘时，指数相加。
2.指数函数的除法法则：(b^m)/(b^n)=b^(m-n)，底数相同的指数函数相除时，指数相减。
3.指数函数的幂次法则：(b^m)^n=b^(m*n)，指数函数的幂次公式，即指数的指数等于底数的两个指数相乘。
五、常用函数2. 对数函数：对数函数是指指数函数的反函数，记作y = logb(x)，其中b为底数，x为指数。
指数对数幂函数知识点总结8篇
指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。
它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。
在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。
本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。
指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。
指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。
2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。
3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。
4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。
5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。
3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。
5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。
三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。
幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。
第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。
在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。
一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。
指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
指数函数知识点归纳总结
指数函数知识点归纳总结指数函数是高中数学的重要内容之一，它与幂函数密切相关，具有广泛的应用。
本文将对指数函数进行归纳总结，包括定义、性质、图像、相关公式和常见的应用等方面。
一、定义：指数函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数，通常表示为f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的定义域为整个实数集，值域为正实数集。
二、性质：1.底数为a的指数函数在定义域内是递增函数，即当x1<x2时，有a^x1<a^x22.当x取0时，a^0=1、这是由于任何数的零次方均为1，不论底数是多少。
4. 指数函数的导数：指数函数f(x) = a^x的导数等于f'(x) =a^x*ln(a)，其中ln(a)是以e为底数的对数。
三、图像：1.当底数a大于1时，指数函数的图像是上升的曲线。
当x增大时，a^x的值也随之增大。
2.当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像是下降的曲线。
当x 增大时，a^x的值逐渐减小。
3.底数a等于1时，指数函数的图像是一条水平直线，即y=1四、相关公式：1.指数函数的乘法公式：a^m*a^n=a^(m+n)。
即底数相同的指数相乘，底数不变，指数相加。
2.指数函数的除法公式：a^m/a^n=a^(m-n)。
即底数相同的指数相除，底数不变，指数相减。
3.指数函数的幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n)。
即指数的指数等于底数的幂，底数不变，指数相乘。
4. 指数函数的对数公式：loga(b) = x等价于 a^x = b。
即对数是指数函数的逆运算。
五、常见应用：指数函数有广泛的应用，尤其在科学、工程、经济和金融等领域。
1.天文学中的指数增长：天体的数量、质量、光亮度等往往呈指数增长。
2.化学反应速率：化学反应速率与反应物的浓度之间通常存在指数关系。
3. 人口增长模型：指数函数可以用来描述人口增长的趋势，如Malthus人口增长模型。
4.账户复利计算：复利计算是指利息按照一定的周期复利加入本金，可以用指数函数来表示利息的增长。
对指数函数及其性质经典题型总结
对指数函数及其性质经典题型总结指数函数是数学中常见的一类函数，具有一些独特的性质。
本文对指数函数及其性质的经典题型进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用指数函数。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为变量的数学函数，可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为指数。
二、指数函数的性质1. 指数函数的图像特点- 当a>1时，指数函数呈现递增的趋势，图像从左下向右上倾斜。
- 当0<a<1时，指数函数呈现递减的趋势，图像从左上向右下倾斜。
- 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线。
2. 指数函数的基本性质- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加。
- (a^m)^n = a^(m*n)，同底数相乘，指数相乘。
- (a*b)^n = a^n * b^n，底数相乘，指数不变。
- (a^n)^m = a^(n*m)，指数相乘，底数不变。
三、指数函数的经典题型1. 指数函数的求值问题- 根据指数函数的定义，计算给定指数函数的特定值。
2. 指数函数的图像问题- 根据指数函数的性质和底数的取值范围，画出指数函数的图像。
3. 指数函数的运算问题- 根据指数函数的性质，进行指数函数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 指数函数的应用问题- 利用指数函数的性质，解决实际生活中的问题，如人口增长、物质衰变等。
四、总结指数函数是数学中重要且常用的一类函数，具有特定的图像特点和基本性质。
熟练掌握指数函数的经典题型可以帮助我们更好地应用指数函数解决问题。
文档总字数：XXX字。
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型在生活中有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.指数增长模型：人口增长是一个经常被描述为指数增长的
例子。
随着时间的推移，人口数量以指数形式增加。
这意
味着每个时间段的增长量都与当前的总人口数量成正比，
而不是与固定值相等。
类似的情况还可以用于描述病毒传
播、社交媒体用户数量等。
2.化学反应速率：在化学反应中，一些反应的速率可以用指
数函数模型来描述。
例如，放射性衰变是一个常见的指数
过程。
放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，因
此可以用指数函数来建模。
3.衰减过程：指数函数模型也可以用于描述衰减过程。
例如，
放置在室外的热液体将以指数形式冷却。
温度的变化量与
当前的温度差成正比，因此可以用指数函数来描述冷却过
程。
4.资产贬值：一些资产，如汽车、电子设备等，在使用过程
中会贬值。
资产值的减少可以用指数函数模型来描述，其
中资产价值每年以固定比例减少。
5.金融利率：指数函数模型在金融领域也有应用，例如利率
的复利计算。
在复利计算中，投资本金和利率成指数关系，可以利用指数函数模型来计算投资的增长。
这些只是一些常见的例子，指数函数模型在现实生活中的应用
非常广泛，可以涵盖许多不同的领域。
指数函数公式 典型应用
指数函数公式典型应用1. 指数函数的定义指数函数是一类常见的数学函数，其形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$ 为常数，$a>0$，且$a\neq1$。
指数函数的定义域为所有实数，值域为正实数。
2. 典型应用指数函数在许多实际问题中有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用。
2.1. 人口增长模型指数函数可以用来描述人口的增长模型。
假设一个地区的人口每年增长 $r$ 倍，那么可以将人口数量 $P$ 表示为时间 $t$ 的函数：$$P(t) = P_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$P_0$ 为初始人口数量，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们预测未来的人口数量。
2.2. 账户余额增长模型指数函数也可以用来描述账户的余额增长模型。
假设一个账户的余额每年增长 $r$ 倍，那么可以将账户余额 $B$ 表示为时间$t$ 的函数：$$B(t) = B_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$B_0$ 为初始账户余额，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们计算未来的账户余额。
2.3. 热传导模型指数函数还可以用来描述热传导模型。
假设一个物体的温度$T$ 随时间 $t$ 的变化满足指数函数关系：$$T(t) = T_0 \cdot e^{-kt}$$其中，$T_0$ 为初始温度，$k$ 为比例常数，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们预测物体温度随时间变化的情况。
3. 总结指数函数在人口增长、账户余额增长和热传导等领域都有广泛的应用。
通过理解指数函数的定义及其典型应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
指数函数与对数函数的应用详细解析与归纳
指数函数与对数函数的应用详细解析与归纳指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数之一。
它们在自然科学、经济学、工程学等各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数与对数函数的应用进行详细解析与归纳。
一、指数函数的应用指数函数以底数为常数的幂的形式表示，常见的指数函数有指数增长函数和指数衰减函数两种形式。
1.1 指数增长函数应用指数增长函数在自然科学研究中经常出现，如生物学中的人口增长、物理学中的放射性衰变等。
以人口增长为例，我们可以使用指数函数来描述人口随时间的变化规律。
设人口增长率为r，初始人口为P0，时间t的人口数量为P(t)，则有以下关系：P(t) = P0 * e^(rt)其中e为自然对数的底数。
通过指数增长函数，我们可以预测未来某一时刻的人口数量，为政府制定人口管理政策提供依据。
1.2 指数衰减函数应用指数衰减函数在物理学、化学等领域具有重要应用。
以放射性衰变为例，放射性物质的衰减规律符合指数衰减函数。
设放射性物质的衰减常数为λ，初始物质的质量为M0，时间t的物质质量为M(t)，则有以下关系：M(t) = M0 * e^(-λt)通过指数衰减函数，我们可以计算出某一时刻的物质质量，为核工程设计与放射性物质管理提供依据。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，常见的对数函数有自然对数和常用对数两种形式。
对数函数在经济学、计算机科学等领域有广泛应用。
2.1 经济学中的应用在经济学中，对数函数常用来度量一些变量的弹性。
以价格弹性为例，价格弹性是指需求量对价格变化的敏感程度。
如果需求量随价格的变化呈现对数关系，那么我们可以使用对数函数来计算价格弹性。
通过计算价格弹性，我们可以判断商品的市场反应，为制定正确的价格策略提供参考。
2.2 计算机科学中的应用在计算机科学中，对数函数通常用于分析算法的时间复杂度。
对数的增长速度比指数的增长速度慢，因此算法的时间复杂度为对数级别的算法通常被认为是高效的算法。
指数函数总结
指数函数总结指数函数是我们在数学学习过程中经常接触到的一种函数类型。
它具有独特的性质和特点，常常被用来描述增长或衰减的过程。
在本文中，我们将对指数函数进行总结，并探讨一些实际应用。
一、指数函数的特点指数函数可以表示为y = a^x的形式，其中a称为底数，x为指数，y为函数的值。
指数函数的图像呈现出独特的特点，具有以下几个方面的特征。
1. 增长或衰减速度：当底数a>1时，指数函数呈现出增长的趋势；当0 < a < 1时，指数函数呈现出衰减的趋势。
底数越大（或越小），函数的增长（或衰减）速度越快。
2. 渐进线：指数函数的图像在y轴上有一条渐进线，它的斜率决定了函数的增长或衰减速度。
当a>1时，渐进线为y=0；当0 < a < 1时，渐进线为y=∞。
3. 对称性：指数函数在y轴上具有对称性。
也就是说，当a>1时，函数在y轴的右侧和左侧呈现出对称关系；当0 < a < 1时，函数在y轴的右侧和左侧同样呈现出对称关系。
二、指数函数的实际应用指数函数在现实生活中有许多实际应用。
下面以几种典型的应用为例进行探讨。
1. 货币贬值在经济领域，货币贬值是一个常见的现象。
可以使用指数函数来描述货币贬值的趋势。
假设我们以某一时刻的货币价值为1作为基准，t时刻的货币价值可以表示为y = a^t。
其中，底数a小于1，代表着货币的贬值速度。
我们可以通过拟合指数函数来预测货币贬值的走势。
2. 病毒传播病毒的传播过程也可以用指数函数来描述。
在病毒传播初期，感染人数呈指数增长，即每个感染者会感染更多的人。
这种情况可以使用y = a^x来表示，其中底数a大于1。
然而，随着疫苗的推广和防控措施的加强，病毒传播的速度逐渐减缓，指数函数的增长趋势也会变得平缓。
3. 核衰变核物质的衰变过程也可以用指数函数来描述。
核衰变的速率是一个指数函数，即随着时间的推移，衰变物质的数量呈指数衰减。
这是因为每个核衰变事件都是独立且具有恒定概率的。
生活中的指数函数
生活中的指数函数指数函数在生活中无处不在，其应用范围非常广泛。
本文将从数学角度出发，探讨指数函数在生活中的应用，并举例说明其在各个领域的具体应用。
一、什么是指数函数指数函数是一类重要的基本初等函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数为正数时函数的图像为增长型，即随着自变量的增大，函数值也随之增大；底数为负数时函数的图像为衰减型，即随着自变量的增大，函数值却随之减小。
二、指数函数在人口增长中的应用人口增长是一个研究人口发展变化的重要课题，指数函数在描述人口增长规律中起着非常重要的作用。
如果我们将人口数量看作是一个随着时间变化的函数，那么这个函数可以用指数函数来描述。
人口数量的增长速度与现有人口数量成正比，也就是说人口数量的增长是指数型增长。
以中国的人口增长为例，中国人口数量的增长速度是非常快的，可以用指数函数来描述。
而在生活中，政府在制定计划生育政策时也会考虑到人口增长的指数特性，采取一些措施来控制人口的增长。
三、指数函数在金融中的应用在金融领域，指数函数也有着广泛的应用。
例如，复利计算就是一个典型的指数函数应用。
复利是指每年对本金和利息按照一定的比例计算利息，然后将利息加到本金中再计算利息。
这样不断重复的计算方式就是指数函数的增长规律。
另外，股票的涨跌幅度也可以用指数函数来描述。
由于股票市场的波动性很大，涨跌幅度并不是线性关系，而是和初始价格成指数关系。
这也是许多投资者在投资股票时需要使用指数函数来进行分析和预测。
四、指数函数在生物学中的应用在生物学领域，指数函数也有着重要的应用。
例如，放射性衰变就是一个典型的指数函数应用场景。
放射性元素的衰变速度与未衰变的元素数量成指数关系，可以用指数函数来表示。
另外，细菌的繁殖速度也可以用指数函数来描述。
细菌的繁殖速度是非常快的，可以用指数函数来近似描述。
除此之外，在生物种群的增长和衰减中，也可以运用指数函数来描绘其增长和衰减规律。
初中数学知识归纳指数函数的应用
初中数学知识归纳指数函数的应用初中数学知识归纳：指数函数的应用指数函数是数学中非常重要的一种函数类型，广泛应用于科学、工程等领域。
它在数学中的应用非常广泛，尤其是在初中数学中，指数函数的应用被广泛地涵盖。
本文将对初中数学中指数函数的应用进行归纳总结。
1. 指数函数的定义与性质在介绍指数函数的应用之前，我们首先回顾一下指数函数的定义及其一些重要性质。
指数函数是指形如f(x) = a^x 的函数，其中a 是常数且大于0且不等于1，x 是变量。
指数函数的主要性质包括：- 任何一个正实数都可以写成某个指数函数的值；- 指数函数的图像通常呈现上升或下降的曲线形式；- 指数函数具有特殊的增长或衰减速度。
2. 指数函数在增长和衰减模型中的应用指数函数在描述增长和衰减模型中发挥着重要的作用。
例如，在人口增长模型中，我们可以利用指数函数来描述人口的增长情况。
假设某地初始的人口数量为N0，年均增长率为r，那么经过t 年后的人口数量可以表示为N(t) = N0 * (1 + r)^t。
同样，在放射性衰变模型中，我们也可以使用指数函数来描述放射物质的衰减情况。
3. 指数函数在利息计算中的应用利息计算也是指数函数的一个重要应用领域。
在银行存款中，我们经常会遇到复利计算的情况。
假设某笔存款的本金为P，年利率为r，存款时间为t年。
那么经过t年后，该笔存款的总额可以表示为A = P * (1 + r)^t。
指数函数的应用在计算复利时非常便捷，而且可以帮助我们更准确地预测未来的资金变化。
4. 指数函数在科学实验中的应用指数函数在科学实验和研究中也有广泛的应用。
在化学反应动力学中，指数函数可以用来描述反应速率的变化规律。
例如，某个化学反应的浓度随时间变化的规律可以使用C = C0 * e^(-kt)来表示，其中C0是初始浓度，k是反应速率常数，t是时间。
指数函数的应用在科学实验中能够帮助我们更好地理解和解释实验现象。
5. 指数函数在经济中的应用指数函数在经济学中也有重要的应用。
高三数学高考复习：指数函数应用要览
指数函数应用要览一、求解不等式问题例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则的取值范围是_____． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-∞+∞，上是增函数．∴由31x x >-，解得 14x >． 故 的取值范围是14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭． 点评：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都变成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．二、证明单调性问题例2 已知函数1010()1010x xx x f x ---=+，试证明函数是定义域内的增函数． 分析：证明函数的单调性可用定义证明，也可用复合函数的单调性判断法则来考虑． 证明：由已知可得函数的定义域是R ，并且22210101012()11010101101x x x x x x x f x ----===-+++， 设12x x ∈R ，，且12x x <，则21212221222(1010)()()(101)(101)x x x x f x f x --=++， ∵10x y =是R 上的增函数，∴当12x x <时，212210100x x ->． 又∵2122(101)0(101)0x x +>+>，，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >．∴函数是定义域内的增函数．三、化二次函数问题例 3 函数2()f x x bx c =-+，满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求的值，再比较大小，要注意x xb c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数的对称轴是=1．由此得，又由=3，得 c =3．∴函数2()23f x x x =-+，其在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增． 若0x ≥，则≥≥1，∴(3)(2)x x f f ≥．若，则321x x<<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥．点评：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、单调性法、中间量法等．例4 函数221x x y a a =+-（，且a ≠1）在区间［－1，1］上有最大值14，则a 的值是_____．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令(0)x t a t =>，则函数221x x y a a =+-（，且）可化为2(1)2y t =+-，则对称轴为1t =-， ∴当时，由[11]x ∈-，，知1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当时，2max (1)214y a =+-=．解得 或5a =-（舍去）；当01a <<时，[11]x ∈-，，1x a a a ∴≤≤，即1a t a≤≤． ∴当1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭． 解得 13a =或15a =-（舍去）． ∴a 的值是3或13． 点评：利用指数函数的单调性求最值时要注意方法的选取，比如：换元法，整体法等．。
指数函数应用举例专题总结
指数函数应用举例专题总结
指数函数应用举例专题总结
学生学习完指数函数()01x y a a a =>≠且之后，往往感觉知识点很多且在生活中不常见，事实上，我们的生活中有很多时候是要用得到指数函数的，如：
问题1：设某辆汽车今年的价值是30万元，若按每年20%的折旧率折旧，问20年后该汽车价值为多少万元？
这是生活中常见的例子，选择该例子是因为它能引起学生的兴趣。
只要分析好“按折旧率折旧”的意思，让学生理解清楚题意，就能激发起学生对于解决该问题的求知欲。
引导学生求解该问题时可从简单的2014年价值，推到2015年的价值，再推到2016年，2017年，从而引导学生发现出其中的规律及公式，从而可以推出20年后该汽车的价值。
问题2：某市2004年有常住人口54万，如果人口按每年1.2%的增长率增长，那么2020年该市常住人口约为多少万人？
这也是能引起学生兴趣的话题，用问题1类似的方法能让学生容易解决该问题。
最后引导学生探索出按照固定变化率的增长问题与减少问题对应的解决方法与公式。
指数函数若能回归到学生身边的问题中，必定能引起学生的兴趣及求知欲，同时通过指数函数应用举例的学习可以培养到学生猜测与推理、归纳整理的能力。
数学中的指数函数应用技巧
数学中的指数函数应用技巧引言：数学中的指数函数是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域，包括科学、工程、金融等。
本文将介绍一些指数函数应用的技巧和实例，帮助读者更好地理解和运用指数函数。
一、指数函数的定义和性质指数函数是具有形式f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数，x是自变量。
指数函数具有以下性质：指数函数的定义域是全体实数，基数a大于0且不等于1，函数值随着自变量的增大而增大（当a>1）或减小（当0<a<1）。
这些性质决定了指数函数在各种应用领域中的良好性质。
二、指数函数在增长问题中的应用指数函数在增长问题中有广泛的应用。
例如，经济领域中的复利计算就涉及到指数函数的应用。
复利是指在利息计算中，本金和利息再次计入本金，从而导致资金的指数增长。
通过利用指数函数的性质，我们可以轻松计算出复利增长的结果，并应用于投资、贷款等实际问题。
三、指数函数在科学问题中的应用指数函数在科学问题中也得到了广泛应用。
例如，在物理学中，指数函数被用于描述一些物理量的增长或衰减规律。
指数函数还可以用于描述放射性元素的衰变规律、电荷随距离变化的规律等。
通过对指数函数的应用，科学家们可以更好地理解和预测自然现象的变化。
四、指数函数在金融问题中的应用指数函数在金融问题中也具有重要意义。
例如，在股票市场中，股票的价格变化可以用指数函数来描述。
指数函数可以帮助投资者分析股票价格的趋势，从而做出更明智的投资决策。
此外，指数函数还可以应用于利率计算、风险评估等金融领域的问题，为金融市场提供了重要的工具和方法。
五、指数函数在生命科学中的应用指数函数在生命科学研究中也起着重要的作用。
例如，在生物学中，指数函数用于描述生物体的增长规律。
通过研究和应用指数函数，科学家们可以预测种群的增长和衰减趋势，从而为生态环境保护、农业生产等方面提供重要参考。
六、指数函数在工程问题中的应用指数函数在工程问题中也有广泛的应用。
例如，在电路中，指数函数常常用于描述电压和电流的变化规律。
数学中的指数函数应用
数学中的指数函数应用指数函数是数学中一个重要的函数概念，广泛应用于各个领域。
它以指数为底数的幂函数形式表示。
指数函数在数学中的应用非常广泛，涉及到经济、科学、工程等多个领域。
本文将介绍指数函数在数学中的应用，并通过具体实例来说明其重要性。
一、复利计算指数函数在金融领域中有广泛的应用，尤其是在复利计算中起到了关键的作用。
复利是指将利息再投入到本金中，使利息得到进一步的增长。
指数函数可以帮助我们计算复利的金额，从而帮助我们做出更加明智的投资决策。
例如，假设我们有一笔初始本金为P的投资，年利率为r。
如果我们将投资持有t年，那么根据复利的计算公式，我们可以使用指数函数来计算最终的本金总额A：A = P(1 + r)^t这个公式中的指数函数(1 + r)^t描述了复利效应，并帮助我们计算出最终的本金总额。
通过灵活运用指数函数，我们可以快速计算出不同年限下的复利金额，从而更好地理解复利的增长规律。
二、物理学中的应用指数函数在物理学中也有广泛的应用，尤其是在描述自然界中的现象和规律时。
例如，在弹道学中，炮弹的飞行轨迹可以通过指数函数来描述。
炮弹的高度随时间的变化可以使用指数函数表达式来表示，该表达式与炮弹的初速度、重力加速度等参数相关。
另外，指数函数还可以帮助我们描述放射性物质的衰变过程。
放射性物质衰变的速率通常遵循指数函数规律。
利用指数函数的衰变模型，我们可以计算出不同时间点上放射性物质的衰变量，从而更好地了解放射性物质的性质和行为。
三、经济学中的应用指数函数在经济学中也有重要的应用，尤其是在描述增长和衰减的趋势时。
经济增长和人口增长等现象通常可以使用指数函数模型来描述。
指数函数可以帮助我们预测未来的趋势并制定相应的发展策略。
例如，GDP的增长通常可以用指数函数来描述。
经济学家可以通过观察历史数据，运用指数函数模型，预测未来的经济增长趋势，从而为政府和企业的决策提供参考。
类似地，人口增长也可以用指数函数模型来描述，有助于规划城市和社会的发展。
专题十三 指数函数(解析版)
专题十三 指数函数考点一 指数函数的图象及应用 【基本知识】 1．指数函数的定义函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 2．指数函数的图象在x 轴上方，过定点(0，1)【常用结论】1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a 和一条渐近线y ＝0．2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称． 4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”．考向1 指数函数图象辨析 【方法总结】有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断． 【例题选讲】[例1] (1) 函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )答案 A 解析 函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求． (2) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )答案 A 解析 因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质． (3) 函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向左平移得到的，所以b <0．(4) 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )答案 C 解析 由函数f (x )的图象可知，－1＜b ＜0，a ＞1，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b ＞0，故选C ．(5) 已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B 解析 |f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1，0)，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，32．又|f (x )|≥0，所以B 项正确．故选B ． 考向2 指数函数图象的应用 【方法总结】一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [例2] (1) 若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，0] 解析 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围为(－∞，0]．(2) 若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2] 解析 y ＝21－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2．故m 的取值范围为(－∞，－2]．(3) 已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，23 解析 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23． (4) 若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，2)D ．(0，1)答案 C 解析 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0，2)时符合要求．(5) 已知函数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ． 其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B 解析 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 【对点训练】1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )1．答案 B 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，易知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选B ．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2．答案 B 解析 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0，0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以 －1<k <0．函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B ． 3．函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )3．答案 D 解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D ．4．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．答案 C 解析 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个 曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象．5．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，已知函数f (x )＝2x ⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )5．答案 B 解析 由题意可得f (x )＝2x(3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，3－x ，x ＜1，所以f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，2－x ，x ＜0，则大致图象为B 项． 6．已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)6．答案 A 解析 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1，6)．7．若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为__________．7．答案 (0，1) 解析 作出曲线y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 如图所示．由图象可得b 的取值范围是(0， 1)．8．已知f (x )＝|2x －1|，当a <b <c 时，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有( )A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．2－a<2c D．1<2a＋2c<28．答案D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a<b<c，且有f(a)>f(c)>f(b)，所以必有a< 0，0<c<1，且|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1．故选D．9．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．答案[－1，1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．10．如图，在面积为8的平行四边形OABC中，AC⊥CO，AC与BO交于点E．若指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)经过点E，B，则a的值为()A．2B．3C．2D．310．答案A解析设点E(t，a t)，则点B的坐标为(2t，2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2．因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝2．故选A．考点二指数函数的性质及应用【知识梳理】指数函数的性质考向1比较指数式的大小与解不等式【方法总结】1．比较指数式大小的方法比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x )．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【例题选讲】[例3] (1) 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C 解析 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1．又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c ．(2) (2016·全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A 解析 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c ．综上得b <a <c ．故选A ．(3) 已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a ) 答案 B 解析 易知f (x )＝2x－2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(4) 若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4， x ≥0，2－x－4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0．∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．(5) 已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B 解析 函数f (x )＝e x －1e x 的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)．考向2 与指数函数有关的复合函数的值域 【方法总结】(1)y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同．(2)先确定f (x )的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y ＝a f (x )的值域． 【例题选讲】[例4] (1) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12221x x ＋－的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0，4] D ．[4，＋∞) 答案 C 解析 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ．因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数．因为t ＝()x ＋12－2≥－2，所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0，4]．(2) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3，2]上的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤34，57 解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由x ∈[－3，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8．则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤14，8．当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57．故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤34，57．(3) 已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 答案 解析 由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e ．故f (x )的最小值为f (1)＝e ．(4) 若函数y ＝4x －2x ＋1＋b 在[－1，1]上的最大值是3，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 A 解析 y ＝4x －2x ＋1＋b ＝(2x )2－2·2x ＋b ．设2x ＝t ，则y ＝t 2－2t ＋b ＝(t －1)2＋b －1．因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，2．当t ＝2时，y max ＝3，即1＋b －1＝3，b ＝3．故选A ．(5) 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，则a 的值为__________．答案 13或3 解析 设t ＝a x >0，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1．①若a >1，因为t ＝a x 在[－1，1]上递增，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ．因为－1<0<1a ，所以y ＝(t ＋1)2－2在t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a 上递增，由复合函数单调性知原函数在[－1，1]上递增，故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1，由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)，所以a ＝3．②若0<a <1，同理可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a＝－15(舍)，所以a ＝13．综上可知，a ＝13或a ＝3．考向3 与指数函数有关的复合函数的单调性 【方法总结】与指数函数有关的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)． 【例题选讲】[例5] (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减答案 C 解析 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C ．(2) 若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B 解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|．由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B ．(3) 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎦⎤12，1 答案 D 解析 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0，1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0，1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D ．(4) 已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．答案 (－∞，4] 解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m 2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(5) 若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，23 B ．⎣⎡⎭⎫33，1 C ．(1， 3 ] D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B 解析 令t ＝a x，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12．若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1．故选B ．【对点训练】11．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a11．答案 A 解析 由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b ．综上，a ＞b ＞c ． 12．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.75，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a12．答案 A 解析 由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a >b ．综上，a >b >c ．13．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a13．解析 A 解析 因为y ＝25x (x >0)为增函数，所以a >c ．因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，所以c >b ，所以a >c >b ．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．14．答案 (－3，1) 解析 若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0， 则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1．综合可得－3<a <1． 15．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．15．解析 {x |x <1} 解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，所以3－2x <4－3x ，解得x <1，则不等式的解集为{x |x <1}． 16．已知函数y ＝2-2++1x ax 在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________．16．答案 [6，＋∞) 解析 函数y ＝2-2++1x ax 是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫a2，＋∞上单调递减，且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2-2++1x ax 在区间⎣⎡⎦⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫a2，＋∞上单调递减．又因为函数y ＝2-2++1x ax 在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a ≥6．17．函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)17．答案 B 解析 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B ． 18．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x的值域为________． 18．答案 (0，4] 解析 令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t ，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数第11页y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4． 19．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．19．答案 3 解析 当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3．又∵a >1，∴a ＝3．当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝3．20．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．20．答案 (－1，＋∞) 解析 不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x ．在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1．21．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |． (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．21．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1． (2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1，2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．22．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．22．解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数， 从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13．。
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指数函数应用举例专题总结
学生学习完指数函数()01x y a a a =>≠且之后，往往感觉知识点很多且在生活中不常见，事实上，我们的生活中有很多时候是要用得到指数函数的，如：
问题1：设某辆汽车今年的价值是30万元，若按每年20%的折旧率折旧，问20年后该汽车价值为多少万元？
这是生活中常见的例子，选择该例子是因为它能引起学生的兴趣。
只要分析好“按折旧率折旧”的意思，让学生理解清楚题意，就能激发起学生对于解决该问题的求知欲。
引导学生求解该问题时可从简单的2014年价值，推到2015年的价值，再推到2016年，2017年，从而引导学生发现出其中的规律及公式，从而可以推出20年后该汽车的价值。
问题2：某市2004年有常住人口54万，如果人口按每年1.2%的增长率增长，那么2020年该市常住人口约为多少万人？
这也是能引起学生兴趣的话题，用问题1类似的方法能让学生容易解决该问题。
最后引导学生探索出按照固定变化率的增长问题与减少问题对应的解决方法与公式。
指数函数若能回归到学生身边的问题中，必定能引起学生的兴趣及求知欲，同时通过指数函数应用举例的学习可以培养到学生猜测与推理、归纳整理的能力。