直线与平面垂直 PPT

4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理 辑推理、数学抽象的数学
和性质定理处理空间垂直问题．(难点) 核心素养.
自主预习 探新知
1.直线与平面垂直的定义
文字语言
图形语言 符号语言
如果直线 l 与平面 α 内的_任_意__一__条__直线都垂
直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直，直线 l 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中，与 AA1 垂直的平面的
个数是( )
A．1 B．2
C．3
D．6
B [正方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中与 AA1 垂直的平面是平 面 ABCD 与平面 A1B1C1D1.]
2．直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
②若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面 α 必
相交；
③过平面 α 外一点有且只有一条直线和平面 α 垂直；
④过直线 a 外一点有且只有一个平面和直线 a 垂直。
A．0 B．1
C．2
D．3
C [①错误。若直线 m∥平面 α，直线 l⊥m，则 l 与 α 平行、相交或 l 在 α 内都有可能；
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直 线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法 是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内。
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线。
1．下列说法中错误的个数是（ ）
①若直线 m∥平面 α，直线 l⊥m，则 l⊥α；
[思路探究] 两直线垂直于同一平面⇒两直线平行。
[证明] 因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D.又因为 CD⊥平面 ADD1A1，所以 CD⊥AD1.
因为 A1D∩CD＝D，所以 AD1⊥平面 A1DC.又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
本例中条件不变，求证：M 是 AB 中点。
_l_⊥_α___
面，它们唯一的公共点 P 叫做垂足
2．直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 文字语言
_平__行_
符号语言
ab⊥ ⊥αα⇒__a_∥__b_
图形语言
两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂 文字语言
直于这个平面
符号语言
aa∥⊥bα⇒_b_⊥__α__
4．直线 n⊥平面 α，n∥l，直线 m⊂α，则 l，m 的位置关系是 ________．
l⊥m [由题意可知 l⊥α，所以 l⊥m.]
合作探究 提素养
类型一：线面垂直的定义及判定定理的理解
【例 1】 下列说法中正确的个数是（ ）
①如果直线 l 与平面 α 内的两条相交直线都垂直，则 l⊥α；
[证明] （1）因为 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BC. 又 AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以 BC⊥平面 PAB，AE⊂平面 PAB， 所以 AE⊥BC. 又 AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以 AE⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC， 所以 AE⊥PC. 又因为 PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以 PC⊥平面 AEF.
②错误。若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 直线 l 与平面 α 平行、相交或 l 在 α 内都有可能；③④正 确。]
类型二：线面垂直性质定理的应用 [探究问题] 将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC 与桌面接触）．观察 折痕 AD 与桌面的位置关系。
3.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
如果一条直线与平面
内的_两__条__相__交_直__线__都
垂直，则这条直线与这 个平面垂直
符号语言
l⊥a，
l⊥b，
a⊂α，
⇒l⊥α
b⊂α，
a∩b＝P
思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线 与这个平面是什么位置关系？
[提示] 相交或平行或直线在平面内。
1．折痕 AD 与桌面一定垂直吗？ [提示] 不一定。 2．当折痕 AD 满足什么条件时，AD 与桌面垂直？ [提示] 当 AD⊥BD 且 AD⊥CD 时，折痕 AD 与桌面垂直。
【例 2】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上 一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC，求证：MN∥AD1.
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
A [由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l 与 m 可能相交或异
面，但不可能平行．]
3．若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于( )
A．平面 OAB
B．平面 OAC
C．平面 OBC
D．平面 ABC
C [∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面 OBC，OC⊂ 平面 OBC，∴OA⊥平面 OBC.]
[证明] 连接 ON，在△A1DC 中，A1O＝OD，A1N＝NC.
所以 ON1 2CD源自12AB，所以 ON∥AM.
又因为由本例可知 MN∥OA，
所以四边形 AMNO 为平行四边形，
所以 ON＝AM.因为 ON＝12AB，
所以 AM＝12AB，所以 M 是 AB 的中点。
平行关系与垂直关系之间的相互转化
②如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直，则 l⊥α；
③如果直线 l 不垂直于 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线；
④如果直线 l 不垂直于 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直。
A．0
B．1
C．2
D．3
D [由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直 的定义知，②正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条直线 垂直，故③不对；④正确。]
直线与平面垂直
学习目标
核心素养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 1.通过直线与平面垂直
2.掌握线面垂直的性质定理，并能应 的定义学习，培养直观想
用．(重点)
象的数学核心素养.
3.理解直线与平面垂直的判定定理，并 2.借助线面垂直的判定
会用其判断直线与平面垂直．(重点) 定理与性质定理，提升逻
类型三：线面垂直判定定理的应用
【例 3】 如图，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，AE⊥ PB 于 E，AF⊥PC 于 F.
（1）求证：PC⊥平面 AEF； （2）设平面 AEF 交 PD 于 G，求证：AG⊥PD.
[思路探究] PA⊥平面 ABCD，ABCD 为矩形，AE⊥PB，AF⊥ PC⇒直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则 垂直于这个平面内的所有直线。