函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探

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不动点理论的发展历程及

2023-11-08CATALOGUE 目录•不动点理论概述•不动点理论的核心概念•不动点理论的应用场景•不动点理论的挑战与解决方案•不动点理论的未来发展趋势及展望01不动点理论概述不动点理论是指函数在某一点上达到平衡状态，即函数在该点上的值不再发生改变。

这个概念被广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域。

不动点理论在数学中通常是指对于某个映射或函数，存在一个点使得该映射或函数在该点上的作用结果等于该点的原始值。

这个概念可以用于研究函数的单调性、收敛性等性质。

不动点理论定义不动点理论的重要性不动点理论在数学、物理学、经济学等领域中具有重要的应用价值。

例如，在数学中，不动点理论可以用于证明某些函数的收敛性；在物理学中，不动点理论可以用于研究系统的平衡状态；在经济学中，不动点理论可以用于研究市场的稳定性和均衡价格。

不动点理论的发展历程中涌现出了许多重要的数学家和物理学家，他们对不动点理论的形成和发展做出了重要的贡献。

不动点理论的发展可以追溯到19世纪末期，当时一些数学家开始关注函数的不动点性质。

其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔辛斯基，他在1890年左右证明了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理。

不动点理论的历史与发展随后，不动点理论得到了广泛的应用和发展。

在20世纪初期，一些数学家开始研究拓扑学中的不动点理论，并取得了重要的成果。

同时，不动点理论也被应用于物理学、经济学等领域中，成为研究系统平衡状态的重要工具之一。

近年来，不动点理论仍然是一个活跃的研究领域。

随着计算机科学和人工智能的发展，不动点理论在机器学习、神经网络等领域中也得到了广泛的应用和发展。

02不动点理论的核心概念压缩映射原理是指对于两个非空集合A和B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素x，f(x)都在B中，并且对于B中的任意元素y，都存在一个x属于A，使得f(x)=y。

那么我们就称f是一个压缩映射，A和B是满足压缩映射原理的。

黄之--二次函数的不动点、二阶周期点与一道数列题

二次函数的不动点、二阶周期点与一道数列题黄之本文先对二次函数作一些探究，然后以此解决数列的一个问题.一.设)0()(2≠++=a c bx ax x g ，下面来分析一下0)(=-x x g 的根(g 的不动点)以及0))((=-x x g g 的根(g 的二阶不动点)的关系.显然不动点一定是二阶不动点，所以多项式)))(((x x g g -一定可以被))((x x g -整除.用长除法，可以得到))1()1()()(())((22+++++-=-b ac x b a x a x x g x x g g (1) 由(1)就得到了g 的四个二阶不动点，其中两个是不动点.下面把适合0))((=-x x g g 但x x g ≠)(的x 称为g 的二阶周期点.我们计算二次函数))((x x g -的判别式：ac b 4)1(2--=∆.再计算因式))1()1((22+++++b ac x b a x a 的判别式：)4('2-∆=∆a .如果只在实数范围内考虑问题，则当0<∆时，函数g 没有不动点；当0=∆时g 有一个二重不动点；当40<∆<时，g 有两个相异的不动点而没有二阶周期点；当4=∆，此时看似有两个相异的不动点和一个二重二阶周期点，实则不然，此时不动点为 ab x a b x 23,2121-=--=而(1)中另一个因式的根为a b x x 2143+-== ，可见，此时实际上还是只有两个相异的不动点而没有二阶周期点；当4>∆时，g 有两个相异的不动点和两个相异的二阶周期点.下面主要讨论当4>∆时的情形，只研究a>0的情形就够了.设g 的不动点为21x x <，二阶周期点为43x x <.I.次序：不动点ab x a b x 21,2121∆++-=∆-+-=显然分在g(x)和g(g(x))的公共对称轴a b x 2-=的两侧.而两个二阶周期点为ab x a b x 241,24143-∆+--=-∆---=，注意4>∆，不难得到四个根的次序必定为：2413x x x x <<<.II.两个二阶周期点的关系：由于)()))((())((3333x g x g g g x x g g =⇒=可见)(3x g 是x x g g =))((的根.又，若)())((33x g x g g =，两边施加g 则有33)(x x g =，但3x 是二阶周期点，矛盾，故)())((33x g x g g ≠.这表明)(3x g 也是g 的一个二阶周期点，所以，必有43)(x x g =，同理，34)(x x g =.二.下面我们来看如下问题：若数列}{n a 满足++++∈<--N n a a a a n n n n ,0))((122且有递推关系c a b a a a n n n +⋅+⋅=+21 其中a,b,c 是三个给定的实数.求a,b,c 应满足的条件以及对应条件下1a 的取值范围. 分析与解答:1. 0=a 时. c ba a n n +=+1，由于0))((122<--+++n n n n a a a a ，显然必有1,0≠b .易得11)1(1---=--n n b bc a b c a而等比数列}1{bc a n --也满足每一项都在前两项之间，由此易见)0,1(-∈b 且其首项 011≠--bc a 所以，此时，b c a R c b a -≠∈-∈=1,),0,1(,01. 2. 0≠a 时.将递推式写为ac a a b a a a a n n n +⋅+⋅=⋅+)()(21进一步又 )24()2(2221b b ac b a a b a a n n +-++⋅=+⋅+ 再令2b a a b n n +⋅=，则)24(221b b ac b b n n +-+=+，此递推函数的二次项系数为1，一次项系数为0，所以，不失一般性，只要探究当0,1==b a 时的情形就够了.下面假设)(1n n a f a =+，其中c x x f +=2)(，任取}{n a 中的连续三项： ))((),(,x f f x f x由题意，必须)())((x f x f f x <<或者x x f f x f <<))(()(. (2) 由之前的论述有)1)(())((22++++-=-c x x c x x x x f f4',41-∆=∆-=∆c .I.当0≤∆时，0'<∆，所以，此时恒有x x f x f f ≥≥)())((，不符合题意.II.当40≤∆<时. 即)41,43[-∈c .①若01<x .由于)0(f 是)(x f 的最小值，所以必有)0())0((f f f >.故当),(11x x x -∈时有)())((x f x f f >.由单调性，当),(21x x x -∈时，))(()()(x f f x f x f x >⇒>.(如图)由(2)，数列每一项都满足'),(12A x x x =-∈或者B x x x =-∈),(11.1.为了对A ’修正，取某个0x ，使得0,)(010<-=x x x f解得 10x c x ---=对此0x ，由)()(1110x f x x x f =>-=，得10x x <.那么当'A x ∈时，若0x x ≤，则1)(x x f -≥使得f(x)不在B 中，矛盾，所以0x x >，于是将A ’修正为),(10x x A =.这样，当A x ∈时便有B x f ∈)(.2.而当B x ∈时，),[)(1x c x f ∈，由)(0)(01x f x c f =-<<得0x c >，所以，必有A x f ∈)(. 于是，这时候数列的项交替地属于A 、B.所以符合条件.此时)0,43[-∈c ，),(),(11101x x x x a -∈ .21,2121∆+=∆-=x x .②若01≥x ，即0≥c .由(2)只能),(12x x x --∈，而此时),()(21x x x f ∈，矛盾.III.最后，当4>∆时.241,241,21,214321-∆+-=-∆--=∆+=∆-=x x x x此时，又需要分两类情况讨论.①若04≥x .由单调性及前述，由(2)，数列每一项都必须符合D x x x x x =--∈),(),(1432 .但),())(),(()(),(131414x x x f x f x f x x x =-∈⇒-∈即f(x)不在D 中，矛盾，故只能E x x x =-∈),(32，但),())(),(()(),(242332x x x f x f x f x x x =-∈⇒-∈f(x)又不在E 中，又矛盾. ②最后，若)43154(04-<<-⇔<∆<⇔<c x此时由(2)，数列每一项都符合'),(32A x x x =-∈或者'),(14B x x x =-∈.1.当'B x ∈时，若4x x -≥则344)()()(x x f x f x f ==-≥且又 411)()(x x x f x f <=-< 即f(x)不在A ’,B ’中，矛盾，故B x x x =-∈),(44(修正后的B ’).2.为了对A ’修正，取某个0x ，符合0,)(040<-=x x x f解得40x c x ---=对此0x ，由)()(0443x f x x x f =-<=，得到：必然有30x x <. 那么，当'A x ∈时，若0x x ≤则4)(x x f -≥，使得f(x)不在B 中，也不在A ’中，矛盾，故A x x x =∈),(30(修正后的A ’).综上，数列的每一项必须在),(),(4430x x x x B A -= 中.而且容易看出：B x f A x ∈⇒∈)(，A x f B x ∈⇒∈)(这就是说，数列的那些项将交替地属于A 或者B ，故符合题意.综合上述所有，总结得到以下结论：数列c a a a n n n +=+21:}{，若0))((122<--+++n n n n a a a a 恒成立，则对c 的要求是： 01)5,1(41<<-⇔∈-=∆c c .而首项的范围： ①)0,43[],4,1(-∈∈∆c 时，),(),(11111x x x x c a ----∈ . 其中211∆-=x . ②)43,1(),5,4(--∈∈∆c 时，),(),(44341x x x x c a ----∈ . 其中241,24143-∆+-=-∆--=x x .下面把上述结论用于原题中0≠a 时情形：)24()2(222121b b ac b a a b a a c a b a a a n n n nn +-++⋅=+⋅⇔+⋅+⋅=++ 对数列}2{ba a n +⋅应用结论，则得到：a,b,c 满足的条件是 )5,1(4)1(2∈--=∆ac b首项的范围是：①]4,1(∈∆时，),(),24(2111121x x x x b b ac b a a ---+--∈+⋅ (3) 其中211∆-=x . ②)5,4(∈∆时，),(),24(2443421x x x x b b ac b a a ---+--∈+⋅ (4) 其中241,24143-∆+-=-∆--=x x . 由(3)(4)就给出了1a 的范围.P.S.2020年浦东新区二模考的数列题：+++++∈<---=N n a a a a a a a n n n n n n n ,0))((,519:}{12221.求1a 的范围. 取519,0,51==-=c b a ，则52,53,2510143-=-==∆x x .由(4)，首项).2,2()29,3(1-∈ a。

高考数学深度资料：函数的一阶不动点_二阶不动点_二阶周期点初探

f ( x ) 的二阶不动点，简称稳定点．
②从图象的角度，稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标．二阶周期点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ，如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，且 f ( x0 ) ≠ x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点，简称周期点．根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解周期点： ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ①从代数的角度，周期点是方程组 ⎨ f ( x2 ) = x1 ， ⎪x ≠ x ， 2 ⎩ 1 的解； ②从图象的角度，周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标．三者的关系根据上述定义以及分析，我们从两方面来理解三者的关系： ①从集合的角度：设 U ={ 稳定点 } ， A ={ 不动点}，则 A ⊆ U ， CU A ={周期点} 因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件． ②从图象的角度：不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标；周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线
2014 年第 11 期
9 ⋅ 5n −1 − 1 ． 3 ⋅ 5n −1 + 1
函数问题
福建中学数学
39
∴ xn = f ( n −1) (2) =
本题的解法可用程序框图表示如下（如图 6）：
数列问题
{xn } 通公式
ϕ
ϕ
映射
映射
函数问题
f ( n ) ( x) 表达式反演 g ( n ) ( x) 表达式反演图6

函数迭代和不动点

函数迭代和不动点1 问题提出古代有一个善于经营的商人，他每天的银子都可以翻番，但是需要交税。

第一种交税方式是每天固定缴纳10两银子，第二种交税方式是每天缴纳总银两的三分之一。

假设商人星期一早上有12两银子，那么到了星期五生意结束后，他按哪种交税方式合算呢？先来看第一种方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=2x-10.设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=2t-10.第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=2f(t)-10=2(2t-10)-10=4t-30.第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=2f(f(t))-10=2(4t-30)-10=8t-70.同理第四天结束时的银两为f(f(f(f(t))))=2f(f(f(t)))-10=2(8t-70)-10=16t-150.第五天结束时的银两为f(f(f(f(f(t)))))=2f(f(f(f(t))))-10=2(16t-150)-10=32t-310.已知t=12，所以按照第一种缴税方式第五天结束后商人还剩银两为32x12-310=74，缴纳的税为50两.再看第二种缴税方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=4x/3.设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=4t/3.第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=4f(t)/3=16t/9 第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=4f(f(t))/3=64t/27第四天开始时银两为f(f(f(t))),结束时的银两为f(f(f(f(t))))=4f(f(f(t)))/3=256t/81第五天结束时的银两为f(f(f(f(f(t)))))=4f(f(f(f(t))))/3=1024t/243.已知t=12，所以按照第二种缴税方式第五天结束后商人还剩银两为1024x12/243=50.6，可以计算缴纳的税约为77.1两.这种同一个函数复合多次，我们叫做函数的迭代。

不动点的性质与应用

不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ，故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况；综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。

不动点定理

2010
• 4）当3.449<a<3.544时有八个四周期点，其中四个
是不稳定的排斥子，四个是稳定的吸引子，函数的迭代序列循环地在四个稳定点的附近跳跃
• 5）当a的值不断增加时高阶不动点不断出现，迭代
序列在16个周期点，32个周期点等的附近循环地出现。
• 6）当a的值不断地向3.569945972….接近时，迭代
• 3求证(уⁿ⁺₁-χⁿ⁺₁)⁄(уⁿ-χⁿ)<1⁄2 • 4求证∑уĸ<∑χĸ+1 • 评析这一道试题绝妙地将数学归纳法，函数不等式，
数列等几大版块的知识融合再一起，在思维上具有良好的区分度和一定的创新性
• 1导数来判断 • 2数学归纳法的”三步曲“，重点须放在的过成中如
何创设出运用数学归纳的条件（一定要运用前面的假设）
• 3）3<a<1+√6此时仍有两个不动点q和1-1/a，但此时
迭代序列都不收敛于这两个点而是在这两个二周期点（二阶不动点）的附近反复跳跃是指满足ƒ(ƒ(χ))=χ的点（一阶不动点一定是二阶不动点）除o和1-1/a外，还有就是 χ1χ2=1+a±√(a+1)(a+3)ƒ(χ1)=χ2,ƒ(χ2)=χ1所以这时函数有四个二周期点前两个是不稳定的排斥子，后两个是稳定的吸引子
• 3在2界定的范围内，合理的进行放缩，以达到较为
精确的范围
• 4该问是笔者自己命制的，可能会有出入。 • 当然，在每年的各个自主命题的高考试卷中，都会看
到这些熟悉的背影。而这些试题往往具有一定的难度。例如：07年全国卷1（22）用数学归纳法来证明收敛速度。08年浙江卷（21），全国卷1（22），09年安徽卷（22），江西卷（22）重庆卷（22）等。在高考题中考查较为频繁的是递推数列。而递推数列中的考查又依托了非线性迭代序列的考查，以此来甄别考生的水平程度。

专题1：函数的零点、不动点、稳定点

奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有（）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。

（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。

4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。

混沌与分形

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复平面中的神奇迭代-Julia集合
在复平面上,x轴代表实数,y轴代表虚数。现在复平面上任意取一个点z,将其代入下面方程中进行反复迭代运算： zn+1=zn2+c 最后得到的z值有3种可能性： ①z值没有界限增加（趋向无穷） ②z值衰减（趋向于零） ③z值是变化的,即非1或非2 趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。 Mandelbrot集合是所有的Julia集合的合并。
16
得到"Julia集合"的近似算法
一般按下述算法近似计算"Julia集合" ：
n=0; while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax)) {Z=Z*Z+C;}
其中：Nmax为最大迭代次数,Rmax为逃离界限。由(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax退出循环时, 相当于"①z值没有界限增加(趋向无穷)",为定常吸引子,把这些区域着成白色。由(n >= Nmax)退出循环时,相当于"②z值衰减(趋向于零)"或"③z值是变化的",把这些区域着成黑色。黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。
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实验练习
对迭代函数z=z2+c的参数进行调整，观测对图像的影响。对观测窗口参数rx=linspace(xl,xr,256); ry=linspace(yd,yu,256);进行调整，观测对图像的影响。对颜色映射的方式进行变动，观测对图像的影响。

高中数学函数不动点方程题解题技巧

高中数学函数不动点方程题解题技巧在高中数学中，函数不动点方程是一个常见的题型。

这类题目通常要求找出一个函数的不动点，即满足f(x) = x的解。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算，提高解题效率。

首先，我们来看一个简单的例子。

设函数f(x) = 2x + 1，要求解方程f(x) = x。

我们可以将方程改写为2x + 1 = x，然后将x移到方程的一边，得到x = -1。

这样，我们就找到了函数f(x)的不动点。

这个例子中，我们可以观察到一个规律：不动点即为函数图像与y = x的交点。

因此，我们可以通过作图来解决这类问题。

以函数f(x) = 2x + 1为例，我们可以绘制它的图像，并与直线y = x相交，交点即为不动点。

除了作图法，我们还可以利用代数方法解决不动点方程。

考虑函数f(x) = x^2 -3x + 2，要求解方程f(x) = x。

我们可以将方程改写为x^2 - 4x + 2 = 0，然后利用求根公式求解。

通过求根公式，我们可以得到x = 1和x = 2，这两个解分别对应函数f(x)的不动点。

在解决不动点方程时，我们还可以运用迭代法。

迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近函数的不动点。

以函数f(x) = x^2 - 2为例，要求解方程f(x) = x。

我们可以先取一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = f(xn)来逐步逼近不动点。

通过计算，我们可以得到x1 = 2和x2 = 1.5，这两个值逐渐接近函数f(x)的不动点。

除了上述方法，我们还可以通过函数的图像特征来解决不动点方程。

以函数f(x) = sin(x)为例，要求解方程f(x) = x。

我们可以观察到函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且在不动点附近呈现线性关系。

因此，我们可以通过观察图像的斜率来逼近不动点。

通过计算，我们可以得到x = 0和x = 1.895，这两个值分别对应函数f(x)的不动点。

综上所述，解决高中数学函数不动点方程题可以运用多种方法。

函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探

函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探 ห้องสมุดไป่ตู้
苏艺伟福建省龙海第一中学（３６３１００）解（这里的Ｘ１，ｘ可能相等）．显然Ａ（ｘ１，ｘ２），Ｂ（ｘ２，Ｘ）这两个点都在函数Ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上．当Ｘ１ ≠Ｘ２时，
① 从代数的角度，稳定点是方程组｛：＝Ｘ２的
福建中学数学
２０１４年第１ｌ期
Ｙ＝对称的两点的横坐标；稳定点是Ｙ＝ｆ（ｘ）和Ｙ＝图象的交点横坐标以及Ｙ＝ｆ（ｘ）图象上关于直线Ｙ＝对称的两点的横坐标．下面，举例说明如何求出一个函数的不动点，稳定点，周期点．例１设ｆ（ｘ）＝２ｘ一ｌ，令２ｘ一ｌ＝ｘ，
４４ — ４７
图６
在应用ＲＭＩ原理解题时，必须根据具体情况灵
［５］任韩．数学奥林匹克命题人讲座一图论．上海：上海科技教育出版社，
２００９
活运用，不能生搬硬套，要在实际的解题中去理解
和掌握有关技巧．
（５）：１６ — １８
本题的解法可用程序框图表示如下（如图６）：
［３］岳建良，邱山．发散提升理解，回归促进掌握．中学数学教学参考（上旬），２０１２（５）：２６ — ３０［４］林国夫．利用函数不动点求数学的通项公式．数学通报，２００８，４７（１２）：

函数不连续点的分类

函数不连续点的分类在数学中，函数的连续性是一个非常重要的概念。

一个函数在某一点连续意味着在该点附近的函数值变化不会出现跳跃，而是平滑地过渡。

然而，并非所有函数都是处处连续的，有些函数会在某些点上出现不连续的情况。

这些不连续点可以根据其性质进行分类。

本文将对函数不连续点的分类进行详细介绍。

一、第一类不连续点：可去不连续点可去不连续点是指在该点上函数存在有限极限，但是函数在该点上未定义或者函数值与极限值不相等。

这种情况通常是由于函数在该点上有间断或者无穷奇点造成的。

可去不连续点可以通过对函数进行修正或者重新定义来消除。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，在$x=1$处即为一个可去不连续点，因为在该点上函数未定义，但是通过对函数进行简单的化简，可以消除这个不连续点，使得函数在$x=1$处连续。

二、第二类不连续点：跳跃不连续点跳跃不连续点是指在该点的左极限和右极限存在，但是左右极限不相等，导致函数在该点上出现跳跃的情况。

这种不连续点通常是由于函数在该点上有间断造成的。

例如，考虑函数$f(x)=\begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x\leq 0 \end{cases}$，在$x=0$处即为一个跳跃不连续点，因为在该点的左极限为0，右极限为1，不相等。

三、第三类不连续点：无穷不连续点无穷不连续点是指在该点的极限为无穷大或者负无穷大，导致函数在该点上出现无穷跳跃的情况。

这种不连续点通常是由于函数在该点上有无穷间断造成的。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$，在$x=0$处即为一个无穷不连续点，因为在该点的极限为无穷大。

四、第四类不连续点：震荡不连续点震荡不连续点是指在该点的极限不存在，导致函数在该点上出现震荡的情况。

这种不连续点通常是由于函数在该点上没有定义明确的极限造成的。

例如，考虑函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$，在$x=0$处即为一个震荡不连续点，因为在该点的极限不存在。

函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探

y=x
1 作出点 A( ,a ) 解法 2 图象法画出 f ( x) 的图象， 2 1 关于直线 y = x 的对称点 B(a ， ) ，则直线 OB 的方程， 2 1 为y= x ，直线 CA 方程为 y = −2ax +2a ． 2a 根据性质 3，直线 OB 与 CA 要有一个交点， 1 ⎧ x， 4a 2 ⎪y = 解得 x = ．联立 ⎨ 2a 1 + 4a 2 ⎪ ⎩ y = −2ax + 2a ，
x
） B． [e −1 − 1 ， 1] D． [e −1 − 1 ， e + 1]
解析根据复合函数的单调性，可以判断 f ( x) =
e + x − a 为增函数；又因为存在 y0 ∈ [−1 ， 1] 使 f ( f ( y0 )) = y0 ，即有稳定点 y0 ，根据性质 1，必有不
f ( x ) 的二阶不动点，简称稳定点．
②从图象的角度，稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标．二阶周期点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ，如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，且 f ( x0 ) ≠ x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点，简称周期点．根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解周期点： ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ①从代数的角度，周期点是方程组 ⎨ f ( x2 ) = x1 ， ⎪x ≠ x ， 2 ⎩ 1 的解； ②从图象的角度，周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标．三者的关系根据上述定义以及分析，我们从两方面来理解三者的关系： ①从集合的角度：设 U ={ 稳定点 } ， A ={ 不动点}，则 A ⊆ U ， CU A ={周期点} 因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件． ②从图象的角度：不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标；周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线

函数不动点

【例题1】 (2010浙江大学) 设{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈(1) 求证：N M ⊆(2) ()f x 单调递增时，是否有N M =？证明你的结论解析：(1)任取0x M ∈，则00()f x x =所以 000[()]()f f x f x x ==，因此0x N ∈，命题得证。

(3) 由(1)知，只需要证明M N ⊆任取0x N ∈，则00[()]f f x x =若00()x f x >，因为()f x 单调递增，所以000()[()]f x f f x x >=，这与假设矛盾，因此00()x f x ≤；同理可得00()x f x ≥；故00()f x x =，所以0x M ∈，命题得证。

由此我们可以看出：()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，但是反之不真（例如：设()(,0)(0,)f x x x =-∈-∞⋃+∞，则易见定义域中的每个值都是[()]f f x 的不动点，但是()f x 没有不动点）。

由于()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，故当()f x 是多项式函数时，[()]f f x x -中一定含有()f x x -项。

特别地，如果2()f x ax bx c =++，则222[()]()()f f x x a ax bx c b ax bx c c x -=++++++-22222()()a ax bx c ax ax b ax bx c c x =++-+++++-2222()()(1)(1)(1)a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b =++-++++++-++222(1)(1)(1)(1)a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦222(1)(1)1ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤=+-++++++⎣⎦⎣⎦[()][()1]f x x af x ax b =-+++以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目：题目1 设2()f x x px q =++，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，如果{1,3}M =-，求N解：{1,3}M =- ∴1,3-是方程2x px q x ++=的两根，由韦达定理得1,3p q =-=-22[()](23)(3)01f f x x x x x x =⇔---=⇔=-或3或所以{N =-题目2 (2008上海交大)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，问：[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论解：[()]f f x x =没有实数根证法一：[()]f f x x -=222(1)(1)10ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x ac b +++++=． 21(1)40b ac ∆=--<；2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<<⎣⎦故[()]f f x x =不存在实数根。

【智博教育原创专题】函数二阶不动点问题求解策略

函数二阶不动点问题求解策略以2013年高考数学题为例我们先看2013年高考数学江西卷理科第21题以及官方提供的解答：【试题1】（2013江西）已知函数1()(12),2f x a x a =--为常数且0a >。

⑴证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ⑵若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定a 的取值范围；⑶对于⑵中的12,x x 和a ，设3x 为函数(())f f x 的最大值点，11223(,()),(,()),(,0)A x f x B x f x C x ，记ABC ∆的面积为()S a ，讨论()S a 的单调性。

【解析】⑴证明：因为11()(12),()(12)22f x a x f x a x +=--=-，有11()()22f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线12x =对称。

⑵当102a <<时，有2214,2(())14(1),2a x x f f x a x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点；当12a =时，有1,2(())11,2x x f f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，()f x x =，故1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点。

当12a >时，有2222214,41124,42(())1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪->⎩所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，又22(0)0,()1212a a f f a a ==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a≠≠++++，故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点。

破解函数“二阶不动点”

破解函数“二阶不动点”【一个概念】一般地,对于定义在区间D 上的函数y =f (x ).（1）若存在x 0∈D ,使得f (x 0)=x 0,则称x 0是函数f (x )的一阶不动点,简称不动点. （2）若存在x 0∈D ,使得f (f (x 0))=x 0,则称x 0是函数f (x )的二阶不动点.纵观今年各地的高三模拟题与高考题,常有涉及函数二阶不动点的问题,似有成为一个高频考点的趋势.本文结合2013年高考数学江西卷理科第21题,谈谈破解函数“二阶不动点”之术,希望对提高同学们的数学解题能力有所帮助.【一个高考真题】 (2013年高考数学江西卷理科第21题部分)已知函数f (x )=a (1－2|x －12|),a 为常数且a ＞0.若x 0满足f (f (x 0))= x 0，但f (x 0)≠x 0,则x 0称为函数f (x )的二阶周期点,如果f (x )有两个二阶周期点x 1、x 2,试确定a 的取值范围.策略一:解一元方程这是一个给出新定义的创新题,其实质就是方程解的问题.函数f (x )有两个二阶周期点,即方程f (f (x ))=x 有两解,并且所得两解不是方程f (x )=x 的解.因此,最朴素的解题思路就是先求出函数f (f (x ))的解析式,再解其方程即可.就本题而言,由于函数f (x )是一个含有绝对值运算的函数,因此需要去绝对值号,把函数f (f (x ))写成一个分段函数的形式.这时既要考虑x 与12的大小,又要考虑2ax 与12、2a (1－x )与12的大小,同时还要兼顾前后大小确定的x 的大小关系,分段十分复杂,其思维导图如下:211?422(())(2)12?211?42((11(())(2)4,124114(())(2)4,1222111(())(2)2(12),124214212a f f x f ax ax a f f a f f x f ax a x x a x a a f f x f ax a x x x a f f x f ax a ax x a x a a x = ≥→==≤ ≤→<→==≤≤ → >→==−<≤ > →≤→>无解2411?422))(2(1))12(1)?2411?4211(())(2(1))4(1),41221414(())(2(1))4(1),24141214(())(2(1))2(12)42a a x f a x a x a a a f f x f a x a x x a x a a a f f x f a x a x x a a a x a a f f x f a x a a −=−−− ≤→=−=−> − ≥ − >→=−=−≥ →≤→−< →>→=−=−+无解2141,24a a x x a− <<解析:①当0<a <12时,有f (f (x ))=4a 2x ， x ≤124a 2(1－x )，x >12, 所以f (f (x ))=x 只有一个解x =0,又f (0)=0,故0不是二阶周期点.②当a =12时,有f (f (x ))=x ， x ≤121－x ，x >12, 所以f (f (x ))=x 有解集{x |x ≤12},又当x ≤12时,f (x )=x ,故{x |x ≤12}中的所有点都不是二阶周期点.③当a >12时,有f (f (x ))=4a 2x ， x ≤14a 2a －4a 2x ， 14a <x ≤122a (1－2a )+4a 2x ，12<x ≤4a －14a 4a 2(1－x )， x >4a －14a, 所以f (f (x ))=x 有四个解0,2a 1+4a 2,2a 1+2a ,4a 21+4a 2,又f (0)=0,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (2a 1+2a )=2a 1+2a ,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2,故只有2a 1+4a 2,4a 21+4a 2是f (x )的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】先通过函数迭代,求出函数f (f (x ))的解析式,再化归为方程f (f (x ))=x 的解的问题.这种解法的优点是思路清晰,但最大缺点就是函数迭代的复杂性.因为本题中的函数是一个分段函数,所以求f (f (x ))的解析式不是一蹴而就的事.正如思维导图所示,求f (f (x ))的解析式不仅需要分类讨论,而且讨论相对比较麻烦.实际上,解答呈现的只是思考的结果,而思考的过程才是同学们提升分类讨论、转化与化归能力的重要途径.【练习1 】 (2013年福建省三明市普通高中毕业班质量检查理科数学第10题)对于函数f (x ),若f (x 0)=x 0,则称x 0为函数f (x )的“不动点”;若f (f (x 0))=x 0,则称x 0为函数f (x )的“稳定点”．如果函数f (x )=x 2+a (a ∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”,那么实数a 的取值范围是……………( )(A)(－∞,14] (B)(－34,+∞) (C) (－34,14] (D)[－34,14]策略二:解二元方程显然,策略一的解题过程是复杂的,问题的难点就是函数的迭代,因为函数迭代往往只能使函数结构复杂化.那么,求解策略是否可以进行优化?特别是,是否可以避免进行函数迭代呢?实际上,为了避开函数迭代,可以采用“拆分”的方法,所谓“分合两相宜”,即把迭代的过程拆分成两次函数求值的问题,引进中间变量,化一个一元方程为两个二元方程来求解.就本题而言,f (f (x 0))=x 0就是函数f (x )的两次求值过程,即f (x 0)=t ,f (t )=x 0.若x 0为函数f (x )的二阶周期点,则有f (x 0)=t (x 0≠t ),且f (t )=x 0.此时显然有f (f (t ))=f (x 0)=t ,即t 也是函数f (x )的二阶周期点.故函数f (x )有两个二阶周期点x 1,x 2,就是二元方程 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1有解.【解析】函数可化为f (x )=2ax ， x ≤122a (1—x )，x >12.设x 1为函数f (x )的二阶周期点,则有f (x 1)=x 2(x 1≠x 2),且f (x 2)=x 1.此时有f (f (x 2))=f (x 1)=x 2,即x 2也是函数f (x )的二阶周期点.又因为a >0,f (x )在区间(－∞,12]上是单调增函数,所以x 1,x 2不可能都在区间(－∞,12]上,即应有x 1<12<x 2或12≤x 1<x 2.①若x 1<12<x 2,则有 2ax 1=x 22a (1—x 2)=x 1,解得x 1=2a 1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2,由2a 1+4a 2<12<4a 21+4a 2,解得a >12. ②若12≤x 1<x 2,则有 2a (1—x 1)=x 22a (1—x 2)=x 1,消去x 2整理得(1—4a 2)x 1=2a (1－2a ),当2a =1,即a =12时,x 1+x 2=1,方程无解;当a ≠12时,解得x 1=x 2=2a 1+2a,舍去.综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】比较两种解题策略,容易发现:策略二巧妙地利用“二阶不动点”的对偶性,建立关于两个“二阶不动点”的方程 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1,把单变量的方程问题转化为双变量的方程组问题,避免了复杂的函数迭代,降低了运算量,减少了分类讨论的情形,使解题过程大大简化.这应该是求解函数“二阶不动点”问题的通性通法,同学们不妨用此法再求解练习1,比较解法的优劣.【练习2】 (2013年高考数学四川卷文科第10题)设函数f (x )=e x +x －a (a ∈R,e 为自然对数的底数).若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))=b 成立,则实数a 的取值范围是………………………( )(A)[1,e] (B)[1,1+e] (C)[e,1+e] (D)[0,1]策略三:数形结合最后,再给出函数“二阶不动点”的几何解释.由函数不动点的定义可知,函数f (x )的一阶不动点,就是方程f (x )=x 的解,也就是直线y =x 与函数y =f (x )交点的横坐标;函数f (x )的二阶不动点,就是方程f (f (x ))=x 的解,也就是方程组 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1的解.显然,点(x 1,x 2)与(x 2,x 1)都在函数f (x )的图象上,且当x 1≠x 2时,两点关于直线y =x 对称,当x 1=x 2时为函数的一阶不动点,所以函数f (x )的二阶不动点就是函数f (x )图象上关于直线y =x 对称的两点的横坐标,或直线y =x 与函数y =f (x )交点的横坐标.基于这样的认识,我们借助函数的图象,可以更简单的给出问题的解答.【解析】若函数f (x )有两个二阶周期点,即函数f (x )的图象上至少存在两点关于直线y =x 对称,如图1. 当直线y =2ax (a >0)位于直线y =x 下方时,显然函数f (x )的图象上不存在关于直线y =x 对称的两点; 当直线y =2ax (a >0)位于直线y =x 上方时,作其关于直线y =x 的对称直线l ,则直线l 必与直线y =2a (1－x )相交,设其交点为B ,过点B 作直线y =x 的垂线,交直线y =2ax 于点A ,则A ,B 两点必关于直线y =x 对称.故2a >1,解得a >12,综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】从策略一到策略三,解题的繁简程度似有天壤之别,但对学生的理性思维能力却提出了更高的要求,这与“多考一点想,少考一点算”的高考立意是相通的,正所谓“想得少,算得多;想得多,算得就少”.【练习3】 (2013年广东省华南师范大学附中高三5月综合练习第8题)对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x ),定义f 1(x )=f (x ),f 2(x )=f (f 1(x )),…, f n (x )=f (f n -1(x )),…,n =1,2,3,…．满足f n (x )=x 的点x ∈[0,1]称为f 的n阶不动点.设f (x )=2x ， 0≤x ≤12，2－2x ， 12<x ≤1，则f 的n 阶不动点的个数是……( )(A) 2n (B) 2(2n -1) (C) 2n (D) 2n 2【练习答案】 1.D.解法一:由f (f (x ))=x ,得(x 2+a )2+a =x ,即(x 2－x +a )(x 2+x +a +1)=0.因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,所以方程x 2－x +a =0有解,且方程x 2+x +a +1=0无解或其解都是x 2－x +a =0的解.由方程x 2－x +a =0有解,得△1=1－4a ≥0,解得a ≤14.由方程x 2+x +a +1=0无解,得△2=1－4(a +1)<0,解得a >－34,而若方程x 2+x +a +1=0的解都是x 2－x +a =0的解,因为方程x 2－x +a =0与方程x 2+x +a +1=0不可能同解,所以方程x 2+x +a +1=0必有两个相等的实根且是方程x 2－x +a =0的解,此时△2=1－4(a +1)=0,解得a =－34,经检验,符合题意.综上,a 的取值范围是[－34,14].正确选项为D.解法二:显然,函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以f (x )=x 有解,但方程组 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1(x 1≠x 2)无解.由f (x )=x ,得x 2－x +a =0有解,所以1－4a ≥0,解得a ≤14.由 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1,得 x 12+a =x 2x 22+a =x 1,两式相减,得(x 1－x 2)(x 1+x 2)=x 2－x 1,因为x 1≠x 2,所以x 2=―x 1―1,代入消去x 2,得x 12+x 1+a +1=0,因为方程x 12+x 1+a +1=0无解或仅有两个相等的实根,所以1－4(a +1)≤0,解得a ≥－34,故a 的取值范围是[－34,14].正确选项为D.2.A.设f (b )=c ,f (c )=b .若b >c ,则f (c )>f (b ),这与函数f (x )=e x +x －a 是增函数矛盾;若b <c ,则f (c )<f (b ),同样与函数f (x )=e x +x －a 是增函数矛盾,故b =c ,即f (f (b ))=b ,当且仅当f (b )=b 时成立.问题“存在b ∈[0,1]使f (f (b ))=b 成立”,转化为“存在b ∈[0,1]使f (b )=b 成立”,即关于b 的方程e b +b ―a =b 2在b ∈[0,1]上有解.令g (b )=e b +b ―b 2,则g ´(b )= e b +1―2b ,因为b ∈[0,1],所以g ´(b )≥0,即g (b )是[0,1]上的增函数,所以g (b )的值域为[1,e],即a 的取值范围是[1,e].正确选项为A.3.C.f 1(x )=1－|2x －1|,x ∈[0,1],其图象为两条线段组成的折线,如图2-1,与直线y =x 有两个交,所以f 的1阶不动点有2个;f 2(x )=1－|2f 1(x )－1|,x ∈[0,1],其图象为四条线段组成的折线,如图2-2,与直线y =x 有4个交,所以f 的2阶不动点有4个;f 3(x )=1－|2f 2(x )－1|,x ∈[0,1],其图象为八条线段组成的折线,如图2-3,与直线y =x 有8个交,所以f 的3阶不动点有8个.以此类推, f 的n 阶不动点有2n 个,正确选项为C.。

一到一百学阶数

一到一百学阶数数学是一门重要的学科，它包括了许多有趣的概念和知识。

阶数就是数学中一个重要的概念，它是指某个数或多项式中的最高次项的次数。

在学习阶数时，我们需要掌握一些基本概念和技巧。

本文将从一到一百的角度出发，带领读者一起深入学习阶数的相关知识。

一阶：在数学中，一阶通常被用来表示线性函数。

线性函数是一种特殊的函数，它的图像是一条直线。

在学习线性函数时，我们需要熟练掌握斜率和截距的概念，这对于解决实际问题非常重要。

二阶：二阶则涉及到二次函数。

二次函数具有抛物线的形状，是一类常用的函数。

在学习二次函数时，我们需要掌握顶点、轴、对称轴等重要的概念，同时需要熟练掌握求解二次方程的方法。

三阶：三阶通常涉及到三次函数。

三次函数的图像呈现出一种类似于“S”形状的形态，是一类比较复杂的函数。

在学习三次函数时，我们需要掌握极值点、拐点等概念，并学会求解三次方程的方法。

四阶：四阶则涉及到四次函数，四次函数的图像呈现出一种类似于双弧的形态，是一类比较常见的函数。

在学习四次函数时，我们需要熟练掌握拐点、极值点等概念，学会求解四次方程的方法。

五阶：五阶涉及到五次函数，五次函数的图像呈现出一种比较复杂的形态。

在学习五次函数时，我们需要掌握对称轴、极值点等重要概念，并学会求解五次方程的方法。

六阶：六阶则涉及到了六次函数，六次函数的图像呈现出一种明显的S形状。

在学习六次函数时，我们需要掌握其对称性、极值点等概念，并学会计算六次方程的方法。

七阶：七阶则涉及到了七次函数，七次函数的图像呈现出一种很复杂的形状。

在学习七次函数时，我们需要掌握其对称性、拐点等重要的概念，并学会求解七次方程的方法。

八阶：八阶涉及到了八次函数，八次函数的图像呈现出一种双弧的形状。

在学习八次函数时，我们需要掌握其对称性、拐点等概念，并学会求解八次方程的方法。

九阶：九阶则涉及到了九次函数，九次函数的图像呈现出一种比较复杂的形态。

在学习九次函数时，我们需要掌握其对称性、拐点等重要概念，并学会求解九次方程的方法。