函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探

∵ g ′( x) = e x + 1 − 2 x > 0 ，
∴ g ( x) 在 x ∈ [0 ， 1] 单调递增，故 a ∈ [1 ， e] ．
现在画出图象，
y y = 2 x2 − 1 y y = 2 x2 − 1
y=x y=x
x +1 2
x
评注 本道题目是 2013 年四川高考选择题的压 轴题，如果考生掌握了函数不动点的这些基本知识 和性质，则可轻松作答． 性质 2 若函数 y = f ( x) 存在二阶周期点， 则必然 成对出现，且二阶周期点必定存在不同的单调区间 内． 性质 3 若函数 y = f ( x) 存在一对二阶周期点 x1 ，
近期，笔者在期刊上阅览了较多关于函数不动 点的相关文章．很多关于函数不动点的文章都涉及 到较为复杂的证明，体现出了撰写者深厚的数学功 底．但是对于初步接触到这类知识点的学生或年轻 教师来讲，这些文章显然太过深奥了，不易接受．基 于此，笔者试图通过本文用较为通俗易懂的语言来 阐述函数的不动点等相关知识，让那些初学者能够 容易地接受．不足之处，恳请各位同行批评指正． 相关概念 一阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定 义域为 I ，如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( x0 ) = x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点，简称不动点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 不动点： ⎧ y = f ( x) 的 ①从代数的角度，不动点是方程组 ⎨ ⎩y = x 解 ( x0 ， y0 ) 中的 x0 ； ②从图象的角度，不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 二阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，则称 x0 为函数
y=x
1 作出点 A( ,a ) 解法 2 图象法 画出 f ( x) 的图象， 2 1 关于直线 y = x 的对称点 B(a ， ) ， 则直线 OB 的方程， 2 1 为y= x ，直线 CA 方程为 y = −2ax +2a ． 2a 根据性质 3，直线 OB 与 CA 要有一个交点， 1 ⎧ x， 4a 2 ⎪y = 解得 x = ． 联立 ⎨ 2a 1 + 4a 2 ⎪ ⎩ y = −2ax + 2a ，
因此必有 0 < x1 < a < x2 < 1 ． ⎧1 x = x2 ， ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ⎪ 1 由⎨ 得 ⎨a ⎩ f ( x2 ) = x1 ， ⎪ 1 (1 − x ) = x ， 2 1 ⎪1 − a ⎩ a ⎧ ， x1 = ⎪ ⎪ a + 1 − a2 解得 ⎨ 1 ⎪x = ， 2 ⎪ a + 1 − a2 ⎩ a 1 ∴ 函数的二阶周期点为 和 ． 2 a +1− a a + 1 − a2 法 2 图象法 画出 f ( x) 的图象， 由 y A
2014 年第 11 期
9 ⋅ 5n −1 − 1 ． 3 ⋅ 5n −1 + 1
函数问题
福建中学数学
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∴ xn = f ( n −1) (2) =
本题的解法可用程序框图表示如下（如图 6） ：
数列问题
{xn } 通项公式
ϕ
ϕ
映射
映射
函数问题
f ( n ) ( x) 表达式 反演 g ( n ) ( x) 表达式 反演 图6
例 2 （ 2013 年高考四川卷·理 10 ）设函数
f ( x) = e x + x − a（ a ∈ R ，e 为自然对数的底数） ． 若
y0 ) 使 f ( f ( y0 )) = y0 成立， 曲线 y = sin x 上存在点 ( x0 ，
则 a 的取值范围是（ A． [1 ， e] C． [1 ， e + 1]
y = f ( x) 有不动点 x0 ．
y = x 对称的两点的横坐标；稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直
线 y = x 对称的两点的横坐标． 下面，举例说明如何求出一个函数的不动点， 稳定点，周期点． 例 1 设 f ( x) = 2 x 2 − 1 ，令 2 x 2 − 1 = x ， 1 解得 x1 = − ， x2 = 1 ． 2 1 因此 − 和 1 是函数的不动点． 2 2 ⎧ f ( x3 ) = x4 ， ⎧2 x3 − 1 = x4 ， ⎪ ⎪ 得 ⎨2 x4 2 − 1 = x3 ， 令 ⎨ f ( x4 ) = x3 ， ⎪x ≠ x . ⎪x ≠ x ， 4 4 ⎩ 3 ⎩ 3
x2 ( x1 ≠ x2 ) ，则 y = f ( x) 图象上必存在一对关于直线 y = x 对称的点 A( x1 ， x2 ) ， B ( x2 ， x1 ) ．
x
y=±
可以看出，不动点是函数图象与直线 y = x 的交 点的横坐标；而稳定点还可以理解成函数图象与它 的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标． 从本题我们还可以看到，两个周期点分别属于 两个不同的单调区间． 一些重要的性质： 则不动点等价 性质 1 若函数 y = f ( x) 单调递增， 于稳定点． 证明 若函数 y = f ( x) 有不动点 x0 ，显然它也有 稳定点 x0 ； 若函数 y = f ( x) 有稳定点 x0 ，即 f ( f ( x0 )) = x0 ． 设 f ( x0 ) = y0 ，则 f ( y0 ) = x0 ， 即 ( x0 ， y0 ) 和 ( y0 ， x0 ) 都在 y = f ( x) 函数图象上，
x
） B． [e −1 − 1 ， 1] D． [e −1 − 1 ， e + 1]
解析 根据复合函数的单调性，可以判断 f ( x) =
e + x − a 为 增 函 数 ； 又 因 为 存 在 y0 ∈ [−1 ， 1] 使 f ( f ( y0 )) = y0 ，即有稳定点 y0 ，根据性质 1，必有不
f ( x ) 的二阶不动点，简称稳定点．
②从图象的角度，稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标． 二阶周期点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，且 f ( x0 ) ≠ x0 ， 则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点，简称周期点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 周期点： ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ①从代数的角度，周期点是方程组 ⎨ f ( x2 ) = x1 ， ⎪x ≠ x ， 2 ⎩ 1 的解； ②从图象的角度， 周期点是 y = f ( x) 图象上关于 直线 y = x 对称的两点的横坐标． 三者的关系 根据上述定义以及分析，我们从两 方面来理解三者的关系： ①从集合的角度：设 U ={ 稳定点 } ， A ={ 不动 点}，则 A ⊆ U ， CU A ={周期点} 因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是 不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件． ②从图象的角度：不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 稳定点： ⎧ f ( x ) = x2 ①从代数的角度， 稳定点是方程组 ⎨ 1 的 ⎩ f ( x2 ) = x1
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福建中学数学
2014 年第 11 期 假设 x0 > y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) > f ( y0 ) ，即 y0 > x0 ，与假设矛盾； 假设 x0 < y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) < f ( y0 ) ，即 y0 < x0 ，与假设矛盾； 故 x0 = y0 ，即 f ( x0 ) = x0 ．
1 两式相减，得 x3 + x4 = − ， 2 ⎧ −1 − 5 ， ⎪ x3 = ⎪ 4 再代入其中一个表达式，得 ⎨ −1+ 5 ⎪ x4 = . ⎪ 4 ⎩ −1 − 5 −1+ 5 ∴ 和 是函数的周期点． 4 4 1 −1 − 5 −1+ 5 故 − ，1， ， 是函数的稳定点． 2 4 4
限于篇幅，略去性质 2，3 的证明． 例 2 （2013 年高考江西卷·文 21 改编）设 ⎧1 x， 0 ≤ x ≤ a， ⎪ ⎪a f ( x) = ⎨ 1) ． 若 a 为常数，a ∈ (0 ， ⎪ 1 (1 − x) ， a ≤ x ≤ 1， ⎪ ⎩1 − a x0 满足 f ( f ( x0 )) = x0 ， 但 f ( x0 ) ≠ x0 ， 则称 x0 为 f ( x) 的 二阶周期点． 若函数 f ( x) 有且仅有两个二阶周期点， 请求出二阶周期点 x1 ， x2 ． 证明 法 1 代数法 设函数 f ( x) 的二阶周期点为
f ( x) 的稳定点．如果函数 f ( x) = x 2 + a 的稳定点恰是
2014 年第 11 期
x1 ， x2 ．不妨设 x1 < x2 ，由性质 2 可知， x1 ， x2 不能属于同一个单调区间．
福建中学数学
2a 1 4a 2 1 ，解得 a > ． < < 1+4a 2 2 1+4a 2 2
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由Fra Baidu bibliotek
性质 3，作出点 A(a ， 1) 关于直线 y = x
y = ax ，
观察图象易知令
B O x
4a 2 1 1 > ，解得 a > ． 1+4a 2 2 2 解法 3 图象法 画出 f ( x) 的图象， 作出点 A 关于
的对称点 B (1 ， a) ， 则直线 OB 的方程为
直线 y = x 的对称点 B ， 根据性质 3， 直线 OB 与 CA 要 有一个交点，则直线 OA 的斜率必须大于直线 y = x 1 的斜率，∴ 2a > 1 ，解得 a > ． 2 评注 本题已知函数有两个二阶周期点，求参数 取值范围，仍然是利用周期点的代数条件或者几何 意义，结合性质 2，3 求解． 解法 2，3 都是数形结合，不同之处在于解法 3 进行了大胆细致的观察，充分发挥图象的优点，得 到“直线 OA 的斜率必须大于直线 y = x 的斜率” 这样 一个隐含的条件，从而迅速求解． 例 4 对于函数 y = f ( x) ， 若 f ( x0 ) = x0 ， 则称 x0 为 若 f ( f ( x0 )) = x0 ， 则称 x0 为函数 函数 f ( x) 的不动点；
ϕ −1
ϕ −1
在应用 RMI 原理解题时，必须根据具体情况灵 活运用，不能生搬硬套，要在实际的解题中去理解 和掌握有关技巧．
参考文献 [1]徐利治，郑毓信．关系映射反演原则及应用．大连：大连理工大学出 版社，2008 [2]蒋亮． “RMI 原理”下的解析几何教学． 中学数学教学参考 （上旬） ， 2012 （5） ：16-18 [3]岳建良，邱山．发散提升理解，回归促进掌握．中学数学教学参考（上 旬） ，2012（5） ：26-30 [4]林国夫． 利用函数不动点求数学的通项公式． 数学通报， 2008， 47 （12） ： 44-47 [5]任韩．数学奥林匹克命题人讲座—图论．上海：上海科技教育出版社， 2009
动点 y0 ，使得 f ( y0 ) = y0 且 y0 ∈ [0 ， 1] ， 即 f ( x) = e x + x − a = x 在 x ∈ [0 ， 1] 有解，
1] 有解， 整理可得 a = e x + x − x 2 在 x ∈ [0 ，
1] ， 令 g ( x) = e x + x − x 2 ， x ∈ [0 ，
函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探
苏艺伟 福建省龙海第一中学（363100） 解(这里的 x1 ， x2 可能相等)． 显然 A( x1 ， x2 ) ， B ( x2 ， x1 ) 这两个点都在函数 y = f ( x) 的图象上．当 x1 ≠ x2 时，
A ， B 两点关于直线 y = x 对称．